AlgLineal_unidad 1

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Unidad 1
Matrices y deterMinantes
Objetivos:
Al inalizar la unidad, el alumno:
•	Identiicará qué es una matriz y cuáles son sus elementos.
•	Distinguirá los principales tipos de matrices. 
•	Realizará operaciones básicas entre matrices y comprenderá sus 
 propiedades.
•	Calculará determinantes aplicando la regla de Sarrus y el desarrollo por 
 cofactores.
•	Aplicará el método de Cramer para resolver sistemas de n-ecuaciones con 
 n-incógnitas.
Álgebralineal
17
Introducción
E
n esta unidad se estudiarán los conceptos de matriz y determinante, 
los cuales son una herramienta fundamental para realizar y simplificar 
cálculos con varias ecuaciones relacionadas entre sí, con muchas 
aplicaciones en ingeniería, física, economía, matemáticas y otras ciencias.
1.1. Matrices: Conceptos generales
E1 propósito de esta sección es sentar las bases para aprender las distintas 
relaciones entre las matrices, para ello comenzaremos con la definición de 
vector renglón y vector columna.
Definición 1.1. Un vector renglón de n componentes es un conjunto 
ordenado de n números escritos de la siguiente manera (n-ada):
 (x
1
, x
2
,…, x
n
) (1)
Definición 1.2. Un vector columna de n componentes es un conjunto 
ordenado de n números escritos de la siguiente manera (n-ada):
 
x
x
xn
1
2







 (2)
En (1) o (2) x
1
 se llama primera componente del vector, x
2
 es la 
segunda componente y así sucesivamente. En general, x
k
 se llama la k‑ésima 
componente del vector.
Cualquier vector cuyas componentes sean todas cero se llama vector cero.
18
Unidad 1
Ejemplo 1
a) ( – 1, 5) es un vector renglón con dos componentes.
b) 
3
2
5
−





 es un vector columna con tres componentes.
c) 0 0 0 0, , ,( ) es un vector renglón cero con cuatro componentes.
Nota. La palabra ordenado en la definición de un vector es esencial. 
Dos vectores con las mismas componentes escritas en diferente orden no 
son iguales. Por ejemplo, los vectores (3, –5) y ( –5, 3) no son iguales (ver 
definición 1.12 más adelante).
Las componentes de todos los vectores en este texto son números reales, 
los cuales llamaremos escalares. Por ejemplo, los números 2 7 5 , 3−π , , 
son escalares.
En realidad los vectores son tipos especiales de matrices, concepto que a 
continuación se define.
Definición 1.3. Si m y n son enteros positivos, entonces una matriz es un 
arreglo rectangular de m × n números dispuestos en m renglones y n columnas 
de la forma:
 
A
a a a a
a a a a
a
j n
j n
i
=
11 12 1 1
21 22 2 2
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
11 2
1 2
a a a
a a a a
i ij in
m m mj mn
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...






Donde cada a
ij
 es un número llamado entrada o componente ij de la matriz A 
que se encuentra en el renglón i y en la columna j de A. En lugar del símbolo A 
se usa A
m×n
 para remarcar de cuántos renglones y cuántas columnas consta.
 E1 i-ésimo renglón de A determina un vector renglón (a
i1
, a
i2
,..., a
in
), y la 
Álgebralineal
19
j-ésima columna de A determina un vector columna 
a
a
a
j
j
mj
1
2







.
Definición 1.4. Una matriz A que cuenta con m renglones y n columnas es 
de orden m×n y se denota por A
m×n. 
En ocasiones se escribirá la matriz A como A = [a
ij
]. Por lo general, las 
matrices se denotarán con letras mayúsculas. 
Ejemplo 2
a) A = −


5 1
0 7 
 es una matriz de orden 2 × 2. Se denota A
2×2
b) B = −






 
 
1 3
2 5
8 4
 es una matriz de orden 3 × 2. Se denota B
3×2
c) C = − −




4 3 1 0
2 2 7
 
π es una matriz de orden 2 × 4. Se denota C2×4
 Existe una matriz que contiene el mismo número de vectores renglón 
que los vectores columna la cual se define a continuación.
Definición 1.5. Si A es una matriz de orden m × n con m = n, entonces A es 
una matriz cuadrada, de orden n y las entradas a
11
, a
22, 
a
33
, . . ., a
nn
 forman la 
diagonal principal.
20
Unidad 1
Ejemplo 3
a) A2 2
5 3
1 4
× = −




 
 es una matriz cuadrada y las entradas a a11 225 4= =, 
son la entrada de la diagonal principal.
b) B3 3
2 3 1
6 0 4
5 7 8
× =
−
−





 es una matriz cuadrada y las entradas 
a a a11 22 332 0 8= − = =, , forman la diagonal principal. 
Definición 1.6. Una matriz cuadrada de orden n × n, cuyas entradas de la 
diagonal principal son iguales a uno y todas las demás son cero, se llama matriz 
identidad de orden n × n y se denota por I
n×n.
Ejemplo 4
a) I2 2
1 0
0 1
× = 

 matriz identidad de orden 2 × 2. 
b) I3 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
× =





 matriz identidad de orden 3 × 3.
Definición 1.7. Una matriz de orden m × n cuyas entradas son todas cero se 
llama matriz cero de orden m × n y se denota por 0
m×n.
Ejemplo 5
a) 0
0 0 0
0 0 0
2 3× = 

 matriz cero de orden 2 × 3.
b) 0
0 0
0 0
0 0
3 2× =





 matriz cero de orden 3 × 2
Álgebralineal
21
Ejercicio 1
1. ¿Qué afirmación es verdadera respecto a la siguiente matriz 
3 2 1
4 2 0



 ?
a) Es una matriz cuadrada.
b) Es una matriz de orden 3 × 2.
c) Es una matriz de orden 2 × 3.
d) Es una matriz identidad.
2. Dada la matriz B = −






3 2 1 0
4 8 0 1
0 1 3 2
4 3 1 5
 
 
 
 contesta lo que se te pide en cada 
inciso:
a) Identifica el tercer renglón de B.
b) Identifica la segunda columna de B.
c) Identifica las entradas b b b31 22 34, , .
3. a) Determina el número de renglones y de columnas, así como el orden 
de las matrices.
 b) Identifica la entrada a
32
 de A y la entrada b
13
 de B.
A B=
−




 =
−
−




1 0
2 3
5 1
2 7 5
4 3 6
 
 
 
 
 
4. a) Escribe la matriz identidad de orden 4 × 4.
 b) Escribe la matriz cero de orden 3 × 4.
1.2. Tipos de matrices
En esta sección se definen algunos tipos de matrices, los cuales serán de 
utilidad a lo largo del texto.
Definición 1.8. Una matriz cuadrada A = [a
ij
] de orden n se llama diagonal 
si todas sus entradas fuera de la diagonal principal son cero.
22
Unidad 1
Ejemplo 6
a) A =
−





1 0 0
0 4 0
0 0 2
 
 
 es diagonal, ya que todas las entradas fuera de la 
diagonal principal son cero.
b) B = −
−






