tema-2-dinamica

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Dinámica de una partícula
1. Introducción. Conceptos generales.
2. Leyes de Newton. 
3. Fuerzas de rozamiento: rozamiento por deslizamiento. 
4. Dinámica del movimiento curvilíneo. Fuerza centrípeta.
5. Fuerzas de recuperación elásticas.
6. Momento angular de una partícula.
7. Fuerzas centrales.
1
1. Introducción. Conceptos generales.
El estudio CINEMÁTICO del movimiento resulta incompleto en el sentido de que no se 
preocupa de las causas que originan el movimiento de los cuerpos.
La descripción DINÁMICA del movimiento es mucho más completa porque estudia el 
movimiento en relación con las causas que lo producen.
En este tema estudiaremos sólo la Dinámica de la Partícula o Punto 
Material (Dinámica de Traslación).
Leyes de Newton
Mecánica Clásica
2
Interacción y Fuerza.
El estudio de las causas que producen cambios en el estado de movimiento de los cuerpos 
nos lleva a la idea de INTERACCIÓN. 
En física, una interacción es cualquier causa por la que dos o más cuerpos se influyen 
en su estado de movimiento.
La medida cuantitativa de cualquier interacción es lo que llamamos fuerza.
Interacciones Básicas Actúan sobre Alcance
Gravitatoria Cuerpos con masa Largo
Electromagnética Partículas cargadas Largo
Débil Casi todas las partículas Corto (en el interior del núcleo)
Fuerte Entre protones y neutrones
Corto (en el interior del 
núcleo)
3
Interacciones Básicas
La interacción gravitatoria es la 
responsable de que los planetas 
giren en torno a una estrella o 
que los objetos caigan.
La interacción electromagnética
mantiene cohesionados átomos,
moléculas y sistemas 
macroscópicos.
La interacción débil es la responsable
de la desintegración β. Tiene lugar entre 
electrones y protones o neutrones.
La interacción fuerte mantiene 
unido al núcleo atómico. 4
2. Leyes de Newton (I).
1ª Ley de Newton o ley de Inercia: toda partícula libre, es decir, 
que no está sometida a interacción alguna, se mueve siempre con 
respecto a un SRI con velocidad constante. 
La Ley de Inercia establece la persistencia del estado de movimiento de una partícula en 
ausencia de interacciones. Así pues, las partículas (los cuerpos en general) presentan 
tendencia a permanecer en su estado de movimiento, tal tendencia recibe el nombre de 
INERCIA.
2ª Ley de Newton o ley de fundamental de la dinámica: si una partícula está sometida a 
una interacción neta (fuerza neta) adquiere una aceleración con respecto a un SRI 
que es proporcional a dicha interacción.
F a F ma∝ ⇒ =∑ ∑
� �
� �
El factor de proporcionalidad m es una característica de todo cuerpo o sistema material 
que se denomina masa inerte o simplemente masa. Determina la oposición o resistencia 
de un cuerpo a modificar su estado de movimiento, es decir, a ser acelerado.
5
2. Leyes de Newton (II).
La expresión anterior que hemos dado para la 2ª ley de Newton es la más popular pero no 
es la más afortunada, ya que sólo es útil cuando la masa del cuerpo o sistema material 
permanece constante. Por tanto, es preferible utilizar la expresión:
dpF
dt
=∑
�
�
Donde p es la magnitud denominada momento lineal o cantidad de movimiento que viene 
dada por el producto de la masa de la partícula por su velocidad, es decir:
p mv=
� �
De esta forma:
( )d mvdp dm dvF v m
dt dt dt dt
= = = +∑
�� �
�
�
Donde se pone de manifiesto que el cambio del momento lineal puede deberse a un cambio 
en la masa del cuerpo o bien a un cambio en su velocidad.
Nótese que en el caso de que la masa permanezca constante se tiene:
�
0
dm dv dvF v m m m a
dt dt dt
= + = =∑
� �
�
� �
6
2. Leyes de Newton (III).
3ª Ley de Newton o ley de acción y reacción: si un cuerpo A ejerce sobre otro B una 
fuerza FAB, el cuerpo B ejerce sobre el primero otra fuerza FBA de igual módulo y 
dirección pero de sentido contrario.
ABF
�
BAF
�
A
B
AB BAF F= −
� �
7
Conviene destacar que estas dos fuerzas actúan sobre cuerpos 
distintos y, por tanto, no producen un efecto nulo, sino que 
provocarán en cada uno de ellos un cambio en su momento lineal. 
