Progresiones aritmeticas y progresiones geometricas

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U.E. COLEGIO JESUS EL MAESTRO
MATEMATICA 4TO AÑO
PROF. LUIS ESPINOZA
Progresiones Aritméticas y Progresiones Geométricas 
Definición de progresión aritmética
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado razón o diferencia que se representa por la letra .
Entonces 
 Ejemplo:
 Progresión aritmética:   
  
La diferencia de la progresión es 
Es una progresión aritmética que se forma sumando  al término anterior. Así los siguientes términos serían:
Notamos que la expresión  nos da el término enésimo en la progresión.
Por ejemplo para obtener el cuarto término de la progresión sustituyo con ,
 
 
A esta expresión se le conoce como el término general.
Calcular el término general
Para calcular el término general en una progresión aritmética consideramos los siguientes dos casos:
1. Si conocemos el 1er término de la progresión.
  El término general está dado por la fórmula  
 Ejemplo:
 Progresión aritmética:  
 Primer término:  
 Término general:  
 
2. Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.
 El término general está dado por la fórmula  
Donde ak es el término conocido y k, es el valor de la posición del mismo término.
 Ejemplo:
 Progresión aritmética  
 
 
 Término general:
Definición de progresión geométrica:
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.
Ejemplo:
 Si se tiene a un primer término  a1=3  y a una razón r=4 se puede construir la siguiente progresión geométrica:
3, 12, 48, 192,  ...
 ya que al operar el primer término a1=3 con la razón r=4 se obtiene que:
3
3(4)=12
12(4)=48
48(4)=192, ...
 Como observas, el 12 se obtiene multiplicando 3 por 4, que es la razón, y así sucesivamente hasta llegar al término deseado n.
Por otro lado, si se conocen dos términos consecutivos an y an+1 de la progresión geométrica y no se conoce la razón r, se puede calcular la razón r dividiendo dichos términos como lo indica la siguiente ecuación:
 Ejemplo:
Se tiene la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, ... observa que cualesquiera dos términos consecutivos tienen la  razón r=2, ya que al aplicar la ecuación anterior se obtiene que:
 r = 6/3 = 2
r = 12/6 =2
r = 24/12 = 2
r = 48/24 = 2
Término general de una progresión geométrica.
El término general de una sucesión es la expresión an que permite conocer cualquier término en función de su posición n.
Al momento de querer conocer el valor del término general an, te puedes enfrentar a dos situaciones:
1. Si conoces al primer término a1 y a la razón r . En este caso es posible conocer a cualquier otro término de la progresión con el uso de la siguiente fórmula:
an = a1 · rn-1
 Ejemplo:
 Tienes la siguiente progresión, y te piden calcular el valor del término de la posición 20:
3, 6, 12, 24, 48, ...
 Identifica que a1 = 3, la razón r = 2 y como te piden conocer el valor del término 20, entonces n=20; al sustituir estos valores en la fórmula obtienes que:
a20 = 3· 220-1 = 3· 219 = 1, 572, 864
 Por lo tanto, el valor del término 20 es 1 572 864.
 
2. Cuando no conoces el primer término a1 de la progresión geométrica, pero conoces cualquier otro término ak y a la razón r. En este caso es posible calcular cualquier termino an usando la siguiente ecuación:
an = ak · rn-k
 Donde k es el número de la posición del término que conoces y n es la posición del término que deseas conocer.
 Ejemplo:
 Supón que ak es igual a 24, donde k=4 y la razón r=2, al sustituir los valores en la fórmula tienes que:
an = a4 · 2n-4
 
Ahora, si quieres conocer el valor de a1 ,  se calcula de la siguiente manera:
a1 = 24· 21-4= (24)· 2-3 = (24)(1/8) =3
 Ahora, en el caso de querer conocer el valor de a10  se calcula de la misma manera que el ejemplo anterior:
a10 = 24· 210-4= (24)· 26 = 1536
 No olvides que n es la posición del término que deseas conocer.
 Como te darás cuenta no importa qué termino an   se quiere conocer, pues se calcula con la fórmula adecuada dependiendo la situación. Ya sea conociendo al primer término a1 o a cualquier otro ak de la progresión geométrica, junto con la razón r.