1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 5 0
2 0 0 1
 
 
 
 
 no es diagonal, ya que hay una entrada distinta 
de cero, b
41
 = 2, fuera de la diagonal principal.
La existencia de matrices en las cuales por debajo o por encima de 
la diagonal son cero, se definen como matriz triangular superior y matriz 
triangular inferior.
Definición 1.9. Una matriz cuadrada A = [a
ij
] de orden n se llama triangular 
superior si todas las entradas abajo de la diagonal principal son cero.
Ejemplo 7
a) A = −






1 3 5
0 1 0
0 0 4
 
 
 
 es triangular superior, ya que todas las entradas abajo 
de la diagonal principal son cero.
b) B = − −






0 1 4 7
0 5 0 2
0 1 6 3
0 0 0 8
 
 
 
 
 no es triangular superior, ya que hay una entrada 
distinta de cero, b
32
 = –1, abajo de la diagonal principal.
Definición 1.10. Una matriz cuadrada A = [a
ij
] de orden n se llama 
triangular inferior si todas sus entradas arriba de la diagonal principal son cero.
Álgebralineal
23
Ejemplo 8
 a) A =
−
−






2 0 1
5 1 0
0 3 4
 
 
 
 no es triangular inferior, ya que hay una entrada 
distinta de cero, a
13
 = –1 arriba de la diagonal principal.
b) B = −
−



 
 
 
 
3 0 0 0
0 5 0 0
2 1 0 0
4 7 2 6

 es triangular inferior, ya que todas las entradas 
arriba de la diagonal principal son cero.
Asociada a cualquier matriz A = [a
ij
] de orden m × n hay una matriz de 
orden n × m, que es llamada transpuesta de A; ésta se define como sigue:
Definición 1.11. SiA = [a
ij
] es una matriz de orden m × n, su transpuesta 
denotada por AT es la matriz de orden n × m y se obtiene convirtiendo cada 
renglón de A en la columna correspondiente de AT.
Ejemplo 9
a) Determina la transpuesta de A2 3×
−
−=




2 1 3
0 5 2
A1 escribir cada renglón de A como la columna correspondiente de AT se 
tiene que
AT = −
−






 2 0
1 5
 3 2
 es de orden 3 × 2
b) Determina la transpuesta de la matriz de orden 3×4, 
B = − −
−






 1 0 5 4
2 1 3 7
 0 6 1 8
 
24
Unidad 1
A1 escribir cada renglón de B como la columna correspondiente de BT se 
tiene que
BT =
−
−
−






1 2 0
0 1 6
5 3 1
4 7 8
 de orden 4 × 3
A continuación se definirán matrices simétricas y antisimétricas, y para 
ello se requieren los siguientes conceptos.
Definición 1.12. Dos matrices A y B son iguales, denotado A = B, si tienen 
el mismo orden y sus entradas correspondientes son iguales.
Ejemplo 10
a) 
5 9
3 4
 5 9
4 1 2



 = −




b) 
1 3 5
4 1 3
1 3 5
4 1 3−



 ≠
−
−




Definición 1.13. Si A = [a
ij
] es una matriz de orden m × n, entonces se define 
–A como la matriz 
 –A = [–a
ij
] de orden m × n.
Ejemplo 11
 Si A = − − −




2 3 5
 1 4 6
, determina –A. Por definición de –A se tiene que
− = − − − −− − − − −



 =
− −
−



A
( 2) 3 5
 1 ( 4) ( 6)
 2 3 5
1 4 6
Son iguales porque todas sus entradas 
correspondientes son iguales.
Son distintas porque al menos una de sus 
entradas correspondientes no son iguales.
Álgebralineal
25
Definición 1.14. Una matriz cuadrada A de n × n es simétrica si A = AT.
Ejemplo 12
a) Determina si A = −




 1 2
2 3
 es simétrica.
Calculando la transpuesta de A se tiene que:
AT = −


1 2
2 3
 así A ≠	AT. Por lo tanto, A no es simétrica.
b) Determina si B =
−
−






 
 
 
1 4 2
4 7 5
2 5 0
 es simétrica.
Calculando la transpuesta de B se tiene que:
BT =
−
−






 1 4 2
4 7 5
 2 5 0
 así B = B T, de tal manera que B es simétrica.
Definición 1.15. Una matriz cuadrada A = [a
ij
] de orden n × n es antisimétrica 
si A A
T = − 
Ejemplo 13
a) Determina si A = −


1 6
6 0
 es antisimétrica.
Como A AT = −



 − =
−
−




1 6
0
 y 
1 6
06 6
, entonces A A
T ≠ − . Así A no es 
antisimétrica.
26
Unidad 1
b) Determina si B =
−
−
−






 0 1 1
1 0 2
 1 2 0
 es antisimétrica.
Como B BT =
−
−
−





 − =
− 0 1 1
 1 0 2
1 2 0
 y
 0 1 1
 1 0 2
1 2 0
−
−





 , entonces B B
T = − . 
Por lo tanto, B es antisimétrica.
Ejercicio 2
1. ¿Cuál de las siguientes matrices
A B C=





 =





 =
−1 0 1
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
, , 
1 0 0
 0 22 0
 0 0 5





 ,
D E F= −





 =





 =
0 3 1
0 0 2
0 0 0
 , ,
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 1 1
00 0 2
0 0 3





 ,
es de alguno de los tipos listados?
a) Triangular superior.
b) Triangular inferior.
c) Diagonal.
d) Nada de lo anterior.
2. Determina cuál de las siguientes matrices es simétrica:
a) A = −




2 3
3 5
 
b) B =
−
− −






 1 3 5
3 2 1
 5 1 4
Álgebralineal
27
c) C =
−





2 1 0
1 4 7
0 7 3
 
 
d) D =
−
−
−
−



 1 2 3 4
 0 1 7
 3 1 5 6
4 7 6 9
2



3. Di si las siguientes matrices son antisimétricas o no:
a) 
 
 
b) 
 0 2 3
 2 0 5
3 5 0
A
B
= −


=
−
−

0 3
3 0





=
−
−
− −
 
c) 
 0 1 4 2
1 0 2 3
4 2 0 
C
 5
 2 3 5 0− −






1.3. Operaciones con matrices
En esta sección presentaremos las operaciones matriciales básicas: suma, 
multiplicación por escalar y multiplicación matricial.
Definición 1.16. Sean A = [a
ij
] y B = [b
ij
] matrices de orden m × n, la suma 
de A y B es la matriz de orden m×n A + B = [a
ij
 + b
ij
] de m × n, es decir, A + B 
se obtiene al sumar las componentes correspondientes de A y B.
Nota. Si A y B son de distinto orden, entonces su suma no está definida.
28
Unidad 1
Ejemplo 14
a) Determina la suma de A B= 

 =



× ×
1 3
4 2
5
8
2 2 2 1
 y 
Como A y B tienen distinto orden no se pueden sumar.
b) Determina la suma de A B= −



 =
−
−




 
 y 
 
 
2 1 3
4 0 5
7 1 5
3 1 2
Dado que A y B tienen el mismo orden se pueden sumar y
A B+ = −



