Apuntes Introducción a la Mat 2022

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Universidad Nacional de Jujuy 
Facultad de Ciencias Económicas 
Introducción a la Matemática 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCION 
A LA 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Notas Teóricas 
2022 
 
 
 
 
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Introducción a la Matemática 
Unidad 1 
Lógica y Conjuntos 
 
1.1. Nociones de Lógica: Introducción 
Cuando nos servimos del lenguaje cotidiano para enunciar hechos o describir situacio-
nes, lo hacemos de diversas formas: a través de preguntas, dando órdenes, expresando 
deseos o haciendo afirmaciones. 
Para definir objetos o elementos matemáticos y demostrar propiedades, definiciones o 
teoremas, sin embargo, es necesario un lenguaje preciso. La Lógica Simbólica colabora 
en la construcción de este tipo de lenguaje y nos será de gran ayuda, entre otras cosas 
para formalizar adecuadamente la teoría de conjuntos. 
Esta disciplina se ocupa de enunciados u oraciones que son, o verdaderos o falsos, a 
los que llamaremos “proposiciones”. Por ejemplo, ante la expresión “Juan paga sus im-
puestos”, es posible decir si es verdadero o falso. Mientras que en una interrogación, 
una exclamación o una orden, no tiene sentido preguntarse si estas expresiones son 
verdaderas o falsas. 
La lógica ayuda a razonar en forma válida acerca de cosas trascendentes y abstractas, 
aporta claridad y economía en el pensamiento y permite eliminar ambigüedades en el 
lenguaje ordinario. 
 
1.2. Proposiciones 
Definición: Una proposición es una oración que posee una función informativa, afirma 
o niega algo, y tiene sentido decir de ella que es verdadera o falsa. 
La verdad o falsedad de las oraciones son los valores de verdad que tienen las propo-
siciones. Si una proposición es verdadera, se dice que su valor de verdad es verdadero 
y se la designará con la letra V, y en caso contrario se dice que es falsa y se la designará 
con la letra F. 
 
Ejemplo: 
En el siguiente cuadro se presentan ejemplos de oraciones especificando la función que 
cumplen en cada caso, y se indican las que son proposición. 
ORACIÓN FUNCIÓN ¿ES PROPOSICIÓN? 
Me gustaría poder ir Expresiva No 
5+5 = 10 Informativa Sí 
¡Te felicito! Expresiva No 
Entremos a clase Directiva No 
¿A qué hora empieza la clase? Interrogativa No 
La matemática es una ciencia Informativa Sí 
 
 
 
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1.3. Lógica proposicional 
Definición: La lógica proposicional, es la parte de la lógica que se basa en proposicio-
nes, las cuales pueden ser simples o compuestas. 
 Una proposición es simple cuando no incluye dentro de sí a ninguna otra propo-
sición. 
 Una proposición es compuesta cuando surge de la combinación de proposicio-
nes simples. 
 
Ejemplos: 
5 es impar. Proposición simple. 
5 es primo e impar. Proposición compuesta. 
Hubo elecciones y eligieron diputados. Proposición compuesta. 
Si salgo temprano, te paso a buscar. Proposición compuesta. 
 
1.4. Notación y conectivos 
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, por ejemplo, p, q, r, s, ….. 
Se puede operar con proposiciones, y según sean las operaciones, se utilizan ciertos 
símbolos, llamados conectivos lógicos. 
El siguiente cuadro muestra, los distintos conectivos que se estudiarán, las operaciones 
asociadas a ellos y su significado: 
 
CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO 
 Negación No p, o, no es cierto p 
 Conjunción p y q 
 Disyunción p o q (sentido incluyente) 
 Implicación o Condicional Si p, entonces q. O bien p implica q 
 Doble Implicación o Bicondicional p sí y sólo sí q 
 Diferencia Simétrica o Disyunción 
en Sentido Excluyente 
p o q (sentido excluyente) 
 
 
1.5. Operaciones proposicionales 
Dada una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de carac-
terizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. 
 
 
 
 
 
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1.5.1. Negación 
La proposición “No hay reactivación económica”, es una proposición compuesta que 
consiste en la negación de la proposición simple “Hay reactivación económica”. 
Negación de una proposición p, es la proposición “no p”, y se escribe: p; la ley que la 
define es la siguiente: La negación de un enunciado verdadero es falso, y la nega-
ción de un enunciado falso es verdadero. 
Esto puede expresarse mediante la tabla de verdad siguiente: 
 
p p 
V F 
F V 
 
Ejemplo 1: 
 p: 8 es un número par V 
 p: 8 no es un número par F 
Ejemplo 2: 
 p: 4 + 4 = 7 F 
 p: 4 + 4  7 V 
 
1.5.2. Conjunción 
La proposición “El empleo disminuye y los impuestos aumentan”, es una proposición 
compuesta que consiste en la conjunción de las proposiciones simples “el empleo dis-
minuye” y “los impuestos aumentan”. La letra “y” es el conectivo que une ambas propo-
siciones. 
Conjunción de dos proposiciones p, q es la proposición compuesta “p y q”, se escribe p 
 q, su tabla de valores de verdad es la siguiente: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Se puede observar que de acuerdo a la tabla de valores de verdad, solamente es ver-
dadero el primer enunciado. 
La conjunción es verdadera cuando todas las proposiciones asociadas a ella son 
verdaderas y falsa en los casos restantes. 
 
 
 
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Ejemplo 1: 
Dado los enunciados siguientes: 
i) San Pedro es un departamento de Jujuy y Metán es un departamento de Salta. 
ii) San Pedro es un departamento de Jujuy y Metán es un departamento de Córdoba 
iii) San Pedro es un departamento de Salta y Metán es un departamento de Salta. 
iv) San Pedro es un departamento de Salta y Metán es un departamento de Córdoba. 
 
El primero de los enunciados corresponde a una proposición verdadera ya que las dos 
proposiciones simples intervinientes son verdaderas. 
Los enunciados ii) y iii) son falsos, ya que una proposición simple es verdadera y la otra 
es falsa. 
La proposición compuesta iv) es falsa ya que las dos proposiciones simples son falsas. 
 
Ejemplo 2: 
Sean las proposiciones simples: 
p: Juan deposita sus ahorros en el banco; q: Juan compra con sus ahorros dólares 
La conjunción entre estas dos proposiciones es: 
p  q : Juan deposita sus ahorros en el banco y compra con sus ahorros dólares. 
La proposición resultante es falsa, ya que no pueden darse las veracidad de las dos 
situaciones a la vez. 
 
1.5.3. Disyunción 
La disyunción de dos proposiciones p, q, es la proposición compuesta “p o q”, y se es-
cribe p  q. 
Dado que la letra “o” en nuestro lenguaje es ambigua, pueden distinguirse dos clases 
diferentes de disyunción: disyunción inclusiva y disyunción exclusiva. 
 
 La disyunción inclusiva es verdadera cuando es verdadera por lo menos una 
de las proposiciones intervinientes, y es falsa cuando ambas lo son simultánea-
mente. Se simboliza p  p y su tabla de verdad es: 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
Sean las proposiciones simples: 
p: María trabaja en un banco q: María estudia 
La disyunción es: p  q: María trabaja en un banco o estudia 
El sentido de esta proposición es que el sujeto de este enunciado puede trabajar o es-
tudiar, o hacer ambas cosas a la vez, puesto que no se excluye la posibilidad que se 
den ambas situaciones. 
 
 La disyunción exclusiva es verdadera, cuando una proposición es verdadera y 
la otra es falsa, y falsa en los casos restantes. Se simboliza p  q, y se lee p o q 
en sentido excluyente y su tabla de verdad es: 
 
p q p  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Ejemplo: 
Sean las proposiciones simples: 
p: mañana de 8 a 12 horas asistiré al cursode matemática 
q: mañana de 8 a 12 horas visitaré a un amigo 
Entonces, la disyunción excluyente es: p  q: mañana de 8 a 12 horas asistiré al curso 
de matemática o visitaré a un amigo. 
Esta proposición tiene el sentido de excluir la posibilidad de que se den ambas alterna-
tivas simultáneamente. 
 
1.5.4. Implicación o condicional 
La implicación o condicional de las proposiciones p, q, es la proposición compuesta: p 
 q, que se lee “si p entonces q”. 
La proposición p, precedida por la palabra “si” se denomina antecedente o hipótesis y 
la proposición q, precedida por la palabra “entonces”, consecuente o tesis. 
En la implicación no siempre el consecuente se deduce lógicamente del antecedente, 
pero, cuando ello ocurre, la implicación se denomina formal. 
 
 
 
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La implicación, es falsa, cuando de un antecedente verdadero se deduce un con-
secuente falso, y es verdadera en los casos restantes. La tabla de verdad es la si-
guiente: 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Ejemplo: 
Sean las proposiciones simples: 
p: Pedro aprueba el examen q: Pedro le presta sus apuntes a Juan 
La implicación es “Si Pedro aprueba el examen entonces presta sus apuntes a Juan”. 
Interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación, en término de la verdad o false-
dad de las proposiciones p y q. La proposición compuesta p  q puede pensarse como 
un compromiso, condicionado por p; y se puede asociar su verdad al cumplimiento del 
compromiso. Es obvio que si p es F, es decir si Pedro no aprueba el examen, queda 
liberada del compromiso; y preste o no sus apuntes la proposición será verdadera. Es 
decir si p es F, la implicación es verdadera. 
Si p es verdadero, en cuyo caso, aprueba el examen, y q es falso, es decir, Pedro no 
presta el apunte, el compromiso no se cumple, y la implicación es falsa. Si p y q son 
verdaderos, la implicación es verdadera. 
 
