Matemática-

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APRENDIZAJE MATEMÁTICA
	OBJETIVOS DE APRENDIZAJES
	· Determinar el valor esperado E(X), la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta X.
· Resuelven problemas de situaciones diarias que involucran la definición de una variable aleatoria discreta.
ITEM I: Presentación de contenido.
Por ahora hemos estudiado solo Variables aleatorias del tipo Discretas. En contenidos anteriores hemos estudiado su Función de Probabilidad y la Función de Distribución Acumulada. Esta vez estudiaremos conceptos relacionados a la Variable aleatoria discreta, la Esperanza, Varianza y Desviación Estándar.
Supongamos que tenemos un dado cargado, y que sus probabilidades de obtener los diferentes números esta registrado en la tabla.
Aunque en este caso sería fácil esperar que saliera el número que tiene mayor probabilidad, no es tan simple, porque se debe considerar todos los números y las probabilidades que aporta cada uno de ellos. Es decir, debemos considerar el peso que aporta cada dato, lo que podemos asociar con un promedio ponderado. 
Matemáticamente le llamaremos a este “valor esperado” Esperanza matemática y se calcula como la suma de los productos del valor de la variable (x) por su correspondiente probabilidad (P(x)). Esto es,
Este valor es muy utilizado en los juegos de azar o en las apuestas y los nombres esperanza matemática y valor esperado justamente tienen su origen en estos, ya que se refieren a la ganancia promedio esperada por un jugador al hacer un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero E ( x )  = 0, se dice que el juego es equitativo.
¿Cuál será el valor de la esperanza en el ejemplo del dado cargado y cómo se interpreta este valor?
 E(X) = 1 ⋅ 0,20 + 2 ⋅ 0,10 + 3 ⋅ 0,05 + 4 ⋅ 0,30 + 5 ⋅ 0,25 + 6 ⋅ 0,10
= 0,20 + 0,20 + 0,15 + 1,20 + 1,25 + 0,60
= 3,60
Por lo tanto, la esperanza matemática es 3,60, lo que significa que el valor esperado al lanzar una gran cantidad de veces el dado 
(n veces) es entre el 3 y el 4, pero tendiente levemente al 4. 
En forma análoga a la Varianza para un conjunto de datos, podemos definirla como el promedio ponderado de los cuadrados de la diferencia entre los valores de los elementos del espacio muestral y la esperanza matemática de la variable. Es decir,
 o también 
Este valor da una estimación de la homogeneidad de los valores de la variable aleatoria, con relación a cuán distantes están ellos de la esperanza matemática.
También podemos calcular la Desviación Estándar de una variable aleatoria de la misma manera que para un conjunto de datos, es decir, calculando la raíz cuadrada de la varianza , obteniendo así un estadígrafo de dispersión expresado en la misma unidad de medida de la variable.
Para comprender esto que suena complejo retomemos los datos del dado cargado y calculemos la varianza de dicha variable:
V ( X )  =  ( 1 − 3,6 )2  ⋅ 0,2 +( 2 − 3,6 )2 ⋅  0,1 + ( 3 − 3,6 )2  ⋅ 0,05 +( 4 − 3,6 )2 ⋅ 0,3 + ( 5 − 3,6 )2 ⋅ 0,25 +  ( 6 − 3,6 )2  ⋅ 0,1
V ( X )  = 1,352 + 0,256 + 0,018 + 0,048 + 0,49 + 0,576
V ( X )  = 2,74
Nota que este resultado nos muestra un valor en unidades cuadradas de probabilidad (dado que la formula así lo estipula), por lo tanto, si extraemos la raíz cuadrada de la varianza, llamada desviación estándar, se tendrá que: . Esto nos dará un valor estimado de dispersión de las probabilidades con respecto a la esperanza. 
