Unidad 2 TeoriaCineticaParte2

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Teoría Cinética de Gases
UNIDAD 2
ASTRONOMÍA – GEOFÍSICA – UNIV. NAC. DE SAN JUAN
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que
circulan por un cierto lugar
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que
circulan por un cierto lugar
Listado de valores
de velocidad
proporciona demasiada información y
no resulta conveniente
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que
circulan por un cierto lugar
Listado de valores
de velocidad
proporciona demasiada información y
no resulta conveniente
Histograma
Aún cuando la velocidad sea una variable continua colocamos las
velocidades posibles dentro de casillas discretas y los números relativos de
las casillas nos ayudan a entender la situación física
es la distribución estadística de las velocidades
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Se desea conocer la distribución de velocidades de autos que
circulan por un cierto lugar
Listado de valores
de velocidad
proporciona demasiada información y
no resulta conveniente
Histograma
Aún cuando la velocidad sea una variable continua colocamos las
velocidades posibles dentro de casillas discretas y los números relativos de
las casillas nos ayudan a entender la situación física
es la distribución estadística de las velocidades
Valor más probable intervalo con el número más grande
Valor medio promedio de velocidad
𝑁 =෍
𝑖
𝑛(𝑣𝑖)
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Número total de observaciones
Valor medio de la velocidad
ҧ𝑣 =
σ𝑖 𝑣𝑖 𝑛(𝑣𝑖)
σ𝑖 𝑛(𝑣𝑖)
Frecuencia Relativa o Probabilidad
𝑓 𝑣𝑖 =
𝑛 𝑣𝑖
σ𝑖 𝑛 𝑣𝑖
=
𝑛 𝑣𝑖
𝑁
Valor medio de la velocidad en términos
de probabilidad
ҧ𝑣 = ෍
𝑖
𝑣𝑖 𝑓(𝑣𝑖)
valor típico o representativo de la velocidad en
cada intervalo (puede ser la veloc. en el centro de
cada intervalo)
número de observaciones correspondientes a una
velocidad representativa
𝑣𝑖 ==
𝑛(𝑣𝑖) ==
𝑣𝑖
𝑁 =෍
𝑖
𝑛(𝑣𝑖)
Distribuciones Estadísticas y Valores Medios
Número total de observaciones
Valor medio de la velocidad
ҧ𝑣 =
σ𝑖 𝑣𝑖 𝑛(𝑣𝑖)
σ𝑖 𝑛(𝑣𝑖)
Frecuencia Relativa o Probabilidad
𝑓 𝑣𝑖 =
𝑛 𝑣𝑖
σ𝑖 𝑛 𝑣𝑖
=
𝑛 𝑣𝑖
𝑁
Valor medio de la velocidad en términos
de probabilidad
ҧ𝑣 = ෍
𝑖
𝑣𝑖 𝑓(𝑣𝑖)
valor típico o representativo de la velocidad en
cada intervalo (puede ser la veloc. en el centro de
cada intervalo)
número de observaciones correspondientes a una
velocidad representativa
𝑣𝑖 ==
𝑛(𝑣𝑖) ==
𝑣𝑖
Una distribución así formulada puede basarse puramente en
datos empíricos, sin una teoría que la soporte
En otros casos, la distribución observada puede compararse
con los cálculos basados en una teoría dada
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una
molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el
experimento muchas veces
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una
molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el
experimento muchas veces
Recorrido Libre Medio
Si formamos una distribución midiendo la distancia recorrida por una
molécula entre colisiones mientras zigzaguea en un gas repitiendo el
experimento muchas veces
El valor da el recorrido
libre medio de las moléculas
ത𝒓 Recorrido Libre Medio
ҧ𝑟 = ෍
𝑖
𝑟𝑖 𝑓 𝑟𝑖 = 𝜆
𝑓 𝑟𝑖 =
𝑛 𝑟𝑖
𝑁
λ representa la distancia promedio que se mueve una molécula (a velocidad constante) entre colisiones
Depende inversamente del tamaño de las moléculas y del número de moléculas por unidad de volumen