Otras formas de escribir un condicional 
Es común en nuestro lenguaje, que la palabra “entonces” no figure y en su lugar se 
coloque una coma, como por ejemplo: 
“Si viajamos en avión, sacaremos los pasajes con anticipación”. 
En otras proposiciones, el orden del antecedente y del consecuente puede estar inver-
tido, como en la proposición; “Sale, si lo vienen a buscar”, donde el antecedente es “Lo 
vienen a buscar”, y el consecuente es “Sale”. 
La palabra “cuando” reemplaza a menudo al “si”, como en la proposición “Cuando hay 
tormentas eléctricas, se interrumpen las comunicaciones telefónicas”, cuyo significado 
equivale a “Si hay tormentas, se interrumpen las comunicaciones telefónicas”. 
 
1.5.5. Doble implicación, bicondicional o equivalencia 
La equivalencia o bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición compuesta: 
p  q que se lee “p si y sólo si q”. 
 
 
 
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Como su nombre lo indica, el bicondicional no es otra cosa que el condicional doble: (p 
 q)  (q  p). Por lo tanto la tabla de verdad correspondiente al bicondicional se ob-
tiene al realizar las operaciones lógicas indicadas: 
 
p q p  q q  p (p  q)  (q  p) p  q 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
 
Es decir, el bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones simples tie-
nen el mismo valor de verdad, y falsa en los casos restantes. 
 
Ejemplo: 
Sean las proposiciones simples: 
p: El triángulo ABC es isósceles q: El triángulo ABC tiene dos lados iguales 
El bicondicional es: p  q: El triángulo ABC es isósceles sí y sólo sí tiene dos lados 
iguales. 
Cuando el bicondicional p  q es verdadero, suele decirse, que p es condición necesa-
ria y suficiente para q, o bien, q es condición necesaria y suficiente para p. 
 
Ejercitación: 
1) Dadas las proposiciones simples: 
p: Mario es propietario de una empresa. 
q: Mario fabrica sandalias de cuero. 
r: Las sandalias de cuero se venden en el mercado interno 
Escribir en lenguaje coloquial las siguientes proposiciones compuestas: 
a) q  p b) p  q 
c) r  q d) p  q  p 
Desarrollo: 
a) q  p: Si Mario fabrica sandalias de cuero, es propietario de una empresa 
b) p  q : Mario no es propietario de una empresa o fabrica sandalias de cuero 
c) r  q: Si las sandalias de cuero se venden en el mercado interno, Mario fabrica san-
dalias de cuero. 
 
 
 
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d) p  q  r: Mario es propietario de una empresa, fabrica sandalias de cuero y las 
sandalias de cuero no se venden en el mercado interno. 
 
2) Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas en forma simbólica: 
a) El animal tiene alas y es un ave. 
b) Juan deja caer la piedra y no se golpea. 
c) Si Federico no acepta el nombramiento, buscará otro trabajo. 
d) La decisión dependerá del juicio o la intuición, no de quién pagó más. 
e) Se entregarán $10.000, si ganan el concurso. 
f) No estudio esta noche y no apruebo el examen mañana. 
g) Si la figura tiene tres lados, no es un cuadrilátero. 
h) Un polígono es un cuadrilátero sí y sólo si tiene cuatro lados. 
Desarrollo: 
a) p: el animal tiene alas q: el animal es un ave 
 El animal tiene alas y es un ave: pq 
b) p: Juan deja caer la piedra q: Juan se golpea 
 Juan deja caer la piedra y no se golpea: pq 
c) p: Federico acepta el nombramiento q: Federico buscará otro trabajo 
 Federico no acepta el nombramiento, buscará otro trabajo: p  q 
d) p: La decisión dependerá del juicio q: La decisión dependerá de la intui-
ción r: La decisión dependerá de quien pagó más 
 La decisión dependerá del juicio o la intuición, no de quién pagó más: pq r 
e) p: se entregarán $10.000q: ganan el concurso 
 Se entregarán $10.000, si ganan el concurso: q  p 
f) p: estudio esta noche q: apruebo el examen 
 No estudio esta noche y no apruebo el examen mañana: pq 
g) p: un polígono es un cuadrilátero q: un polígono tiene cuatro lados 
 Un polígono es un cuadrilátero sí y sólo si tiene cuatro lados: pq 
 
1.6. Orden de los conectivos 
A fin de evitar ambigüedades en una proposición compuesta, se sigue un orden esta-
blecido para los conectivos. 
 
 
 
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Las expresiones dentro de paréntesis tienen prioridad respecto de las expresiones res-
tantes. Los paréntesis pueden usarse para fines de claridad, aun cuando no sean nece-
sarios. 
En ausencia de paréntesis, o en las expresiones que aparezcan entre paréntesis, las 
negaciones se efectúan primero, seguidas de las conjunciones, luego las disyunciones, 
y por último los condicionales. Si en una expresión se repite un conectivo, éstos se con-
sideran de izquierda a derecha. 
 
Ejemplo: 
Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden correcto de la 
proposición compuesta dada: 
a) p  q  q  p ( p  q )  ( q  p) 
b) p  q (p)  q 
c) p  q  p  q  (p  q)  (p)   (q) 
 
 
1.7. Clasificación de las proposiciones compuestas 
Las tablas de valores de verdad permiten clasificar a las estructuras proposicionales en 
tres grandes grupos: tautologías, contradicciones y contingencias. 
 Se llama tautología a toda proposición compuesta que resulta verdadera 
en todos los casos independientemente de los valores de verdad que co-
rrespondan a las proposiciones simples intervinientes. 
Ejemplo: 
Demostrar que p  ( p  q ) es una tautología. 
Desarrollo: 
p q p  q p  p  q 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
 
 Se llama contradicción a toda proposición compuesta que resulta falsa 
en todos los casos, independientemente de los valores de verdad que 
correspondan a las proposicionessimples intervinientes. 
Ejemplo: 
Demostrar que la proposición compuesta ( p  q )  p es una contradicción. 
 
 
 
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Desarrollo: 
p q p p  q ( p  q )  p 
V V F V F 
V F F F F 
F V V F F 
F F V F F 
 
 Se llama contingencia a toda proposición compuesta cuya tabla de ver-
dad tiene por lo menos un valor V y un valor F. 
Ejemplo: 
Demostrar que la proposición p  q es una contingencia. 
Desarrollo: 
p q p p  q 
V V F V 
V F F V 
F V V V 
F F V F 
 
 
1.8. Equivalencia Lógica 
Dos proposiciones son lógicamente equivalentes o simplemente equivalentes si tie-
nen las mismas tablas de verdad y por lo tanto la doble implicación entre ambas será 
una tautología. 
 
Ejemplo: 
Demostrar que las proposiciones (p  q) y (p  q) son equivalentes. 
Desarrollo: 
p q p  q (pq) p q p  q (pq)  p  q 
V V V F F F F V 
V F F V F V V V 
F V F V V F V V 
F F F V V V V V 
 
 
1.9. Leyes Lógicas 
En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes lógicas cuya demostración se 
reduce a la confección de la correspondiente tabla de valores de verdad. 
 
 
 
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Algunas de las leyes lógicas son las siguientes: 
 Involución: (p)  p 
 Idempotencia: a) (p  p)  p 
 b) (p  p)  p 
 Conmutatividad: a) de la disyunción: p  q  q  p 
 b) de la conjunción: p  q  q  p 
 Asociatividad: a) de la disyunción: (p  q)  r  p  (q  r) 
 b) de la conjunción: (p  q)  r  p  (q  r) 
 Distributividad: a) de la disyunción respecto de la conjunción: 
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
 b) de la conjunción respecto de la disyunción: 
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
 Leyes de De Morgan: a) La negación de una disyunción es equivalente a la 
conjunción de las negaciones: (p  q)  p  q 
 b) La negación de una conjunción es equivalente a la 
disyunción de las negaciones: (p  q)  p  q 
 Negación de una implicación 
La negación de una implicación es equivalente a la conjunción del antecedente 
con la negación del consecuente: (p  q)  (p  q) 
 
Ejercitación: 
Simbolizar, negar y retraducir las siguientes proposiciones: 
a) La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas o vegetales. 
b) Cuando el gerente estudia el monto de ventas diarias, toma decisiones acerta-
das. 
c) Los empleados recibieron cheques o pagos en efectivo 
d) Durante la última semana la Bolsa de Valores no aumentó y los inversores estu-
vieron atentos 
Desarrollo: 
a) p: La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas 
 q: La empresa “Salud al Día” almacena vegetales 
pq: La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas o vegetales. 
 
 
 
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Negación: ( pq )  p  q : No es cierto que la empresa “Salud al Día” almacena 
frutas secas o vegetales; o bien: La empresa “Salud al Día” no almacena frutas secas ni 
vegetales. 
b) p: El gerente estudia el monto de ventas diarias 
 q: El gerente toma decisiones acertadas 
p  q : Cuando el gerente estudia el monto de ventas diarias, toma decisiones acerta-
das. 
Negación: ( p  q )  p  q: El gerente estudian el monto de ventas diarias y no toma 
decisiones acertadas. 
c) p: Los empleados recibieron cheques 
 q: Los empleados recibieron pagos en efectivo 
pq : Los empleados recibieron cheques o pagos en efectivo 
Negación: ( p  q )  ( p)  ( q): Los empleados no recibieron cheques, ni pagos en 
efectivos. 
d) p: Durante la última semana la Bolsa de Valores aumentó 
 q: Durante la última semana los inversores estuvieron atentos 
p  q: Durante la última semana la Bolsa de Valores no aumentó y los inversores 
estuvieron atentos. 
 Negación: ( p  q )  ( p)  q  p  q: Durante la última semana la Bolsa de 
Valores aumentó o los inversores no estuvieron atentos. 
 