Si restamos y sumamos este valor (1,66) a la esperanza (3,6 que habíamos calculado), tendremos que los valores son 1,94 y 5,26, respectivamente. Es decir, en una gran cantidad de lanzamientos, se debiera esperar que los números entre 2 y 5 tuvieran mayor probabilidad de salir (esto es aproximando los valores que se obtuvieron al sumar y restar la varianza). Por lo tanto, las probabilidades de los elementos del espacio muestral están dispersas.
ITEM 2: Ejemplos
ESPERANZA:
1) Una persona compra un número de rifa en la que puede ganar un premio de $100 000 o un segundo premio de $50 000 con probabilidades de 0,001 y 0,002 respectivamente. ¿Cuál es el precio justo que pagar por la rifa?
Para determinar este valor calculamos la esperanza matemática de este juego:
Dado que el valor esperado de este juego es 200, es decir, se espera obtener $200 de premio, el precio justo a pagar por esta rifa es justamente ese valor, ya que no deberíamos pagar un precio mayor al valor que se espera ganar.
2) Consideremos el lanzamiento de tres monedas y el suceso “el número de caras obtenidas”. En este caso, ¿cuál es la esperanza matemática? 
En este caso, el dominio de la función probabilidad es 0, 1, 2 y 3, dependiendo del número de caras obtenidas. Definamos su función de probabilidad, ver tabla.
Ahora bien, calculemos la Esperanza: 
Es decir, se debiera esperar que, en un gran número de lanzamientos, el resultado promedio estará entre una o dos caras.
3) En una compañía que confecciona discos duros para computadores se producen algunos artículos defectuosos por series de producción. Se ha estimado que el 8 % de los discos duros producidos en una serie son defectuosos. Si la empresa pierde $ 12 000 por cada artículo defectuoso y gana $ 35 000 por cada artículo en buen estado, ¿cuál será la ganancia esperada por la compañía a largo plazo? 
Como el fabricante debe considerar pérdidas y ganancias, podemos establecer lo siguiente:
Por lo tanto, la esperanza matemática del ingreso recibido será:
Lo que significa que la compañía recibirá a largo plazo, $ 31 240 por artículo producido.
Nota que, al igual que la media aritmética (promedio común) de una muestra de datos, este valor es solo referencial y, por sí solo, no es muy preciso. Dos muestras pueden tener la misma esperanza y sin embargo, los valores de variable aleatoria estar en una de ellas muy cercanos a la esperanza y en la otra muy polarizados.
VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR:
4) Consideremos nuevamente el ejemplo del lanzamiento de las 3 monedas, calculemos su varianza y desviación estándar:
Ya calculamos que su Esperanza es la varianza será:
Y ahora su desviación estándar: Ahora bien, si restamos y sumamos este valor a la esperanza, obtendremos los valores, 0,63 y 2,37. 
Podremos decir entonces que, en una gran cantidad de lanzamientos la mayor probabilidad es que el número de caras esté entre 1 y 2.
Si quisiéramos resumir esta información, la mejor manera es en un gráfico. E(x) es la esperanza (en rojo) y en morado esta la relación entre la esperanza y la desviación estándar (S). Se puede observar que entre estos valores se encuentran los valores de 1 y 2 que se han establecido como mayor probabilidad de ocurrir.
ITEM 3: Aplicación.
I. Resuelve los siguientes problemas contextualizados y en base a tus cálculos toma decisiones al respecto.
· Realiza una tabla para resumir la información
· Calcula Esperanza, Varianza y Desviación Estándar para cada caso.
· Responde a lo solicitado.
1) Una compañía de telefonía celular ha hecho un estudio de dos de sus proveedores y ha estimado los siguientes datos para los celulares del tipo A que vende a sus clientes (ver tabla). En base a esta información ¿Qué recomendación darías a la compañía de telefonía?
 