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas
del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas
del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas
del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez
por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas
del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez
por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Si aumentamos el espesor de la capa en una cantidad dr, el cambio resultante en la intensidad I será 𝑑𝐼 = −𝑐𝐼𝑑𝑟
→
𝑑𝐼
𝐼
= −𝑐 𝑑𝑟 → න
𝐼0
𝐼 𝑑𝐼
𝐼
= න
0
𝑟
−𝑐𝑑𝑟 → 𝐼 𝑟 = 𝐼0𝑒
−𝑐𝑟 la intensidad del haz disminuye exponencialmente
con el espesor de la capa de gas
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
Un haz de moléculas de intensidad I0 incide sobre una capa delgada de gas de espesor r
 La intensidad I del haz que pasa a través de la capa es una medida del número de moléculas
del haz que no experimentan colisiones en la distancia I
Las moléculas del gas que chocan se dispersan en direcciones diferentes
Suponemos que ninguna molécula del haz es dispersada más de una vez
por una molécula blanco. Válido si la densidad no es muy grande
Si aumentamos el espesor de la capa en una cantidad dr, el cambio resultante en la intensidad I será 𝑑𝐼 = −𝑐𝐼𝑑𝑟
→
𝑑𝐼
𝐼
= −𝑐 𝑑𝑟 → න
𝐼0
𝐼 𝑑𝐼
𝐼
= න
0
𝑟
−𝑐𝑑𝑟 → 𝐼 𝑟 = 𝐼0𝑒
−𝑐𝑟 la intensidad del haz disminuye exponencialmente
con el espesor de la capa de gas
Esto sugiere una forma exponencial para estimar f(r)
→ 𝑓 𝑟 = 𝐴𝑒−𝑐𝑟
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
𝜆 =෍
𝑖
𝑟𝑖 𝑓 𝑟𝑖 =
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
𝑁
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑛 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑁𝑓(𝑟𝑖)
σ𝑖𝑁𝑓 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑓 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑓 𝑟𝑖
𝑓 𝑟𝑖 =
𝑛 𝑟𝑖
𝑁
Multiplico arriba y abajo por
y hago que
𝑁 =෍
𝑖
𝑛(𝑟𝑖) 𝑛 𝑟𝑖 = 𝑁𝑓 𝑟𝑖
Δ𝑟
Δ𝑟 → 0
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
𝜆 =෍
𝑖
𝑟𝑖 𝑓 𝑟𝑖 =
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
𝑁
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑛 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑁𝑓(𝑟𝑖)
σ𝑖𝑁𝑓 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑓 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑓 𝑟𝑖
𝑓 𝑟𝑖 =
𝑛 𝑟𝑖
𝑁
Multiplico arriba y abajo por
y hago que
𝑓 𝑟 = 𝐴𝑒−𝑐𝑟
𝑁 =෍
𝑖
𝑛(𝑟𝑖) 𝑛 𝑟𝑖 = 𝑁𝑓 𝑟𝑖
Δ𝑟
Δ𝑟 → 0
𝜆 =
0׬
∞
𝑟𝑓 𝑟 𝑑𝑟
0׬
∞
𝑓 𝑟 𝑑𝑟
→ 𝜆 =
1
𝑐
Recorrido Libre Medio
¿Cómo encontramos la función de probabilidad f(r)? Planteamos un experimento simple
𝜆 =෍
𝑖
𝑟𝑖 𝑓 𝑟𝑖 =
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
𝑁
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑛 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑛 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑁𝑓(𝑟𝑖)
σ𝑖𝑁𝑓 𝑟𝑖
=
σ𝑖 𝑟𝑖𝑓 𝑟𝑖
σ𝑖 𝑓 𝑟𝑖
𝑓 𝑟𝑖 =
𝑛 𝑟𝑖
𝑁
Multiplico arriba y abajo por
y hago que
el camino libre medio interviene como factor de decaimiento
exponencial en el cálculoprobabilístico de que una molécula
recorra una distancia r antes de colisionar con otra
𝑓 𝑟 = 𝐴𝑒−𝑐𝑟
𝑁 =෍
𝑖
𝑛(𝑟𝑖) 𝑛 𝑟𝑖 = 𝑁𝑓 𝑟𝑖
Δ𝑟
Δ𝑟 → 0
𝜆 =
0׬
∞
𝑟𝑓 𝑟 𝑑𝑟
0׬
∞
𝑓 𝑟 𝑑𝑟
→ 𝜆 =
1
𝑐
𝑓 𝑟 = 𝐴𝑒−𝑟/𝜆
El factor A no afecta la estima del camino libre medio y
puede determinarse por normalización, requiriendo que la
suma de los n(ri) sea N
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio?