 
1.10. Razonamiento 
Definición: Un razonamiento es un conjunto de proposiciones (dos o más) en el que 
una de ellas, llamada conclusión, se pretende que está fundada en la/s otra/s llamada/s 
premisa/s. 
Ejemplos: 
 
1) El ladrón tuvo que entrar o bien por la puerta, o bien, por la ventana. Por la puerta 
no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, el ladrón tuvo 
que entrar por la ventana. 
En este ejemplo, la proposición “El ladrón entró por la ventana” está fundada en los 
otros enunciados, entonces es la conclusión del razonamiento. 
2) Llueve mucho. Será mejor que no salgamos. Podemos postergar la excursión para 
mañana. 
 
 
 
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En este ejemplo se observa que si bien las proposiciones están relacionadas en 
cuanto al contenido, no hay ninguna que se afirme sobre la base de las otras. No se 
trata de un razonamiento. 
 
1.10.1. Razonamiento deductivo 
Los razonamientos pueden dividirse en dos grandes grupos: los deductivos y los no 
deductivos. En los deductivos se pretende que la conclusión se deduzca de las premi-
sas. En los razonamientos no deductivos, en cambio, la conclusión se infiere con cierto 
grado de probabilidad, no con necesidad. 
 
Ejemplos: 
1) Razonamiento deductivo 
Todos los alumnos de la Facultad estudian. Los alumnos que asisten al turno noche 
pertenecen a la Facultad. Por lo tanto los alumnos del turno noche estudian. 
2) Razonamiento no deductivo 
Hace varios meses que uso esta marca de CD, y todos han resultado de buena cali-
dad. Por lo tanto, el próximo CD de esta marca que utilice también será de buena 
calidad. 
 
1.10.2. Razonamiento válido 
Los razonamientos válidos pueden tener premisas verdaderas y conclusión ver-
dadera; premisas falsas y conclusiones verdadera o falsa. Lo que no podrá ocurrir 
es que un razonamiento sea válido si tiene premisas verdaderas y conclusión falsa. 
Cuando se hace referencia a premisas verdaderas significa que todas ellas lo sean, 
pues una sola de ellas falsa, hace falso a todo el conjunto de premisas; cuando se habla 
de premisas falsas es suficiente con que una sola de ellas lo sea. 
 
1.10.3. Razonamiento deductivo válido 
El análisis hecho hasta el momento podrá ser aplicado para analizar la validez de los 
razonamientos, que como se expresó anteriormente es el objeto principal del estudio de 
la Lógica. En particular en matemática interesa el razonamiento deductivo. 
Hay distintos métodos de prueba de validez de razonamientos, entre ellos el “Método 
del Condicional Asociado”, (o de demostración directa), el cual se analiza a continua-
ción. 
Se dirá que un razonamiento deductivo es válido cuando su forma es tal que no 
tiene ningún ejemplo con premisas verdaderas y conclusión falsa. Es decir cuando 
el condicional asociado a su estructura es tautológico (no hay ninguna fila que tenga 
 
 
 
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antecedentes verdaderos y consecuente falso). Dado un razonamiento, si se construye 
un condicional cuyo antecedente sea la conjunción de las premisas y su consecuente la 
conclusión del razonamiento, y si el condicional así construido resulta una tautología, el 
razonamiento a partir del cual se ha construido será válido. 
Es decir, un razonamiento que consta de las premisas p1, p2, … , pn, y de la conclusión 
“c” es válido si: 
(p1  p2  .......  pn)  c, es una tautología 
Es importante tener claro que un razonamiento es válido si la conclusión se infiere real-
mente de las premisas y que la validez de un razonamiento se refiere al modo de razonar 
y no al valor de verdad de la conclusión. 
Si una o más premisas son falsas entonces la conjunción (p1 p2  .........  pn) es falsa. 
Si el antecedente del condicional (p1  p2  .........  pn)  c, es falso, el valor de verdad 
del condicional es verdadero independientemente del valor de verdad del consecuente. 
En lugar de verificar todas las combinaciones posibles de los valores de verdad del con-
dicional: (p1  p2  .........  pn)  c, para ver si es una tautología, sólo es necesario 
verificar las combinaciones para las que todas las premisas son verdaderas. Por lo tanto 
puede decirse que un razonamiento es válido si la conclusión es verdadera, siempre 
que las premisas sean verdaderas. 
Por lo estudiado anteriormente para determinar si un razonamiento es válido se puede 
realizar de la siguiente manera: 
 Dado un razonamiento se construye un condicional, cuyo antecedente sea la 
conjunción de las premisas y su consecuente, la conclusión. 
 Se construye la tabla del condicional y si resulta una tautología, el razonamiento 
es válido, si en cambio resulta contingencia o contradicción, será inválido. 
Ejemplo 1: 
Determinar la validez del siguiente razonamiento: 
Si la suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3, entonces 132 es divisible por 3. 
La suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3. 
Por lo tanto 132 es divisible por 3. 
Desarrollo: 
- En primer lugar se deben identificar las proposiciones simples intervinientes: 
p: La suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3 
q: 132 es divisible por 3 
- El razonamiento se puede escribir en forma simbólica de la siguiente manera: 
 p  q 
 premisas 
 p 
 conclusión q 
 
 
 
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- Se construye la tabla de verdad de la proposición compuesta [(p  q)  p]  q 
 
p q p  q (p  q)  p [(p  q)  p]  q 
V V V V V 
V F F F V 
F V V F V 
F F V F V 
 
Como el resultado del condicional es una tautología, entonces el razonamiento es vá-
lido. 
 
Ejemplo 2: 
Determinar la validez del siguiente razonamiento: 
Si el último dígito de 25 es cero, entonces 25 es divisible por 10 
El último dígito de 25 no es cero. 
Por lo tanto el 25 no es divisible por 10. 
(Recordar que valor de verdad es distinto de validez del razonamiento). 
Desarrollo: 
p: El último dígito de 25 es cero. 
q: 25 es divisible por 10. 
p  q 
p 
q 
 
p q p  q p q (p  q)  p (p  q)  p  q 
V V V F F F V 
V F F F V F V 
F V V V F V F 
F F V V V V V 
 
Se puede observar que el condicional es una contingencia, por tanto el razonamiento 
no es válido. 
 
 
 
 
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Ejemplo 3: 
Determinar la validez del siguiente razonamiento: 
Si 25 es par, entonces 25 se puede escribir como múltiplo de 2. 
25 se puede escribir como múltiplo de 2 
Por lo tanto, 25 es par. 
Desarrollo: 
p: 25 es par. 
q: 25 se puede escribir como múltiplo de 2. 
p  q 
q 
p 
 
p q p  q (p  q)  q (p  q)  q  p 
V V V V V 
V F F F V 
F V V V F 
F F V F V 
 
Se puede observar que el condicional es una contingencia, por tanto el razonamiento 
no es válido. 
 
Ejemplo 4: 
El estudiante podrá verificar que el siguiente razonamiento es válido: 
Si 11 es impar, se puede escribir como 10+1. 
11 no se puede escribir como 10+1. Por lo tanto 11 no es impar. 
 
Se puede observar que en los ejemplos dados se presentaron los siguientes casos: 
 Ejemplo 1: es un razonamiento válido con una conclusión verdadera. 
 Ejemplo 2: es un razonamiento no válido con una conclusión verdadera. 
 Ejemplo 3: es un razonamiento no válido con una conclusión falsa. 
 Ejemplo 4: es un razonamiento válido con una conclusión falsa. 
 
 
 
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Se puede concluir a partir de los ejemplos dados que la validez de un razona-
miento se refiere al modo empleado para razonar y no al valor de verdad de la 
conclusión. Valor de verdad y razonamiento válido son conceptos diferentes. 
 
 
1.11. Implicaciones Asociadas 
Se puede representar un razonamiento válido mediante la implicación p  q. En este 
caso p es la hipótesis y q es la tesis, luego p  q constituye un teorema que expresa: 
 “Si p es verdad, entonces q es verdad” 
 Dado el teorema p  q, al que se denominará directo, se presentan varios teo-
remas asociados con él, ellos son: 
 El teorema recíproco: q  p 
El teorema contrario: p  q 
El teorema contrarrecíproco: q  p 
 El siguiente esquema proporciona la relación que los vincula: 
 
 p  q recíproco q  p 
 
 contra- 
 recíproco 
 
 contrario contrario 
 
 contra- 
 recíproco 
 
 p  q recíproco q  p 
 
El teorema directo expresa que p es suficiente para que se cumpla q; el teorema recí-
proco dice que p es necesario para que se cumpla q. Si ambos teoremas son válidos, 
entonces p y q son equivalentes, en cuyo caso se dirá “p es condición necesaria y 
suficiente para que se cumpla q”. 
Ejemplo: 
Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas, encontrar las implicaciones recí-
proca, contraria y contrarecíproca: 
a) “Si Diego estudia en la Universidad, tiene posibilidad de encontrar trabajo 
b) “Cuando no entiendo el tema, no puedo resolver la ejercitación”. 
c) “No hay crisis social cuando se pagan los sueldos a tiempo” 
 
 
 