 +
−
−



 =
+ − +
− +
 
 
 2 1 3
4 0 5
7 1 5
3 1 2
2 7 1 1 3 5
4 3 00 1 5 2
9 0 8
1 1 3+ −



 = −




 
Cuando trabajamos con matrices, a los números los llamamos escalares. 
Las matrices serán reales y la multiplicación de un escalar por una matriz se 
define como sigue:
Definición 1.17. Si c es un escalar y A = [a
ij
] es una matriz de orden m × n, 
entonces la multiplicación del escalar c y la matriz A es la matriz cA = [ca
ij
] de 
m × n, es decir, cA se obtiene al multiplicar cada componente de A por c.
Ejemplo 15
a) Para c = –1 y A =
−
−






3 1
6 0
5 2
 
 
 
, determina cA.
Por definición cA = −
−
−





 =
− − −
−( )
( )( ) ( )( )
( )( )1
1 3 1 1
1 6
3 1
 6 0
 5 2
(( )( )
( )( ) ( )( )
−
− − −





 =
−
−
−




1 0
1 5 1 2
 3 1
6 0
5 2

b) Para c A= = 


2
5
3 5
11
2
 
 y , determina cA.
Por definición cA = 

 =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




2
5
3 5
11
2
2
5
2
5
2
5
1
2
2
5
 3 5
 (1)
== 


6
5
1
5
2
5
2
Álgebralineal
29
La suma y la multiplicación por un escalar de matrices cumplen ciertas 
propiedades, éstas se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 1.1. Sean A, B y C matrices de orden m × n cualesquiera, y sean a y 
b escalares cualesquiera. Entonces son válidas las siguientes afirmaciones:
1) A + 0 = 0 + A = A Elemento neutro aditivo (donde 0 
 representa la matriz cero de m × n).
2) A + B = B + A Propiedad conmutativa para la suma.
3) (A + B) + C = A +(B + C) Propiedad asociativa para la suma.
4) A + (–A) = (–A) + A = 0 Inverso aditivo.
5) a(A + B) = aA + aB Propiedad distributiva de un escalar 
 para la suma de matrices.
6) (a + b)A = aA + bA Propiedad distributiva de suma de 
 escalares por una matriz.
7) (ab)A = a(bA) Propiedad asociativa de la multiplicación 
 de escalares por una matriz. 
8) 1A = A Neutro multiplicativo.
Ahora definiremos el producto interno de un vector renglón y un vector 
columna. Esta definición será de gran utilidad en el concepto de producto 
matricial.
Definición 1.18. Sea a = (a
1
, a
2
, . . ., a
n
) un vector renglón y b
b
b
bn
=






1
2

 un 
vector columna. 
Se define el producto interno de a y b (también llamado producto escalar o 
producto punto), denotado por a • b, como el escalar dado por
a • b= a
1
b
1
 + a
2
b
2
 +. . .+ a
n
b
n
30
Unidad 1
Nota. Al tomar el producto interno del vector renglón a y el vector columna 
b es necesario que a y b tengan el mismo número de componentes.
Ejemplo 16
a) Determina el producto interno de a = (1, 4, –3) y b =






2
1
1
Por definición
 
a b• = − •





 = + + − = + − =( , , ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 4 3
2
1
1
1 2 4 1 3 1 2 4 3 3
b) Determina el producto interno de a b= −( ) =
−






0 1 2 4, , y
 7
 2
 1
1
 ,
Por definición:
Las propiedades del producto interno se especifican en el siguiente 
resultado:
Teorema 1.2. Sean a, b, c, tres n-vectores y sea α un escalar, entonces son 
válidas lassiguientes afirmaciones:
i) a• =0 0
ii) a b b a• = •
iii) a b c a b a c• +( )= • + •
iv) α αa b a b( )• = •( )
a b• = − •
−






= + − +( ) ( )( ) ( )( )0 1 2 4 0 7 1 2, , ,
 7
 2
 1
1
 (( )( ) ( )( )2 1 4 1 0 2 2 4 4+ − = − + − = −
Álgebralineal
31
Ahora estamos listos para definir el producto matricial.
Definición 1.19. Sea A = [a
ij
] una matriz de orden m × n y B = [b
jk
] una 
matriz de orden n × p. Se define el producto de A y B como la matriz AB = [c
ik
] 
de orden m × p, donde la entrada c
ik
 es el producto interno del i-ésimo renglón 
de A con la k-ésima columna de B; esto es
c a a a
b
b
b
a b a bik i i in
k
k
nk
i k i= ( )






= +1 2
1
2
1 1 2, , ...,   22k in nk
a b+ +
 
Nota. El producto de A y B sólo está definido cuando el número de 
columnas de A es igual al número de renglones de B.
De la definición 1.19. tenemos que si A
m×n y Bn×p, entonces AB tiene orden 
m × p. Por ejemplo, (A
3×5) (B5×7) = (AB)3×7
Ejemplo 17
Sean A B= −
−





 = −




 4 0
 2 3
1 5
y 
 1 4
1 3
3 2
2 2
×
×
, determina AB
Como A tiene orden 3 ×	2 y B tiene orden 2 ×	2, entonces AB está definida 
y es de orden 3 ×	2. 
Sea AB
c c
c c
c c
=






11 12
21 22
31 32
, entonces c
11
 se obtiene como sigue:
Con A B= −
−





 = −




×
 
 
 
 y 
 
4 0
2 3
1 5
1 4
1 3
3 2

×2 2
así, c a a
b
b
11 11 12
11
21
4 0
1
1
4 0 4= 

 = −



 = − =( , ) ( , ) 
 
32
Unidad 1
Para calcular c
12 
se toma:
c a a
b
b
12 11 12
12
22
4 0
4
3
16 0 16= 

 =



 = + =( ) ( , ),  
Continuando con el procedimiento anterior, se tiene que:
c21 2 3
1
1
2 3 5= − −



 = + =( , ) 
 
, c22 2 3
4
3
8 9 1= − 

 = − = −( , )  ,
c31 1 5
1
1
1 5 6= − −



 = − − = −( , ) 
 
 y c32 1 5
4
3
4 15 11= − 

 = − + =( , )  .
Por tanto, AB = −
−






 4 16
 5 1
6 11
Nota. La multiplicación de matrices no es conmutativa, esto es, en general 
AB ≠ BA. Por ejemplo:
AB = 


−
−



 =




1 4
2 8
4 8
1 2
0 0
0 0
 
 
 
y BA = −−







 =
− −



 
 
 
 