En efecto:
B
AB
B A
AB BA
A
BA
Si
dp
F dp dpdt F F
dt dtdpF
dt

=  = − ⇒ = −
=

�
�
� �
� �
�
�
Por tanto:
( )
0 0
A BB A
A B constante
d p pdp dp p p
dt dt dt
+
+ = ⇒ = ⇒ + =
� �� �
� �
Resultado que constituye un caso particular (para dos cuerpos) del principio de conser-
vación del momento lineal → cuando dos cuerpos están sometidos exclusivamente a sus 
respectivas interacciones mutuas, su momento lineal total permanece constante.
8
Acerca de la 3ª ley de Newton
Identificando las dos fuerzas de las que habla la 3ª ley de Newton:
Mesa
Bloque
Tierra
TBF P=
� �
BTF
�
MB NF F=
� �
BMF
�
Consideremos un Bloque colocado sobre una Mesa 
que a su vez se encuentra en el suelo (Tierra). 
¿Cuáles son las parejas de fuerzas según la 3ª ley?
TBF →
�
Es la fuerza que la Tierra hace 
sobre el Bloque, es decir, la fuerza 
Peso.
BTF →
�
Es la fuerza que el bloque hace 
sobre la Tierra. En general, nunca la 
tenemos en cuenta, pero existe y es 
la pareja de la fuerza peso.
MBF →
�
Es la fuerza que la Mesa hace sobre el Bloque. Habitualmente la llamamos 
fuerza normal.
BMF →
�
Es la fuerza que el Bloque hace sobre la Mesa y, lógicamente actúa sobre la 
Mesa, NO sobre el Bloque.
Por tanto, en nuestro caso las parejas de fuerzas en el sentido de la 3ª ley son:
TB BT MB MByF F F F= − = −
� � � �
9
Algunas consideraciones para la aplicación de las leyes de Newton 
1. Sólo son de interés las fuerzas que actúan sobre el cuerpo objeto de nuestra 
atención.
2. Los cuerpos objeto de estudio serán modelados como partículas, es decir, 
con masa pero sin dimensiones.
3. A menos que lo especifique el problema consideraremos que no hay fricción 
entre el cuerpo y la superficie de contacto.
4. Cuando un cuerpo se encuentra en contacto con una superficie, ésta ejerce 
siempre una fuerza sobre el cuerpo cuya dirección es normal (perpendicular) 
a ella.
5. En el caso de que la interacción con el cuerpo tenga lugar mediante una 
cuerda, hilo, cadena u otro medio deformable (muelle), diremos que la fuerza 
que actúa es de Tensión (T ).
T
�
2
P
�
a�
T
�
1
P
�
N
�
NF
�
TF
�
a�
10
Unidades de fuerza y masa 
Sistema de 
unidades
Masa Fuerza
Cegesimal Gramo (g) Dina (dyn)
Internacional Kilogramo (kg) Newton (N)
Técnico Kilogramo (kg)
Kilogramo-fuerza (kgf)
o 
Kilopondio (kp)
Equivalencias: 51 10N dinas= 1 9 8kgf , N=
En el sistema anglosajón se utilizan como unidades de masa y fuerza la LIBRA (lb) y 
la LIBRA-FUERZA (lbf), respectivamente. Sus equivalencias con las unidades del 
Sistema Internacional son:
1 4 45lbf , N≈1 0 4536lb , kg≈
Ejemplo 1. 
Un tren parte del reposo por un vía recta y horizontal y tarda 1 minuto en adquirir su 
velocidad de régimen de 100 km/h. Del techo de uno de los vagones del tren cuelga un 
péndulo, calcular el ángulo que forma el hilo del péndulo con la vertical durante el primer 
minuto del movimiento. ¿Y después de alcanzar la velocidad de 100 km/h, cuál será ese 
ángulo?
θ
θ
T
�
P
�
a�
F m a=∑
�
�
Durante el primer minuto el tren lleva un MUA, cuya aceleración es:
2
0 27,8 0 60 0,46 m/sv v a t a a= + ⇒ = + ⇒ =
¿Qué fuerzas actúan sobre la esfera del péndulo, de masa m, desde 
la perspectiva de un observador inercial?