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Desarrollo: 
a) p: Diego estudia en la Universidad 
 q: Diego tiene posibilidad de encontrar trabajo 
 pq: Si Diego en la Universidad, tiene posibilidad de encontrar trabajo 
Recíproca: q  p : Si Diego tiene posibilidad de encontrar trabajo, entonces estudia en 
la Universidad. 
Contraria: p  q: Si Diego no estudia en la Universidad, no tiene posibilidad de en-
contrar trabajo. 
Contrarrecíproca: q  p: Si Diego no tiene posibilidad de encontrar trabajo, no es-
tudia en la Universidad. 
 
b) p: Entiendo el tema 
 q: Puedo resolver la ejercitación 
 pq: Cuando no entiendo el tema, no puedo resolver la ejercitación. 
Recíproca: q  p : Cuando no puedo resolver la ejercitación, no entiendo el tema. 
Contraria: (p)  (q)  pq : Cuando entiendo el tema, puedo resolver la ejercita-
ción. 
Contrarrecíproca: q  p: Cuando puedo resolver la ejercitación, entiendo el tema. 
 
c) p: Se pagan los sueldos a tiempo 
 q: Hay crisis social 
p  q: No hay crisis social cuando se pagan los sueldos a tiempo 
Esta expresión también se puede expresar como: Cuando se pagan los sueldos a 
tiempo, no hay crisis social. 
Recíproca: q  p: Cuando no hay crisis social, se pagan los sueldos a tiempo. 
Contraria: p  (q)  pq : Cuando no se pagan los sueldos a tiempo, hay crisis 
social. 
Contrarrecíproca: q  p: Cuando hay crisis social, no se pagan los sueldos a tiempo. 
 
1.12. Funciones Proposicionales: Su cuantificación 
Definición: Se llama función proposicional en una variable o indeterminada “x” a toda 
oración en la que figura “x” como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en propo-
sición para cada especificación de “x”. 
 
 
 
 
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Ejemplo: 
P(x): x es impar, es una función proposicional de la que no se puede asegurar si es V 
o F, y de la cual surgen proposiciones como por ejemplo: 
 P(-4): -4 es impar (F) P(5): 5 es impar (V) 
 
1.12.1. Cuantificadores 
A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposicionesmás generales 
mediante un proceso llamado de cuantificación. 
Asociados a la variable “x”, se introducen los símbolos  llamado cuantificador uni-
versal y  llamado cuantificador existencial en x. 
Las expresiones: 
“para todo x, se verifica P(x)” se denota  x: P(x) y corresponden a una función 
proposicional P(x) cuantificada universalmente. 
“existe x, tal que se verifica P(x)” se denota  x / P(x) y corresponden a una 
función proposicional P(x) cuantificada existencialmente. 
 
1.12.2. Valores de verdad 
Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera sí y sólo sí son 
verdaderas todas las proposiciones asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una 
función proposicional cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera al-
guna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. 
Ejemplo 1: 
 Sea la función proposicional: F(x): x es una persona mortal 
La proposición universal será:  x: F(x) y se lee “Para todo x, x es una persona 
mortal”, o bien “Todas las personas son mortales”, por lo que se puede ver que la pro-
posición general es verdadera, puesto que todas las proposiciones singulares que se 
deducen de F(x) resultan verdaderas. 
Ejemplo 2: 
Sea la función proposicional: G(x): x es un alumno estudioso 
La proposición existencial es:  x / G(x) y se traduce como “Algunos alumnos son 
estudiosos”. Esta proposición general es verdadera si al menos una de las proposiciones 
simples es verdadera. 
 
 
 
 
 
 
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1.12.3. Negación 
Para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuanti-
ficador en existencial, y se niega la función proposicional. 
Ejemplo: 
 Sea la función proposicional: F(x): x es impar. Al cuantificarla universalmente se 
obtiene: x: F(x), es decir: “Todos los x son impares” 
 Su negación es:  x / F(x), es decir: “Existe algún número que no es impar” 
Para negar una función proposicional cuantificada existencialmente, se cambia el cuan-
tificador en universal, y se niega la función proposicional. 
 Si se considera el ejemplo anterior:  x / x es impar; su negación es: 
 x: F(x) es decir  x: x no es impar o bien: “todos los x son pares”. 
 
Ejemplo: 
Dadas las siguientes funciones proposicionales, simbolizarlas, negarlas y retraducirlas: 
a) Todos los estudiantes se esfuerzan por atender. 
b) Algunos servicios son caros. 
c) Algunos bancos brindan buena atención y pagan mayores tasas de interés. 
 
Desarrollo: 
a) x: estudiantes; F(x): los “x” se esfuerzan por atender. 
  x: F(x): Todos los estudiantes se esfuerzan por atender 
Negación:  x /F(x): Algunos estudiantes no se esfuerzan por atender. 
b) x: servicios; F(x): los “x” son caros 
  x /F(x): Algunos servicios son caros 
Negación:  x: F(x): Todos los servicios no son caros 
c) x: bancos; F(x): los “x” brindan buena atención a sus clientes; 
G(x): los “x” pagan mayores tasas de interés. 
 x / F(x) G(x): Algunos bancos brindan buena atención y pagan mayores tasas de 
interés. 
Negación:  x: F(x)  G(x): Todos los bancos no brindan buena atención a los clientes 
o no pagan buenas tasas de interés. 
 
 
 
 
 
 22 
 
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1.13. Nociones de Conjuntos. Introducción 
El concepto de conjunto es fundamental en la Matemática, tanto en la Matemática pura 
como en las aplicadas. La Teoría de Conjuntos es un sistema matemático que relaciona 
conceptos básicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas, y su base me-
todológica es el razonamiento deductivo. Su conocimiento facilita el estudio de temas 
matemáticos más avanzados, tales como funciones, probabilidad, muestreo, entre otros, 
y permite construir proposiciones matemáticas más claras y precisas, llegando inclusive 
a explicar conceptos abstractos como el de infinito. 
 
1.13.1. Conceptos primitivos y notación 
La idea de conjunto es un concepto primitivo, en consecuencia, no es posible enunciar 
su definición. Proviene de la noción intuitiva o vulgar que se tiene de conjunto: colección, 
agrupación de objetos cualesquiera. Otros conceptos primitivos son: elemento (de un 
conjunto) y pertenencia (de un elemento a un conjunto). 
Para que exista un conjunto se deben cumplir los siguientes requisitos: 
 La colección de objetos debe estar bien definida; es decir, la pertenencia de 
un elemento al conjunto no debe ofrecer dudas. 
 Los elementos deben ser distintos. 
 El orden en que se enumeren los objetos carece de importancia. 
Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas de imprenta. Ejemplo: A, B, C, … 
A cada unidad que forma parte de un conjunto se lo llama elemento y se simboliza con 
letra minúscula. Ejemplo: a, b, c, d … 
 Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo . 
Ejemplo: a  A (se lee: el elemento “a” pertenece al conjunto A) 
 Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo 
 
Ejemplo: b  A (se lee: el elemento “b” no pertenece al conjunto A) 
 
1.14. Formas de definir y graficar un conjunto 
Un conjunto se puede definir de dos maneras: por extensión y por comprensión. 
 Un conjunto está definido por extensión cuando se mencionan o nombran todos 
los elementos que lo constituyen. Para ello se escriben los elementos entre lla-
ves, separados entre sí por una coma y sin repetirlos. 
Ejemplo: Los conjuntos A y B están escritos por extensión: 
 
 
 
 23 
 
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A = { 1, 3, 5, 7 } B = { a, b, c, d, e } 
 
 Un conjunto está definido por comprensión cuando se indica la propiedad o 
criterio que deben cumplir los elementos que le pertenecen. 
O sea, en símbolos: A = { x / p (x) } 
Se lee: “el conjunto A está formado por los elementos x tal que verifican la propiedad p, 
que depende de x”. 
 
Ejemplo: Los conjuntos A y B están escritos por comprensión: 
A = { x/x N ˄ x < 9 } B = { x/x es una vocal } 
 
Los conjuntos pueden representarse gráficamente por medio de recintos cerrados, 
llamados “Diagramas de Venn”. En cada conjunto se identifican, mediante puntos, a 
los elementos que le pertenecen. 
 
 
1.15. Conjuntos especiales 
1.15.1. Conjunto Universal o Referencial: es aquel al cual pertenecen todos los ele-
mentos que están siendo estudiados. Se denota con la letra U. 
Ejemplo: U: Letras del abecedario U: Números reales 
Al conjunto Universal se lo representa mediante un rectángulo. 
Ejemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 6, 9} 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.15.2. Conjunto Vacío: es aquel que no posee ningún elemento. 
Notación: { } ó Ø 
 U 
1 A 2 
 4 
5 7 
 8 
 
 
 
 8 
 4 
 7 
3 
 6 
9 
 
 
 
 
 24 
 
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Ejemplo: 
A = { x/x2 = 4 ˄ x es impar } = Ø 
B = { x/x es un número negativo mayor que 0 } = Ø 
 
1.15.3. Conjunto Unitario: es aquel que tiene un solo elemento. 
Ejemplo: 
A =  x/x  N ˄ x1 = 1 
 
1.15.4. Conjunto Infinito: es aquel en el que es imposible contar o enumerar la totalidad 
de sus elementos. 
Ejemplo: 
A = { x/x  N  x es número par } 
 
1.15.5. Conjunto Finito: es aquel en el que se puede contar o enumerar la totalidad de 
sus elementos. 
Ejemplo: 
A = { x/x son las letras del abecedario } = { a, b, c, d,…, z } 
 
1.16. Relaciones entre conjuntos 
Cuando dos conjuntos se comparan entre sí puedendefinirse distintas relaciones, entre 
las cuales se consideran: 
 
1.16.1. Igualdad de Conjuntos 
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. 
En símbolos: A = B 
Ejemplo: A =  x/x  Z  x² = 4  y B = -2, 2  A= B 
 
 La igualdad entre conjuntos puede expresarse como una equivalencia lógica en-
tre dos funciones proposicionales. 
 