4 8
1 2
1 4
2 8
12 48
3 12
Las propiedades básicas de la multiplicación matricial definidas para 
matrices de A
m×n, Bn×p y Cp×q, así como por la matriz 0 y la matriz identidad I, 
son resumidas en el teorema siguiente:
Teorema 1.3. La suma y producto de matrices están definidos, por lo que se 
tienen las siguientes propiedades:
1) A(BC) = (AB)C Propiedad asociativa de la multiplicación.
2) A(B + C) = AB + AC Propiedad distributiva izquierda.
3) (A + B)C = AC + BC Propiedad distributiva derecha.
4) IA = A y BI = B Propiedad multiplicativa de la matriz identidad.
5) 0A = 0 y A0 = 0 Propiedad multiplicativa de la matriz cero.
Álgebralineal
33
De estas propiedades observamos que las matrices A, B, C, cero (0) e identidad 
(I), deberán cumplir con la condición de orden para la multiplicación.
Veamos cómo las operaciones matriciales básicas afectan la transposición.
Teorema 1.4. Con A y B matrices, c un escalar las propiedades para la matriz 
transpuesta están definidas como sigue:
1) A AT
T( ) = Transpuesta de una matriz transpuesta.
2) A B A B
T T T+( ) = + Transpuesta de una suma.
3) cA cA
T T( ) = Transpuesta de un producto escalar.
4) AB B A
T T T( ) = Transpuesta de un producto de matrices.
Ejercicio 3
1. Calcula las siguientes operaciones. Si no se puede, di por qué:
a) 
1 1
0 1
0 1
1 2
−


 +



 
b) − −−



3
1 1 1
1 1 1
 
c) 
2 2
5 7
7 8
10 3
−


 + −



 
 
 
d) − −( )+ 

1 2
1 2
4 3
 
e) 
−
−
−





 −
−
−






2 3
4 5
6 7
7 2
5 1
3 6
 
 
 
 
 
 
 
2. Si es posible, calcula 
a) 
3
4
1 2



( )
b) ( )1 2
3
4



 
34
Unidad 1
c) 
1 2
4 0
1 2 3 4
2 4 3 0
−


 − −



 
 
 
d) 
−
−
−





 −




3 0
2 5
7 4
1 0 3
0 1 2
 
 
 
 
 
 
e) 
−
−






1 3 2 0
1 0 1 5
4 2 7 1
5 0
2 1
 
 
 
 
 
 
 
0 2
1 1−






 
3. Obtén el tercer renglón de AB si
 
A B=





 =




3 4
4 3
1 2
1 2 5 6
6 5 2 1
, 
4. Para las matrices
A B C= −



 = −



 =
−
−




 
 
 
 
1 3
2 5
1 0 3
1 2 1
4 1
1 3
, ,
determina:
a) (AT)T
b) (A + C)T
c) (AB)T
1.4. Determinantes de 2×2 y 3×3. Desarrollo 
por la regla de Sarrus
El concepto de determinante fue descubierto por Cramer durante sus 
investigaciones acerca de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En 
la actualidad los determinantes se encuentran asociados de manera natural con 
las matrices.
En este apartado estudiaremos uno de los métodos más sencillos para 
calcular determinantes de 2×2 y de 3×3: la regla de Sarrus.
Álgebralineal
35
Definición 1.20. Un determinante es una función que asocia una matriz 
cuadrada A de orden n a un escalar, que se denota por det A o A .
Ejemplo 18
a) Si A A A= −



 = = −
3 2
4 1
3 2
4 1
 
, det
b) Si B B B=
−




 = =
−4 5 1
3 2 1
0 1 4
4 5 1
3 2 1
0
 
 
 
,
 
 
 
det
 1 4
 
A continuación se explicará la regla de Sarrus para calcular determinantes 
de matrices de 2×2 y de 3×3.
Para matrices de 2×2 la regla de Sarrus dice:
Se efectúa el producto de elementos de la diagonal principal y a éste se le resta 
el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
La diagonal secundaria está formada por los elementos a
21
 y a
12
.
Así, si A
a a
a a
= 


11 12
21 22
, 
det A
a a
a a
a a a a= = −11 12
21 22
11 22 21 12
 
 
Ejemplo 19
a) Si A A= −



 = − = − − = − − = + =
 
,
 5 3
2 1
5 3
2 1
5 1 2 3 5 6 5 6 1det ( )( ) ( )( ) ( ) 11
b) Si B B= −



 = − = − − = − − = − − = −
4 7
1 2
4 7
1 2
4 2 1 7 8 7 8 7 1
 
,
 
det ( )( ) ( )( ) ( ) 55
Para matrices de 3×3 la regla de Sarrus dice:
36
Unidad 1
Se repiten los dos primeros renglones después del tercero, obteniendo una 
matriz de 5×3. A continuación se efectúa la suma de los productos de la diagonal 
principal y de las dos “diagonales paralelas” a ella. A esta suma se restan los 
productos de los elementos de la diagonal secundaria y de las dos “diagonales 
paralelas” a ella:
En una matriz de 3×3 la diagonal secundaria es formada por los elementos 
a
31
, a
22
 y a
13
. 
 a
11
 a
12
 a
13 
 
 det A= a
21
 a
22
 a
23 
 a
31
 a
32
 a
33
 a
11
 a
12
 a
13
 a
21
 a
22
 a
23
Ejemplo 20
a) Si A =
−
−
−






 
 
 
1 0 3
4 5 2
1 2 0
,
det A =
−
−
−
=
−
− 
 
 
 1 0 3
4 5 2
 
1 0 3
4 5 2
1 2 0
 1 2 0
 1 0 3
4 5 2
−
−
−
=
( )( )( )+ −( ) −( ) −( )+ ( )(1 5 0 4 2 3 1 0))( )−
−( )( )( )− ( ) −( )( )− ( )( ) −( )=
− + − + + =
−
2
4 0 0 1 2 2 1 5 3
0 24 0 0 4 15
5
 
b) Si B =
−
− −






1 2 1
4 0 2
1 2 1
 
 ,
= + +
− − −
a a a a a a a a a
a a a a a a a
11 22 33 21 32 13 31 12 23
21 12 33 11 32 23 32 aa a22 13
Álgebralineal
37
det B =
−
− −
=
−
− −
−
1 2 1
4 0 2
1 2 1
 
 
1 2 1
4 0 2
1 2 1
1 2 1
4 0 2
=
( )( ) −( )+ ( ) −( ) −( )+ ( )( )( )−
( )( ) −( )− ( ) −(
1 0 1 4 2 1 1 2 2
4 2 1 1 2))( )− ( )( ) −( )=
+ + + + + =
2 1 0 1
0 8 4 8 4 0
24
 
Nota. Es importante subrayar que la regla de Sarrus sólo se aplica a 
determinantes de 2×2 y 3×3.Ejercicio 4
1. Encuentra los siguientes determinantes usando la regla de Sarrus:
a) 
3 2
6 0
−
 
 =
b) 
 7 5
1 3− =
c) 
 5 0 3
 6 2 1
1 0 2
−
−
= 
d) 
 1 1 0
 8 1 3
3 2 1
−
− −
= 
1.5. Determinantes y desarrollo por menores 
y cofactores
Vimos en la sección anterior que la regla de Sarrus sólo es aplicable a 
determinantes de 2×2 o de 3×3. ¿Cómo podemos encontrar el determinante 
de una matriz de orden 5×5? La respuesta a esta pregunta la daremos en esta 
sección donde emplearemos el método de menores y cofactores.
38
Unidad 1
Definición 1.21. Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea M
ij
 la matriz de 
(n–1)×(n–1) obtenida de A eliminando el renglón i y la columna j. M
ij
 se llama 
menor ij de A.
Nota. Es posible que el lector encuentre otros textos donde se defina al 
menor como el determinante de la matriz M
ij
, sin embargo, a lo largo de este 
libro llamaremos menor sólo a la matriz M
ij
. 
Ejemplo 21
Sea A =
−
−
−





