Contenido didactico curso Química Cuántica - 401584

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A 
DISTANCIA 
 
 
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGÍA E 
INGENIERÍA 
PROGRAMA DE QUÍMICA 
 
 
 
401584 - Química Cuántica 
HECTOR FABIO CORTES HERNANDEZ 
(Director) 
 
 
 
ANGELO ALBANO REYES 
(Acreditador) 
 
 
Bogotá D.C. 
 Noviembre de 2016 
 
 
2 
 
ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO 
 
El presente módulo fue diseñado en el año 2012 por la Químico, Candidato a 
Magister Héctor Fabio Cortes Hernández, tutor catedrático del CCAV Eje Cafetero, 
quien pertenece al cuerpo académico de la UNAD desde el primer semestre del 
2012. Y es actualizado en noviembre del 2016 por el docente Hector Fabio Cortes 
Hernandez. 
Como novedades de este material es la presentación por unidades, capítulos y 
lecciones, que permite una fácil ubicación de temáticas específicas, según el 
interés del estudiante. Además, cuenta con detallado desarrollo y ejemplos que guían 
al estudiante en el desarrollo de la temática, y ejercicios que pueden incrementar la 
comprensión del tema. 
Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar públicamente bajo las 
condiciones siguientes: 
 
 Reconocimiento. Debe reconocer los créditos de la obra de la manera 
especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que 
tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). 
 No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. 
 Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra 
derivada a partir de esta obra. 
 Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los términos de la licencia 
de esta obra. 
 Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular 
de los derechos de autor 
 Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
INDICE DE CONTENIDO 
 Pág 
 
Introducción 7 
 
UNIDAD 1. ÁTOMO DE HIDROGENO 11 
 
Capítulo 1. Operadores 11 
 
1.1 Funciones y valores propios. 11 
1.2 Propiedades de los operadores. 18 
1.3 Operadores en Mecánica Cuántica. 23 
1.4 Condiciones para aceptar funciones de onda. 26 
1.5 Valores medios y degeneración. 28 
 
Capítulo 2. Momento Angular 35 
 
2.1 Postulados de la Mecánica Cuántica. 35 
2.2 Momento Angular para una partícula. 41 
2.3 Armónicos esféricos. 47 
2.4 Espín electrónico. 65 
 
Capítulo 3. Átomo de hidrogeno 73 
 
3.1 Fuerza central. 73 
3.2 Partículas no interaccionantes. 78 
3.3 Funciones radial. 79 
3.4 Orbitales y átomos de hidrogeno. 90 
3.5 Rotor Rígido. 109 
 
UNIDAD 2. ÁTOMOS MULTIELECTRONICOS 
 
Capítulo 4. Métodos aproximados 117 
 
4.1 Teorema de Variaciones. 117 
 
 
4 
 
4.2 Métodos perturbativos no degenerados. 124 
4.3 Corrección de primer y segundo Orden de Energía. 124 
4.4 Corrección de segundo Orden de Energía. 129 
4.5 Aplicaciones. 130 
 
Capítulo 5. Átomos multielectronicos I 132 
 
5.1 Principio de Pauli. 
132 
5.2 Principio de Exclusión de Pauli. 134 
5.3 Determinantes de Slater. 136 
5.4 Solución al átomo de Helio. 137 
5.5 Solución al átomo de Litio. 141 
5.6 Aproximación de Born Oppenhaimer. 144 
 
Capítulo 6. Átomos multielectronicos II 147 
 
6.1 Términos espectroscópicos. 147 
6.2 Regla de Hund. 150 
6.3 Metodo Hartree-Fock. 151 
6.4 Orbitales tipo Slater y Gaussian. 152 
6.5 Métodos Computacionales I . 153 
 
Bibliografía 161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
LISTA DE TABLAS 
 
 Pág. 
 
 
Tabla 1. Identidades de la conmutación en operadores. 43 
Tabla 2. Algunas ecuaciones diferenciales no lineales útiles en Química 
cuántica, que se solucionan por series. 59 
Tabla 3. Números Cuánticos y sus propiedades. 82 
Tabla 4. Ecuaciones que representan las funciones hidrogenoides reales 
 del nivel 1 a 3. 99 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
LISTA DE FIGURAS 
 Pág. 
 
Figura 1. Grafica de una función univoca (1a), función no univoca (1b). 26 
Figura 2. Grafica continua (2a), grafica discontinua (2b). 27 
Figura 3. Función cuadrado integrable (3a), función no cuadrado 
 integrable (3b). 27 
Figura 4. Descripción clásica del momento angular (l), donde están 
 perpendiculares el momento (p) y el radio (r). 41 
Figura 5. Experimento de Stern y Gerlach. 66 
Figura 6. Desdoblamiento del espín con un campo magnético que 
 proporciona los dos valores de ½ y -½. 68 
Figura 7. Orientaciones del vector del espín electrónico en la componente 
 z y total, con sus valores propios respectivos. 70 
Figura 8. Imagen de la fuerza central de un electrón que depende de la 
 distancia no del ángulo. 74 
Figura 9. Grafica de las funciones de onda radiales para los primeros tres 
 niveles de energía. 104 
Figura 10. Grafica de las funciones de distribución radial para los primeros 
 tres niveles de energía. 104 
Figura 11. Grafica de las distribuciones radiales y orbitales en 3D. 105 
Figura 12. Graficas de la función de onda de una partícula en una caja 
 unidimensional, en la parte superior esta la probabilidad y en la inferior 
 la función de onda. 118 
Figura 13. Grafica del oscilador armónico unidimensional en el estado 
 fundamental. 120 
Figura 14. Esquema del átomo de Helio. 138 
Figura 15. Energía electrónica U en función de la distancia internuclear 
 para una molécula diatomica. 145 
 
 
 
 
 
 
7 
 
INTRODUCCIÓN 
 
 
El presente modulo está dirigido a estudiantes de programas de pregrado que oferta la 
UNAD, bajo la modalidad de educación superior a distancia. El material está 
estructurado en dos unidades que son las temáticas macro del curso académico. El 
contenido de cada una de las partes fue seleccionado, teniendo en cuenta los saberes 
mínimos que se esperaría debe alcanzar un estudiante de la Universidad Nacional 
Abierta y a Distancia en el campo de Química Cuántica. 
 
La propuesta permite que los estudiantes reconozcan los conocimientos mínimos del 
curso en mención, que le permita resolver situaciones propias del mismo y además, 
abordar posteriores temáticas que requieran de éstos conocimientos. De la misma 
manera, se proponen los fundamentos teóricos necesarios para desarrollar el curso, 
que son importantes en la medida que se requiere verificar principios y teorías; además, 
desarrollar habilidades propias de un curso metodológico. Para el mejor 
aprovechamiento de este material, se recomienda que el estudiante posea como 
conocimientos previos: Física ondulatoria y moderna; Matemáticas diferenciales, 
integrales y ecuaciones diferenciales, Fisicoquímica. 
 
 
El modulo se caracteriza porque en cada lección se presentan ejemplos modelos del 
tema en estudio, al final de cada capítulo se exponen ejercicios; que permite a los 
estudiantes contextualizarse en diversas áreas del conocimiento, con el fin de fortalecer 
las temáticas propias del curso, las cuales permiten verificar los alcances de los 
estudiantes en las temáticas analizadas y detectar las debilidades y así centrarse en 
éstas, con el fin de alcanzar las metaspropuestas 
Finalmente, el Material pretende servir como guía de aprendizaje autónomo, se 
recomienda apoyar este proceso por medio de lecturas especializadas, ayudas 
audiovisuales, visitas a sitios Web, entre otros, así lograr una efectiva comprensión, 
interiorización y aplicación de las temáticas estudiadas. 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD UNO 
 
 
ATOMO DE HIDROGENO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
PRESENTACIÓN 
UNIDAD 1. ÁTOMO DE HIDROGENO 
 
Capítulo 1. Operadores 
1.1 Funciones y valores propios. 
1.2 Propiedades de los operadores. 
1.3 Operadores en Mecánica Cuántica. 
1.4 Condiciones para aceptar funciones de onda. 
1.5 Valores medios y degeneración. 
 
Capítulo 2. Momento Angular 
2.1 Postulados de la Mecánica Cuántica. 
2.2 Momento Angular para una partícula. 
2.3 Armónicos esféricos. 
2.4 Espín electrónico. 
 
Capítulo 3. Átomo de hidrogeno 
3.1 Fuerza central. 
3.2 Partículas no interaccionantes. 
3.3 Funciones radial. 
3.4 Orbitales y átomos de hidrogeno. 
3.5 Rotor Rígido. 
NOMBRE DE LA UNIDAD ÁTOMO DE HIDROGENO 
Introducción 
Se utilizara los conceptos de operadores como propiedades, al 
igual que la descripción momento angular para construir las 
funciones y formas de los átomos hidrogenoides. 
Justificación 
Los átomos hidrogenoides son funciones y formas que se 
utilizan en la descripción común de una reacción química, 
definiendo propiedades, estereoquímica y es base de la 
explicación molecular de algunos fenómenos. 
Intencionalidades 
Formativas 
Comprender la utilidad y secuenciación para la construcción de 
los átomos de hidrogeno. 
Denominación de 
capítulos 
Capítulo 1. Operadores. 
Capítulo 2. Momento angular. 
Capítulo 3. Átomo de hidrogeno. 
 
 
10 
 
CAPITULO UNO – OPERADORES 
 
Introducción 
 
La Mecánica cuántica tiene como función de estado (variables que describen el estado 
actual del sistema), la función de onda de Schrödinger, que describe matemáticamente 
el comportamiento de un electrón u otra partícula o molécula, utiliza como simbología 
(función de onda de Schrödinger que depende del tiempo) y (función de onda de 
Schrödinger independiente del tiempo), cada una se debe especificar la energía 
potencial utilizada, para observar y analizar el tipo de sistemas estudiados. 
 
La función de onda de Schrödinger es muy útil en la explicación de fenómenos 
atómicos, para el caso de la química se usa la independiente del tiempo por el 
solapamiento de orbitales, los contornos de densidad electrónica, las estructuras 
atómicas donde no interviene considerar el tiempo, solo en el fundamento de la 
instrumentación se debe considerar. Para evaluar cada propiedad similar en el mundo 
real, la mecánica cuántica postula un operador que propone una operación matemática 
que interviene en el cálculo de fenómenos, generando constantes útiles por ser valores 
reales debiéndose al cumplimiento de ciertos condiciones, por esto en el presente 
capitulo encontraremos el fundamentos de los operadores, su utilización, propiedades, 
que aplicados a funciones nos introducirán en su importancia en la Química Cuántica. 
 
1.1 Funciones y valores propios 
 
Las funciones se define como las relaciones entre variables, para el caso de nosotros 
la función es la función de onda de Schrödinger (físico austriaco 1887-1961, nacido en 
Viena, ganador de premio nobel de física en 1933 por sus contribuciones a la mecánica 
cuántica) que se basó en la teoría ondulatoria, en su ecuación postula la relación de la 
amplitud como la cantidad de movimiento (ecuación 1). 
 
 
 
 
 
 
11 
 
−
ℏ
𝑖
∂Ψ
∂𝑡
= − 
ℏ2
2𝑚1
(
∂2Ψ
∂𝑥1
2 + 
∂2Ψ
∂𝑦
1
2
+
∂2Ψ
∂𝑧1
2 ) − ⋯ − 
ℏ2
2𝑚1
(
∂2Ψ
∂𝑥𝑖
2 + 
∂2Ψ
∂𝑦
𝑖
2
+
∂2Ψ
∂𝑧𝑖
2 ) + 𝑉Ψ 𝑒𝑐𝑢. 1 
 
Donde ℏ es ℎ/2𝜋; 𝑖 ≡ √−1, m la masa de la partícula. La ecuación anterior es la 
ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo que relaciona la variación 
del tiempo, las tres coordenadas para n partículas y la energía potencial (V) que según 
sea el caso a tratar se debe especificar el sistema. En Química la más utilizada es la 
ecuación de onda de Schrödinger independiente del tiempo porque en los enlaces 
químicos, las propiedades moleculares y termodinámicas, reacciones químicas no 
necesitan tomar en consideración el tiempo, solo determinar la energía necesaria para 
suceder el fenómeno, por ello nos centraremos más en esta última. La ecuación de 
onda de Schödinger es una función compleja Ψ = 𝑓 + 𝑖𝑔, donde f y g son funciones reales 
dependientes de las coordenadas y el tiempo. 
 
¿Cómo podemos volver una función de onda de Schrödinger dependiente del tiempo 
en independiente del tiempo?. Lo primero que debemos de hacer es postular la función 
de onda de Schrödinger como una ecuación que multiplique las coordenadas del 
sistema (𝜓(𝑥)) y el tiempo (𝑓(𝑡)), además de volverla unidimensional (ecuación 2). 
 
𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑡)(𝜓(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 2 
 
La ecuación 2, puede incluirse en la ecuación 1, teniendo en cuenta su conversión a 
unidimensional (ecuación 3). 
 
−
ℏ
𝑖
∂Ψ
∂𝑡
= − 
ℏ2
2𝑚1
(
∂2Ψ
∂𝑥2
) + 𝑉Ψ (x) 𝑒𝑐𝑢. 3 
 
Si derivamos parcialmente la ecuación 2 con respecto al tiempo, luego dos veces con 
respecto a x, obtenemos. 
 