Un observador inercial diría que la esfera del péndulo lleva la 
misma aceleración que el tren y, por tanto, al aplicar la 2ª ley de 
Newton tendría:
F m a P T m a= ⇒ + =∑
�� �
� �
En la práctica, esta suma vectorial se puede resolver con la relación trigonométrica:
tan mθ = a
m
0,46tan 0,047 arctan0,047 2,7º
9,8g
θ θ⇒ = = ⇒ = =
Cuando el tren alcance la velocidad de régimen de 100 km/h el ángulo que forma el hilo 
con la vertical debe ser cero. ¿Por qué? 11
3. Fuerzas de rozamiento: rozamiento por deslizamiento.
Son unas fuerzas que aparecen cuando dos superficies se ponen en contacto, oponiéndose 
al desplazamiento relativo entre ellas. Estudiaremos aquí las fuerzas de rozamiento por 
deslizamiento,que son aquellas que aparecen cuando un cuerpo desliza sobre otro.
Las características generales, a nivel macroscópico, de estas fuerzas de rozamiento son:
1. Siempre que exista un deslizamiento relativo, o la intención de ese deslizamiento, 
entre dos cuerpos en contacto, aparece sobre cada uno de ellos una fuerza de este 
tipo.
2. Son paralelas a las superficies de contacto entre ambos cuerpos y, por tanto, 
perpendiculares a la fuerza normal entre ellas.
3. Tienen sentido contrario a la velocidad relativa de un cuerpo respecto del otro, o a la 
intención de movimiento.
4. Son prácticamente independientes del área de contacto entre los cuerpos.
5. Son proporcionales a la fuerza normal que comprime ambas superficies. 
El rozamiento es un concepto estadístico, que se 
caracteriza macroscópicamente mediante una fuerza 
FR, que representa la contribución de innumerables 
interacciones entre las moléculas que se encuentran en 
las superficies de los cuerpos en contacto. 
12
Análisis de las Fuerzas de rozamiento por deslizamiento.
Consideremos un cuerpo de masa m sobre una superficie horizontal del que tiramos con 
fuerzas horizontales de módulo creciente Fi.
iF
�
Fuerza Aplicada Movimiento Fuerza de rozamiento
0 No hay movimiento 0
F1 No hay movimiento FR1 = F1
F2>F1 No hay movimiento FR2 = F2
F3>F2 No hay movimiento FR3 = F3
… … …
Fn>Fn-1 Movimiento inminente (FR)max = Fn
Fn+1 Movimiento (FR)din
RF
�
13
Perfil gráfico de las Fuerzas de rozamiento.
Materiales µe µc
Acero sobre acero 0,7 0,6
Vidrio sobre vidrio 0,9 0,4
Latón sobre acero 0,5 0,4
Teflón sobre vidrio 0,04 0,04
Esquí encerado sobre nieve (0 ºC) 0,10 0,05 14
Ejemplo 2.
El bloque A de la figura tiene una masa m, el carrito B tiene una masa M, y el coeficiente 
de rozamiento estático entre el bloque y el carrito es µe. Determinar el valor mínimo de la 
fuerza F que consigue que el bloque permanezca estacionario sobre el carrito.
15
BA
F
� Veamos las fuerzas que actúan sobre cada uno de los objetos
A B
F
�
BAF
�
ABF
�
AP
�
BP
�
RF
�
N
�
RF−
�
a�
De acuerdo con el esquema de 
fuerzas para que A no caiga 
debe cumplirse que:
0AR RF P F m g+ = ⇒ =
� �
Donde, para que la aceleración sea mínima, FR debe ser la fuerza de rozamiento estática máxima, dada 
por: eR NF Fµ=
Siendo FN la fuerza normal que comprime las superficies en contacto, es decir, FAB. Nótese que esa 
fuerza es realmente la que dota al carrito B de una aceleración a. Por tanto: 
AB e e min min
e
En consecuenciaN R
m gF F M a F M a M a m g a
M
µ µ
µ
= = ⇒ = = ⇒ =
Y finalmente:
( ) ( ) 1min min
e e
m g m g mF m M a m M
M Mµ µ
 
= + = + = + 
 
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4. Dinámica del movimiento curvilíneo. Fuerza centrípeta
Como ya hemos estudiado, para que una partícula describe una trayectoria curva es 
necesario que esté animada de una aceleración normal o centrípeta. Supongamos el caso 
que muestra la figura. 