Por lo tanto, aunque el proveedor 2 produce mayor cantidad de celulares defectuosos, convine más.
2) Nicanor está pensando en colocar una pyme de manufactura de cartones. Él ha averiguado con empresas similares el funcionamiento y rendimiento de las máquinas que debe adquirir. Una de ellas produce 3 artículos defectuosos por cada 1000. Nicanor ha estimado que por cada caja en buen estado ganará $ 40 y por cada caja defectuosa que produzca perderá $ 17. ¿Cuál es la ganancia que Nicanor debe esperar a largo plazo si las condiciones se mantienen?
	Variable X
(peridida o ganancia)
	Probabilidad
P(X)
	40
	997/1000
	-17
	3/1000
*Referencia de tabla, hay otras opciones de resumir la información.
E ( x )  = 39,871. Debería esperar ganar $ 39 por caja aproximadamente.
3) La mamá de Estela le regaló 20 fichas de color rosado, 35 de color verde y 15 de color azul.Cuando Estela las vio no le parecieron muy entretenidas, entonces, su mamá le propuso el siguiente juego. Sacarás una ficha, veremos el color y devolveremos la ficha a la bolsa en la que están. Por cada ficha rosada que saques yo te daré $ 10, por cada ficha azul que saques, me darás $ 8 pesos y si sacas una verde no te daré nada, pero tú tampoco me darás algo a mí. Estela no sabía muy bien que esperar del juego, pero su hermano que estaba escuchando hizo algunos cálculos y le dio un consejo. Que crees tu ¿Debiera esperar ganancia o pérdida? ¿Qué concejo crees que dio el hermano de Estela?
	Variable X
(peridida o ganancia)
	Probabilidad
P(X)
	10
	20/70
	-8
	15/70
	0
	35/70
*Referencia de tabla, hay otras opciones de resumir la información.
E ( x )  =  1,14. Estela puede esperar ganar entre 1 y 2 pesos.
II. Ejercicios tipo Prueba de admisión Universitaria (Ex PSU)
1) La variable aleatoria X corresponde al número de empleados que faltan a trabajar diariamente a una oficina por encontrarse con licencia médica.
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	F(x)
	0,5
	0,25
	0,15
	0,05
	0,05
La esperanza de X es:
a) 2
b) 0,2
c) 0,9
d) 0,18
e) 1
2) La función de probabilidad de la variable aleatoria X: número de máquinas de una Fábrica que fallan en un día es:
	x
	0
	1
	2
	F(x)
	0,3
	0,6
	0,1
Entonces la desviación estándar de X es, aproximadamente 
a) 0,6
b) 0,36
c) 0,8
d) 1
e) 1,5
3) Una rifa tiene mil números, de los que uno es el ganador. Cada número cuesta 1500 peros y el premio al número ganador es de 1.000.000 de pesos. ¿Cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa de esta Lotería?
a) $1.000.000
b) $0
c) $-500 (Redondeado al entero cercano)
d) $998.500
e) $-1.500
ITEM 4: ¿Cómo voy?
Podrás evaluar tu nivel de desempeño en cada uno de los aprendizajes trabajados. No es necesario que respondas esta información cuando entregues la guía, es solo una ayuda para que veas como vas avanzando. 
	
	
	
	
	
	1) Resumí la información en tablas e hice uso de ellas para trabajar la información.
	
	
	
	2) Apliqué las fórmulas de Esperanza matemática, varianza y desviación estándar en el contexto de la resolución de problemas.
	
	
	
	3) Analicé los resultados, de acuerdo con las definiciones de los conceptos, para responder.
	
	
	
	4) Comprendí la relación entre los conceptos estudiados y cuál es su utilidad en el análisis de datos e información.
	
	
	
	5) Usé procedimientos matemáticos para confirmar la información y tomar decisiones en base a ello.
	
	
	
	6) Resolví y respondí todos los problemas planteados.
	
	
	
	7) Fui responsable y entregué la tarea en la fecha estipulada.
() Lo he hecho		(?) Quizás/Parcialmente 	(x) No lo hice
Siempre parece imposible, hasta que se hace.
¡Con esfuerzo y perseverancia lograrás lo que te propones!
Y recuerda que: los errores no son fracasos, son señal de que lo estamos intentando.