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio? 𝜆 → ∞
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio? 𝜆 → ∞
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen
Consideremos que las moléculas son esferas de diámetro d. En una colisión los centros de las dos moléculas se
aproximan una distancia como máximo igual a d
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio? 𝜆 → ∞
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
λ se relacionará entonces con el tamaño de las moléculas y con su número por unidad de volumen
Consideremos que las moléculas son esferas de diámetro d. En una colisión los centros de las dos moléculas se
aproximan una distancia como máximo igual a d
Si las moléculas fueran puntuales… ¿cuánto valdría al recorrido libre medio? 𝜆 → ∞
Una descripción equivalente es suponer una molécula como una esfera de diámetro 2d, que desplaza otras
moléculas consideradas todas puntuales
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt
en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt
en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la
molécula en este tiempo es igual al número de partículas
que contiene el cilindro
𝑁 = 𝑉𝜌𝑛 = 𝜋𝑑
2𝑣𝑡 𝜌𝑛
Y el camino libre medio es
distancia total cubierta en tiempo t
nro de colisiones en tiempo t
=
𝑣𝑡
𝜋𝑑2𝑣𝑡𝜌𝑛
𝜆 =
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt
en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la
molécula en este tiempo es igual al número de partículas
que contiene el cilindro
𝑁 = 𝑉𝜌𝑛 = 𝜋𝑑
2𝑣𝑡 𝜌𝑛
Y el camino libre medio es
distancia total cubierta en tiempo t
nro de colisiones en tiempo t
=
𝑣𝑡
𝜋𝑑2𝑣𝑡𝜌𝑛
Asumiendo que las moléculas blanco son estáticas
→ 𝜆 =
1
𝜋𝑑2𝜌𝑛
𝜆 =
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Una molécula con velocidad v y diámetro equivalente 2d, barre un cilindro de área πd2 y longitud vt
en un intervalo de tiempo t.
2d
vt
De esta forma el número de colisiones sufridas por la
molécula en este tiempo es igual al número de partículas
que contiene el cilindro
𝑁 = 𝑉𝜌𝑛 = 𝜋𝑑
2𝑣𝑡 𝜌𝑛
Y el camino libre medio es
distancia total cubierta en tiempo t
nro de colisiones en tiempo t
=
𝑣𝑡
𝜋𝑑2𝑣𝑡𝜌𝑛
Asumiendo que las moléculas blanco son estáticas
→ 𝜆 =
1
𝜋𝑑2𝜌𝑛
Asumiendo que las moléculas blanco se mueven
𝜆 =
1
2 𝜋𝑑2𝜌𝑛
𝜆 =
ҧ𝑣 𝑡
𝜋𝑑2 𝑣𝑟𝑒𝑙 𝑡𝜌𝑛
velocidad molec. media
respecto al recipiente
velocidad molec. media
relativa a las otras molec.
𝑣𝑟𝑒𝑙 = 2 ҧ𝑣
𝜆 =
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km 𝜆 = 20 km
100 km
0 km
𝜆 = 16 km
𝜆 = 0.1 μm
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km 𝜆 = 20 km
100 km
0 km
𝜆 = 16 km
𝜆 = 0.1 μm
Recorrido libre medio en el sol
𝜆 ~ 1 cm
𝑡 ~ 3 × 106 yr
Cálculo Microscópico del Recorrido Libre Medio
Recorrido libre medio del aire
300 km 𝜆 = 20 km
100 km
0 km
𝜆 = 16 km
𝜆 = 0.1 μm
Recorrido libre medio en el sol
𝜆 ~ 1 cm
𝑡 ~ 3 × 106 yr
Distribución de Velocidades Moleculares
Tenemos un pequeño número de moléculas de gas confinadas
en una caja, en equilibrio térmico a una temperatura dada 𝑣rms
Si tomamos una molécula en particular… ¿qué velocidad tendrá?
Conocemos
ഥ𝐾 /molec
Conocemos
Distribución de Velocidades Moleculares
Tenemos un pequeño número de moléculas de gas confinadas
en una caja, en equilibrio térmico a una temperatura dada 𝑣rms
Si tomamos una molécula en particular… ¿qué velocidad tendrá?