ta
�
a�
2
n
va n
R
=
��
De acuerdo con la 2ª ley de Newton, existe una fuerza 
responsable de cada aceleración. La fuerza que produce 
la aceleración normal o centrípeta se conoce con el 
nombre de fuerza centrípeta. Esto significa que para que 
un móvil curve su trayectoria es necesario que sobre él 
actúe de una fuerza centrípeta, que vendrá dada por:
2
c n
vF m a m n
R
= =
�
��
n
�
τ�
La fuerza centrípeta no es una clase de fuerza especial, sino que simplemente designa la 
fuerza neta perpendicular a la trayectoria (dirigida hacia el centro de curvatura de la 
trayectoria) que puede estar ejercida por una cuerda, una fuerza a distancia como la 
fuerza de gravitación, o bien ser el resultado de la combinación de varias de ellas.
¿Qué fuerza es la responsable de que un coche tome una curva? 
¿Qué fuerza es la responsable de que un objeto atado a una cuerda describa una 
trayectoria curva cuando lo hacemos girar? 
¿Qué fuerza es la responsable de que la Luna describa trayectorias elípticas alrededor 
de la Tierra? 
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Ejemplo 3.
Una bola de masa m está suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve con velocidad 
constante v describiendo un círculo horizontal de radio r. Determinar: a) ¿qué aceleración 
tiene la bola y en qué dirección actúa?, b) la tensión de la cuerda, c) la velocidad de la bola .
a) Al describir una trayectoria circular con velocidad constante
la única aceleración en el movimiento es la aceleración normal o 
centrípeta, que valdrá:
2
c
va
r
= Dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.
b) Según el esquema de fuerzas que actúan sobre la bola debe 
cumplirse que: 
yT
�
xT
�
0
c
c c
Eje x: 
Eje y: 
x
y
T m a
F m a T P m a
T m g
− = = ⇒ + = ⇒ − = 
∑
�� �
� �
La ecuación correspondiente al eje y se traduce en:
cos de donde
cos
m g m gT mg T
r
L
θ
θ
= = =
c) De la ecuación del eje x se tiene que:
2 2 2
sen sen tan tan
cos
m gv v vT m m v r g
r r r g
θ θ θ θ
θ
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
5. Fuerzas de recuperación elástica.
Cuando producimos una deformación en un sólido 
deformable, como por ejemplo un resorte elástico, 
aparecen en el sistema las denominadas fuerzas 
de recuperación elástica, que se oponen a la 
deformación producida y tienden a recuperar la 
situación original. 
Estas fuerzas vienen descritas por la Ley de 
Hooke, que en su versión de deformaciones 
lineales, se expresa como:
KF K x= −
�
�
Donde FK es la fuerza recuperadora, K la constante elástica del muelle y x el vector 
desplazamiento, cuyo módulo es justamente el desplazamiento respecto a la longitud 
natural del muelle.
¿Qué tipo de movimiento describe una partícula sometida a una fuerza de esta clase?
De acuerdo con la 2ª ley de Newton:
K
K
F m a Km a K x a x
mF K x
= 
⇒ = − ⇒ = −
= − 
�
�
� �� �
�
�
Que es la ecuación característica del movimiento armónico simple (MAS). 18
Producto vectorial de dos vectores.
Se define como un vector C cuyo módulo es el resultado de multiplicar el módulo del 
primer vector por el módulo del segundo por el seno del ángulo que forman, de dirección 
perpendicular al plano determinado por ambos vectores y sentido el de avance de un 
tornillo que gire desde el primer vector al segundo (regla de la mano derecha).
C A B= ×
� ��
Nótese que el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del 
paralelogramo construido con ambos vectores, como indica la figura.
sen sen Área del paralelogramoC A B A h C B hφ φ= ⇒ = ⇒ = =
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Momento de una fuerza con respecto a un punto.
La figura muestra una fuerza F que actúa sobre una partícula en una cierta posición r
respecto del origen O. Se define el momento M ejercido por esta fuerza con respecto al 
origen O como:
M
�
r
�
F
�
O
d θ
M r F= ×
� �
�
El módulo del vector momento vendrá dado por:
{ }sen senM r F r d M F dθ θ= ⇒ = ⇒ =
Donde d es la distancia entre O y la línea de acción de la fuerza F (ver figura).
Ya que el vector momento es el resultado 
de un producto vectorial su módulo, 
dirección y sentido serán los que resultan 
de multiplicar vectorialmente los vectores 
r y F (ver figura).
