U2CambioVariable

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2-20 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE 
 
Propósitos 
 
 Identificar las operaciones algebraicas que convierten una integral a una 
forma inmediata (cambio de variable). 
 Utilizar las tablas de integrales inmediatas para cambio de variable. 
 Identificar las transformaciones algebraicas pertinentes para convertir una 
integral a una forma inmediata. 
 Mejorar el desempeño algebraico, a través de la resolución de ejercicios de 
integración. 
 
 
Dentro de los distintos métodos para encontrar la integral de ciertas 
funciones, está el método de cambio de variable, también conocido como método 
de sustitución. 
 
 
Conceptos clave: 
 
 
 
 
Si ( ) ( )f x dx F x C  , entonces ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C  
 
25. Aplicando la regla de la cadena la derivada de ( ( ))F g x C y ya que 
'F f : 
 
a) '( ( )) '( ) ( ( )) '( )F g x g x f g x g x 
 
La fórmula de integración por tanto 
 
b) ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C  
 
26. Si ( )u g x , derivando con respecto a x , '( )
du
g x
dx
 , obteniendo la 
diferencial '( )du g x dx y sustituyendo en la fórmula de integración b), tenemos: 
 
( ( )) '( ) ( ) ( ) ( ( ))f g x g x dx f u du F u C F g x C      
 
La integral se obtiene con la formula ya antes vista 
 
11( )
1
r rf u du u du u C
r
  
 
 
 
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-21 
 
 
Sugerencias para quien imparte el curso 
Hacer algunos ejemplos con los alumnos, planteándoles algunas 
preguntas para que ellos mismos respondan. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
Obtener 
 (𝑥4 − 3) 𝑥3𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥4 − 3; 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥) = 4𝑥3𝑑𝑥 
 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
1
4
 𝑢 𝑑𝑢 =
1
4
 
1
2
 𝑢2 + 𝐶 (Multiplicando y dividiendo entre cuatro) 
 
Ya que 𝑢 = 𝑥4 − 3, finalmente se obtiene 
1
8
 𝑥4 − 3 2 + 𝐶 
 
 
Ejemplo 2 
 
Obtener 
 𝑥2 + 1 𝑥 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
1
2
 𝑢
1
2 𝑑𝑢 = 
1
2
 
2
3
𝑢
3
2 + 𝐶 (Multiplicando y dividiendo entre dos) 
 
Ya que 𝑢 = 𝑥2 + 1, finalmente se obtiene 
1
3
 𝑥2 + 1 
3
2 + 𝐶 
 
 
2-22 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
Ejemplo 3 
 
Obtener 
 
𝑑𝑥
3𝑥 + 10
 
 
 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 10; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 3 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
1
3
 
𝑑𝑢
𝑢
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
Como 𝑢 = 3𝑥 + 10, la integral es un logaritmo, se obtiene 
1
3
ln𝑢 + 𝐶 
=
1
3
ln(3𝑥 + 10) + 𝐶 
 
 
 
Ejemplo 4 
 
Obtener 
 −6𝑥2𝑒2𝑥
3
𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 2𝑥3; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 6𝑥2 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
− 𝑒𝑢𝑑𝑢 
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
Como 𝑢 = 2𝑥3;, la integral es −𝑒𝑢 + 𝐶 
= −𝑒2𝑥
3
+ 𝐶 
 
 
 
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-23 
 
Ejemplo 5 
 
Obtener 
 
𝑠𝑒𝑛5𝑥
𝑐𝑜𝑠5𝑥
𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑔 𝑥 = cos 5𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛 5𝑥 (5) 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
−
1
5
 
𝑑𝑢
𝑢
 
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
Como 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥; la integral es −
1
5
ln(cos𝑢) + 𝐶 = −
1
5
ln cos 5𝑥 + 𝐶 
 
 
Ejemplo 6 
 
Obtener 
 sec⁡(4𝑥 + 9) 𝑑𝑥 
 
 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 4𝑥 + 9; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 4 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
1
4
 sec𝑢 𝑑𝑢 
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
La integral es 
1
4
ln(sec𝑢 + tan𝑢) + 𝐶 =
1
4
ln sec (4𝑥 + 9) + tan(4𝑥 + 9) +𝐶 
 
 
Ejemplo 7 
 
Obtener 
 − csc2 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 
 
Se puede resolver de dos formas, veamos la primera de ellas. 
2-24 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
 
 𝑢 = 𝑔 𝑥 = −cot 𝑥; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
− 𝑢𝑑𝑢 
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
Como 𝑢 = − cot 𝑥; la integral es −
1
2
𝑢2 + 𝐶 = −
1
2
𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝐶 
 
Ejemplo 8 
 
Obtener 
 3𝑥2 cos⁡(𝑥3 + 2𝑥2)𝑑𝑥 − 4𝑥 cos⁡( 𝑥3 + 2𝑥2)𝑑𝑥 
 
Agrupando términos 
 
 (3𝑥2 + 4𝑥) cos⁡(𝑥3 + 2𝑥2)𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2; 𝑑𝑢 = 𝑔′ 𝑥 = (3𝑥2 + 4𝑥) 𝑑𝑥 
 
Cambiando la variable en la integral: 
 
 cos𝑢 𝑑𝑢 
 
¿Cuál de las tablas de integrales inmediatas se podría usar para obtener la 
integral anterior? 
 
La integral es 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3 + 2𝑥2) + 𝐶 
 
 
Mediante el método de cambio de variable o sustitución es posible que 
algunas integrales se vuelvan inmediatas. 
 
 
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-25 
 
 
 
 
Conceptos clave: 
 
 
 
 
Para integrales exponenciales y logarítmicas: 
 
27. ln
du
u C
u
  
 
28.
u ue du e C  
 
29.
ln
u
u aa du C
a
  
 
 
 
Para las funciones trigonométricas, donde u es función de x , ( )u g x 
 
30. cossenudu u C   , 
31. cosudu senu C  
32. tan ln cos ln secudu u C u C     
33. cot lnudu senu C  
34. sec ln sec tanudu u u C   
 
35. csc ln csc cotudu u u C   
36. 
2sec tanudu u C  
37. 
2csc cotudu u C   
38. sec tan secu udu u C  , 
39. csc cot cscu udu u C   
 
 
 
2-26 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
 
Ejercicios 
 
Obtener las integrales por cambio de variable. En algunos casos 
tendrás que hacer alguna simplificación algebraica. 
 
 
 
 
 
 
 
1. 𝑥2 4𝑥3 − 9 𝑑𝑥 
 
5. 𝑥2𝑠𝑒𝑐 2𝑥3 𝑡𝑎𝑛 2𝑥3 𝑑𝑥 
2. (3𝑥 + 6) 
3
2
𝑥2 + 6𝑥 𝑑𝑥 
 
6. −7𝑥−2 cos 7𝑥−1 + 𝑥 𝑑𝑥 + cos 7𝑥−1 + 𝑥 𝑑𝑥 
3. 
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
 
 
7. 64𝑥4𝑑𝑥 + 2𝑒2𝑥𝑑𝑥 
4. 𝑒4𝑥
3
𝑥2𝑑𝑥 
 
8. 𝑒2𝑥𝑑𝑥 + (𝑥2 + 1) 5𝑥3 + 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2𝑥