 
12 
 
∂2Ψ
∂𝑥2
= 𝑓(𝑡) (
𝑑2Ψ
d𝑥2
) 𝑦 
∂Ψ
∂𝑡
= 𝜓(𝑥)
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 
 
Sustituyéndose en 3, se obtiene la ecuación 4. 
−
ℏ
𝑖
𝜓(𝑥)
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= − 
ℏ2
2𝑚
𝑓(𝑡) (
𝑑2Ψ
d𝑥2
) + 𝑉Ψ (𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 4 
 
Si la ecuación 4, la dividimos por Ψ = 𝑓(𝑡)𝜓(𝑥), se obtiene (ecuación 5). 
−
ℏ
𝑖
1
𝑓(𝑡)
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= − 
ℏ2
2𝑚
(
1
𝜓(𝑥)
 
𝑑2𝛹
𝑑𝑥2
) + 𝑉 𝑒𝑐𝑢. 5 
Donde observamos que la suma requiere que sea unidades energéticas por la energía 
potencial, por ello la ecuación 5 se puede igualar a la energía. Por otra parte si 
observamos a ambos lados de la igualdad podemos evidenciar que cada termino es 
independiente del otro, es decir que la relación del lado izquierdo solo depende del 
tiempo y no de coordenadas, y viceversa, esto hace que cada uno vea al otro como 
constante, corroborando un principio de la mecánica cuántica al tomar la energía como 
constante o cuantizada teniendo solo valores determinados. Al igualar la ecuación 5 
con el término del tiempo obtenemos: 
−
ℏ
𝑖
1
𝑓(𝑡)
 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
= 𝐸 →
𝑑𝑓
𝑓
= (−
𝑖
ℏ
𝐸) 𝑑𝑡 
Al integrarla ambos lados, despejar 𝑓(𝑡) e introducir la constante de integración dentro 
de la función conseguimos (ecuación 6). 
 
𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑖𝐸𝑡/ℏ 𝑒𝑐𝑢. 6 
 
Ahora si igualamos E con el lado izquierdo de la ecuación 5, se logra: 
𝐸 = −
ℏ2
2𝑚
(
1
𝜓(𝑥)
 
𝑑2𝛹
𝑑𝑥2
) + 𝑉 → 𝐸𝜓(𝑥) = −
ℏ2
2𝑚
(
1
𝜓(𝑥)
 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
) + 𝑉𝜓(𝑥) 
 
 
13 
 
El paso anterior se obtiene multiplicándose en ambos lados por 𝜓(𝑥) . La ecuación 
anterior se denomina ecuación de Schródinger independiente del tiempo, la 
ecuación para n partículas en tres coordenadas se escribe como la ecuación 7. 
 
𝐸𝜓 =
ℏ2
2𝑚1
(
∂2Ψ
∂𝑥1
2 + 
∂2Ψ
∂𝑦1
2 +
∂2Ψ
∂𝑧1
2 ) − ⋯ − 
ℏ2
2𝑚1
(
∂2Ψ
∂𝑥𝑖
2 + 
∂2Ψ
∂𝑦𝑖
2 +
∂2Ψ
∂𝑧𝑖
2 ) + 𝑉Ψ 𝑒𝑐𝑢. 7 
 
La ecuación de onda de onda de Schrödinger dependiente del tiempo se puede escribir 
como la ecuación 8, donde los estados que cumplen esta relación se denominan 
estados estacionarios o de valor de energía cuantizado, esto no indica que la partícula 
se encuentre en reposo. 
Ψ = 𝑒
𝑖𝐸𝑡
ℏ 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑐𝑢. 8 
 
Con las ecuaciones anteriores se muestra cual es el principio en forma matemática de 
nuestro curso de química cuántica con las funciones de Schröringer. Las funciones que 
desarrollamos para poder describir un sistema y calcular sus propiedadesdeben 
cumplir que sean propias o eigenvectores (eigen palabra alemana que significa propio 
o puede utilizarse como característico), que son funciones que al aplicarse un operador 
no deben modificar su ecuación establecida, los valores propios o eigenvalores son 
constantes que resultan de aplicar a una función un operador, estas constantes indican 
en muchos casos propiedades medibles. 
 
Los operadores deben cumplir la relación (ecuación 9) que un operador (�̂�) sobre la 
función (𝑓(𝑥)) es igual a un valor propio (𝑘)con la misma función (𝑓(𝑥)). 
�̂�𝑓(𝑥) = 𝑘𝑓(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 9 
 
Toda aquella función que cumpla con la ecuación 9, se denomina propia de un operador 
que la transforme, y la constante que acompaña a la función luego de la igualación es 
un valor propio de la operación. 
 
 
14 
 
Ejercicios. 
 
Determinar si las siguientes funciones son propias del operador, y si es así determinar 
el valor propio. 
 
1. Para una caja unidimensional del operador hamiltoniano. 
2. Para una caja unidimensional del operador del momento en x. 
3. Para una caja unidimensional del operador posición. 
4. Para la función 𝜓 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑦 (donde A y k son constantes) del operador momento en y. 
 
Solución. 
 
1. La función de una caja unidimensional está dada por 𝜓 = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥); el operador 
hamiltoniano unidimensional es �̂� = −
ℏ2
2𝑚
(
𝑑2
𝑑𝑥2) + 𝑉 , siendo la energía potencial igual 
a cero para partículas confinadas en este espacio. Lo primero que debemos hacer es 
derivar dos veces la función seno debido al operador hamiltoniano. 
 
Primera derivada 
 
𝑑√2
𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋𝑥)
𝑑𝑥
= √
2
𝑎
𝑑 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎 )
𝑑𝑥
= √
2
𝑎
(
𝑛𝜋
𝑎
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 
Tomando en cuenta este resulta realizamos la segunda derivada 
𝑑√2
𝑎
(𝑛𝜋𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝑎 )
𝑑𝑥
= √
2
𝑎
(
𝑛𝜋
𝑎
)
𝑑 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎 )
𝑑𝑥
= −√
2
𝑎
(
𝑛𝜋
𝑎
)
2
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 
 
Ahora aplicando la relación (ecuación 9) para nuestro caso 
�̂� 𝜓 = 𝑎𝜓 
Remplazando 
 
 
15 
 
−
ℏ2
2𝑚
(
𝑑2
𝑑𝑥2
) √
2
𝑎
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) = −
ℏ2
2𝑚
(= −√
2
𝑎
(
𝑛𝜋
𝑎
)
2
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
))
=
ℏ2𝑛2𝜋2
2𝑚𝑎2
(√
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
)) 
Donde podemos ver que la función inicial es igual a la final, se cumple que sea función 
propia del operador hamiltoniano con valor propio de 
ℏ2𝑛2𝜋2
2𝑚𝑎2
 
 
2. La función de una caja unidimensional se muestra en el ejercicio anterior, el operador 
del momento en x es �̂�𝑥 =
ℏ
𝑖
∂
∂x
. Iniciamos derivándolo una vez por la operación 
matemática dentro del operador. 
 
La derivada es 
𝑑√2
𝑎 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎 )
𝑑𝑥
= √
2
𝑎
𝑑𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎 )
𝑑𝑥
= √
2
𝑎
(
𝑛𝜋
𝑎
) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 
 
Transforma la ecuación 9, para nuestro caso. 
�̂�𝑥𝜓 = 𝑎𝜓 
Sustituyendo 
ℏ
𝑖
∂
∂x
√
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) =
ℏ
𝑖
√
2
𝑎
(
𝑛𝑥
𝑎
) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) =
ℏ
𝑖
(
𝑛𝜋
𝑎
) (√
2
𝑎
𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
)) 
Al observar la relación, la función inicial de seno no se conserva, por lo tanto no es 
función propia del operador del momento, y por consecuencia no debe tener valor 
propio. 
 
 
16 
 
3. La función de una caja unidimensional se muestra en el primer ejercicio, el operador 
de la posición en equis es x, al escribir la ecuación 9 para este ejemplo. 
 
 
�̂�𝜓 = 𝑎𝜓 
 
Reemplazando 
 
𝑥√
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) = √
2
𝑎
𝑥𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 
 
 
Donde se evidencia que la función no es propia del operador posición por que la 
ecuación final cambia incluyéndose la variable equis, por consiguiente no tiene valor 
propio. 
 
 
4. El operador del momento en y es �̂�𝑦 =
ℏ
𝑖
∂
∂x
. Debemos iniciar derivándolo una vez con 
respecto a y, por el operador. 
 
 
Aplicando la ecuación 9 para nuestro caso. 
 
�̂�𝑥𝜓 = 𝑎𝜓 
 
Sustituyéndola 
 
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑦
(𝐴𝑒𝑖𝑘𝑦) =
ℏ
𝑖
(𝐴𝑖𝑘𝑒𝑖𝑘𝑦) =
ℏ𝑖𝑘
𝑖
(𝐴𝑒𝑖𝑘𝑦) = ℏ𝑘(𝐴𝑒𝑖𝑘𝑦) 
 
 
 
 
17 
 
Donde observamos que se simplifican las i, quedando la función inicial y final iguales, 
siendo propia del operador momento en y, con un valor propio de ℏ𝑘 . 
 
 
1.2 Propiedades de los operadores 
 
 
Los operadores se pueden definir como transformaciones matemáticas específicas 
sobre una función convirtiéndola en otra. Un ejemplo es el operador derivada (�̂�) que 
al aplicarse sobre una función (𝑓(𝑥)) la modifica, es decir: �̂�𝑓(𝑥) = 𝑓’(𝑥). Los 
operadores se representan por el acento circunflejo, además para que ellos sean 
aplicables en mecánica cuántica deben cumplir con la ecuación 9. 
 
 
Los operadores tiene propiedades útiles para su aplicación en desarrollo de varios 
procesos en la cuántica, como son los siguientes: 
 
 Adicción y sustracción de dos operadores (ecuación 10). Sean y dos operadores 
que al aplicar suma o resta de ellos sobre una función (𝑓(𝑥)) generan la operación 
individual de cada uno. 
 
(�̂� ± �̂�)𝑓(𝑥) = �̂�𝑓(𝑥) ± �̂�𝑓(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 10 
 
 Producto de dos operadores (ecuación 11). Sean y dos operadores que al aplicar 
el producto sobre una función(𝑓(𝑥)), se debe operar inicialmente el situado junto a 
la función (�̂�), luego al resultado emplear el operador situado a la izquierda (�̂�). 
 
 
�̂��̂�𝑓(𝑥) = �̂�[�̂�𝑓(𝑥)] 𝑒𝑐𝑢. 11 
 
 Cuadrado de un operador (ecuación 12). Sea �̂�2 el operador cuadrado que se define 
como un producto de sí mismo (�̂�2 = �̂��̂�), que al aplicarse sobre una función (𝑓(𝑥)), 
se asemeja al producto de operadores. 
 
 
 
18 
 
�̂�2𝑓(𝑥) = �̂�[�̂�𝑓(𝑥)] 𝑒𝑐𝑢. 12 
 
 Igualdad de operadores (ecuación 13). Sean y dos operadores que al aplicarse 
sobre una función (𝑓(𝑥)) , cada uno producen iguales resultados. 
 
�̂�𝑓(𝑥) = �̂�𝑓(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 13 
 
 Ley conmutativa de los operadores en la multiplicación (ecuación 14). Sean y dos 
operadores que al aplicarse sobre una función ( ), su resta debe ser igual a cero. 
 
[�̂�, �̂�]𝑓(𝑥) = �̂��̂�𝑓(𝑥) − �̂��̂� 𝑓(𝑥) = 0 𝑒𝑐𝑢. 14 
 
La ecuación 14 es muy importante en Química Cuántica porque con ello podemos saber 
si para una función determinada se pueden calcular al mismo tiempo varias 
propiedades. 
 
 Linealidad del operador (ecuación 15 y 16). Sea un operadores que al aplicarse 
sobre una función (𝑓(𝑥)), se debe cumplir que opere sobre cada función y las 
constantes pueden salir como producto anticipando el operador. 
 
 
�̂�[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥)] = �̂�𝑓(𝑥) + �̂�𝑔(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 15 
�̂�[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐�̂�𝑓(𝑥) 𝑒𝑐𝑢. 16 
 
En Química cuántica los operadores que correspondan a propiedades físicas, deben 
cumplir también la ecuación 15 y 16. 
 
 
 Hermítico. Un operador hermítiano es un operador lineal que coincide con su 
operador adjunto, él debe cumplir con la ecuación 17. Este es el último 
requerimiento que debe efectuar todo operador porque los valores propios de los 
hermíticos siempre generan números reales. 
 
 
19 
 
 
∫ 𝛹∗ �̂�𝛹 𝑑𝜏 = ∫ 𝛹(�̂�𝛹)
∗
 𝑑𝜏 𝑒𝑐𝑢. 17 
Ejercicios. 
 
Resolver aplicando la propiedad de operadores indicada. 
 
1. Si �̂� = 𝑥2, �̂� = 𝑑2/𝑑𝑥2; cual será el resultada de (�̂� + �̂�)(𝑒2𝑥 + 𝑥). 
 
2. Cuál será el valor de �̂�𝐵 ̂y �̂��̂� , utilizando los operadores y función del primer ejercicio, 
serán que son iguales (�̂��̂� = �̂��̂� ) 
 
3. Aplicar la propiedad de conmutación, decidiendo si lo hacen o no sobre los 
operadores y funciones del ejemplo 1. 
 
4. Serán que los operadores del momento y posición en x son hermíticos? 
 
Solución. 
 
1. En este ejercicio aplicamos la propiedad de suma y resta de operadores, para luego 
hacer propiedad distributiva. 
 
(𝑥2 +
𝑑2
𝑑𝑥2
) (𝑒2𝑥 + 𝑥)= 𝑥2(𝑒2𝑥 + 𝑥) + 𝑑2/𝑑𝑥2(𝑒2𝑥 + 𝑥) 
 
Luego derivamos dos veces con respecto a equis. 
 
𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥3 + 𝑑/𝑑𝑥 (2𝑒2𝑥 + 1) = 𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥3 + 4𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥3 
 
El resultado es 𝑒2𝑥(𝑥2 + 4) + 𝑥3 
2. Primero desarrollamos �̂��̂�(𝑒2𝑥 + 𝑥). 
 