2 1 4 9
0 1 5 3
6 3 4 5
0 3 5 6

 encuentra los menores M M13 32y
Para encontrar el menor M
13
 eliminamos de A el primer renglón 2 1 4 9, , ,−( ) 
y la tercera columna 
 4
 5
4
 5
 −






, tal como se ilustra: A =
−
−
−





2 4 9
5
4
5
1 
0 1 3
6 3 5
0 3 6

, 
entonces M13
0 1 3
6 3 5
0 3 6
=
−




 
Para encontrar el menor M
32
 eliminamos de A el tercer renglón 
6 3 4 5, , −( ), y la segunda columna 
−





1
 1
 3
 3
 , así: A =
−
−
−





2 4 9
0 5 3
0 5 6
1
1
6 3 4 5
 3

, 
entonces M 32 = −






2 4 9
0 5 3
0 5 6
Definición 1.22. Sea A una matriz de orden n. El cofactor ij de A, denotado 
por A
ij
, se obtiene tomando el determinante del menor ij y multiplicándolo por 
(–1)i+j. 
A Mij
i j
ij= −( ) +1 
Álgebralineal
39
Observa que −( ) = +− +

+
1
1
1
i j si i j es par
si i j es impar
Ejemplo 22 
Encuentra los cofactores A
32
 y A
24
 de la matriz A =
−
−






1 3 5 6
2 4 0 3
1 5 9 2
4 0 2 7

Para encontrar el cofactor A
32
 encontramos el menor M 32
1 5 6
2 0 3
4 2 7
=





 ,
entonces
A32
3 2
1
1 5 6
2 0 3
4 2 7
1 0 24 60 70 6 0 1 84 76= −( ) = −( ) + + − + +[ ]= −( ) −(+ ( ) ( ) ))= −8
(Observa que como 3+2 es impar −( ) = −+1 13 2 ).
Mediante el mismo procedimiento encontramos el cofactor A
24
:
A24
2 4
1
1 3 5
1 5 9
4 0 2
1 6 0 100= −( )
−
= + − − − + +[ ]= −+
 
 
 
10 0 108( ) ( ) 998 94 192− = −
(Observa que como 2+4 es par −( ) =+1 12 4 ).
Ahora definiremos el determinante de una matriz de orden	n mediante el 
desarrollo de cofactores; asumimos que ya sabemos lo que es un determinante 
de (n–1)×(n–1).
Definición 1.23. Sea A = [a
ij
] una matriz de orden n. Entonces el 
det(A) = |A| puede ser evaluado desarrollando por cofactores a lo largo de 
cualquier renglón o cualquier columna de la siguiente manera:
det(A A a M a M a Mi i i
i
i i
i n
in in) ( ) ( ) ... ( )= = − + − + + −+ + +1 1 11 1 1 2 2 2 (*)
40
Unidad 1
o
det(A A a M a M a Mj j j
j
j j
n j
nj nj) ( ) ( ) ( )= = − + − + + −+ + +1 1 11 1 1 2 2 2  (**)
para i = 1, 2, . . ., n (renglones) o j = 1, 2, . . ., n (columnas).
Ejemplo 23
a) Calcula el determinante de A = −






1 3 0
1 4 2
5 1 2
 a lo largo del segundo 
renglón.
En este caso, i = 2 y n = 3, entonces aplicando (*) se tiene que:
A a M a M a M= − + − + −+ + +( ) ( ) ( )1 1 12 1 21 21 2 2 22 22 2 3 23 23
= − + + −( ) −( )( )( ) ( )( )1 1 3 0
1 2
1 4
1 0
5 2
1 2
1 3
5 1
=(–1)(6)+(4)(2)+(2)(1–15)=–6+8–28=–26
b) Calcula el determinante de A = −






2 3 0
1 4 2
5 1 2
 
 
 a lo largo de la tercera 
columna.
En este caso, j = 3 y n = 3, entonces aplicando (**) se tiene que:
A a M a M a M= − + − + −+ + +( ) ( ) ( )1 1 11 3 13 13 2 3 23 23 3 3 33 33
= + −( ) −( ) +( )( ) ( ) ( )1 0 1 4
5 1
1 2
2 3
5 1
1 2
2 3
1 4
 
= (0) + (2)(2 – 15) + (2)(8 – 3) = –26 + 10 = –16
Nota. Por lo general, se trata de desarrollar un determinante respecto al 
renglón o columna que tenga más ceros. Con esto se evita el cálculo de algunos 
de los menores, ya que el valor del determinante es único.
 En el siguiente teorema se resumen las propiedades básicas de los 
determinantes.
Álgebralineal
41
Teorema 1.5. Sean A y B matrices de orden n, entonces:
1) Si A tiene un renglón o columna de ceros, entonces detA=0.
2) Si A tiene dos renglones o columnas que son iguales, entonces det A=0.
3) Si A tiene dos renglones o columnas que son múltiplos entre sí, entonces 
 det A=0.
4) El determinante de AT es igual al determinante de A, esto es 
 det det .A A
T =
5) El determinante del producto de matrices es el producto de los 
 determinantes de cada una de las matrices, esto es det det detAB A B= ( )( ) .
Ejemplo 24
a) det detA B=
−
−
= =
−
=
5 3 2
0 0 0
1 3 1
0
1 0 3
4 0 5
2 0 2
0 
 
 
Tienen un renglón o columna de ceros (propiedad 1).
b) det detA B= − = =
−
− −
 
 
 6 1 6
 1 4 1
2 7 2
3 1 5
2 4 0
3 1 5
0 == 0
Tienen dos renglones o columnas iguales (propiedad 2).
c) det detA B= − = =
−
=
 
 
 
 
 
1 2 3
2 6 5
2 4 6
0
2 5 6
0 3 0
1 4 3
0
Tienen dos renglones o columnas que son múltiplos entre sí (propiedad 3).
d) 
det detA AT= − =
− =
+ = + =
 
 
2 5
1 7
2 1
5 7
14 5 19 14 5 19
 (propiedad 4).
a)
det det detAB( )= 

 −







 =
−
−




3 4
0 1
6 0
4 1
34 4
4 1
 == − + = −
= 

 − = − = −
34 16 18
3 4
0 1
6 0
4 1
3 6 18det det ( )( )A B
 (propiedad 5).
 
