U2Inmediatas

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Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-15 
 
INTEGRALES INMEDIATAS 
 
Propósitos 
 
 Utilizar la tabla de integrales inmediatas que incluyen funciones 
exponenciales y logarítmicas 
 Utilizar la tabla de funciones inmediatas para las funciones trigonométricas. 
 Avanzar en el reconocimiento de estructuras al identificar la fórmula de la 
integral inmediata que requiere utilizar para obtener una integral dada 
 
 
Sugerencias para quien imparte el curso 
Indicar a los alumnos que tal como ya se han trabajado algunas 
fórmulas para las integrales inmediatas, tales como: kdx kx C  para 
la función constante y 1
1
1
n nx dx x C
n
 

para 𝑥𝑛 , existen otras 
integrales inmediatas que se verán en esta sección. 
 
 
 
 
Conceptos clave: 
 
 
 
 
Las integrales inmediatas de las funciones exponenciales y 
logarítmicas, se listan a continuación: 
 
12. ln
dx
x C
x
  
 
13. 
x xe dx e C  
 
14. 
ln
x
x aa dx C
a
  
 
 
 
 
 
Puntos problemáticos 
Para algunas integrales es necesario primero hacer alguna 
transformación algebraica, mediante ejemplos como los que se 
2-16 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
muestran abajo, se debe indicar a los alumnos como usar las formulas de las 
integrales inmediatas. 
 
Ejemplo 1 
 
Obtener 
 
−4
𝑥
𝑑𝑥 
 
Si -4 es una constante ¿Qué podríamos hacer? 
 
 
= −4 
𝑑𝑥
𝑥
 
 
¿Cuál de las integrales inmediatas se pueden ocupar, obtener la integral anterior? 
 
= −4𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
 
Ejemplo 2 
 
Obtener 
 
2
9
 𝑒𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 
 
¿Cuál es la constante? ¿Cómo se puede separar mediante una suma de 
integrales? 
 
2
9
 𝑒𝑥 + 5𝑥 𝑑𝑥 = 
2
9
 𝑒𝑥𝑑𝑥 +
2
9
 5𝑥 𝑑𝑥 
 
 
¿Cuáles de las fórmulas de integración inmediata usarías para obtener la 
integral solicitada? 
 
=
2
9
 𝑒𝑥 +
5𝑥
ln 5
 + 𝐶 
 
 
 
Las funciones trigonométricas también tienen fórmulas de integración 
inmediata, las cuales se listan a continuación. 
 
 
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-17 
 
 
Conceptos clave: 
 
 
 
Las integrales inmediatas de las funciones trigonométricas 
 
15. cossenxdx x C   , 
16. cos xdx senx C  
17. tan ln cos ln secxdx x C x C     
18. cot lnxdx senx C  
19. sec ln sec tanxdx x x C   
20. csc ln csc cotxdx x x C   
21. 
2sec tanxdx x C  
22. 
2csc cotxdx x C   
23. sec tan secx xdx x C  , 
24. csc cot cscx xdx x C   
 
 
 
 
 
 
Puntos problemáticos 
Si el profesor considera que los alumnos tienen problemas en aplicar 
los conocimientos adquiridos en los cursos anteriores sobre funciones 
trigonométricas, se recomienda hacer un breve repaso. 
 
 
 
Sugerencias para quien imparte el curso 
Nuevamente como en los casos anteriores, se recomienda hacer 
algunos ejemplos con los alumnos, planteándoles algunas preguntas 
para que ellos mismos respondan. 
 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Obtener 
 (2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 −
1
3
 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 
 
¿Qué podríamos hacer? 
 
= 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 − 
1
3
(𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑑𝑥 
 
 
2-18 Unidad 2 La Integral como Antiderivada 
 
= 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 −
1
3
 (𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥)𝑑𝑥 
 
 
¿Cuál de las integrales inmediatas se pueden ocupar, obtener la integral 
anterior? 
 
2𝑠𝑒𝑛 𝑥 −
1
3
𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 
 
Ejemplo 4 
 
Obtener 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
+ 4 sec 𝑥 𝑑𝑥 
 
¿Cómo se puede separar mediante una suma de integrales? 
 
Sabiendo que 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
= 𝑡𝑎𝑛 𝑥 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑑𝑥 + 4 sec 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 𝑑𝑥 + 4 sec 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
¿Cuáles de las fórmulas de integración inmediata usarías para obtener la 
integral solicitada? 
 
= − ln cos 𝑥 + ln (sec 𝑥 + tan 𝑥) + 𝐶 
 
 
Unidad 2 La Integral como Antiderivada 2-19 
 
 
 
Ejercicios 
 
Obtener las siguientes integrales, utilizando las formulas de 
integración vistas hasta el momento. 
 
 
1. 
1
( 2 2 )x xe dx
x
  
2. 
26 2
7
x x
x x
e
dx
e
 
 
 
 (En este ejercicio realizar una simplificación algebraica 
antes de proceder a resolver la integral) 
3. 8(sec csc cot )x x x dx 
4. 
2 2
1
cos cos
senx
dx dx
x x
 
 
 
  (Recordar que 
2cos cos cosx x x ) 
5. 
2
cos
sen x
dx
x
 (Despejar 2sen x , en 2 2cos 1sen x x  ) 
6. 
2
2cos (tan 1)
x
dx x dx
senx
   (Recordar que 
2 2tan 1 secx x  ) 
 
7. 
7 1
10 xe dx
x senx
 
  
 
 (En este ejercicio realizar una sustitución para 
1
senx
, antes 
de proceder a resolver la integral)