(𝑥2)(𝑑2/𝑑𝑥2)(𝑒2𝑥 + 𝑥) 
 
 
20 
 
Derivando dos veces con respecto a equis 
 
(𝑥2)(𝑑2/𝑑𝑥2)(𝑒2𝑥 + 𝑥) = (𝑥2)(𝑑/𝑑𝑥)(2𝑒2𝑥 + 1) = 𝑥2(4𝑒2𝑥) = 4𝑥2𝑒2𝑥 
 
 
Ahora resolveremos el contrario �̂��̂�(𝑒2𝑥 + 𝑥) 
 
(𝑑2/𝑑𝑥2)(𝑥2)(𝑒2𝑥 + 𝑥) = (𝑑2/𝑑𝑥2)(𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥3) 
 
 
Luego lo derivamos, el primero como derivada de un producto. 
 
 
(𝑑2/𝑑𝑥2)(𝑥2𝑒2𝑥 + 𝑥3) = (𝑑/𝑑𝑥)(2𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑥2𝑒2𝑥 + 3𝑥2) 
 
 
Volvemos a derivar los dos primeros términos como derivada de un producto. 
 
 
(𝑑/𝑑𝑥)(2𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑥2𝑒2𝑥 + 3𝑥2)
= 2𝑒2𝑥 + 4𝑥𝑒2𝑥 + 4𝑥𝑒2𝑥 + 6𝑥 + 2𝑒2𝑥 + 8𝑥𝑒2𝑥 + 4𝑥2𝑒2𝑥 + 6𝑥 
 
Si igualamos las dos relaciones de los operadores tenemos. 
 
4𝑥2𝑒2𝑥 = 2𝑒2𝑥 + 8𝑥𝑒2𝑥 + 4𝑥2𝑒2𝑥 + 6𝑥 
No cumplen la igualdad. 
 
3. La propiedad de la conmutación nos dice que: 
 
[�̂�, �̂�](𝑒2𝑥 + 𝑥) = �̂��̂�(𝑒2𝑥 + 𝑥) − �̂��̂�(𝑒2𝑥 + 𝑥) = 0 
 
Tomando los resultados del ejercicio 2, podemos sustituir obteniendo. 
 
 
 
21 
 
[�̂�, �̂�](𝑒2𝑥 + 𝑥) = 4𝑥2𝑒2𝑥 − 2𝑒2𝑥 − 8𝑥𝑒2𝑥 − 4𝑥2𝑒2𝑥 − 6𝑥 = −2𝑒2𝑥 − 8𝑥𝑒2𝑥 − 6𝑥 
 
[�̂�, �̂�](𝑒2𝑥 + 𝑥) = −2𝑒2𝑥 − 8𝑥𝑒2𝑥 − 6𝑥 ≠ 0 
 
Por lo tanto no conmutan los operadores, significando que no se podría determinar a 
la misma vez ambas propiedades. 
 
 
4. Para evaluar el operador del momento en equis (�̂�𝑥 = 
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
), debemos utilizar la 
ecuación 17. Haciendo una función real unidimensional, que se comporta bien y se 
extiende en todo el espacio. 
 
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
�̂�𝑥𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
ℏ
𝑖
𝑑
𝑑𝑥
𝛹(𝑥)𝑑𝑥 =
ℏ
𝑖
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
𝑑𝛹(𝑥)
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 
 
 
Aplicando la fórmula de integración por partes(∫ 𝑢(𝑥) 
𝑑𝑢(𝑥) 
𝑑𝑥
= 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) |𝑎
𝑏 −
𝑏
𝑎
𝑣(𝑥) 
𝑑𝑢(𝑥) 
𝑑𝑥
 𝑑𝑥), siendo 𝑢(𝑥) = 𝛹(𝑥)
∗ y 𝑣(𝑥) = 𝛹(𝑥) 
 
 
ℏ
𝑖
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
𝑑𝛹(𝑥)
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 =
ℏ
𝑖
[𝛹(𝑥)
∗ 𝛹(𝑥)|−∞
∞ − ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
𝑑𝛹(𝑥)
∗
𝑑𝑥
𝑑𝑥 
 
 
Donde 𝛹(𝑥)
∗ 𝛹(𝑥) |−∞
∞ , se vuelve cero, anulándose por los dos lados del espacio, debido 
a que son cuadráticamente integrables, entonces: 
ℏ
𝑖
[𝛹(𝑥)
∗ 𝛹(𝑥)|−∞
∞ − ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
𝑑𝛹(𝑥)
∗
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
ℏ
𝑖
∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
𝑑𝛹(𝑥)
∗
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(
ℏ
𝑖
𝑑𝛹(𝑥)
∗
𝑑𝑥
 ) 𝑑𝑥 
 
∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(
ℏ
𝑖
𝑑𝛹(𝑥)
∗
𝑑𝑥
 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(�̂�𝑥𝛹(𝑥))
∗
 𝑑𝑥 
 
 
22 
 
Donde se comprueba el postulado hermítica, pudiendo decir que el operador del 
momento en equis lo es. 
 
 
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
�̂�𝑥𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(�̂�𝑥𝛹)∗ 𝑑𝑥 
 
Ahora para evaluar el operador posición equis, como �̂� = 𝑥, y es un valor real 
entonces la conjugada es también real, entonces 𝑥 = 𝑥∗ 
 
 
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
�̂� 𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
𝑥 𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
𝑥 𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(𝑥 𝛹(𝑥))
∗
𝑑𝑥 
 
Al igual que el anterior la función es aceptable, se extiende en todo espacio y es 
unidimensional, como cumple con la condición de hermíticidad el operador posición 
también lo es. 
 
∫ 𝛹(𝑥)
∗
∞
−∞
�̂� 𝛹(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝛹(𝑥)
∞
−∞
(𝑥 𝛹(𝑥))
∗
𝑑𝑥 
 
 
1.3 Operadores en Mecánica Cuántica 
 
Los operadores en mecánica cuántica tienen su correspondencia con las propiedades 
físicas que generan un observable. Unos de los primeros operadores es el del momento 
(p), que se define como la cantidad de movimiento, su representación en cuántica 
corresponde a la ecuación 18, donde se evidencia el momento en cada coordenada 
cartesiana. 
�̂�𝑥 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
; �̂�𝑦 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑦
; �̂�𝑧 =
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑧
 𝑒𝑐𝑢. 18 
 
 
El operador coordenada de una partícula es solo multiplicar la función por la variable x 
o y o z (ecuación 19). 
 
 
23 
 
 �̂� = 𝑥 ×; �̂� = 𝑦 × �̂� = 𝑧 × 𝑒𝑐𝑢. 19 
 
 
Donde × es el símbolo de multiplicación. Muchos de los operadores en mecánica 
cuántica se pueden representar de su homologo mecano clásico, convirtiendo este 
ultimo en términos de momentos y coordenadas para luego reemplazar por el 
equivalente cuántico, como es el caso del Hamiltoniano H [debido a William Rowan 
Hamilton (1805-1865), quien formulo la segunda ley de Newton en términos del 
Hamiltoniano], que es una expresión de energía en función de las coordenadas y 
momentos, para ello postulemos la energía del sistema de un partícula como la energía 
potencial y cinética: 
 
𝐸 = 𝐾 + 𝑉 =
1
2
𝑚 (𝑣𝑥
2 + 𝑣𝑦
2 + 𝑣𝑧
2) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
 
Si sabemos que 𝑝𝑥 = 𝑚𝑣𝑥; 𝑝𝑦 = 𝑚𝑣𝑦; 𝑝𝑧 = 𝑚𝑣𝑧; a la ecuación anterior la multiplicamos 
y dividimos por la masa al término correspondiente a la energía cinética, 
transformándola en la ecuación 20. 
 
𝐸 =
1
2𝑚
(𝑝𝑥
2 + 𝑝𝑦
2 + 𝑝𝑧
2) + 𝑉 (𝑥. 𝑦. 𝑧, 𝑡) = 𝐻 𝑒𝑐𝑢. 20 
 
 
Para convertir el operador hamiltoniano en operador mecanocuantico, debemos 
determinar el valor del momento cuadrado, a partir de la ecuación 18 y aplicando la 
propiedad de operador cuadrado (ecuación 12), obteniendo en x, y y z: 
 
�̂�𝑥
2𝑓 = (
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
) (
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑓 = −ℏ2
𝜕2
𝜕𝑥2
𝑓; �̂�𝑦
2𝑓 = −ℏ2
𝜕2
𝜕𝑦2
𝑓; �̂�𝑧
2𝑓 = −ℏ2
𝜕2
𝜕𝑧2
𝑓 
 
Donde al reemplazarlo en la ecuación 20, se convierte en (ecuación 21): 
 
 
 
24 
 
�̂� =
ℏ2
2𝑚
(
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
) + 𝑉 𝑒𝑐𝑢. 21 
 
También se puede expresar más reducida en términos del operador laplaciano 
(ecuación 22), quedando como la ecuación 23. 
 
∇2= 
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
 𝑒𝑐𝑢. 22 
 
�̂� =
ℏ2
2𝑚
∇2 + 𝑉 𝑒𝑐𝑢. 23 
Como el operador hamiltoniano se puede expresar para varias partículas quedaría 
expresado como (ecuación 24): 
 
 
�̂� =
ℏ2
2𝑚1
∇2
1 −
ℏ2
2𝑚2
∇2
2 −
ℏ2
2𝑚3
∇2
3 − ⋯ 
ℏ2
2𝑚𝑛
∇2
𝑛 + 𝑉 𝑒𝑐𝑢. 24 
 
Si la ecuación 24 se remplazara en 1 y 7, se convertiría la ecuación de onda de 
Schródinger dependiente del tiempo (ecuación 25) e independiente del tiempo 
(ecuación 26) en: 
 
 
−
ℏ2
𝑖
𝜕𝛹
𝜕𝑡
= �̂�𝛹 𝑒𝑐𝑢. 25 
 
�̂�𝜓 = 𝐸𝜓 o 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓 𝑒𝑐𝑢. 26 
 
La ecuación 26 permite simplificar la notación de la expresión para sistemas 
independientes del tiempo, y en el lenguaje utilizado es común que encontremos el 
hamiltoniano sin el acento circunflejo, esto no elimina su representación matemática, 
también existen otros operadores como los de momento angular, paridad, de 
intercambio, simetría, etc., que se verán más adelante en otras lecciones. El operador 
más importante en la mecánica cuántica es el operador hamiltoniano porque su 
operación sobre funciones, generan valores propios de energía del sistema. 
 
 
25 
 
1.4 Condiciones para aceptar funciones de onda 
 
La función de onda de Schrödinger dependiente e independiente del tiempo en un 
estado estacionario debe satisfacer las ecuaciones 1 y 7, pero además deben incluirse 
unas condiciones para poder obtener aceptar funciones que puedan postularse como 
𝜓 y𝜓, las cuales son: 
 
 La función debe ser univoca. Donde cada valor de x solo tendrá un correspondiente 
en y, en la figura 1a notamos una gráfica univoca donde para cada x hay un y, en la 
1b la correspondencia no es univoca por que para algunos valores de x, existen dos 
o más valores de y. Esta condición permite que la probabilidad sea un posible valor 
para cada posición. 
 
 
Figura 1. Grafica de una función univoca (1a), funciónno univoca (1b). 
 
 La función debe ser continua donde cada valor de x pueda tener su correspondiente 
y. Como se observa en la figura 2a la gráfica es continua en todos los puntos sin 
dar saltos entre ellos, a diferencia de la gráfica 2b que tiene en su representación 
un vacío representado por una discontinuidad entre valores. Esta condición permite 
que exista probabilidad en todos los puntos, además que las derivadas de dichas 
funciones sigan siendo continuas como sucede al aplicar el operador hamiltoniano. 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
Figura 2. Grafica continua (2a), grafica discontinua (2b). 
 
 La tercera y última condición es que sea cuadrado integrable. Esto indica que la 
integral evaluada en los intervalos de trabajo sea finita, en la figura 3a se percibe 
que la función es cuadrado integrable de −∞ 𝑎 ∞, a diferencia de 3b que es infinita 
cuando está en el mismo intervalo. Esta condición permite que las funciones sean 
normalizas para poder ajustar ecuaciones a diferentes sistemas mecano 
cuánticos. 
 
Figura 3. Función cuadrado integrable (3a), función no cuadrado integrable (3b) 
 
Las funciones de onda de cualquier operador que represente a una magnitud física 
deben cumplir las condiciones anteriores. Cuando la función satisface dichas 
condiciones se dice que se comporta bien o es aceptable. 
 
Ejercicios. 
 
Cuáles de las siguientes funciones de onda son aceptables cuales no, sustentar 
porque. 
 
 
 
27 
 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 − ∞ < 𝑥 < ∞ 
2. 𝑓(𝑥) = ±√𝑥, 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0 
 
3. 𝑓(𝑥) =
1
4−𝑥
, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 
 
4.𝑓(𝑥) =
1
4−𝑥
, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑥 ≤ 3 
 
Solución. 
 
1. No es aceptable por no ser cuadrado integrable, porque al integrarla en los límites 
indicados genera un valor de infinito. 
2. No es aceptable por no ser cuadrado integrable, porque al integrarla entre cero e 
infinito produce un valor infinito. 
3. No es aceptable por no ser continua, porque genera un salto en 4. 
4. Aceptable por que cumple las tres condiciones entre los intervalos de 0 y 3. 
 