1.16.2. Inclusión - Subconjuntos 
Sean A y B dos conjuntos, si todo elemento de A pertenece a B, se dice que A está 
incluido en B ó que A es parte de B, ó que A es un subconjunto de B. 
 
 
 
 25 
 
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Gráficamente 
 
 
 
 
 
Notación: A  B (A incluido en B) B  A (B incluye a A) 
Simbólicamente: A  B si  a: a  A ˄ a  B y  b / b  B ˄ b  A 
 
Si A no está incluido en B, se simboliza: A  B 
Si A es subconjunto de B o A=B, se simboliza: A  B 
La inclusión entre conjuntos tiene las siguientes propiedades. 
Para todo conjunto A, B, y C: 
 Relación con los conjuntos Ø y U: Ø  A  U 
 Reflexiva: A  A 
 Transitiva: A  B  B  C  A  C 
 Antisimétrica: A  B  B  A  A = B 
 
Ejemplo: 
A =  x/x  N  x es divisor de 10  A =  1, 2, 5, 10  
B =  x/x  N  1  x  3  B = 1, 2 
Observando los elementos de los conjuntos A y B se puede concluir que B  A 
 
1.16.3. Conjuntos disjuntos o disyuntos 
Dos conjuntos son disyuntos si no poseen elementos comunes. 
En símbolos: AB 
 
Ejemplo: 
A = { x/x  N  1  x  4} A = { 2, 3, 4 } 
B = { 5,7 } 
 
 A B 
 
 
 
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 A B 
 
 
 
1.16.4. Conjuntos entrelazados 
Cuando poseen sólo algunos elementos en común 
 
Ejemplo: 
A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 } 
Gráficamente 
 
 A B 
 
 
1.17. Operaciones con conjuntos 
1.17.1. Complemento de un conjunto 
Es el conjunto formado por los elementos del conjunto Universal, que no pertenecen al 
conjunto en cuestión. 
Por ejemplo: el complemento de un conjunto A, en símbolos es: 
Ac =  x  U / x  A  
 
Ejemplo: 
Dados: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 3, 6, 9 } 
Ac = 1, 2, 4, 5, 7, 8 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
U 
1 2 Ac 
 4 
5 6 7 
 8 
 
 
A 
3 
 6 
9 
 
 
 
 
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La complementación entre conjuntos tiene las siguientes propiedades: 
 Øc = U El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal. 
 Uc = Ø El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío. 
 (Ac) c = A El complemento de Ac es el conjunto A (Involución). 
 A = B  Ac = Bc 
 
 La operación de complementación de conjuntos está vinculada con la nega-
ción lógica de una función proposicional. 
 
Ejemplo: 
Sea A = {números naturales pares } 
puede ser definido como P(x): x es un número natural par 
y la negación de la función proposicional P(x): x es un número natural impar 
 que define el complemento del conjunto A siendo U el conjunto de los números natu-
rales. 
 
1.17.2. Unión de conjuntos 
Sean A y B subconjuntos de U. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado 
por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos conjuntos. 
En símbolos: A  B =  x/x  A  x  B  
Ejemplo 1: 
 A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 } 
A  B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20 } 
Gráficamente 
 
 A B U 
 • 10 • 20 
 • 4 
 • 2 • 8 
 • 6 • 12 16• 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2: 
C = 1, 2, 3, 4 D = 2, 3, 4, 5 
C  D = 1, 2, 3, 4, 5 
Ejemplo 3: 
E = { 5, 10, 15 } F = { 1, 5, 10, 15, 20, 25 } 
E  F = {1, 5, 10, 15, 20, 25} = F porque E  F 
 
La unión de conjuntos tiene las siguientes propiedades: 
 a) Asociativa: A  (B  C) = (A  B)  C 
 b) Conmutativa: A  B = B  A 
c) Elemento neutro: A  Ø = Ø  A = A 
 d) Idempotencia: A  A = A 
e) Unión de un conjunto y su complemento: A  Ac = Ac  A = U 
 
 La unión de conjuntos está vinculada con la disyunción inclusiva de dos funcio-
nes proposicionales. Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el de 
la proposición Q(x), entonces P  Q es el conjunto solución de la proposición 
P(x)  Q(x) 
Ejemplo: 
P(x): x es un dígito impar P = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
Q(x): x es un dígito mayor que 2 y menor que 7 Q = {3, 4, 5, 6 } 
P(x)  Q(x): x es un dígito impar o un dígito mayor que 2 y menor que 7 
P  Q = { 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 } 
 
 
1.17.3. Intersección de conjuntos 
Sean A y B subconjuntos de U. La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto 
formado por los elementos que pertenecen a A y a B. 
En símbolos: A  B =  x/x  A  x  B  
 
Ejemplo 1: 
A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 } 
 
 
 
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 A  B = { 4, 8, 12 } 
 
Gráficamente 
 
 B 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
 C =  2, 4, 6, 8, 10  
 D =  x/x  N  5  x 11 =  5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 
 C  D = 6, 8,10 
Ejemplo 3: 
E = { 1, 2, 3 } F = { 1, 2, 3, 4 } 
E  F = { 1, 2, 3 } = E, porque E  F 
Ejemplo 4: 
G = { 2, 4, 6, 8 } H = { 3, 5, 7 } 
 G  H = Ø; porque G  H 
La intersección de conjuntos tiene las siguientes propiedades: 
a) Asociativa: A  (B  C) = (A  B)  C 
b) Conmutativa: A  B = B  A 
c) Intersección de un conjunto y el vacío: A  Ø = Ø  A = Ø 
d) Idempotencia: A  A = A 
e) Intersección de un conjunto y su complemento: A  Ac = Ac  A = Ø 
 
Otras propiedades que relacionan las operaciones de unión e intersección son: 
a) Distributividad de la intersección respecto de la unión: 
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
 b) Distributividad de la unión respecto de la intersección 
 10 
 
2 
 6 
 20 
4 
 12 
 
16 
8 
U A B 
 
 
 
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 A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
c) Leyes de De Morgan: 
 El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección 
de sus complementos: 
 (A  B)c = A c   c 
 El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión 
de sus complementos: 
 (A  B) c = A c   c 
 
 La intersección de conjuntos está vinculada con la conjunción de dos funciones 
proposicionales. Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el de la 
proposición Q(x), entonces P  Q es el conjunto solución de la proposición P(x) 
˄ Q(x) 
 
 
Ejemplo: 
P(x): x es un dígito impar P = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
Q(x): x es un dígito mayor que2 y menor que 7 Q = {3, 4, 5, 6 } 
P(x) ˄ Q(x): x es un dígito impar, mayor que 2 y menor que 7 
P  Q = { 3, 5 } 
 
 
1.17.4. Diferencia de dos conjuntos 
Sean A y B subconjuntos de U. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto 
formado por los elementos de A que no pertenecen a B. 
En símbolos: A – B =  x/x  A  x  B  
 
Ejemplo 1: 
 A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 } 
 A – B = { 2, 6, 10 } 
Gráficamente 
 
 
 
 
 31 
 
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 A B U 
 
 
 
 
 
B – A = { 20, 16 } 
 
Ejemplo 2: 
C =  1, 2, 3, 4  D =  x/x  N  5  x  10  =  5, 6, 7, 8, 9, 10  
C – D =  1, 2, 3, 4  D – C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 
Ejemplo 3: 
E = { a, b, c, d, e, f, g } F = { b, d, f } 
E – F = {a, c, e, g } F – E = Ø 
La diferencia de conjuntos tiene las siguientes propiedades: 
a) A – B = A  Bc 
b) U – A = A c 
 
 La diferencia entre conjuntos está vinculada con la función proposicional com-
puesta P(x) ˄ Q(x). Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el 
de la proposición Q(x), entonces P – Q es el conjunto solución de la proposición 
P(x) ˄  Q(x) 
 
Ejemplo: 
U = { números dígitos } 
P(x): x es un dígito impar P = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
Q(x): x es un dígito mayor que 5 Q = { 6, 7, 8, 9 } 
Q(x): x es un dígito menor que 6 
P(x) ˄ Q(x): x es un dígito impar y menor que 6 
P – Q = { 1, 3, 5 } 
 10 
 
2 
 
 6 
 20 
4 
 12 
 16 
8 
 
 
 
 32 
 
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Introducción a la Matemática 
1.17.5. Diferencia simétrica de dos conjuntos 
Sean A y B subconjuntos de U. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión 
de los conjuntos ( A – B ) y ( B – A ). 
En símbolos: A  B = (A – B)  (B – A) 
 ó A  B = (A  B) – (A  B) 
 
Ejemplo 1: 
 A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 } 
 A  B = (A – B)  (B – A) = { 2, 6, 10 }  { 16, 20 } = { 2, 6, 10, 16, 20 } 
ó A  B = (A  B) –(A  B) = {2, 4, 6,8,10, 12,16, 20} – {4, 8. 12} = {2,6, 10, 16,20} 
 
 
 A B U 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
C = {a, b, c, d} D = {i, o, u, m} 
C  D = (C – D)  (D – C) = {a, b, c, d}  {i, o, u, m} = {a, b, c, d, i, o, u, m} 
 
 C D U 
 
 
 