42
Unidad 1
Ejercicio 5
1. Evalúa los determinantes respecto al renglón o columna que se pide:
a) 
−
−
−
5 2 1
 3 1 4
1 1 1
 respecto al segundo renglón.
b) 
2 4 5
3 2 1
7 0 6
−
−
−
 
 
 
 respecto a la tercera columna.
2. Encuentra el determinante utilizando las propiedades del teorema 1.5 e 
indica cuál de ellas usaste:
a) 
4 5 1
6 7 1
4 5 1
−
−
= 
b) 
5 2 3
0 0 0
7 8 10
−
−
= 
c) 
1 2 4
4 8 16
5 7 4
−
− =
 
d) 
0 2 6
0 8 8
0 1 1
 
 
 
− =
3. Dadas las matrices
A B=
−
−





 =
−



3 5 1
4 2 6
6 10 2
3 5
4 2
 
 
 
 
 
 y , C = −−




1 3
7 6
comprueba lo siguiente:
(a) det(A) = 0
(b) det(B) = det(BT)
(c) det(B C) = det(B) det(C)
Álgebralineal
43
1.6. Solución de sistemas lineales n×n 
empleando la Regla de Cramer
En esta sección explicaremos un método muy útil, llamado Regla de 
Cramer, para resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n variables que 
tenga una solución única.
El término lineal proviene de la palabra línea. La ecuación de una línea en 
el plano xy es una ecuación de la forma:
 ax + by = c (1)
donde a, b y c son constantes, y a y b no son ambas cero. En general, una 
ecuación lineal en las variables x
1
, x
2
, . . ., x
n
 es una ecuación de la forma:
 a
1
x
l
 + a
2
x
2
 + ...+ a
n
x
n
 = b (2)
donde a
1
,a
2
,. . .,a
n
 y b son constantes, y a
1
,...,a
n
 no son todas cero.
Una solución de la ecuación lineal (2) es una sucesión de números t
1
, t
2
,...,t
n
, 
tales que si sustituimos x
1
 = t
1
, x
2
 = t
2
, . . . , x
n
 = t
n
 en (2) se cumple la 
igualdad. Resolver una ecuación lineal significa encontrar todas sus soluciones; 
el conjunto de soluciones se llama conjunto solución.
Ejemplo 25
Resuelve la ecuación lineal 4x–5y = 3.
Despejando y de la ecuación obtenemos que y
x= −4 3
5
. Entonces para 
resolver se tiene que c R∈ con x c y c= = −, por lo que 4 3
5es la solución de la 
ecuación.
Con frecuencia deseamos resolver varias ecuaciones lineales al mismo 
tiempo. Una colección finita de ecuaciones lineales en las variables x
l
, x
2
, . . ., 
x
n
 se llama sistema de ecuaciones lineales.
En esta parte daremos una regla para resolver un sistema lineal de n 
ecuaciones con n variables, esto es un sistema de la forma:
44
Unidad 1
 
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
+ + + =
+ + + =


 
a x a x a x bn n nn n n1 1 2 2+ + + =
 (3)
Una solución del sistema lineal (3) es una sucesión de n números t
1
, t
2
,...,t
n
 
con la propiedad de que cada ecuación de (3) se satisface cuando x
1
 = t
1
, x
2
 = 
t
2
,. . ., x
n
 = t
n
 son sustituidas en (3).
Definición 1.24. Un sistema lineal que no tiene solución se llama 
inconsistente. Un sistema lineal con al menos una solución es consistente.
E1 sistema lineal (3) se puede expresar como una ecuación matricial de la 
siguiente forma:
 Ax=b. (4)
donde
 
A
a a a
a a a
a a a
x
x
n
n
n n nn
=






=
11 12 1
21 22 2
1 2
1

  

, x
22
1
2
 
x
b
b
bn n






=






 y b
La ecuación (4) es la ecuación matricial asociada al sistema (3), y la matriz A 
es la matriz de coeficientes del sistema (3).
Ejemplo 26
Determina la ecuación matricial del sistema lineal siguiente:
 2 3 4 5
 4 2
 2 1
x y z
x z
x y z
− + =
− =
− + + =
La ecuación matricial del sistema está dada como:
 2 3 4
 4 0 1
1 1 2
−
−
−











 =
x
y
z
5
2
1






Álgebralineal
45
Antes de enunciar la Regla de Cramer, daremos una interpretación 
geométrica del conjunto solución de un sistema lineal de 2×2.
Considera un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables:
 
a x a y b
a x a y b
11 12 1
21 22 2
+ =
+ =
Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una recta en el plano xy. 
Así, geométricamente se tienen tres casos:
(1) Si las rectas se cortan en un punto, entonces el sistema tiene una 
solución dada por el punto de intersección.
(2) Si las rectas son paralelas, entonces el sistema no tiene solución.
(3) Si las rectas coinciden, entonces el sistema tiene una infinidad de 
soluciones, representadas por todos los puntos sobre la recta.
Las siguientes figuras ilustran dichas condiciones:
 Figura 1.1 Figura 1.2 Figura 1.3
Ahora enunciamos la Regla de Cramer, la cual proporciona un algoritmo 
para resolver sistemas lineales de n ecuaciones con n variables.
Teorema 1.6. (Regla de Cramer) Sea Ax = b la ecuación matricial de un 
sistema lineal de n ecuaciones con n variables. Si el det A ≠ 0 , entonces el sistema 
lineal tiene una solución única dada por:
 
x
A
A
x
A
A
x
A
n
n
1
1
2
2= = =det
det
 
det
det( )
 , 
det
det
( )
( )
,
( )
,
( )
(( )A
46
Unidad 1
donde A
i
 con i = 1, 2, . . ., n es la matriz que se obtiene al reemplazar la 
i-ésima columna de A por el vector columna b
b
b
bn
=






1
2

 esto es :
 
 
A
a a a b a a
a a a b a a
i
i i n
n n ni n ni nn
=



− +
− +
11 12 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
 
    
 



Ejemplo 27
Aplica la Regla de Cramer para resolver el sistema:
 
2 7
4 3 1
x y
x y
− =
+ = −
 
A B= −

 = −




2 1
4 3 
 y 
 7
1
 , entonces A A1 2
7 1
1 3
2 7
4 1
= −−



 = −




 
 
 
 
, 
y det(A) = 10, det(A
1
) = 20 y det(A
2
) = –30, por lo tanto:
x
A
A
y
A
A
= = = = = − = −det
det(
 y 
det
det(
( )
)
( )
)
1 220
10
2
30
10
3
 
Ejemplo 28
Aplica la Regla de Cramer para resolver el sistema:
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− + + =
2
3
4
 
Sea A b=
−
−
−





 =





 1 1 1
 1 1 1
1 1 1
 ,
2
3
4

Entonces A A1 2=
−
−





 =
−2 1 1
3 1 1
4 1 1
 
 1 2 1
 1 , 33 1
1 4 1
, y 
 1 1 2
 1 1 3
1 −





 = −−
A3
 1 4






Álgebralineal
47
de tal manera que
x
A
A
y
A
A
z= = −− = = =
−
− = =
det(
det
 
5
2
, 
det
det
12
4
 1 2
10
4
3
)
( )
( )
( )
,
ddet
det
( )
( )
A
A
3 14
4
7
2
= −− =
Ejercicio 6
1. Aplica la Regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas:
a) 2 8
3 7
x y
x y
− =
+ =
b) 2 3 4
5 2 2
x y
x y
+ = −
+ =
c) 2 1
3 4 1
4 2 1
x y z
x y z
x y z
− + = −
+ − = −
− + = −
d) x y z
y z
z
+ + =
+ =
=
2 3 1
4 1
1
 
e) 3 3 2 2
4 2 7
5 4 3
x y z
x y z
x y z
− − =
− − + =
+ + =
 
Ejercicios resueltos
1. Considera la siguiente matriz A =
−
− −






3 5 4 1 0
1 2 8 6 3
1 1 0 8 7
 y encuentra:
a) El primer renglón: 
( )3 5 4 1 0−
b) La tercera columna: 
−
−