 
1.5 Valores medios 
 
Un valor medio es el resultado promedio de las medidas realizadas sobre un sistema, 
los cuales están en el mismo estado inmediatamente antes de la medida. En cuántica 
se utiliza cuando una función no es propia del operador, produciendo un valor posible. 
La ecuación 27, representa la forma matemática de calcular el valor medio de una 
función normalizada (La normalización se realiza para que la probabilidad de encontrar 
una partícula en algún punto o todo el espacio debe ser uno o menor de la unidad), la 
ecuación para cálculos de funciones no normalizadas (ecuación 28), debe estar dividida 
por la multiplicación de funciones 
 
〈�̂�〉 = ∫ 𝜓∗ �̂�𝜓𝑑𝜏 𝑒𝑐𝑢. 27 
〈�̂�〉 =
∫ 𝜓∗ �̂�𝜓𝑑𝜏 
〈�̂�〉 = ∫ 𝜓∗ 𝜓𝑑𝜏 
 𝑒𝑐𝑢. 28 
 
 
 
28 
 
Donde representa el operador de la propiedad M, que se desea calcular, es la integral 
en todo el espacio, es decir 𝑑𝜏 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧. La función de onda del complejo conjugado 
(𝜓∗), es la conjugada de la función compleja donde se invierte el signo en el número 
imaginario. Ejemplos: 
 
𝜓 = 𝑓 + 𝑖𝑔, 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝜓∗ = 𝑓 − 𝑖𝑔 
 
𝜓 = 𝑒−𝑖𝑥 , 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝜓 = 𝑒𝑖𝑥 
 
𝜓 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝜓∗ = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
El último ejemplo se observa que la ausencia del numero imaginario hace que la 
función conjugada sea igual que la sin conjugar. 
 
Ejercicio. 
 
Calcular el valor medio de 〈𝑥〉 y 〈𝑝𝑥〉 para una partícula en una caja unidimensional en 
el estado estacionario. 
 
Solución. 
 
En el estado estacionario n=1. La función de onda para la partícula en una caja 
unidimensional es 𝜓 = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
), donde los límites de integración van de 0 a 𝑎. 
Como estamos en una dimensión 𝑑𝜏 = 𝑑𝑥, la conjugada de la función es la misma por 
la ausencia de números imaginarios(𝜓∗ = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
)) , luego aplicamos la ecuación 
26 por que la función de onda se encuentra normalizada. 
 
〈�̂�〉 = ∫ √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
) 𝑥√
2
𝑎
𝑎
0
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥, 
 
Como la integral es un operador la constante sale de la integral 
 
 
 
29 
 
〈�̂�〉 =
2
𝑎
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (
𝑛𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎
0
 
 
Donde se multiplico las funciones seno y se antepuso x. Luego a partir de la tabla de 
integrales donde: 
 
∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑏𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
4𝑏
 𝑠𝑒𝑛 (2𝑏𝑥) −
1
8𝑏2
𝑐𝑜𝑠 2𝑏𝑥 + 𝐶 
 
 
Reemplazando la formula anterior en el valor medio de 𝑥, haciendo 𝑏 =
𝜋
𝑎
 
 
 
Aplicando los intervalos de integración de a 0. 
 
〈�̂�〉 =
2
𝑎
[
𝑎2
4
−
02
4
− (
𝑎𝑥
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋0
𝑎
)) − (
𝑎2
8𝜋2
cos
2𝜋𝑎
𝑎
−
𝑎2
8𝜋2
 𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑎
𝑎
 )] 
 
 
Donde las funciones seno se hacen cero, los cosenos se anulan por que dan ambos 
la unidad positiva, quedando. 
 
〈�̂�〉 =
2
𝑎
[
𝑎2
4
] =
𝑎
2
 
 
Lo que significa que el valor promedio de la posición se encuentra en la mitad de la 
longitud. 
 
 
Ahora resolviendo con el 〈𝑝𝑥〉. 
 
〈𝑝�̂�〉 = ∫ √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑥
𝑎
) 
𝑎
0
ℏ
𝑖
 
𝜕
𝜕𝑥
 √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥 
 
 
 
30 
 
Saliendo las constantes de la integral 
 
〈𝑝�̂�〉 =
2ℏ
𝑎𝑖
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝑎
)
𝑎
0
𝜕
𝜕𝑥
 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝑎
) 𝑑𝑥 
 
Luego derivando seno, donde 𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 
 
 
〈𝑝�̂�〉 =
2ℏ
𝑎𝑖
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝑎
)
𝑎
0
𝜋
𝑎
cos (
𝑛𝜋
𝑎
) 𝑑𝑥 
 
Luego haciendo sustitución, siendo 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝑎
) y el 𝑑𝑢 =
𝜋
𝑎
𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
𝑎
) 𝑑𝑥 
 
〈𝑝�̂�〉 =
2ℏ
𝑎𝑖
∫ 𝑢 𝑑𝑢
𝑎
0
 
Como la integral de ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
+ 𝐶 
 
〈𝑝�̂�〉 =
2ℏ
𝑎𝑖
 (
𝑢2
2
) |𝑜
𝑎 
 
Sustituyendo u y evaluando los límites entre cero y a. 
 
〈𝑝�̂�〉 =
2ℏ
𝑎𝑖
(𝑠𝑒𝑛2
𝜋𝑎
𝑎
− 𝑠𝑒𝑛2
π0
𝑎
 ) 
 
La operación de los senos da cero. 
 
〈𝑝�̂�〉 = 0 
 
Lo que indica que la partícula puede moverse a ambos lados de igual equivalencia. Lo 
anterior enseña la forma matemática de aplicar los valores medio. 
 
 
 
 
 
31 
 
EJERCICIOS 
 
 
1. Escriba la ecuación de onda de Schrödinger dependiente e independiente del tiempo 
para los siguientes sistemas. 
 
a. Unidimensional tres partículas. 
b. Bidimensional dos partículas. 
c. Tridimensional cuatro partículas. 
 
2. Cuáles de las siguientes funciones 𝑠𝑒𝑛 3𝑥, 64𝑥, 5𝑥2,
1
𝑥
, 3𝑒−5𝑥, 𝑙𝑛2𝑥, 𝑡𝑎𝑛2 4𝑥 son propias 
del operador 𝑑2/𝑑𝑥2, para cada función determinar el valor propio si es función propia. 
 
3. Para las siguientes funciones decir si son propias del operador, y si lo son cual sería 
el valor propio de la misma. 
 
a. Operador hamiltoniano del oscilador armónico 〈�̂� = −
ℏ2
2𝑚
𝑑2
𝑑𝑥2
+
1
2
𝑘𝑥2〉, donde k es una 
constante) sobre el oscilador armónico esférico unidimensional en el estado 
fundamental, (𝜓 = (
𝛼
𝜋
)
1
4
𝑒
𝛼𝑥2
2 ) donde α es una constante. 
b. El operador posición en equis sobre la función del ejercicio 2a. 
c. El operador posición sobre la función del ejercicio 2a. 
 
4. Evalué si los siguientes operadores conmutan [�̂�, 𝑝�̂�], [�̂�, �̂�𝑥
2], [�̂�, �̂�𝑦], [�̂�, 𝑉(𝑥)],
[�̂�, 𝐻], [�̂�, 1̂], sobre una función 𝑓(𝑥). 
 
5. Los siguientes operadores y funciones son definidos como: 
 
�̂� =
𝜕
𝜕𝑥
, �̂� = 𝑠𝑒𝑛 ( ), �̂� =
1
( )
, �̂� = 10( ), �̂� = �̂�, �̂� = �̂�𝑥 , �̂� = �̂� 
𝑝 = 4𝑥3 − 2𝑥−2; 𝑞 = 3; 𝑟 = 25𝑥𝑦2; 𝑠 =
2𝜋𝑥
3
; 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋𝑥
𝑎
) ; 𝑢 = 4𝑒−𝑘𝑥 
 
 
 
 
32 
 
 
Evaluar. �̂�𝑝, �̂�𝑞, �̂�𝑠, �̂�𝑞, �̂��̂�𝑞, �̂��̂�𝑞, �̂��̂�𝑡 , �̂��̂�𝑢, (�̂� + �̂�)𝑝, (�̂� − �̂�)𝑠, (�̂� + �̂�)𝑢, (�̂� +
�̂�)𝑟, 𝐴2̂𝑡, 𝐶2̂𝑟, 𝐹2̂𝑢 
 
6. Clasifique los siguientes operadores en lineales o no 𝑑2/𝑑𝑥2, 2 𝑑/
𝑑𝑥2, 3𝑧2, ( )2, ( )∗, √ , 𝑒𝑥 , 𝑙𝑜𝑔 (), ∫ 𝑑𝑥 , ∑( ), �̂�, �̂�𝑥 
 
7. Demostrarque el operador hamiltoniano, momento cuadrado de equis son 
hermíticos. 
 
8. Cuáles de los siguientes operadores don hermíticos 
 
𝑑/𝑑𝑥 , 𝑖(𝑑/𝑑𝑥), 4(𝑑2/𝑑𝑥2), 𝑖 (𝑑2/𝑑𝑥2) 
 
9. Decir cuáles de las siguientes funciones son aceptables, si no lo son describir 
porque. 
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 
b. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ 
c.𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
d.𝛹(𝑥) = 𝑒−𝑥2
, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ 
e.𝛹(𝑥) = 𝑒𝑥2
, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞ 
f. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛4𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
g. 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0 
h. La siguiente función de forma gráfica. 
 
 
 
33 
 
i. La siguiente función de forma gráfica. 
 
 
10. Decir cuáles de las siguientes funciones se comportan bien entre el intervalo de −∞ 
a ∞. 
 
a.𝑒−𝑎𝑥2, donde a es una constante. 
b. 𝑒−𝑎𝑥2
, donde b es una constante. 
c.1/𝑥 
d. 1/|𝑥|4 
e. Verdadero o falso. Una función que toma un valor infinito en un punto no debe ser 
cuadráticamente integrable, justifique. 
 
11. Para una partícula en una caja unidimensional(𝜓 = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
)), determinar el 
valor medio de: 〈𝑥2̂〉, 〈𝑝2̂
𝑥
〉, 〈�̂�〉, 〈�̂�〉. Donde (�̂� = −
ℏ2
2𝑚
 𝑑2
𝑑𝑥2
 ) es llamado el operador de la 
energía cinética. 
 
12. Para la función propuesta en el 3, calcular el valor medio de 〈�̂�〉, 〈𝑥2̂〉, 〈�̂�𝑥〉, 〈𝑝2̂
𝑥
〉 y 
〈�̂�〉 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
CAPITULO DOS – MOMENTO ANGULAR 
 
Introducción 
 
El momento angular en mecánica cuántica describe la posición espacial que debe 
tenerse en cuenta para graficar partículas, como veremos en el átomo de hidrogeno las 
coordenadas cartesianas no son de mucha utilidad cuando esperamos dibujar orbitales, 
por ello se postuló convertirlas en coordenadas polares que ayudan a formar figuras en 
3D. Debido a esto el momento angular lo empleamos en diferentes áreas de la química 
porque forman los distintos orbitales, explicando su representación como: s (esféricos), 
p (lóbulos), etc. Lo anterior se aplica para sustentar reacciones, interacciones, 
propiedades moleculares, etc. 
 
Al igual que el momento angular orbital existe un momento intrínseco denominado espín 
que describe la parte interna de la partícula, esto ayudo a desarrollar instrumentación 
como la resonancia del espín electrónico, y poder desarrollar el cuarto numero cuántico 
que lleva su nombre. En esta unidad observaremos la construcción de los armónicos 
esféricos que representan en ecuaciones los momentos angulares para poder 
esquematizar la parte espacial de las partículas. 
 
2.1 Postulados de la Mecánica Cuántica 
 
La mecánica cuántica puede ser formulada en términos de seis postulados, estos 
proveen una estructura favorable para resumir los conceptos básicos, siendo aplicados 
ampliamente desde que fueron propuestos en 1930, en ningún caso se ha encontrado 
que el experimento este en conflicto con los resultados experimentales. A continuación 
los indicaremos. 
 
Postulado 1: El estado de un sistema mecano cuántico es completamente especificado 
por una función de onda 𝛹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) . La probabilidad que una partícula sea encontrada 
en un tiempo 𝑡0 en un intervalo espacial de amplitud 𝑑𝑥 centrado 𝑥0 en esta dada por 
𝛹∗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝛹 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝑑𝜏 . Además que la función 𝛹 debe comportarse bien. 
 
El primer postula hace referencia a que podemos describir cualquier fenómeno 
molecular con la función de onda de Schrödinger, haciendo una representación 
 
 
35 
 
matemática adecuada del sistema a estudiar, cumpliendo dichas ecuaciones con las 
condiciones de función de onda para que se comporte bien (sección 1.4). Como la 
función de onda puede ser compleja, negativa, positiva, etc., Max Born (físico y 
matemático alemán 1882-1970, nacido en Brelau-Polonia, ganador de premio nobel de 
física en 1952 por sus investigaciones fundamentales sobre la mecánica cuántica y, 
especialmente, por su interpretación estadística de las ondas) en 1926 propuso su 
aplicación como cálculo de la densidad de probabilidad (ecuación 28) de encontrar 
partículas en algún lugar del espacio, y como la máxima probabilidad que puede existir 
en un sistema es uno, sirvió para normalizar las funciones (ecuación 29). 
 
