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Cálculo Integral - Taller 5
Jeanneth Galeano Peñaloza Primer semestre de 2021
Métodos de integración
1. Use la regla de sustitución para encontrar las siguientes integrales. En algunos casos puede haber más de
una posibilidad para la elección de u.
(a)
∫
x
√
x2 + 1 dx.
(b)
∫
(sen t)ecos t dt.
(c)
∫
sen(
√
x)√
x
dx.
(d)
∫
ex(1 + e2x) dx.
(e)
∫
tan θ dθ.
(f)
∫
x sen(x2) dx.
(g)
∫
(x+ 1)4 dx.
(h)
∫
cos3 x dx.
(i)
∫
sen3 x dx.
(j)
∫
tan3 x dx.
(k)
∫
1
3 + x2
dx.
(l)
∫
x2
√
2x− 1 dx.
(m)
∫
(x2 + 2x)
√
x+ 3 dx.
(n)
∫
1
x2 + 2x+ 2
dx.
(o)
∫
dt
(3 + 5t)5
.
(p)
∫
x
1− x2
dx.
(q)
∫
[lnx]2
x
dx.
(r)
∫
ex
√
1 + ex dx.
2. Compruebe la propiedad de contracción-dilatación∫ b
a
f(x) dx =
1
k
∫ kb
ka
f
(x
k
)
dx,
para f integrable en [a, b] con k 6= 0, utilizando la regla de sustitución.
3. Utilice el método de integración por partes para hallar las siguientes integrales
(a)
∫
x cos 3x dx.
(b)
∫
(3x− 2) sen 2x dx.
(c)
∫
(x2 + 1) lnx dx.
(d)
∫
senx ln(cosx)dx.
(e)
∫ 1
0
3y
ey
dy.
(f)
∫
re3rdr.
(g)
∫
arctan θ dθ.
(h)
∫
ln
√
x dx.
(i)
∫
t3e5tdt.
(j)
∫
ln(x2 + 1)dx.
4. En los siguientes ejercicios haga una sustitución y luego utilice la regla de integración por partes.
(a)
∫
arctan(lnx)
x
dx.
(b)
∫
sen
√
x dx.
(c)
∫
t1/3et
1/3
dt.
(d)
∫
t3 cos(t2)dt.
(e)
∫
ln
√
x dx.
(f)
∫
t cos(t2/3)dt.
5. En los siguientes ejercicios halle la integral indefinida.
(a)
∫
sen4(3x) dx.
(b)
∫
cos3(πx) dx.
(c)
∫
3 cos6(2x) dx.
(d)
∫
sen3 x cos5 x dx.
(e)
∫
sen5 x cos5 x dx.
(f)
∫
tan3 2x dx.
(g)
∫
tan6(x/3) dx.
(h)
∫
csc3 x dx.
(i)
∫
csc4(3x) dx.
(j)
∫
cot4(3x) dx.
(k)
∫
dx
1 + senx
.
(l)
∫
tan3 x sec5 x dx.
(m)
∫
−3 cos
5 x
5 sen2 x
dx.
(n)
∫
sen(4x) cos(7x) dx.
(o)
∫
cos(2x) cos(6x) dx.
(p)
∫
cos(7x) cos(x) dx.
6. En los siguientes problemas halle la integral definida
(a)
∫ π/2
0
cos4 x dx.
(b)
∫ π/2
0
(senx cosx)4 dx.
(c)
∫ π/2
0
(senx cosx)5 dx.
(d)
∫ π/4
0
tan3 x dx.
(e)
∫ π
0
sen(5x) sen(2x) dx.
(f)
∫ π
0
sen(4x) sen(4x) dx.
7. Resuelva la integral utilizando la sustitución sugerida.
(a)
∫ 1
−1
√
1 + x2 dx, x = tan t.
(b)
∫
dx
x2 + 1
, x = tan t.
(c)
∫ √
1− 4x2 dx, 2x = sen t.
(d)
∫
dx
x2
√
x2 − 9
, x = 3 sec t.
(e)
∫
dx
x2 − 1
, x = sec t.
(f)
∫
(1 + 9x2)3/2 dx, 3x = tan t.
8. Resuelva la integral.
(a)
∫ 2
√
2
dt
t3
√
t2 − 1
.
(b)
∫
dx
x2 − 2x
.
(c)
∫
x
√
1− x4 dx.
(d)
∫ √
e4x + e3x dx.
(e)
∫ 3
2
dx
2x2 − 3
.
(f)
∫
dx
2− 7x2
.
9. Exprese la fracción en sumas parciales (sin hallar las constantes) de las funciones racionales dadas.
(a)
1
x2 − 2x
.
(b)
u2
1 + u4
.
(c)
x
x− 6
.
(d)
r2
r + 4
.
10. Halle la integral de la fracción parcial aplicando las estrategias aprendidas. Note que no es necesario
descomponer.
(a)
∫
5
4− 7x
dx.
(b)
∫
5
(1 + u)4
du.
(c)
∫
2− 3x
2x2 − 3x+ 6
dx.
(d)
∫
r + 1
(r2 + 4)3
dr.
2
(e)
∫
2− 7x
(−3x2 + 2x+ 1)2
dx. (f)
∫
2x+ 1
(x2 + x+ 1)4
dx.
11. Resuelva la integral.
(a)
∫
dx
x2 − 2x
.
(b)
∫
r2
r + 4
dr.
(c)
∫ 1
0
x− 1
x2 + 3x+ 2
dx.
(d)
∫ 1
0
x3 − 4x− 10
x2 − x− 6
dx.
(e)
∫
x2 − 2x− 1
(x− 1)2(x2 + 1)
dx.
(f)
∫
dx
x(x2 + 4)2
.
(g)
∫
e2x
e2x + 3ex + 2
dx.
(h)
∫
dx
1− x2
.
12. Calcule la integral
∫
1
senx− cosx
dx
(a) Usando la sustitución tan(θ/2).
(b) Multiplicando por el conjugado.
Hay que convertir en algo bueno todo lo que nos sucede, incluso lo malo. Papa Francisco.
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