Conocemos
ഥ𝐾 /molec
Conocemos
Es altamente improbable que todas las moléculas tengan la misma v,
y algunas tendrán valores muy distintos a la veloc. promedio
Obtendremos una distribución de velocidades
Distribución de Velocidades Moleculares
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas
cada una de masa m  distribución de Maxwell
𝑛 𝑣 = 4𝜋𝑁
𝑚
2𝑘𝑇
3/2
𝑣2𝑒−𝑚𝑣
2/2𝑘𝑇
depende sólo de T !
Ojo !
𝑛 𝑣
𝑛 𝑣 𝑑𝑣
número de moléculas por intervalo de velocidad
unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
Distribución de Velocidades Moleculares
(𝑣rms)
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas
cada una de masa m  distribución de Maxwell
𝑛 𝑣 = 4𝜋𝑁
𝑚
2𝑘𝑇
3/2
𝑣2𝑒−𝑚𝑣
2/2𝑘𝑇
depende sólo de T !
Ojo !
𝑛 𝑣
𝑛 𝑣 𝑑𝑣
número de moléculas por intervalo de velocidad
unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
velocidad cuadrática media
( ҧ𝑣) velocidad promedio
(𝑣p) velocidad más probable
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
(𝑣rms)
Para una muestra de gas a la temperatura T que contenga N moléculas
cada una de masa m  distribución de Maxwell
𝑛 𝑣 = 4𝜋𝑁
𝑚
2𝑘𝑇
3/2
𝑣2𝑒−𝑚𝑣
2/2𝑘𝑇
depende sólo de T !
Ojo !
𝑛 𝑣
𝑛 𝑣 𝑑𝑣
número de moléculas por intervalo de velocidad
unitario con velocidades entre v y v+dv
número de moléculas con velocidades entre v y v+dv
velocidad cuadrática media
( ҧ𝑣) velocidad promedio
(𝑣p) velocidad más probable
𝑁 = න
0
∞
𝑛 𝑣 𝑑𝑣
Si integramos n(v) para todas las velocidades
número total de moléculas == área bajo la curva
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 =
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 y v2
O2, T=300 K
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad
determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad
determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
න
𝑣𝑥
𝑣𝑥
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = 0
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad
determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
න
𝑣𝑥
𝑣𝑥
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = 0
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas
con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 y v2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad
determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
න
𝑣𝑥
𝑣𝑥
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = 0
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas
con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 > 0 ∀ 𝑣 > 0
Distribución de Velocidades Moleculares
න
𝑣1
𝑣2
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = número de moléculas con velocidades
entre v1 yv2
O2, T=300 K
¿Cuántas moléculas de gas tendrán una velocidad
determinada, digamos vx = 623.1 m/s ?
න
𝑣𝑥
𝑣𝑥
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 = 0
La probabilidad de que una partícula tenga una velocidad determinada es cero
La probabilidad de que una partícula tenga una velocidad dentro de un
intervalo tiene un valor distinto de cero
¿Podemos encontrar en estas condiciones moléculas
con velocidades altas, digamos v>9500 m/s ?
𝑛 𝑣 𝑑𝑣 > 0 ∀ 𝑣 > 0
Distribución de Velocidades Moleculares
O2, T=300 K
Respecto a vp, notamos que la curva no es
simétrica ¿Por qué?
Distribución de Velocidades Moleculares
O2, T=300 K
Respecto a vp, notamos que la curva no es
simétrica ¿Por qué?
𝑣𝑝 < ҧ𝑣 < 𝑣rms
No hay límite (clásico) para la velocidad más alta
La velocidad (teórica) más baja possible es cero
También notamos que en general
Distribución de Velocidades Moleculares
Veamos qué pasa al variar la temperatura
Al aumentar la temperatura  vrms aumenta
(y también lo hacen v y vp)  la distribución
se ensancha y aplana
la proporción de partículas con
velocidades más altas se incrementa!
En un gas ideal, la presión no afecta la distribución de velocidades
Esto se pone de manifiesto en el aumento de
la cantidad de ciertas reacciones químicas o
nucleares al aumentar la temperatura
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación ¿Es un proceso de calentamiento o de enfriamiento?