𝑃𝑟 = 𝛹∗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑑𝜏 = |𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2 = ∫ |𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2
𝑏
𝑎
𝑑𝜏 𝑒𝑐𝑢. 28 
 𝑁2 ∫ |𝛹∗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2𝑏
𝑎
𝑑𝜏 = 𝑁2 ∫ |𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2𝑏
𝑎
𝑑𝜏 = 1 𝑒𝑐𝑢. 29 
 
La explicación de porque |𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2tiene mayor utilidad, se debe a que al multiplicar 
la conjugada 𝛹∗ = 𝑓 − 𝑖𝑔por la función (𝛹 = 𝑓 + 𝑖𝑔) se elimina el número complejo, 
dejando funciones reales positivas aptas para describir un sistema, como se muestra a 
continuación: 
 
𝛹∗𝛹 = (𝑓 − 𝑖𝑔)(𝑓 + 𝑖𝑔) = 𝑓2 + 𝑖𝑔𝑓 − 𝑖𝑔𝑓 − 𝑖2𝑔2 = 𝑓2 + 𝑔2 
 
 
Ya que −𝑖2 = 1 La función de onda más aplicada en nuestro campo es la independiente 
del tiempo, observando con el remplazo de la ecuación 8 para un estado estacionario: 
 
|𝛹|2 = 𝛹∗𝛹 = 𝑒
𝑖𝜀𝑡
𝑘 𝜓∗𝑒
𝑖𝜀𝑡
𝑘 𝜓 = 𝑒
𝑖𝜀𝑡
𝑘 𝜓∗𝜓 = 𝑒0𝜓∗𝜓 = 𝜓∗𝜓 = |𝜓|2 
 
La relación obtenida |𝛹|2 = |𝜓|2, deduce que la probabilidad es constante con el 
tiempo, esto no implica que la partícula este en reposo. Ahora vamos a recordar 
normalizar y calcular probabilidades con el siguiente ejercicio. 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Ejercicio 
 
1. Normalizar la función de onda que describe el oscilador armónico unidimensional 
para el estado fundamental. 
2. Calcular la probabilidad para una caja unidimensional en el estado fundamental que 
se encuentre entre el intervalo[0,
1
2
𝑎 ]. . 
 
Solución 
 
1. Para normalizar una función hacemos uso de la ecuación 29, escrita de la forma 
independiente del tiempo. 
 
𝑁2 ∫ |𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2
𝑏
𝑎
 𝑑𝜏 = 1 
 
Como la función es el oscilador armónico unidimensional 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝜓(𝑥); 𝑑𝜏 = 𝑑𝑥, 
la ecuación que lo representa para el estado fundamental (𝑣 = 0)es 𝜓0 = 𝑐0𝑒−𝛼𝑥2/2 , 
donde 𝛼 y son constantes. La conjugada de la función es la misma por no tener 
números complejos, reemplazando en la ecuación anterior con intervalos de −∞ 𝑎 ∞ 
(los limites de integración del sistema), obtenemos: 
 
𝑐0
2 ∫ 𝑒−𝛼𝑥2/2 
𝑏
𝑎
𝑒−𝛼𝑥2/2 𝑑𝑥 = 𝑐0
2 ∫ 𝑒−𝛼𝑥2
𝑑𝑥 = 1
∞
−∞
 
 
Utilizamos la definición de funciones pares, para observar si la función es simétrica: 
 
𝑒−𝛼(𝑥)2= 𝑒^ − 𝛼𝑥2 
 
Como es par, cambiamos el límite de integración de 0 a −∞, anteponiendo el número 
dos: 
2 𝑐0
2 ∫ 𝑒−𝛼𝑥2
𝑑𝑥 = 1
∞
0
 
 
 
 
37 
 
Como es una integral definida de la forma ∫ 𝑒−𝑏𝑥2
𝑑𝑥 =
1
2
 (
𝜋
𝑏
)
1/2
 
∞
0
, sustituyendo 𝑏 = 𝛼 , 
y despejando 𝑐0conseguimos: 
 
2 𝑐0
2
1
2
 (
𝜋
𝛼
)
1/2
= 1 → 𝑐0 = (
𝛼
𝜋
)
1/4
 
 
Remplazando en la ecuación del oscilador armónico, queda la función normalizada: 
 
𝜓0 = (
𝛼
𝜋
)
1/4
𝑒𝛼𝑥2/2 
 
2. Para calcular la probabilidad de la partícula en una caja utilizamos la ecuación 28, 
modificada en términos de la función independiente del tiempo. 
 
𝑃𝑟 = 𝜓∗ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑑𝜏 = ∫ |𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)|2
𝑏
𝑎
𝑑𝜏 𝑒𝑐𝑢. 29 
 
 
Sustituyendo 𝜓 = √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝑎
)(función normalizada), con n=1 (por ser el estado 
fundamental), 𝑑𝜏 = 𝑑𝑥 (ser unidimensional), y la conjugada no varía por ausencia de 
números complejos, entonces: 
 
𝑃𝑟 = ∫ √
2
𝑎
𝑎/2
0
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝑥
𝑎
) √
2
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥 =
2
𝑎
∫ 𝑠𝑒𝑛2 (
𝑛𝑥
𝑎
) 𝑑𝑥
𝑎/2
0
 
 
Sustituyendo la integral de ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑏𝑥 =
𝑥
2
−
1
4𝑏
𝑠𝑒𝑛(2𝑏𝑥); siendo 𝑏 =
𝜋
𝑎
, obtenemos: 
 
𝑃𝑟 =
2
𝑎
{
𝑥
2
|0
𝑎
2 −
𝑎
4𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
2𝑛𝜋𝑥
𝑎
) |0
𝑎
2 } =
2
𝑎
{(
1
2 − 0
2
 ) −
𝑎
4𝜋
[𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋𝑎
2𝑎
) − 𝑠𝑒𝑛(0)]} 
 
 
38 
 
𝑃𝑟 =
2
𝑎
{
𝑎
2
2
−
𝑎
4𝜋
(0 − 0)} =
2
𝑎
(
𝑎
4
)=
1
2
 
 
La probabilidad que se encuentre en este intervalo es del 50%. 
 
Postulado 2: Para toda propiedad medible de un sistema en mecánica clásica, existe 
su correspondiente operador en mecánica cuántica que debe ser hermítico lineal. 
Siendo para la simulación teórica de un experimento la operación de la función de onda 
del sistema con el correspondiente operador. 
 
La discusión de los operadores se realiza en la sección 1.2 y 1.3; recordando que los 
valores propios de un hermitico siempre son reales, además que la linealidad sirve para 
aplicarla en capítulos posteriores en combinación lineales de funciones que simulan 
orbitales moleculares, propiedades de compuestos, etc. 
 
Postulado 3: En cualquier cálculo del observable que corresponde al operador �̂�, los 
únicos valores que pueden ser medidos son los eigenvalores del operador. 
 
Los valores propios que resultan de los operadores son productos numéricos reales 
que se asignan alguna propiedad específica cuando la función se comporta bien, el 
desarrollo más amplio de este postulado se trabaja en la sección 1.1. 
 
Postulado 4: Si el sistema es un estado descrito por una función de onda 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), 
y el valor del observable 𝑎 es medido cada vez en mucho sistemas idénticos, el valor 
promedio ( también llamado valor esperado) de todas las medidas está dado por: 
 
 
〈�̂�〉 =
∫ 𝛹∗�̂�𝛹𝑑𝜏
∫ 𝛹∗𝛹𝑑𝜏
 Para una función sin normalizar 
 
〈�̂�〉 = ∫ 𝛹∗�̂�𝛹𝑑𝜏 Para una función normalizada 
 
El valor medio de las funciones se desarrolla en la sección 1.5, que es la aplicación del 
anterior postulado. 
 
 
39 
 
Postulado 5: La evolución en el tiempo de un sistema mecano cuántico es gobernada 
por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo: 
 
�̂�𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = −
ℏ
𝑖
𝜕𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑡
 
 
La función de onda de Schrödinger que aplique a sistemas dependientes del tiempo 
utiliza la ecuación anterior, adecuada en el fundamento del análisis instrumental. 
 
Postulado 6: Si �̂� es cualquier operador hermítico lineal que representa un observable 
físico, entonces las funciones propias 𝑓𝑖, de �̂� forman un conjunto completo. 
 
El postulado anterior nos indica que varias funciones pertenecientes al mismo operador 
pueden ser representadas como una combinación lineal de ecuaciones (ecuación 30) 
con sus contribuciones (constantes), pudiendo construir átomos multielectrónicos, 
moléculas, etc. 
 
𝛹 = ∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖
 𝑒𝑐𝑢. 30 
 
2.2 Momento Angular para una partícula 
 
El momento angular de una partícula describe el movimiento a través del espacio, para 
poder desarrollarlo debemos traer su definición clásica (figura 4) convirtiéndola en 
cuántica, primero definimos el momento lineal (ecuación 31) que es la cantidad del 
movimiento descrita por la masa (magnitud escalar) y la velocidad (magnitud vectorial). 
Figura 4. Descripción clásica del momento 
angular (l), donde están perpendiculares el momento (p) y el radio (r). 
 
 
40 
 
𝑝 = 𝑚𝑣 𝑒𝑐𝑢. 31 
 
 
Ahora el momento lineal hace parte de la definición clásica del momento angular 
(ecuación 32), que describe un producto cruz del momento y el radio. 
 
𝑳 = 𝑟 × 𝑝 𝑒𝑐𝑢. 32 
 
Como el radio (𝒊𝑥 + 𝒋𝑦 + 𝒌𝑧)y el momento son magnitudes vectoriales, al aplicar la 
matriz en las tres dimensiones tenemos: 
 
𝑳 = |
𝒊 𝒋 𝒌
𝑥 𝑦 𝑧
𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧
| 
 
Obteniendo para cada dimensión (ecuación 39): 
 
𝑳𝒙 = 𝑦𝑝𝑧 − 𝑧𝑝𝑦, 𝑳𝒚 = 𝑧𝑝𝑥 − 𝑧𝑝𝑧, 𝑳𝒛 = 𝑥𝑝𝑦 − 𝑦𝑝𝑥 𝑒𝑐𝑢. 39 
 
 
Como en la sección 1.3, postulábamos que los operadores mecanocuanticos pueden 
lograrse de la sustitución de los operadores del momento (ecuación 18) y posición 
(ecuación 19), los reemplazamos en la ecuación 39 para cada dimensión, consiguiendo. 
 
 
�̂�𝒙 = 𝑦 (
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑧
) − 𝑧 (
ℏ
𝑖
𝜕
𝜕𝑦
) =
ℏ
𝑖
(𝑦
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) =
ℏ𝑖
𝑖𝑖
(𝑦
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) =
ℏ2
𝑖2
(𝑦
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) 
 
 
 
�̂�𝒙 = −𝑖ℏ (𝑦
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) 𝑒𝑐𝑢. 40 
�̂�𝒚 = −𝑖ℏ (𝑧
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
) 𝑒𝑐𝑢. 41 
�̂�𝒛 = −𝑖ℏ (𝑦
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑥
) 𝑒𝑐𝑢. 42 
 
 
41 
 
Como 𝑖2 = −1. Las ecuaciones 40 a 42 son las componentes del operador del momento 
angular en cada dirección, si escribimos el momento angular en términos de sus 
componentes quedaría. 
 
�̂� = �̂�𝒙 + �̂�𝒚 + �̂�𝒛 
 
El momento angular más útil es el cuadrado, por esto al multiplicar la relación anterior 
por si misma dos veces obtenemos (ecuación 43): 
 
�̂�𝟐 = �̂� ∙ �̂� = (�̂�𝒙 + �̂�𝒚 + �̂�𝒛)(�̂�𝒙 + �̂�𝒚 + �̂�𝒛) 
 
�̂�𝟐 = �̂�𝒙
𝟐 + �̂�𝒙�̂�𝒚 + �̂�𝒙�̂�𝒛 + �̂�𝒚�̂�𝒙 + �̂�𝒚
𝟐 + �̂�𝒚�̂�𝒛 + �̂�𝒛�̂�𝒙 + �̂�𝒛�̂�𝒚 + �̂�𝒛
𝟐 
 
�̂�𝟐 = �̂�𝒙
𝟐 + �̂�𝒚
𝟐 + �̂�𝒛
𝟐 𝑒𝑐𝑢. 43 
 
La multiplicación de las componentes en diferentes dimensiones se anulan por ser 
ortogonales (funciones que al multiplicar la función por el conjugado y estar en 
diferentes estados, la probabilidad que existe el suceso es cero). Ya definidos los 
momentos angulares y sus componentes, revisaremos si conmutan entre sí para poder 
determinar propiedades simultáneamente. Antes de evaluar utilizaremos las 
identidades de los conmutadores (tabla 1), que nos favorecen al aplicar los operadores. 
 