 10 
 
2 
 
 6 
 20 
4 
 12 
 16 
8 
 
 
 
 33 
 
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Ejemplo 3: 
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} F = { 2, 4, 6, 8 } 
E  F = (E – F)  (F – E) = = { 1, 3, 5, 7, 9}  Ø = { 1. 3. 5. 7. 9 } 
E  F = (E  F) – (E  F) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – { 2, 4, 6, 8 } = { 1. 3. 5. 7. 9 } 
 
 E U 
 F 
 
 
 
 
La diferencia simétrica de conjuntos tiene las siguientes propiedades: 
a) Asociativa: A  (B  C) = (A  B)  C 
b) Conmutativa: A  B = B  A 
c) A  A = Ø 
 
 La diferencia simétrica entre conjuntos está vinculada con la disyunción exclu-
yente de dos funciones proposicionales. Si P es el conjunto solución de la pro-
posición P(x) y Q el de la proposición Q(x), entonces P  Q es el conjunto solu-
ción de la proposición P(x)  Q(x) 
 
U = { números dígitos } 
P(x): x es un dígito impar P = { 1, 3, 5, 7, 9 } 
Q(x): x es un dígito mayor que 5 Q = { 6, 7, 8, 9 } 
P(x)  Q(x): x es un dígito ó impar ó mayor que 5 
P  Q = { 1, 3, 5, 6, 8 } 
 
1.18. Número de elementos de un conjunto (cardinal) 
Sea A un conjunto finito; n(A) es el número de elementos de A o cardinal de A. 
En símbolos: n(A) o Card(A) 
 
 
 
 34 
 
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Ejemplo: 
A =  a, e, i, o, u  n (A) = 5 
 
 Si A y B son disyuntos  n (A  B) = n (A) + n (B) 
 Si A y B no son disyuntos  n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B) 
 
Ejemplo 1: 
A = {1, 2, 3, 4} B = {6, 7, 8} 
A  B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} A  B = Ø 
n (A) = 4 n (B) = 3 n (A  B) = 4 + 3 = 7 
 
Ejemplo 2: 
C = { a, e, i , o, u} D = { i, u } 
C  D = { a, e, i, o, u } C  D = { i, u } 
n (C) = 5 n (D) = 2 n (C  D) = 5 + 2 – 2 = 5 
 
Ejemplo 3: 
E = { a, b, c, d, e, f } F = { a, e, i, o } 
E  F = { a, b, c, d, e, f, i, o } E  F = { a, e } 
n (E) = 6 n (F) = 4 n (E  F) = 6 + 4 – 2 = 8 
 
1.19. Producto Cartesiano 
Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A por B es el conjunto formado por 
todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto, A y 
la segunda componente pertenece al segundo conjunto, B. 
En símbolos: 
 A x B = (a, b) / a  A  b  B 
A x B  B x A, salvo que A=B 
 
Ejemplo 
A =  3, 5  B =  1, 2, 3  
AxB =  (3,1), (3,2), (3,3), (5,1), (5,2), (5,3)  
 
 
 
 35 
 
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Gráficamente 
 
 B 
 3   
 
 
 2   A x B 
 
 
 1   
 
 
0 1 2 3 4 5 6 A 
 
 
 
1.20. Resumen de la relación entre la lógica simbólica y la teoría de conjuntos 
Para resumir la relación existente entre las operaciones lógicas y las operaciones en-
tre conjuntos, utilizaremos dos conjuntos A y B cualesquiera y dos funciones proposi-
cionales: 
P(x): x pertenece al conjunto A 
Q(x): x pertenece al conjunto B 
Las principales operaciones pueden resumirse como 
A = B P(x)  Q(x) 
A  B P(x)  Q(x) 
A c  P(x) 
A  B P(x)  Q(x) 
A – B P(x)  Q(x) 
 
 
Las propiedades que se presentan como comunes 
 Algebra de proposiciones Algebra de conjuntos 
Ley de involución (p)  p (Ac)c = A 
Ley de Idempo-
tencia 
p  p  p 
p  p  p 
A  A = A 
A  A = A 
 
 
 
 36 
 
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Ley asociativa (p  q)  r  p  (q  r) 
(p  q)  r  p  (q  r) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
(A  B)  C = A  (B  C) 
Ley conmutativa p  q  q  p 
p  q  q  p 
A  B = B  A 
A  B = B  A 
Ley distributiva p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  
C) 
A  (B  C) = (A  B)  (A  
C) 
Leyes de De 
Morgan 
(p  q)  p  q 
(p  q)  p  q 
(A  B)c = A c  B c 
(A  B) c = A c  B c 
 
 
 
 
 
 
 37 
 
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Unidad 2 
Conjuntos Numéricos 
 
Introducción 
Otro de los conceptos fundamentales de la Matemática es el de número. Surge en la 
antigüedad dando lugar al primer conjunto numérico, el conjunto de los naturales. Éste 
se fue ampliando y generalizando con el tiempo, hasta llegar a los conjuntos numéricos 
que hoy se conocen y con los que se trabajan habitualmente. 
Dichos conjuntos son: los números enteros (Z), los números racionales (Q), los números 
irracionales (I), los números reales (R) y los números complejos (C). 
En esta Unidad se va a realizar un repaso de los conjuntos numéricos, sus operaciones 
básicas y propiedades más importantes. 
 
2.1. Los números naturales 
El conjunto de los números naturales fue el primero en aparecer, dada la necesidad que 
tenía el hombre para contar. Es ordenado y tiene primer elemento, el1, el segundo es 
el 2 y así sucesivamente; el enésimo elemento es “n” y su consecutivo “n+1". Este con-
junto se extiende ordenadamente sin tener último elemento. Además, entre dos núme-
ros naturales no consecutivos, siempre existe un número finito de números naturales; 
es por ello que este conjunto es discreto. 
Éste se define por extensión de la siguiente manera: N = {1, 2, 3, …, n, n+1, ..…} 
Si al conjunto anterior se le incorpora el 0 (cero), el conjunto resultante recibe el nombre 
de números naturales ampliado y se simboliza con No, siendo: 
No = {0, 1, 2, 3, ..., n, n+1,…} 
 
Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado es siem-
pre un número natural. Por esto decimos que tanto la Suma como la Multiplicación son 
Ley de Composición Interna en el conjunto de los Números Naturales. 
Simbólicamente: 
 Adición: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁: 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑁 
 Multiplicación: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁: 𝑎 . 𝑏 ∈ 𝑁 
En cambio si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es 
un número natural. 
Ejemplo 
Sean 3 y 4  N. Entonces: 
 
 
 
 38 
 
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a) 4 + 3 = 7; 7  N c) 4 . 3 = 12; 12  N 
b) 4 – 4 = 0; 0  N d) 3 : 4 = 0,75; 0,75  N 
 
Las operaciones entre números naturales están regidas por cinco leyes, llamadas Leyes 
Fundamentales de la Aritmética. Estas son: 
 
1) Ley asociativa de la adición:  a, b, c  N, a + (b + c) = (a + b) + c 
2) Ley asociativa de la multiplicación:  a, b, c  N, a. (b . c) = (a . b) . c 
3) Ley conmutativa respecto de la adición:  a, b  N, a + b = b + a 
4) Ley conmutativa respecto de la multiplicación:  a, b  N, a . b = b . a 
5) Ley distributiva de la multiplicación respecto de la suma: 
 a, b, c  N, a . (b + c) = a . b + a . c 
 
 
2.2. Los números enteros 
Como se pudo observar en los ejemplos precedentes, algunas de las operaciones rea-
lizadas no dan como resultado un número natural. Si “a” y “b” son dos números natura-
les, para que “a – b” sea posible en N, “a” debe ser mayor que “b”. Cuando “a” es menor 
o igual que “b”, es necesario considerar el 0 (cero) y los números negativos: -1, -2, -
3,….., para que “a – b” tenga solución en un conjunto que no es el conjunto N y que se 
considera a continuación. 
El conjunto formado por los números naturales, el cero y los negativos (también deno-
minados enteros negativos, Z – ) se denomina conjunto de números enteros y su nota-
ción es Z. Este último conjunto es una ampliación de los números naturales. 
En símbolos: Z = N U 0 U Z –- 
 
El conjunto Z no tiene primer ni último elemento; cada número entero tiene un antecesor 
y un sucesor; es un conjunto discreto y ordenado y en él tienen sentido las operaciones 
de adición, sustracción y multiplicación. 
 
Ejemplo: 
 a) 3 + 1 = 4; 4  Z e) 4 . 3 = 12; 12 Z 
b) 3 + ( -1) = 3 - 1 = 2; 2  Z f) (-4) . 3 = -12; -12 Z 
c) -7 + 10 = 3; 3  Z g) (-5).(-2) =10; 10  Z 
 
 
 
 39 
 
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 d) -7 + (-10) = - 7 - 10 = -17; -17 Z h) 6.(-3) = -18; -18  Z 
Para graficar los números enteros se utiliza una recta numérica, donde se elige un punto 
arbitrario para representar al origen (al cual lo indicamos con 0, cero), se adopta un 
segmento como unidad y la convención de que, para la derecha estarán los naturales o 
enteros positivos y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los na-
turales o enteros positivos). 
 
 
 
Si bien en Z están definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, no 
siempre es posible realizar la división, ya que dados “a”, “b”  Z, la división “a÷b” dará 
como resultado un número entero sólo si “a es múltiplo de b y b es distinto de 0”. 
Para solucionar esta limitación se crearon los números fraccionarios, cuyo conjunto se 
denota con F. 
 