4
8
0 
48
Unidad 1
c) El orden:
Como tiene 3 renglones y 5 columnas es de orden 3×5.
d) Los elementos a
35
, a
14
, a
22
:
 
 
El elemento a
35
 se encuentra en el tercer renglón y en la quinta 
 columna: 7.
 El elemento a
14
 se encuentra en el primer renglón y en la cuarta 
 columna: 1.
 El elemento a
22
 se encuentra en el segundo renglón y en la segunda 
 columna: 2.
2. Menciona si las siguientes matrices son simétricas o antisimétricas o 
ninguna de las dos:
a) A =






4 5 3
5 2 1
3 1 7
 
Encontramos la matriz transpuesta convirtiendo los renglones en 
columnas: 
 
AT =






4 5 3
5 2 1
3 1 7
 Como A AT= podemos asegurar que A es simétrica.
b) B =
−
−
−






 0 5 8
5 0 3
 8 3 0 
Encontramos la matriz transpuesta BT =
−
−
−






 0 5 8
 5 0 3
8 3 0
 y 
− =
−
−
−





B
 0 5 8
 5 0 3
8 3 0
Como B BT = − podemos asegurar que B es antisimétrica.
c) C = −




 1 5
4 7
Álgebralineal
49
Encontramos las matrices C y C C CT T− = −

 − =
− −
−



:
1 4
5 7
1 5
4 7 
Como C C C≠ CT podemos afirmar que no es simétrica.
Como CT C C≠ − podemos afirmar que tampoco es antisimétrica.
3. Encuentra las siguientes matrices:
a) 
8 4
6 8
3 1
0 5
−
−



 +
−
−




 
 
Como son del mismo orden sí se puede efectuar la suma, para ello sumamos 
cada una de las entradas correspondientes:
8 4
6 8
3 1
0 5
8 3 4 1
6 0 8 5
5 3
6
−
−



 +
−
−



 =
− − +
+ − −



 =
−
−
 
 113




b) 4 1 0
3
0
−( )•


Como la primera matriz es de orden 1×3 y la segunda de 2×1, no se puede 
efectuar el producto interno:
c) 
 
 
 1 1 0 2 5
2 3 0 1 4
1 5
4 0
2 0
−






−
− −




Como las matrices son de orden 3×2 y 2×5, el producto sí se puede realizar 
y nos dará una matriz de orden 3×5:
 
 
 1 1 0 2 5
2 3 0 1 4
1 5
4 0
2 0
1
−






−
− −



 =
−110 1 15 0 2 5 5 20
4 4 0 8 20
2 2 0 4 10
− + − +
− − −
−






=
− −9 14 0 3 25
−− − −
−





4 4 0 8 20 2 2 0 4 10
Empleamos los siguientes productos internos para obtener los resultados:
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )1 5
1
2
1 1 5 2 1 10 1 5
1
3
1 1• −



 = + − = − •
−


 = − +
 
 
55 3 1 15( ) ; .= − + etc
50
Unidad 1
4. Calcula los siguientes determinantes por la Regla de Sarrus:
a) 
5 1
7 2
5 2 7 1 10 7 17
− = ( )( )− ( ) −( )= + =
 
b) 
 1 2 0
 1 3 2
2 1 1
−
− −
 Repetimos los dos primeros renglones para obtener una 
matriz de 5×3.
5. Calcula el siguiente determinante por el métodode los cofactores:
5 1 0
2 6 3
2 1 2
5
6 3
1 2
1
2 3
2 2
0
2 6
2 1
−
− −
= − − − −( ) − + −
 
 
 
== − +( )+ − −( )+ = − − = −5 12 3 1 4 6 0 45 10 55
6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando la Regla de 
Cramer:
a) 3 2 5
2 5 3
x y
x y
− =
+ = −
 
Se forma el determinante A de los coeficientes y los determinantes A
1
 y A
2
:
det A = − = + =3 2
2 5
15 4 19
 
det A1
5 2
3 5
25 6 19= −− = − = 
det A2
3 5
2 3
9 10 19= − = − − = −
 
Se encuentra cada una de las variables:
x
A
A
y
A
A
= = = = = − = −det
det
det
det
1 219
19
1
19
19
1
 
 1 2 0
 1 3 2
2 1 1
 1 2 0
 1 3 2
−
− −
−
=
( )(1 3))( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )− + + − −[ ]− − − + ( )+ −1 1 1 0 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 3(( )  =
− + + − + + =
− =
( )
( ) ( )
0
3 0 8 2 2 0
5 4 1
Álgebralineal
51
b) x y z
x y z
x y z
− + =
+ − =
− − =
2 0
3 4
2
Se forma el determinante B de los coeficientes y los determinantes B
1
, B
2
 y B
3
:
det B =
−
−
− −
=
1 2 1
3 1 1
1 1 1
 
 1(–1–1)+2(–3+1)+1(–3–1)=–2–4–4= –10
det B1
0 2 1
4 1 1
2 1 1
=
−
−
− −
=
 
 0(–1–1)+2(–4+2)+1(–4–2)= –4–6= –10
det B2
1 0 1
3 4 1
1 2 1
= −
−
=
 
 
 
1(–4+2)+0(–3+1)+1(6–4)= –2+2= 0
det B3
1 2 0
3 1 4
1 1 2
=
−
−
=
 
 
 
1(2+4)+2(6–4)+0(–3–1)=6+4=10
Se encuentra cada una de las variables:
x
B
B
= = −− =
det
det
1 10
10
1
 
y
B
B
= = − =
det
det
2 0
10
0
 
z
B
B
= = − = −
det
det
3 10
10
1
52
Unidad 1
Ejercicios propuestos
1. Encuentra la matriz transpuesta AT de cada caso y menciona si la matriz 
A es simétrica, antisimétrica o ninguna de las dos:
a) A = 
 1 3 4
3 5 0
 4 0 2
−
−






b) A = 
 1 2 3
2 0 4
3 4 0
−
− −






c) A = 
 0 1 2
1 0 3
2 3 0
− −
−






2. Calcula las operaciones con matrices si es posible, si no se puede explica 
por qué:
a) 
3 2 1
0 4 3
1 1 0
3 2
4 0
1 3
 
 
 
 
 
 
−
−





 +
−
−





 =
b) 
3 2 1
0 1 1
8 1 3
 
 
 