Tabla 1. Identidades de la conmutación en operadores. 
Identidad Evaluación 
Inversión [𝐴,̂ �̂�] = −[𝐵,̂ �̂�] 
Elevación a la n de operadores iguales [�̂�, �̂�𝑛] = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 = 1, 2, 3 … 
Constantes [k�̂�, �̂�] = [�̂�, 𝒌 �̂�] = 𝑘[�̂�, �̂�] 
Distributiva en suma 
[�̂�, �̂� + �̂�] = [�̂�, �̂�] + [�̂�, �̂�] 
[�̂� + �̂�, �̂�] = [�̂�, �̂�] + [�̂�, �̂�] 
Distributiva en multiplicación 
[�̂�, �̂��̂�] = [�̂�, �̂�]�̂� + �̂�[�̂�, �̂�] 
[�̂��̂�, �̂� = [�̂�, �̂�]�̂� + �̂�[�̂�, �̂�] 
 
 
42 
 
La conmutación de las componentes del momento angular, enunciaría la determinación 
simultánea de valores definidos en las tres dimensiones, para ello vamos a conmutar la 
componente x con y a una función f, de la siguiente forma: 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = �̂�𝒙�̂�𝒚𝒇 − �̂�𝒚�̂�𝒙𝒇 
 
Aplicando la ecuación 14, y sustituyendo las ecuaciones 40 y 41, producimos para 
�̂�𝒙�̂�𝒚𝑓: 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = �̂�𝒙(�̂�𝒚𝒇) = −𝒊ℏ (𝒚
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) [−𝒊ℏ (𝒛
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
)] 𝑓 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = 𝒊𝟐ℏ𝟐 (𝒚
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) (𝒛
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕
𝜕𝑧
) 
 
Como 𝑖2 = −1 y usando derivación parcial, tenemos. 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = −ℏ𝟐 [𝒚
𝜕
𝜕𝑧
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) − 𝒛
𝜕
𝜕𝑦
(𝒛
𝜕𝑓
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)] 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = −ℏ𝟐 [𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑧
− 𝒚𝒛
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
− 𝒚𝒙
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
− 𝒛𝟐
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
− 𝒛𝒙
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦𝜕𝑧
] 
 
Ahora para �̂�𝒚, �̂�𝒙𝒇 
[�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 = �̂�𝒚(�̂�𝒙𝒇) = −𝒊ℏ (𝒛
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕
𝜕𝑧
) [−𝒊ℏ (𝒚
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
)] 𝑓 
 
[�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 = 𝒊𝟐ℏ𝟐 (𝒛
𝜕
𝜕𝑥
− 𝑥
𝜕
𝜕𝑧
) (𝒚
𝜕
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕
𝜕𝑦
) 
 
[�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 = −ℏ𝟐 [𝒛
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑧
− 𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) − 𝒙
𝜕
𝜕𝑦
(𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
− 𝑧
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)] 
 
[�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 = −ℏ𝟐 [𝒛𝒚
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
− 𝒛𝟐
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
− 𝒙𝒚
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
− 𝒙
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝒛𝒙
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦𝜕𝑧
] 
 
 
 
43 
 
Sustituyendo los resultados en [�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 , luego aplicando la relación 
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
 que es 
válida para homólogos en funciones que se comportan bien, obtenemos: 
 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = −ℏ𝟐 [𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑧
− 𝒚𝒛
𝜕2𝑓
𝜕𝑧𝜕𝑥
− 𝒚𝒙
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
− 𝒛𝟐
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
− 𝒛𝒙
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦𝜕𝑧
] 
 
+ℏ𝟐 [𝒛𝒚
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑧
− 𝒛𝟐
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
− 𝒙𝒚
𝜕2𝑓
𝜕𝑧2
− 𝒙
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝒛𝒙
𝜕2𝑓 
𝜕𝑦𝜕𝑧
] 
 
 
Eliminando términossemejantes, queda: 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = −ℏ𝟐 (𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
− 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 
 
Al multiplicar y dividir por 𝑖2, ingresar el signo en el paréntesis y separarlo, nos enseña. 
 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = −
𝑖2ℏ2
𝑖2
(𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
− 𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) =
𝑖ℏ𝑖ℏ
𝑖2
(𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) 
Aplicando la equivalencia de 𝑖2 , y observando que la relación anterior es similar a la 
componente del momento angular en z, se produce la siguiente expresión (ecuación 
44) eliminando la función f: 
 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚]𝒇 = 𝑖ℏ𝑖ℏ (𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) = 𝑖ℏ [𝑖ℏ (𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑧
)] = 𝒊ℏ�̂�𝒛𝒇 
 
 
[�̂�𝒙, �̂�𝒚] = 𝒊ℏ�̂�𝒛 𝑒𝑐𝑢. 44 
 
Como la ecuación 44 relaciona dos componentes, podemos con la simetría de las 
ecuaciones 40 a 42, y aplicando el concepto de permutación cíclica (cambio de 
 
 
44 
 
variables en secuenciales 𝑥 → 𝑦; 𝑦 → 𝑧; 𝑧 → 𝑥), obtener [�̂�𝒚, �̂�𝒛] (ecuación 45) y [�̂�𝒛, �̂�𝒙] 
(ecuación 46). 
 
[�̂�𝒚, �̂�𝒛] = 𝒊ℏ�̂�𝒙 𝑒𝑐𝑢. 45 
 
[�̂�𝒛, �̂�𝒙] = 𝒊ℏ�̂�𝒚 𝑒𝑐𝑢. 46 
 
 
Ya observado las conmutaciones entre las componentes podemos determinar cuál será 
su valor con el momento angular cuadrado, para esto utilizamos la ecuación 41 de la 
componente x, con la ecuación 43 del momento angular cuadrado, obteniendo. 
 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = [�̂�𝒙
𝟐 + �̂�𝒚
𝟐 + �̂�𝒛
𝟐, �̂�𝒙
𝟐]𝒇 
 
Aplicando la propiedad de distributiva en suma (tabla 1). 
 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = [�̂�𝒙
𝟐, �̂�𝒙]𝒇 + [�̂�𝒚
𝟐, �̂�𝒙]𝒇 + [�̂�𝒛
𝟐, �̂�𝒙]𝒇 
 
El primer término se elimina por elevación a la n de operadores iguales (tabla 1), 
quedando. 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = [�̂�𝒚
𝟐, �̂�𝒙]𝒇 + [�̂�𝒛
𝟐, �̂�𝒙]𝒇 
 
Separando el cuadrado del operador del componente x y y, para aplicar la propiedad 
distributiva en multiplicación de conmutadores (tabla 1), resulta: 
 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = [�̂�𝒚�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 + [�̂�𝒛�̂�𝒛, �̂�𝒙]𝒇 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = [�̂�𝒚, �̂�𝒙]�̂�𝒚𝒇 + �̂�𝒚[�̂�𝒚, �̂�𝒙]𝒇 + [�̂�𝒛, �̂�𝒙]𝒇 + �̂�𝒛[�̂�𝒛, �̂�𝒙]𝒇 
 
 
 
45 
 
Aplicando la propiedad de inversión (tabla 1) en los dos primeros conmutadores, y luego 
reemplazar las ecuaciones 44 y 46, conseguimos: 
 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = − 𝒊ℏ�̂�𝒛�̂�𝒚𝒇 − �̂�𝒚𝒊ℏ�̂�𝒛𝒇 + [�̂�𝒛, �̂�𝒙]�̂�𝒛𝒇 + �̂�𝒛[�̂�𝒛, �̂�𝒙]𝒇 
 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = − 𝒊ℏ�̂�𝒛�̂�𝒚𝒇 − �̂�𝒚𝒊ℏ�̂�𝒛𝒇 + 𝒊ℏ�̂�𝒚�̂�𝒛𝒇 + �̂�𝒛𝒊ℏ�̂�𝒚𝒇 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = − 𝒊ℏ�̂�𝒛�̂�𝒚𝒇 − 𝒊ℏ�̂�𝒚�̂�𝒛 + 𝒊ℏ�̂�𝒚�̂�𝒛𝒇 + 𝒊ℏ�̂�𝒛�̂�𝒚𝒇 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒙 ]𝒇 = 0 𝑒𝑐𝑢. 47 
 
Si aplicamos permutación cíclica a la ecuación 47, el momento angular no se altera, 
logrando (ecuación 48 y 49): 
 
[�̂�𝟐, �̂�𝒚 ]𝒇 = 0 𝑒𝑐𝑢. 48 
[�̂�𝟐, �̂�𝒛 ]𝒇 = 0 𝑒𝑐𝑢. 49 
 
De lo anterior podemos afirmar que en mecánica cuántica podemos conocer 
simultáneamente de un sistema los valores definidos del momento angular y solo una 
de sus componentes, a diferencia de mecánica clásica que podemos especificar el total 
y cada coordenada, para determinar las funciones que representan a cada operador 
debemos transformar las coordenadas cartesianas en polares (ecuaciones 50-52), 
obteniendo ecuaciones separables, para ello debemos recordar que: 
 
𝑥 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 cos 𝜙 𝑒𝑐𝑢. 50 
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑒𝑐𝑢. 51 
𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑒𝑐𝑢. 52 
 
Aplicando las ecuaciones 50 a 52 en 40 a 43, haciendo derivación parcial con regla de 
la cadena y por ultimo sustituyendo, logramos (ecuaciones 53 a 56): 
 
 
 
46 
 
�̂�𝒙 = − 𝒊ℏ (𝑠𝑒𝑛 𝜙
𝜕
𝜕𝜃
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝜕
𝜕𝜙
) 𝑒𝑐𝑢. 53 
�̂�𝒚 = − 𝒊ℏ (𝑐𝑜𝑠 𝜙
𝜕
𝜕𝜃
+ 𝑐𝑜𝑡 𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜙
𝜕
𝜕𝜙
) 𝑒𝑐𝑢. 54 
 �̂�𝒛 = − 𝒊ℏ
𝜕
𝜕𝜙
 𝑒𝑐𝑢. 55 
�̂�𝟐 = − ℏ𝟐 (
𝜕2
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃 
𝜕
𝜕𝜃
+
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
) 𝑒𝑐𝑢. 56 
 
 
En mecánica cuántica por lo general se postula el momento angular cuadrado y su 
componente z, este último por ser la ecuación menos compleja de las tres coordenadas, 
además que nos servirán en la deducción de algunos números cuánticos. 
 
2.3 Armónicos esféricos. 
 
Los armónicos esféricos son funciones armónicas que representan la variación espacial 
de un conjunto ortogonal de soluciones de la ecuación de Laplace (derivadas parciales 
continuas de segundo orden que son independientes del tiempo) cuando se expresa en 
coordenadas esféricas, además estas funciones proporcionan un medio adecuado para 
describir deformaciones de una superficie esférica y, por tanto, pueden utilizarse para 
representar la forma angular de las funciones de ondas. 
Las ecuaciones que representan los armónicos esféricos dependen de los ángulos 𝜃 y 
𝜙 , y se aplican a los operadores del momento angular y su componente en z, siendo 
la ecuación 57 quien la simboliza como un producto de dos funciones que depende 
cada una de forma independiente del ángulo 𝜃 y ángulo 𝜙. 
 
𝑌(𝜃, 𝜙) = 𝑆(𝜃)𝑇(𝜙) 𝑒𝑐𝑢. 57 
 
 
Empleando la componente del momento angular z sobre 57, conseguimos la siguiente 
ecuación de valores propios: 
 
�̂�𝒛𝑌(𝜃, 𝜙) = 𝑏𝑌(𝜃, 𝜙) 
 
 
 
47 
 
Si sustituimos la ecuación 55 en la relación anterior, conseguimos: 
 
− 𝒊ℏ
𝜕
𝜕𝜙
𝑆(𝜃)𝑇(𝜙) = 𝑏 𝑆(𝜃)𝑇(𝜙) 
 
Como 𝑆(𝜃) es constante con respecto a 𝜙 sale de la derivada. 
 
− 𝒊ℏ𝑆 (𝜃) 
𝑑𝑇(𝜙)
𝑑(𝜙)
= 𝑏𝑆(𝜃)𝑇(𝜙) 
 
Haciendo separación de variables. 
 
 
𝑑𝑇(𝜙)
𝑑(𝜙)
=
𝑏𝑆(𝜃)
𝒊ℏ𝑆(𝜃)
𝑑(𝜙) = −
𝑖𝑏
𝑖𝑖ℏ
𝑑(𝜙) = −
𝑖𝑏
𝑖2ℏ
𝑑(𝜙) =
𝑖𝑏
ℏ
𝑑(𝜙) 
 
 
Integrando. 
 
∫
𝑑𝑇(𝜙)
𝑇 (𝜙)
= ∫
𝑖𝑏
ℏ
𝑑(𝜙) =
𝑖𝑏
ℏ
∫ 𝑑(𝜙) 
𝐿𝑛𝑇(𝜙) =
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙) + 𝐶 
 
Despejando 𝑇 (𝜙). 
 
𝑒𝐿𝑛𝑇(𝜙) = 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)+𝐶
 
 
𝑇(𝜙) = 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
𝑒𝐶 
 
Como 𝑒𝐶 = 𝐴, entonces: 
 
 
𝑇(𝜙) = 𝐴 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
 𝑒𝑐𝑢. 58 
 
 
48 
 
La ecuación 58, es un inicio de la función propia para la componente z del momento 
angular, para ello debemos colocar una restricción que al agregar un factor no debe 
variar T, por eso adicionamos 2π a Ф, para encontrar el mismo punto en el espacio, 
quedando: 
 
𝑇 (𝜙 + 2𝜋) = 𝑇(𝜙) 
 
 
Esta relación demuestra que no varía la función, al sustituir 58, obtenemos: 
 
𝐴 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
𝑒
2𝜋𝑖𝑏
ℏ = 𝐴 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
 
 
𝑒
2𝜋𝑖𝑏
ℏ =
𝐴 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
𝐴 𝑒
𝑖𝑏
ℏ
(𝜙)
= 1 
 
Sustituyendo con la relación 𝑒𝑖𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1 , tomando a 𝛼 = 2𝜋𝑚, por que 2𝜋 
en la función seno la anula y en el coseno vale uno, existiendo m números enteros 
positivos y negativos útiles para sustituir, como: 
 
𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3 … 
 
Los valores anteriores de m cumplen con la relación anterior. Al igualarla con el 
numerador junto a del exponencial, produciríamos: 
 
2𝜋𝑏
ℏ
= 2𝜋𝑚 
 
Despejando b. 
 
𝑏 = 𝑚ℏ con 𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3 … 
 
Al reemplazarlo en 58, origina (ecuación 59): 
 
𝑇(𝜙) = 𝐴 𝑒
𝑖𝑚ℏ
ℏ
(𝜙)
= 𝐴𝑒𝑖𝑚𝜙 𝑒𝑐𝑢. 59 
 
 
49 
 
La ecuación anterior genera valores propios cuantizados. Utilizando la ecuación 29 y 
60, normalizaremos la función 59, de la siguiente manera: 
 
 
𝑑𝜏 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑒𝑐𝑢. 60 
 
 
Solo utilizando el diferencial de 𝜃, con un intervalo de integración de 0 a 2𝜋. 
 