2.3 Los números fraccionarios y los números racionales 
Los números fraccionarios surgen de la división de dos números enteros “p” y “q”, tal 
que en la división “p/q”, el numerador “p” no sea múltiplo del denominador “q”, y este 
último sea distinto de cero. 
El conjunto formado por la unión de los números enteros y los números fraccionarios se 
denomina conjunto de los números racionales: Q. 
En símbolos: Q = Z U F = p/q / p, q  Z  q  0 
 
Tener en cuenta: 
i)  p  Z, p/1 = p. Luego Z  Q. 
ii)  q  Z  q  0, 0/q = 0. Luego, 0  Q. 
iii)  p, q  Z  q  0, – (p/q) = (–p)/q = p/(–q) 
 
El conjunto de los números racionales es ordenado e infinito. También es denso, es 
decir, entre dos números racionales existen infinitos número racionales. 
 
 
 
 
 40 
 
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En el conjunto Q se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción, multiplica-
ción y división (excepto por cero). 
Los números racionales también se escriben como expresiones decimales finitas o ex-
presiones decimales infinitas periódicas; como se puede ver en los siguientes ejemplos: 
3
2
= 1,5 
2
3
= 0,666 … 
5
6
= 0,8333 … 
 
2.3.1 Operaciones en los racionales 
2.3.1.1 Suma y resta de números racionales 
Dados dos números racionales, para sumarlos o restarlos se presentan dos casos dife-
rentes: 
a) Cuando tienen igual denominador. 
b) Cuando tienen distinto denominador. 
En cada caso se procede de la siguiente manera: 
 Para sumar o restar dos números racionales que tengan el mismo denominador, 
se suman o se restan los numeradores, según corresponda, y se repite el deno-
minador. 
6 3 6 3 9
5 5 5 5

   
 
 Para sumar o restar dos fracciones que tengan distintos denominadores se pro-
cede de la siguiente manera: 
i. Se obtiene el mínimo común denominador (MCD) de entre los deno-
minadores de las fracciones dadas. 
ii. Se reemplazan las fracciones dadas por otras equivalentes que ten-
gan, como denominador, el MCD determinado. 
iii. Se suman o restan las fracciones equivalentes. 
1 6 1.5 6.4 5 24 29
4 5 4.5 5.4 20 20

    
 
 
 
2.3.1.2 Multiplicación de números racionales 
El producto de dos números racionales es otro número racional, tal que, su numerador 
es el producto de los numeradores dados y su denominador es el producto de los deno-
minadores dados. 
4 5 1 4 5 1 20 1
5 6 2 5 6 2 60 3
 
    
 
 
 
 
 
 41 
 
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Previo a multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, cuando sea posible 
se simplifican valores del numerador con valores del denominador. 
12 1
1 3 1
4 5 1 4 5 1 1
5 6 2 5 6 2 3
  
   
  
 
 
2.3.1.3 División de números racionales 
Dados dos números racionales, el cociente de éstos es otro número racional, que tiene 
como numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador 
de la segunda fracción, y como denominador el producto del denominador de la primera 
fracción, por el numerador de la segunda fracción. 
5 2 5 3 15
4 3 4 2 8

  

 
Otra forma de resolver el cociente entre dos números racionales consiste en la multipli-
cación de la primera fracción por la segunda fracción invertida. 
5 2 5 3 15
4 3 4 2 8
    
 
 
2.4 Los números irracionales 
Hay números que no pueden ser escritos como expresiones decimales finitas o expre-
siones decimales infinitas periódicas; es el caso de los que poseen infinitas cifras deci-
males no periódicas. Ellos se denominan números irracionales, y conforman el conjunto 
que se denota con la letra I. 
Son números irracionales, por ejemplo: 3,1416..., 3 1,7320..., e 2,718...    
 
 
2.5 Los números reales 
Los números reales son expresiones decimales, ya sean finitas o infinitas, pudiendoser 
estas últimas, periódicas o no periódicas. Así, los números reales, (R) surgen de la unión 
entre los conjuntos de los números racionales y los números irracionales: 
R = Q U I 
 
 
 
 42 
 
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R
I 
El conjunto de los números reales goza de las mismas propiedades que los números 
racionales y la relación entre los conjuntos numéricos analizados hasta el momento se 
puede visualizar en el siguiente diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así también se puede apreciar la relación existente entre todos los conjuntos numéricos, 
de la siguiente manera: 
 
También, en el conjunto de los números reales se pueden realizar las operaciones de: 
potenciación, radicación y logaritmación, las cuales se pasan a enunciar a continuación. 
 
2.5.1 Potenciación 
Si “a” es un número real y “n” es un número natural, entonces la potencia de grado “n” 
de “a”, indicada por: “an ”, se obtiene multiplicando “n” veces el número “a”, es decir: 
an = a . a . a….a 
 
 n veces 
Números Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Negativos y 
cero
Fraccionarios
Decimales 
exactos
Decimales 
periodicos
Irracionales
Decimales no 
periodicos
Q 
 Z N 
I 
 0 
 
 
 
 43 
 
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Si an = b, entonces “a” es la base, “n” el exponente y “b” es la potencia de grado n del 
número a o, simplemente, “n-ésima potencia de a”. 
 
3a) 4 = 4 4 4 = 64  , 
3
1 1 1 1 1
b) - = - - - = -
2 2 2 2 8
       
        
       
2
3 3 3 9
c) - = - - = 
5 5 5 25
     
     
     
 
 
El signo de una potencia se obtiene de aplicar la regla de los signos del producto. De 
esta manera, según sea el signo de la base y dependiendo si el exponente es par o 
impar, se obtiene una potencia positiva o negativa. 
Potencia Base Exponente Resultado 
22 = 2x2 = 4 Positiva Par Positivo 
(-2)2 = (-2)x(-2) = 4 Negativa Par Positivo 
23 = 2x2x2 = 8 Positiva Impar Positivo 
(-2)3 = (-2)x(-2)x(-2) = -8 Negativa Impar Negativo 
 
Se puede extender la definición de potencia para el caso de exponentes enteros defi-
niendo, para a ≠ 0: 
a –n = (a– 1 )n =
n
n
1 1
a a
 
 
 
 con n N 
a) 4−3 =
1
43
=
1
64
 b) (−
3
2
)
−3
= (−
2
3
)
3
= −
23
33
= −
8
27
 
 
2.5.2.1 Propiedades 
Sean “a” y “b” números reales distintos de 0 y sean “m” y “n” números enteros, entonces 
son válidas las siguientes propiedades: 
 Distributiva respecto de la multiplicación 
(a . b)m = am . bm (2 . 3)2 = 22 . 32 
 Distributiva respecto de la división 
(
a
b
)
m
=
am
bm
 (
3
2
)
3
=
33
23
 
 Producto de potencias de igual base 
am . an = am + n 24 . 23 = 27 
 
 
 
 44 
 
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 Cociente de potencias de igual base 
am
an
= am−n 
57
54
= 53 
 Potencia de otra potencia 
(am)n = am.n (32)4 = 38 
 
a) La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta: (a  b)n  an  bn 
b) Cuando el exponente es 0 y la base “a” es distinta de 0, la potencia vale 1: a0 = 1. 
c) 0n = 0 con n  0. 
d) 00 no está definido. 
 
 
2.5.2 Radicación 
Se llama raíz n-ésima de un número real “a”, a otro número real “b” tal que, “b” elevado 
a la “n” es igual a “a”. Simbólicamente se puede escribir: 
a R, n  N ; 
nn a =b b =a ; siendo: “a” el radicando, “b” la raíz enésima de a, “n” el 
índice y el signo radical. 
4 16 2 a) ya que (+2)4 =16 y (-2)4=16
3 8 2 b) ya que 23 = 8 
3 -8 -2 c) ya que (-2)3 = 8 
-25d) no tiene solución en el conjunto de los números reales ya que (-5)2 = 25 
y (+5)2 = 25 
 
2.5.2.1 Propiedades 
Sean “a” y “b” números reales positivos o nulos y sean “n” y “m” números naturales, 
entonces son válidas las siguientes propiedades: 
 Distributiva respecto a la multiplicación 
√a. b
m
= √a
m
. √b
m
 √16 . 81
4
= √16
4
. √81
4
 
 Distributiva respecto a la división 
√
a
b
m
=
√a
m
√b
m , b ≠ 0 √
8
27
3
=
√8
3
√27
3 
 Raíz de otra raíz 
√ √a
n
 
m
= √a
m.n
 √√64
3
= √64
2.3
 
 
 
 
 45 
 
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 Simplificación de radicales 
Si m es impar √am
m
= a √23
3
= 2 
Si m es par √am
m
= ±a √34
4
= |3| 
 
La radicación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta. 
n n na b a b   
 
2.5.2.2 Simplificación de radicales 
Para simplificar un radical, se dividen el índice y el exponente de cada uno de los facto-
res que intervienen en el radicando (si hubiera más de uno) por un mismo número. 
 
 
5 510 15 15 5 310 5
9 6 9 3 6 3 3 212 312 4
a) 32a 2 a 2a
b) a b a b a b
 
 
 
 
 
 
2.5.2.3 Extracción de factores del radical 
Cuando el exponente de uno o más factores del radicando (si hubiera más de uno) es 
mayor o igual que el índice, se puede simplificar el radical extrayendo factores. 
Para ello, cada uno de esos factores que cumplen con la condición anterior, se escribe 
fuera del radical con un exponente igual al cociente entre el exponente con que figura 
en el radicando y el índice, quedando dentro del radical con un exponente igual al resto 
de esa división. 
9 5 7 9 5 2 3 2333a) 128a b c (2) a b c 2 b c 2a c  
8 19 7 5 8 19 7 2 4 3 34 4 4b) 32 x y z (2) x y z 2 x y z 2 y z  
 
2.5.2.4 Introducción de factores en un radical 
Para realizar esta operación se introduce, dentro del radicando, cada factor elevado a 
la potencia que se obtiene multiplicando el exponente que tiene dicho factor, por el ín-
dice correspondiente al radical. 
 