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación
Esto reduce la energía cinéticas de las moléculas restantes y por ende
disminuye su temperatura
En un líquido en condiciones normales  la temperatura de
ebullición es superior a la temp. normal del líquido
En un líquido en condiciones normales  algunas pocas moléculas
tienen la velocidad suficiente para vencer las atracciones de otras
moléculas y escapar de la superficie
La evaporación es entonces un proceso 
de enfriamiento
Distribución de Velocidades Moleculares
Ejemplo  Evaporación
Esto reduce la energía cinéticas de las moléculas restantes y por ende
disminuye su temperatura
En un líquido en condiciones normales  la temperatura de
ebullición es superior a la temp. normal del líquido
En un líquido en condiciones normales  algunas pocas moléculas
tienen la velocidad suficiente para vencer las atracciones de otras
moléculas y escapar de la superficie
La evaporación es entonces un proceso de enfriamiento
Distribución de Velocidades Moleculares
La distribución de velocidades moleculares también depende de la masa
A menor masa, mayor proporción de moléculas
de alta velocidad a una temperatura dada
El H2 escapa con mayor probabilidad de la
atmósfera a grandes alturas que el O2 o el N2
<v> (20 °C)
44 g/mol
32 g/mol
28 g/mol
18 g/mol
2 g/mol
410 m/s
480 m/s
515 m/s
640 m/s
1930 m/s
CO2
O2
N2
H2O
H2
M
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando
un selector de velocidad
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando
un selector de velocidad
Distribución de Velocidades Moleculares
El experimento de Stern (1920) permite determinar distribuciones de veloc. moleculares, empleando
un selector de velocidad
Concuerda notablemente bien con el experimento en circunstancias ordinarias
No vale a densidades elevadas (las hipótesis de la teoría cinética tampoco)
Distribución de 
Maxwell
Debo usar distribuciones cuánticas !
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑛 𝑣 𝑑𝑣 → 𝑛 𝐸 = 𝑛 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝐸
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 número de moléculas con energías entre E y E+dE
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 → 𝑣 =
2𝐸
𝑚
→
𝑑𝑣
𝑑𝐸
=
2
𝑚
1
2
𝐸−1/2
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑛 𝑣 𝑑𝑣 → 𝑛 𝐸 = 𝑛 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝐸
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de energías de Maxwell-Boltzmann
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 → 𝑣 =
2𝐸
𝑚
→
𝑑𝑣
𝑑𝐸
=
2
𝑚
1
2
𝐸−1/2
𝑛 𝐸 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
𝐸1/2 𝑒−𝐸/𝑘𝑇
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
Supongamos que la energía cinética de traslación es la única forma de energía posible que puede tener la molécula
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 = 𝑛 𝑣 𝑑𝑣 → 𝑛 𝐸 = 𝑛 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝐸
𝑛 𝐸 𝑑𝐸 número de moléculas con energías entre E y E+dE
Distribución de energías de Maxwell-Boltzmann
𝐸 =
1
2
𝑚𝑣2 → 𝑣 =
2𝐸
𝑚
→
𝑑𝑣
𝑑𝐸
=
2
𝑚
1
2
𝐸−1/2
𝑛 𝐸 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
𝐸1/2 𝑒−𝐸/𝑘𝑇
átomos de He300 K
400 K
500 K
Esta ecuación vale para un gas monoatómico. Para moléculas
más complejas aparecen otros factores en la ecuación
Depende de T, pero no depende de la masa !
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
𝐸𝑖𝑛𝑡 = න
0
∞
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸 contribución a la energía interna del gas por moléculas con energías entre E y E+dE
𝐸𝑖𝑛𝑡 = න
0
∞
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
න
0
∞
𝐸3/2 𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸
Distribución de Energías (energía interna de un gas ideal)
𝐸𝑖𝑛𝑡 = න
0
∞
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸 contribución a la energía interna del gas por moléculas con energías entre E y E+dE
Coincide con los resultados anteriores !
Sustituimos𝐸𝑖𝑛𝑡 = න
0
∞
𝐸 𝑛 𝐸 𝑑𝐸 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
න
0
∞
𝐸3/2 𝑒−𝐸/𝑘𝑇𝑑𝐸 𝑢 =
𝐸
𝑘𝑇
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
න
0
∞
𝑢3/2 𝑒−𝑢𝑑𝑢 =
2𝑁
𝜋
1
𝑘𝑇 3/2
3
4
𝜋
𝐸𝑖𝑛𝑡 =
3
2
𝑁𝑘𝑇