1 = ∫ (𝐴𝑒𝑖𝑚𝜙)
∗
𝐴𝑒𝑖𝑚𝜙
2𝜋
0
 𝑑𝜙 = 𝐴2 ∫ 𝑒−𝑖𝑚𝜙 𝑒𝑖𝑚𝜙 𝑑𝜙
2𝜋
0
= 𝐴2 ∫ 𝑒0
2𝜋
0
𝑑𝜙 = 𝐴2 ∫ 𝑑𝜙
2𝜋
0
 
 
𝐴2 ∫ 𝑑𝜙
2𝜋
0
= 𝐴2𝜙|0
2𝜋 = 𝐴2(2𝜋 − 0) = 2𝜋𝐴2 = 1 
 
𝐴2 =
1
2𝜋
, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 =
1
√2𝜋
 
 
El valor de A normaliza la función, sustituyéndola en 59, queda. 
𝑇(𝜙) =
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 = 0, ±1, ±2, ±3 … 𝑒𝑐𝑢. 61 
 
La ecuación 61 representa la función propia para el operadordel componente z, con 
valores cuantizados (m). Ahora resolveremos el momento angular cuadrado con la 
ecuación 57, sustituyendo 56, genera: 
 
�̂�𝟐𝒀(𝜃, 𝜙) = 𝒄𝒀 (𝜃, 𝜙) 
 
−ℏ𝟐 (
𝜕2
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃 +
1
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2
𝜕𝜙2
) 𝑆(𝜃) 𝑇(𝜙) = 𝑐𝑆 (𝜃)𝑇(𝜙) 
 
 
Separando las segundas derivadas del lado izquierdo y operando: 
 
 
 
 
50 
 
−ℏ𝟐
𝑇(𝜙) 𝜕2𝑆(𝜃)
𝜕𝜃2
− ℏ𝟐 𝑇(𝜙) 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆(𝜃)
𝜕𝜃
− ℏ𝟐
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝜕2𝑇(𝜙)
𝜕𝜙2
= 𝑐𝑆(𝜃)𝑇(𝜙) 
 
Reemplazando la ecuación 61, y rescribiendo S sin 𝜃, quedaría: 
 
−ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
− ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− ℏ𝟐
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 𝜕2 (
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙)
𝜕𝜙2
 = 𝑐𝑆(𝜃)
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙 
 
Derivando, sustituyendo 𝑖2 = −1 , extrayendo el factor común y cancelando, 
producimos. 
 
−ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
− ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑖𝑚𝜕(𝑒𝑖𝑚𝜙)
𝜕𝜙
 = 𝑐𝑆(𝜃)
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙 
 
−ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
− ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
𝑖2𝑚2𝑒𝑖𝑚𝜙 = 𝑐𝑆(𝜃)
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙 
−ℏ𝟐
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙 (
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− 𝑚2
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
) = 𝑐𝑆(𝜃)
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙 
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− 𝑚2
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 =
𝑐𝑆(𝜃)
1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙
−ℏ𝟐 1
√2𝜋
𝑒𝑖𝑚𝜙
 
𝜕2𝑆
𝜕𝜃2
+ 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝜕𝑆
𝜕𝜃
− 𝑚2
𝑆(𝜃)
𝑠𝑒𝑛2𝜃
 = −
𝑐𝑆(𝜃)
ℏ𝟐
 𝑒𝑐𝑢. 62 
 
 
La ecuación 62 se resuelve haciendo regla de la cadena, doble sustitución y serie de 
potencias. Obteniendo la relación de recurrencia (ecuación 63) que expresa la relación 
de constantes en términos de otras. 
 
𝑎𝑗+2 =
[(𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) −
𝑐
ℏ𝟐]
(𝑗 + 1)(𝑗 + 2)
𝑎𝑗 𝑒𝑐𝑢. 63 
 
 
 
51 
 
𝑎𝑗 y 𝑎𝑗+2, son constantes de la serie de potencia par e impar, j es una constante entera 
positiva que va 0, 1, 2, 3, …; m es el numero cuántico de la ecuación 61, c valor propio 
del operador del momento angular cuadrado. Ahora vamos a truncar la ecuación 63, 
esto se hace para tener un número finito de términos volviendo 𝑎𝑗+2 = 0, quedando: 
 
0 =
[(𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) −
𝑐
ℏ𝟐]
(𝑗 + 1)(𝑗 + 2)
𝑎𝑗 
 
Despejando c, de la ecuación anterior. 
 
0 = (𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) −
𝑐
ℏ𝟐
 
𝑐
ℏ𝟐
= (𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) 
𝑐 = ℏ𝟐(𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) 
 
Si hacemos la relación de las dos constantes j y m, tenemos otro número cuántico, de 
la siguiente forma (ecuación 64): 
 
𝑙 = 𝑗 + |𝑚| 𝑒𝑐𝑢. 64 
Donde 𝑙, toma valores de 0, 1, 2, 3,…; luego sustituimos 64 en c, proporcionando: 
 
𝑐 = ℏ𝟐𝑙(𝑙 + 1) 𝑒𝑐𝑢. 65 
 
Aplicando los valores de c (ecuación 65) y b (𝑚ℏ) , en la ecuación de valores propios 
de momento angular cuadrado y su componente en z, generamos: 
 
 
�̂�𝟐𝒀(𝜃, 𝜙) = 𝒄𝒀(𝜃, 𝜙) → �̂�𝟐𝒀(𝜃, 𝜙) = ℏ𝟐𝒍(𝒍 + 𝟏)𝒀(𝜃, 𝜙) 
 
�̂�𝒛𝒀(𝜃, 𝜙) = 𝒃𝒀(𝜃, 𝜙) → �̂�𝒛𝒀(𝜃, 𝜙) = 𝑚ℏ(𝜃, 𝜙) 
 
Eliminando los armónicos esféricos obtenemos los módulos del momento angular 
(ecuación 66) y su componente en z (ecuación 67). 
 
 
 
52 
 
�̂�𝟐 = ℏ𝟐𝑙(𝑙 + 1) → |𝐿| = √𝑙(𝑙 + 1)ℏ 𝑒𝑐𝑢. 66 
 
�̂�𝒛 = 𝑚ℏ 𝑒𝑐𝑢. 67 
 
Como 𝑚 y 𝑙 y son números cuánticos su relación está definida como 𝑙 ≥ 𝑚, si en 64 
volvemos a j cero, quedaría: 
 
𝑚 = ±𝑙 𝑒𝑐𝑢. 68 
 
La ecuación 68 es una relación importante en los números cuánticos, donde se predice 
que m varia más o menos 𝑙. Ahora determinaremos las funciones propias para el 
momento angular que satisfagan la ecuación de valores propios de la misma, para ello 
debemos utilizar la solución de la ecuación 62 que concibe una función en términos de 
los números cuánticos, sumatoria de funciones y relación de recurrencia, 
proporcionando (ecuación 69): 
𝑆𝑙,𝑚(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛|𝑚| (𝜃) ∑ 𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑗 𝜃
𝑙−|𝑚|
𝑗=1,𝑎…
𝑜 𝑗=0,2…
 𝑒𝑐𝑢. 69 
La sumatorio de la ecuación anterior puede ser par o impar según sea el caso 
determinado por 𝑙 − |𝑚|, si aplicamos la ecuación 65 en 63, obtendríamos: 
(ecu. 70) 
𝑎𝑗+2 =
[(𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) −
ℏ𝟐𝑙(𝑙 + 1)
ℏ𝟐 ]
(𝑗 + 1)(𝑗 + 2)
𝑎𝑗 
 
𝑎𝑗+2 =
[(𝑗 + |𝑚|)(𝑗 + |𝑚| + 1) − 𝑙(𝑙 + 1)]
(𝑗 + 1)(𝑗 + 2)
𝑎𝑗 𝑒𝑐𝑢. 70 
 
La ecuación 70 es la relación de recurrencia útil para 69. Remplazando 61 y la expresión 
de S (ecuación 69) en la 57, los armónicos esféricos se formularían de la siguiente 
forma (ecuación 71): 
 
𝑌𝑙
𝑚(𝜃, 𝜙) = 𝑆𝑙,𝑚(𝜃)𝑇𝑚(𝜙) =
1
√2𝜋
𝑆𝑙,𝑚(𝜃)𝑒𝑖𝑚𝜙 𝑒𝑐𝑢. 71 
Donde la expresión anterior se dice que está cuantizada por los números 𝑚 y 𝑙. 
 
 
53 
 
 
Ejercicio. 
 
Determine los armónicos y valores propios para. 
1. 𝑙 = 0 
2.𝑙 = 1 
 
Solución 
 
1. Como 𝑙 = 0 , el valor de 𝑚 = ±𝑙 = ±0 = 0 según la ecuación 68 y 𝑗 = 0 aplicando 64, 
luego remplazamos en 69, obteniendo: 
 
𝑆0,0(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛|0|(𝜃) ∑ 𝑎0 𝑐𝑜𝑠0 𝜃
0−|0|
𝑗=0
 
 
Como todo exponente elevado a la cero es igual a uno, se eliminan varios términos de 
la ecuación anterior quedando sumatoria de una constante. 
𝑆0,0(𝜃) = ∑ 𝑎0 =
0
𝑗=0
𝑎0 
 
Luego normalizamos a S utilizando la ecuación 60 en términos de 𝜃, y con intervalo de 
integración de 0 a π 
∫ 𝑆∗𝑠𝑒𝑛
π
0
𝜃𝑑𝜃 = 1 
 
Como la conjugada y la función no contienen números complejos, no varía la ecuación. 
 
∫ 𝑎0𝑎0 𝑠𝑒𝑛
π
0
𝜃𝑑𝜃 = 1 → 𝑎0
2 ∫ 𝑠𝑒𝑛
π
0
𝜃𝑑𝜃 = 1 
 
Como la integral de seno es coseno. 
 
1 = 𝑎0
2 𝑐𝑜𝑠𝜃|0
π = 𝑎0
2 (𝑐𝑜𝑠π − cos0) = 𝑎0
2 [1 − (−1)] = 𝑎0
2 (2) 
 
 
 
54 
 
1
2
= 𝑎0
2 → 𝑎0 = √
1
2
 
 
 
Por último sustituyendo en 71, proporciona: 
 
𝑌0
0 (𝜃, 𝜙) = 𝑆0,0(𝜃) 𝑇0(𝜙) =
1
√2𝜋
√
1
2
𝑒𝑖0𝜙 =
1
√4𝜋
𝑒0 =
1
√4𝜋
 
 
𝑌0
0 (𝜃, 𝜙) =
1
√4𝜋
 
 
Como observamos la ecuación no depende de ángulos, concibiendo una simetría 
esférica. Los cálculos de los valores propios se proporcionan aplicando 66 y 67, para 
ambos casos dan cero por qué 𝑚 y 𝑙 son cero. 
 
2. Con 𝑙 = 1 , los valores de 𝑚 = ±1, es decir𝑚 = −1, 0, +1. Iniciando con 𝑚 = 0, el 
número de 𝑗 = 1 (ecuación 64), expresamos 69 de la siguiente forma: 
 
 
𝑆1,0(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛|0|(𝜃) ∑ 𝑎1 cos1 𝜃
1−|0|
𝑗=1
= ∑ 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝜃
1
𝑗=1
= 𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
 
Normalizando la función como el ejercicio a, con función conjugada igual a la función 
sin conjugar, quedaría: 
 
1 = ∫ 𝑆∗
𝜋
0
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ (𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝜃)(𝑎1 𝑐𝑜𝑠 𝜃)𝑠𝑒𝑛
𝜋
0
 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎0
2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑠𝑒𝑛 
𝜋
0
𝜃 𝑑𝜃 
 
 
Haciendo sustitución, 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃, expresaríamos: 
 
 
 
 
55 
 
1 = 𝑎0
2 ∫ 𝑢2𝑑𝑢 = 
𝜋
0
−
𝑎0
2𝑢2
𝑎
|𝑜
𝜋 = −
𝑎0
2𝑐𝑜𝑠2𝜃 
3
|𝑜
𝜋 = −𝑎0
2 (
𝑐𝑜𝑠3 𝜋 
3
−
𝑐𝑜𝑠3 0 
3
) = 𝑎0
2 (−
1
3
−
1
3
) 
 
1 =
2𝑎0
2
3
→
3
2
= 𝑎0
2 → √
3
2
= 𝑎0 
La función de S, seria: 
𝑆1,0(𝜃) = √
3
2
 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Reemplazando en 71. 
 
𝑌𝑙
0(𝜃, 𝜙) = 𝑆1,0(𝜃)𝑇0(𝜙) =
1
√2𝜋
√
3
2
 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒𝑖0𝜙 = √
3
4𝜋
 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒0 = √
3
4𝜋
 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
𝑌𝑙
0(𝜃, 𝜙) = √
3
4𝜋
 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Siendo los valores propios 𝑳𝑧 = 0, 𝑳 = √𝟐ℏ. Resolviendo ahora para 𝑚 ± 1, con 𝑗 = 0 
produciríamos: 
 
𝑆1,0(𝜃) = 𝑠𝑒𝑛|±1|(𝜃) ∑ 𝑎0
1−|±1|
𝑗=0
cos0 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∑ 𝑎0 =
0|
𝑗=0
𝑎0 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
Normalizando: 
 
1 = ∫ 𝑆∗𝑆
𝜋
0
 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = ∫ (𝑎0 𝑠𝑒𝑛𝜃)(𝑎0 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜋
0
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎0
2 ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
 
 
 
La integral de seno al cubo es −𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
3
𝑐𝑜𝑠3 𝜃 + 𝐶 , remplazando: 
 
 
 
56 
 
1 = 𝑎0
2 (−𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
3
cos3 𝜃) |𝑜
𝜋 = −𝑎0
2 [−(𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0) +
1
3
(cos3 𝜋 − cos3 0)] 
 
1 = 𝑎0
2 [−(−1 − 1) +
1
3
(−1 − 1)] = 𝑎0
2 [2 −
2
3
] =
4
3
𝑎0
2 
 
3
4
= 𝑎0
2 → √
3
4
= 𝑎0 
La función S, quedaría: 
𝑆1,0(𝜃) = √
3
4
𝑠𝑒𝑛 𝜃Sustituyendo en 71, para cada valor de m, originaríamos: 
 
𝑌𝑙
0(𝜃, 𝜙) = 𝑆1,0(𝜃)𝑇1(𝜙) =
1
√2𝜋
√
3
4
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒𝑖1 𝜙 = √
3
8𝜋
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖1 𝜙 
𝑌𝑙
−1(𝜃, 𝜙) = 𝑆1,−1(𝜃)𝑇−1(𝜙) =
1
√2𝜋
√
3
4
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑒𝑖−1 𝜙 = √
3
8𝜋
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖−1 𝜙 
 
 
Los valores propios de las funciones son: 𝑳𝑧 = −ℏ, +ℏ 𝑦 𝑳 = √𝟐ℏ. 
 