20
6. Momento angular de una partícula.
L r p= ×
�
��
La figura muestra una partícula de masa m que describe una determinada trayectoria con 
velocidad v con respecto a un origen O, siendo p su momento lineal, se define el momento 
angular L de la partícula con respecto al origen O como el producto vectorial de r y p. 
v�
p m v=
� �
r
�
L
�
O
m
De acuerdo con esta definición, es fácil 
entender que si la trayectoria de la 
partícula es plana, el vector momento 
angular (L) permanecerá en todo 
momento perpendicular al plano que 
determina la trayectoria del móvil.
Es interesante estudiar cómo cambia el momento angular en el transcurso del tiempo, 
es decir:
� �
v F
dpdL dr p r v p
dt dt dt
= × + × = ×
� �
�
��
� �� � dLr F M
dt
+ × ⇒ =
�
� �
�
Lo cual significa que si, bajo cualquier circunstancia, el momento de la fuerza que actúa 
sobre la partícula es nulo, el momento angular ha de mantenerse constante (Principio de 
conservación del momentoangular).
21
7. Fuerzas centrales (I).
Un caso particular de campos vectoriales son los campos de fuerzas, que son aquellos en 
los que en cada punto del espacio que delimita el campo se asocia un vector fuerza. Entre 
ellos tienen especial interés los campos de fuerzas centrales, que son aquellos en los que 
el vector fuerza definido en cada punto del espacio está dirigido hacia un punto fijo (el 
centro del campo).
1F
�
2F
�
3F
�
4F
�
O
Los campos de fuerzas centrales tienen algunas 
propiedades interesantes:
1. El momento de cualquier fuerza del campo con 
respecto al centro O vale cero.
O 0M r F= × =
� �
�
2. En consecuencia, como:
O
0 O constante
dL
M L
dt
= ⇒ =
�
� �
22
El hecho de que el momento angular de una partícula sometida exclusivamente a fuerzas 
centrales mantenga constante su momento angular con respecto al centro del campo 
tiene dos implicaciones importantes:
a. Que sea constante en dirección supone que la partícula describirá una trayectoria 
plana, ya que el plano determinado por los vectores r y v deben ser siempre el 
mismo.
23
7. Fuerzas centrales (II).
b. Que sea constante en módulo supone que el área barrida por el radio vector de posición 
con respecto al tiempo (velocidad areolar, vA) debe ser constante. 
Consideremos una partícula de masa m que describe una determinada trayectoria bajo la 
acción de un campo de fuerzas centrales, como indica la figura, el módulo de su angular 
viene dado por:
r
�
r dr+
� �
v�
dA
O
ϕ
dr
�
senL m r v ϕ=
El área del triángulo elemental dA es:*
1
2
sendA r dr ϕ=
* Esto procede de la mitad del producto vectorial de los vectores r y dr.
En consecuencia, la velocidad areolar, vA, será:
1 1
2 2
A sen sen
dA drv r r v
dt dt
ϕ ϕ= = =
Ya que: 2
2
A Asen
LL m r v m v v
m
ϕ= = ⇒ =
En consecuencia, si el módulo del momento angular de la partícula, L, es constante la 
velocidad areolar, vA, también lo será.
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7. Fuerzas centrales (III).
Johannes Kepler, a principios del siglo XVII, basándose en las observaciones del astrónomo 
Tycho Brahe, enunció tres leyes que rigen el movimiento de los planetas:
� 1ª Ley: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas (órbitas planas) alrededor 
del Sol, que ocupa uno de los focos.
� 2ª Ley: El radio vector que une un planeta y el Sol barre área iguales en tiempos 
iguales, es decir, su velocidad areolar es constante.
� 3ª Ley: El cuadrado del periodo de revolución de cualquier planeta es proporcional al 
cubo del semieje mayor de su órbita.
Estas observaciones fueron decisivas para la 
formulación de la ley de gravitación de Newton, 
que demostró que la fuerza responsable del 
movimiento de los planetas alrededor de Sol 
debía ser una fuerza central que varía en razón 
inversa al cuadrado de la distancia entre ambos 
cuerpos.
1
m
2
m
12
F
�
21
F
�
12
r
�
1 2
12 122
12
m mF G u
r
= −
�
�
Donde: 1212
12
ru
r
=
�
�
Y G es la constante de gravitación universal, que vale
11 2 2
6 67 10, N m / kgG −= × ⋅