3 32 6 63 3a) 2a 3 2 a 3 24a  
 
4 4 4 16 5 4 174 44b) 3ax 3xy 3 3a x x y 3 a x y  
 
 
 
 
 
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2.5.2.5 Operaciones con radicales 
Previamente se definirá lo que se entiende por radicales semejantes. 
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando, 
diferenciándose uno del otro únicamente por los coeficientes, que son los números y/o 
letras que preceden a los radicandos. Por ejemplo: 
233- a 2b
2 
y 
23-4 2b
 son radicales semejantes. 
 Suma y diferencia de radicales 
La suma o diferencia de dos o más radicales semejantes, es otro radical semejante a 
los dados, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los radicales 
dados. Cuando los radicales no son semejantes, no pueden sumarse ni restarse. 
a) 9√3 − √3 + 2√3 = (9 − 1 + 2)√3 = 10√3 
b) √48 + 3√50 − 2√192 + 5√18 = √24. 3 + 3√52. 2 − 2√26. 3 + 5√32. 2 =
 = 4√3 + 15√2 − 16√3 + 15√2 = 30√2 − 12√3 
 
 Multiplicación de radicales 
a) Del mismo índice 
El producto de dos o más radicales del mismo índice es otro radical, cuyo índice es el 
mismo radical que el de los dados y el radicando es el producto de los respectivos radi-
candos. 
√2
3
. √5
3
= √2.5
3
= √10
3
 √3x. √2x = √6x2 = x√6 
b) De distinto índice 
El producto de dos o más radicales de distinto índice, es igual al producto de otros tantos 
radicales del mismo índice, equivalentes a los dados, tales que: 
 El índice es el mínimo común índice de los índices de los radicales dados. 
 Los exponentes de los radicandos se obtienen elevando cada uno de ellos al 
cociente que resulta de dividir el mínimo común índice en el índice respectivo. 
√3x
4
. √xy3. √5y2
8
= √32. x2
8
. √x4. y12
8
. √5y2
8
= √9x2x4y125y2
8
= √45x6y14
8
= y √45x6y6
8
 
 
 División de radicales 
a) Del mismo índice 
El cociente de dos radicales del mismo índice, es otro radical del mismo índice que los 
dados y cuyo radicando es el cociente de los respectivos radicandos. 
√−54
3
: √2
3
= √(−54): 2
3
= √−27
3
= −3√2x
4
: √4x2
4
= √
2
4
x1−2
4
= √
1
2x
4
 
 
 
 
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b) De distinto índice 
Para dividir radicales de distinto índice se procede en forma análoga a la multiplicación. 
Se calcula el mínimo común índice y se hallan los radicales equivalentes a los dados. 
2
62 3 4 6 3 3 3 4-3 63 6 6
6 6
1 2 1 2 -2 1
3 b y : 2b 3 b y : - 2 b 3 : . : 2 b y
2 5 2 5 5 4
15 1
- y . b
2 32
          
             
          
 
  
 
 
 
 
2.5.2.6 Racionalización de denominadores 
Es el procedimiento mediante el cual se logra eliminar las raíces del denominador de 
una expresión fraccionaria. 
 Primer caso: el denominador es un radical cuadrático único. 
La expresión a racionalizar se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador. 
 
2
3 3 5 3 5 3 5 3
5
5 55 5 5 5

   

 
 
 Segundo caso: en el denominador hay suma o resta de términos que contie-
nen raíces cuadradas. 
La expresión a racionalizar se multiplica y divide por el conjugado del denominador (o 
sea por la expresión que aparece en el denominador con el signo cambiado). 
 
   
 
 
   
   
2
2
2 1- 3 2 1- 3 2 1- 3 2 1- 32
= = = = = -1+ 3
1- 3 -21+ 3 1+ 3 1- 3 1 - 3
siendo 1 3 el conjugado de 1 3

   
 
 
 
 
 
2.5.2.7 Potencia con exponente racional 
 
1
mma a si: 
a R,a 0,m N m es par
a R,m N m es impar
   

  
 
  
n 1 1
n
n nmm m ma a a a
 
   
 
 
Ejemplos 
 
 
 
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1
2a) 4 4 2   c)    
1
33-27 -27 -3 
 b)  
1
338 8 2 d)    
3
4 3416 16 8 
 
 
2.6 Logaritmo 
Dados los números reales “a” y “b”, con a, b > 0 y b  1, se llama logaritmo del número 
“a” en base “b”, al exponente al “c” que hay que elevar la base “b” para obtener el número 
“a”. 
En símbolos: 
c
blog a c b a   
 
 Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no es necesario 
escribir la base. Por ejemplo: log 6. 
 Si la base es el número de Neper, e= 2,71… , el logaritmo se llama neperiano y 
tiene una notación particular. Por ejemplo: ln7. 
 
Ejemplo: 
2a)log 16 4 ya que: 2
4 = 16 
3
1
b)log -1
3
 ya que: 3-1 = 1/3 
4
1
c)log 2
2
 ya que: 41/2 = 2 
 
2.6.1 Propiedades 
La logaritmación tiene propiedades que se justifican en forma más o menos inmediata 
por la misma aplicación de su definición. 
 El logaritmo del número 1 en cualquier base es 0 
logb 1 = 0 log7 1 = 0 ya que 70 = 1 
 El logaritmo de la base es igual a 1 
logb b = 1 log5 5 = 1 ya que 51 = 5 
 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores 
en la misma base 
log b(r.s)= log b r + logb s log2 (4.8) = log 24 + log2 8 = 2 + 3 = 5 
 El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo 
y el divisor en la misma base. 
log b (r/s)= log b r – logb s log 2(4/8) = log 2 4 – log2 8 = 2 – 3 = – 1 
 
 
 
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 El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo 
de la base de dicha potencia. 
logb (r)s= s. logb r log2 (4)3 = 3. log2 4 
 
 
2.7 Representación gráfica de los números reales 
Al conjunto de los números reales se lo puede representar gráficamente en una recta 
en la que se fija un origen y una unidad. A esta recta se la denomina recta real. Así a 
cada punto de la recta, le corresponde un número real y a cada número real le corres-
ponde un punto de la recta. Esta correspondencia se llama “correspondencia biunívoca”. 
 
2.7.1. Intervalos en la recta real 
A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que se representan mediante 
semirrectas o segmentos de recta. Estos subconjuntos se llaman Intervalos y se pueden 
identificar los siguientes: 
Si “a” y “b” son números reales con a < b, entonces: 
Intervalo abierto: (a, b) = {x ϵ R / a < x < b} 
 
 
 
Intervalo cerrado: [a, b] = {x ϵ R / a ≤ x ≤ b} 
 
 
 
Intervalo semiabierto o semicerrado (en el extremo del intervalo que corresponda): 
(a, b] = {x ϵ R / a < x ≤ b} 
 
 
 
[a, b) = {x ϵ R / a ≤ x < b} 
 
 
 
a a b 
 ( ) 
 x 
a a b 
 [ ] 
 x 
a a b 
 ( ] 
 x 
a a b 
 [ ) 
 x 
 
 
 
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Intervalos infinitos: 
[a, +∞) = { x ∈ R / x ≥ a} 
 
 
 
(a, +∞) = { x ∈ R / x > a} 
 
 
 
(–∞, b] = { x ∈ R / x ≤ b} 
 
 
 
(–∞, b) = { x ∈ R / x < b} 
 
 
 
 
En las siguientes gráficas se pueden identificar los intervalos: [2,5] y (-3,3]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 Módulo o valor absoluto de un número real 
El valor absoluto de un número real “x” se define como: 
|x| = {
x si x ≥ 0
−x si x < 0
 
0 2 5 
 [ ] 
 x 
 -3 0 3 
 ( ] 
 x 
a a 
 [ 
 x 
a a 
 ( 
 x 
a b 
 ] 
 x 
a b 
 ) 
 x 
 
 
 
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Geométricamente el valor absoluto o módulo de un número real mide la distancia desde 
el punto que representa al número en la recta real y el origen de la misma. 
O sea: 
 
 
 
Propiedades 
a) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a 
Gráficamente, “x” se encontraría en el siguiente intervalo: 
 
 
 
b) |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a o x ≥ a 
Gráficamente, “x” se encontraría en el siguiente intervalo: 
 
 
 
Ejemplo 
a) |x| ≤ 3 ⇔ – 3 ≤ x ≤ 3 
b) |x| ≥ 2 ⇔ x ≤ −2 o x ≥ 2 
 
 
2.9. Ley de Composición Interna 
Una ley de composición interna en un conjunto A ≠ Ø, es una operación que aplicada a 
un par de elementos cualesquiera de A tiene como resultado un elemento de A. 
Esto significa que si: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 / 𝑐 ∈ 𝐴, entonces ∗ es una ley de composición 
interna. 
Por ejemplo, la suma y el producto son leyes de composición interna en el conjunto N, 
ya que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural, en cambio 
la diferencia y el cociente de números naturales no son leyes de composición interna, 
ya que no siempre estas operaciones tienen como resultado un número natural. La 
suma, la diferencia y el producto son leyes de composición