 
En mecánica cuántica muchos problemas se formulan en términos de ecuaciones 
diferenciales con coeficientes variables como el oscilador armónico, el átomo de 
hidrogeno, etc., muchas de las formas de resolver estas funciones llevan nombre de la 
persona que resolvió en modo de series infinitas o soluciones polinomicas; en la tabla 
2 se resume algunas de las ecuaciones diferenciales en el estudio de la Química 
cuántica útiles en el trabajo teórico, escribiéndose de la forma más adecuada según el 
caso de estudio. 
 
 
 
57 
 
Otra forma de poder resolver las funciones 𝑆𝑙,𝑚 (𝜃), se deben a las funciones asociadas 
a Legendre (tabla 2), multiplicadas por una constante de normalización. Dichas 
funciones definidas para el momento angular se escribe de la siguiente forma (ecuación 
72): 
 
𝑃𝑙
|𝑚|(𝑤) =
1
2𝑙𝑙!
 (1 − 𝑤2)|𝑚|/2
 𝑑𝑙+|𝑚|
𝑑𝑤𝑙+|𝑚|
 (𝑤2 − 1)𝑙 𝑒𝑐𝑢. 72 
 
Donde w es 𝑐𝑜𝑠 𝜃,𝑙 y 𝑚 son números cuánticos definidos anteriormente. 
 
Tabla 2. Algunas ecuaciones diferenciales no lineales útiles en Química cuántica, que 
se solucionan por series. 
 
 
Ejercicio. 
 
Obtener las funciones asociadas a Legendre para: 
1. 𝑙 = 0 y 𝑚 = 0. 
2. 𝑙 = 1 y 𝑚 = 0, ±1. 
 
Solución. 
 
1. Para solucionar el ejercicio vamos a sustituir en la ecuación 72, con 𝑙 = 0 y 𝑚 = 0 , 
entonces: 
𝑃0
|0|(𝑤) =
1
200!
 (1 − 𝑤2)|0|/2
 𝑑0+|0|
𝑑𝑤0+|0|
 (𝑤2 − 1)0 
Nombre Ecuación Solución 
Hermite 𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑛𝑦 = 0 Polinomios de Hermite 
Bessel 
𝑦′′ +
1
𝑥
𝑦′ + (1 −
𝑣2
𝑥2
) 𝑦 = 0 
Funciones de Bessel 
Legendre 
𝑦′′ −
2𝑥
1 − 𝑥2
𝑦′ +
𝑣(𝑣 + 1)
1 − 𝑥2
𝑦 = 0 
Polinomios de Legendre 
Chebyshev 
𝑦′′ −
𝑥
1 − 𝑥2
𝑦′ +
𝑛2
1 − 𝑥2
𝑦 = 0 
Polinomios de Chebyshev 
Laguerre 𝑥2𝑦′′ + (1 − 𝑥)𝑦′ + 𝑛𝑦 = 0 Polinomios de Laguerre 
 
 
58 
 
Los términos elevados a la cero generan la unidad, al igual que el factorial de cero es 
uno, por consiguiente: 
 
𝑃0
|0|(𝑤) =
1
1 × 1
 (1 − 𝑤2)0
 𝑑0
𝑑𝑤0+|0|
 (𝑤2 − 1)0 
 
𝑃0
|0|(𝑤) =
1
1
= 1 
Entonces 𝑃0
0(𝑤) = 1 
2. Ahora solucionaremos el ejercicio por partes aplicándolo en la ecuación 72. 
 
Para 𝒍 = 𝟏 con 𝒎 = 𝟎 
𝑃1
|0|(𝑤) =
1
211!
 (1 − 𝑤2)|0|/2
 𝑑1+|0|
𝑑𝑤1+|0|
 (𝑤2 − 1)1 
 
 
Los términos elevados a la cero son iguales a la unidad y los elevado a la unidad quedan 
iguales; el factorial de 1 es 1, y derivamos la última función. 
 
𝑃1
0(𝑤) =
1
2 × 1
 (1 − 𝑤2)0
 𝑑1
𝑑𝑤1
 (𝑤2 − 1) 
 
𝑃1
0(𝑤) =
1
2
𝑑
𝑑𝑤
(𝑤2 − 1) 
 
𝑃1
0(𝑤) =
1
2
(2𝑤) = 𝑤 
 
Como w = cos 𝜃, quedaría 𝑃1
0(𝑤) = 𝑐𝑜s 𝜃. 
 
Para 𝒍 = 𝟏 con 𝒎 = 𝟏 
 
𝑃1
|1|(𝑤) =
1
211!
 (1 − 𝑤2)|1|/2
 𝑑1+|1|
𝑑𝑤1+|1|
 (𝑤2 − 1)1 
 
 
 
59 
 
Derivando dos veces, y haciendo las mismas analogías que para el caso anterior, 
tenemos: 
 
 
𝑃1
1(𝑤) =
1
2 × 1
 (1 − 𝑤2)1/2
 𝑑2
𝑑𝑤2
 (𝑤2 − 1) 
 
𝑃1
1(𝑤) =
1
2
 (1 − 𝑤2)
1
2
𝑑
𝑑𝑤
(2𝑤) 
 
𝑃1
1(𝑤) =
1
2
(1 − 𝑤2)
1
2(2) =
2
2
(1 − 𝑤2)1/2 
 
Sustituyendo w, y remplazando la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 
 
𝑃1
1(𝑐𝑜𝑠 𝜃) = (1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃)1/2 = (𝑠𝑒𝑛2𝜃)1/2 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
 
Por lo tanto 𝑃1
1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 
 
Para 𝒍 = 𝟏 con 𝒎 = 𝟏 
 
𝑃1
|−1|(𝑤) =
1
211!
 (1 − 𝑤2)|−1|/2
 𝑑1+|1|
𝑑𝑤1+|1|
 (𝑤2 − 1)1 
 
 
Como el valor absoluto de -1 es 1, quedaría igual a la ecuación anterior. 
 
𝑃1
|1|(𝑤) =
1
211!
 (1 − 𝑤2)|1|/2
 𝑑1+|1|
𝑑𝑤1+|1|
 (𝑤2 − 1)1 
 
 
La solución de esta ecuación es 𝑃1
1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃. 
 
En conclusión las funciones con el mismo número de m pero diferente signo llegan a la 
misma solución. 
 
 
60 
 
Una vez estudiadas las funciones de Legendre, podemos introducir la ecuación 𝑆𝑙,𝑚(𝜃) 
en términos de sus funciones y los números cuánticos 𝑙 y 𝑚, como se observa en la 
ecuación 73: 
 
𝑆𝑙,𝑚(𝜃) = [
2𝑙 + 1(𝑙 − |𝑚|)!
2(𝑙 + |𝑚|)!
]
1
2
𝑃𝑙
|𝑚|(𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑒𝑐𝑢. 73 
 
 
Ejercicio. 
 
Obtener las funciones 𝑆𝑙,𝑚(𝜃)para los sistemas anteriores. 
 
Solución. 
 
Para 𝑙 = 0 y 𝑚 = 0, tenemos 𝑃0
0(𝑐𝑜𝑠𝜃) = 1, sustituyendo en 73. 
𝑆0,0(𝜃) = [
2 × 0 + 1(0 − |0|)!
2 (0 − |0|)!
]
1
2
𝑃0
|0|(𝑐𝑜𝑠𝜃) 
 
Como cero factorial es uno. 
 
𝑆0,0(𝜃) = [
1
2
1
1
 ]
1
2
= [
1
2
]
1/2
= √
1
2
 
 
Para 𝑆0
|0|(𝜃) = √
1
2
 
 
Si ahora trabajamos con 𝑙 = 1 y 𝑚 = 0, con 𝑃1
0𝑐𝑜𝑠𝜃, en la ecuación 73, generaría. 
 
𝑆1,0(𝜃) = [
2 × 1 + 1(1 − |0|)!
2 (1 − |0|)!
]
1
2
𝑃1
|0|
 
 
 
 
61 
 
𝑆1,0(𝜃) = [
3
1
1!
1!
 ]
1
2
𝑐𝑜𝑠𝜃 = √
3
2
 𝑐𝑜𝑠𝜃 
Para 𝑆1,0(𝜃) = √
3
2
 𝑐𝑜𝑠𝜃. 
 
Por último con 𝑙 = 1 y 𝑚 = ±1, como esta en valor absoluto m producen las mismas 
funciones, con 𝑃1
1 = 𝜃, sustituyendo en la ecuación 73: 
 
𝑆1,±1 (𝜃) = [
2 × 1 + 1(1 − |±1|)!
2 (1 − |±1|)!
]
1
2
𝑃1
|±1|
 
 
𝑆1,±1(𝜃) = [
3 (1 − 1)!
2 (1 − 1)!
]
1
2
𝑃1
1 
 
𝑆1,±1(𝜃) = [
3
2
0!
2!
 ]
1
2
 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √
3
4
𝑠𝑒𝑛𝜃 
Para 𝑆1,±1(𝜃) = √
3
2
 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
Para determinar el armónico esférico podríamos multiplicar la función resultante 73 con 
la ecuación 61, pero si sustituimos 73 en 71, encontramos una relación más simple para 
la construcción de funciones armónicas (ecuación 74). 
 
𝑌𝑙
𝑚(𝜃, 𝜙) =
1
√2𝜋
𝑆𝑙,𝑚(𝜃)𝑒𝑖𝑚𝜙 =
1
√2𝜋
[
2𝑙 + 1(𝑙 − |𝑚|!
2 (𝑙 + |𝑚|)!)
]
1/2
𝑃𝑙
𝑚 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖𝑚𝜙 
 
Ingresando la raíz de 2𝜋, al paracentesis mayor. 
 
𝑌𝑙
𝑚(𝜃, 𝜙) = [
2𝑙 + 1(𝑙 − |𝑚|)!
4𝜋 (𝑙 + |𝑚|)!
]
1/2
𝑃𝑙
|𝑚|
 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖𝑚𝜙 𝑒𝑐𝑢. 74 
 
 
 
 
62 
 
Ejercicio. 
 
Obtener las funciones de armónico esférico para las relaciones anteriores. 
 
Solución. 
 
Para la relación 𝑙 = 0 con 𝑚 = 0 y 𝑃0
0(𝑐𝑜𝑠𝜃) = 1, sustituida en 74, queda: 
 
𝑌0
0(𝜃, 𝜙) = [
2 × 0 + 1(0 − |0|)!
4𝜋 (0 + |0|)!
]
1/2
𝑃0
0 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖0𝜙 
 
𝑌0
0(𝜃, 𝜙) = [
1
4𝜋
(0)!
(0)!
]
1/2
 (1)𝑒0 = √
1
4𝜋
 
 
Como la función euler a la cero da uno y el factorial de cero es 1. El armónico es 
 
𝑌0
0(𝜃, 𝜙) = √
1
4𝜋
 
 
Para 𝑙 = 1 con 𝑚 = 0 y 𝑃0
0 𝑐𝑜𝑠𝜃, obtendríamos: 
 
𝑌1
0(𝜃, 𝜙) = [
2 × 1 + 1(1 − |0|)!
4𝜋 (1 + |0|)!
]
1/2
𝑃1
|0|
 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖0𝜙 
 
𝑌1
0(𝜃, 𝜙) = [
3
4𝜋
(1)!
(1)!
]
1/2
 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑒0 = √
3
4𝜋
𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
El factorial de uno es uno, el armónico es: 
 
 
 
63 
 
𝑌1
0(𝜃, 𝜙) = √
3
4𝜋
𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
Para 𝑙 = 1 con 𝑚 = 1 y 𝑃1
1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 , produciríamos: 
 
 
𝑌1
1(𝜃, 𝜙) = [
2 × 1 + 1(1 − |1|)!
4𝜋 (1 + |1|)!
]
1/2
𝑃1
|1|
 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖1𝜙 
 
𝑌1
1(𝜃, 𝜙) = [
3
4𝜋
(0)!
(2)!
]
1/2
 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖𝜙 = √
3
8𝜋
 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖𝜙 
 
 
El factorial de dos es dos, el armónico es: 
 
𝑌1
1(𝜃, 𝜙) = √
3
8𝜋
 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖𝜙 
 
Para 𝑙 = 1 con 𝑚 = −1 y 𝑃1
1 = 𝑠𝑒𝑛𝜃, lograríamos: 
 
𝑌1
−1(𝜃, 𝜙) = [
2 × 1 + 1(1 − |−1|)!
4𝜋 (1 + |−1|)!
]
1/2
𝑃1
|−1|
 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒𝑖(−1)𝜙 
 
𝑌1
−1(𝜃, 𝜙) = [
3 (1 − |−1|)!
4𝜋 (1 + |1|)!
]
1/2
𝑃1
|1|
 (𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑒−𝑖𝜙 
 
𝑌1
−1(𝜃, 𝜙) = [
3
4𝜋
(0)!
(2)!
] (𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑒−𝑖𝜙 = √
3
8𝜋
 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖𝜙 
 
 
 
 
64 
 
Como el valor absoluto de -1 es 1, la diferencia está en el exponente de la función Ф, 
siendo el armónico: 
𝑌1
−1(𝜃, 𝜙) = √
3
8𝜋
 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑒𝑖𝜙 
 
El numero cuántico 𝑚 = 𝑚𝑖, para trabajo en diferentes áreas. 
 
2.4 Espín electrónico. 
 
 
El espín electrónico se define como el movimiento