 4 5 2
 3 0 1
2 
−
−





 + −− 44 3−





 =
c) 
3 2 1
2 4 5
3
2
1









 =
d) 
2 1
4 3
2 3



 ( ) =
e) 
 3 2 1
 4 0 1
1 1 2
−
−












2 1 3
4 1 2
0 0 1
=
Álgebralineal
53
3. Encuentra el determinante mediante la Regla de Sarrus:
3 2 1
5 1 0
2 4 3
 
 
 
− =
4. Encuentra el determinante mediante el desarrollo por menores:
 3 2 1
 0 4 2
2 1 3
−
− −
 =
5. Aplica la Regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de 
ecuaciones:
 
2 3 3
2 5
2 4
x y z
x y z
x y z
+ − = −
− + =
+ − = −
Autoevaluación
1. Es una matriz de orden 3×2: 
a) 
4 3 2
5 1 1
3 4 2
−






b) 
1 1 0
0 1 1
−
−




 
 
c) 
2 1
3 2
4 1
 
 
−






d) 
2 5
3 1
 
−



 
54
Unidad 1
2. Es el elemento a
42
 de la matriz A =
− −
−
− −
−



 1 2 3 1
1 4 6 1
 0 1 3 2
 5 0 1 2




:
a) 0 
b) 1
c) 4
d) 6
3. Es la matriz identidad de orden 3×3:
a) 
1 0 1
0 1 0
0 0 1






b) 
0 1 1
1 0 1
1 1 0






c) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1






d) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1






4. Las matrices cuadradas que satisfacen la propiedad A A
T = se llaman:
a) Transpuesta
b) Simétrica
c) Antisimétrica
d) Identidad
5. Una matriz antisimétrica satisface la propiedad:
a) A A
T =
b) A A= −
c) A I
T =
d) A A
T = −
Álgebralineal
55
6. Es una matriz simétrica:
a) 
3 2 1
2 4 5
1 5 0






b) 
3 2 1
2 4 5
3 2 1






c) 
 3 2 1
2 4 5
1 5 6
− −
−






d) 
1 4 0
0 3 1
0 0 3−





 
7. Es una matriz antisimétrica:
a) 
 1 4 3
4 1 2
3 2 1
−
− −






b) 
 0 1 2
1 0 3
 2 3 0
−
− −






c) 
1 1 1
1 1 1
1 1 1






d) 
0 1 1
0 0 3
0 0 0
−





56
Unidad 1
8. Es el resultado de la suma de 
4 2
1 3
2 5
2 1
3 1





 +



 :
a) 
6 3
4 4




b) 
10 6
11 4
19 7






c) No se puede realizar la operación.
d) 
6 3
3 4
4 6






9. Resulta de 
4 3
2 1
1 0





 +
−
−






 5 3
 1 0
1 3
a) 
9 0
3 1
0 3






b) 
 20 9
 2 0
1 0
−
−






c) 
 
 
9
2
1−






d) 
 
 
11
2
1−






10. Resulta de ( )3 2 1
4
1
0
− •






Álgebralineal
57
a) 
12
2
0





 
b) 14
c) 
 
 
7
3
1−






d) 13
11. Es el producto matricial de 
2 1 3
4 0 1



 −






 4 2
2 1
 2 0
:
a) 
12 5
18 8




b) 
12 18
5 8




c) No se puede realizar la operación.
d) 
12
5
18
8






12. Es falsa la siguiente afirmación:
a) A A
T
T( ) =
b) AB A B
T T T( ) =
c) AB B A
T T T( ) =
d) A B A B
T T T+( ) = +
13. Es el cofactor A
32
 de la matriz A =
−
−






3 0 1
2 4 1
2 1 1
:
a) –5
b) 5
58
Unidad 1
c) 1
d) –1
14. Encuentra el determinante de la matriz A = −






3 2 1
2 0 1
1 2 0
a) 8
b) –12
c) 6
d) 0
15. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de 
Cramer:
 
2 5 7
3 2 1
x y
x y
− =
+ =
 
a) x y= − =1; 1
b) x y= = −1 1; 
c) x y= − =1 19
11
; 
d) x y= = −19
11
1; 
Álgebralineal
59
Respuestas a los ejercicios
Ejercicio 1
1. 
c)
2. 
a) (0, 1, 3, 2) 
b) 
2
8
1
3






 
c) b b b31 22 340 8 2= = =
3. 
a) A: 3 renglones, 2 columnas, orden 3×2; B: 2 renglones, 3 columnas, 
orden 2×3.
b) 
a b32 131 5= = −
4.
a) I4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
× =






b) A =






0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 matriz cero de orden 3×4
60
Unidad 1
Ejercicio 2
1. 
a) Triangular superior: D, F, C.
b) Triangular inferior: C, E, B.
c) Diagonal: C
d) Ninguno de los anteriores: A. 
2. Son simétricas: A, C y D.
3. 
a) Sí
b) No
c) Sí
Ejercicio 3
1. 
a) 
1 0
1 3




b) 
− −
− −




3 3 3
3 3 3
c) 
9 6
15 4




d) No son del mismo orden
e) 
−
−
−






9 5
9 6
9 1
 
 
 
 
2. 
a) 
3 6
4 8




b) 11
c) 
5 10 3 4
4 8 12 16
−


 
d) 
− −
−
− − −






3 0 9
 2 5 4
7 4 13
e) 
1 7
0 7
25 15






Álgebralineal
61
3. ( , , , )13 12 9 8
4. 
a) 
 1 3
2 5−




b) 
5 1
2 2
−


 
c) 
− −
−






2 7
 6 10
 6 1
Ejercicio 4
1.
a) 12
b) 26
c) 14
d) –6
Ejercicio 5
1.
a) 13
b) –138
2.
a) 0, tiene 2 renglones iguales.
b) 0, tiene un renglón de ceros.
c) 0, el renglón 2 es múltiplo del renglón 1.
d) 0, tiene una columna de ceros.
Ejercicio 6
1. 
a) x y= = −3 2; 
b) x y= = −14
11
24
11
; 
c) x y z= − = =1 1 2; ; 
d) x y z= = − =4 3 1; ; 
e) x y z= = − =1 1 2; ; 
62
Unidad 1
Respuestas a los ejercicios propuestos
1. 
a) AT= 
 1 3 4
3 5 0
 4 0 2
−
−





  A es simétrica
b) AT= 
1 2 3
2 0 4
3 4 0
− −
−





  A no es simétrica ni antisimétrica
c) AT= 
0 1 2
1 0 3
2 3 0
− −
−





 
  A es antisimétrica
2.
a) No se puede porque no son del mismo orden.
b) 
7 7 3
3 1 2
6 3 0
−





c) 
14
19



 
d) No se puede porque son de orden 2×2 y de orden 1×2
e) 
14 5 14
8 4 11
2 0 1






3. det = –17
4. det = –58
5. x = 1; y = –1; z = 2
Álgebralineal
63
Respuestas a la autoevaluación
1. c)
2. a)
3. c)
4. b)
5. d)
6. a)
7. b)
8. c)
9. a)
10. b)
11. a)
12. b)
13. a)
14. a)
15 b)