Vol 4 tex

Vista previa del material en texto

PROBABILIDAD Y ECONOMÍA 4
Mercados Financieros continuos
J. Margalef Roig, S. Miret Artés
E. Outerelo Domínguez
*
II
III
Prefacio
En este cuarto volumen se extienden los resultados del primero al caso
de un mercado financiero a tiempo continuo (que es modelo de un mer-
cado financiero a tiempo continuo real con sistema de funcionamiento
descentralizado de negociación mediante sistemas informáticos -cada vez
más sofisticados- que permiten la actuación de los operadores a distan-
cia, desde sus despachos y oficinas, y en tiempo real). Se utiliza de manera
esencial el movimiento Browniano geométrico (P. A. Samuelson) para dar
precio y cobertura de activos financieros. Finalmente, mediante técnicas
de cálculo numérico se llega a las fórmulas explícitas del precio teórico de
las opciones, que es un referente esencial de los precios que marcan los
mercados regulados, que se utilizan en el día a día y se incluyen con el
mínimo desarrollo matemático en los manuales de Mercados Financieros,
(véase, por ejemplo, ([34], 2004)).
Con un poco más de detalle, el contenido del libro es el siguiente:
En la primera sección, se da una breve descripción de los mercados
reales con el objetivo de presentar la terminología básica que permite una
mejor comprensión de los modelos abstractos de mercados financieros
continuos que se construyen a lo largo del libro.
La sección segunda contiene las bases generales de los modelos de
mercados financieros a tiempo continuo. Los distintos modelos particu-
lares se obtienen a partir de este modelo general, dando ecuaciones dife-
renciales estocásticas que determinan la evolución de los precios de los
activos financieros que configuran el mercado.
IV
La parte fundamental del libro la constituyen las secciones 3, 4, 5 y 6.
En la tercera, se construye el modelo Black-Scholes-Merton (BSM) de un
mercado financiero continuo y se establecen las propiedades de la inva-
riancia de las estrategias de gestión autofinanciadas por el cambio de Gir-
sanov, y se utiliza esta importante técnica del cambio de probabilidad, (por
el cambio de Girsanov), para construir la única probabilidad, equivalente
a la dada, respecto a la cual los precios actualizados del activo financiero
con riesgo constituyen una martingala. En la sección cuarta, se estable-
cen los teoremas centrales del modelo BSM cuyas características nos lle-
van a asignar el precio de las opciones europeas (call y put) y las opciones
americanas, y nos permiten obtener fórmulas explícitas de los precios de
estos tipos de opciones, así como de la cobertura de las mismas. Estos re-
sultados fueron formulados por primera vez por Fischer S. Black y Myron
S. Scholes en el artículo ([4], 1973), e independientemente por Robert C.
Merton en ([35], 1973), utilizando la teoría de las ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales. La técnica del cambio de probabilidad para obte-
ner las fórmulas citadas, que es la que se ha utilizado en la sección cuarta,
se debe a John M. Harrison y Stanley R. Pliska ([16], 1981). En la sección
quinta, se relaciona el problema del precio de las opciones, en el modelo
BSM de mercado financiero continuo, con las ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales de tipo parabólico. Entonces, con las técnicas clásicas
del Cálculo Numérico, en la sección sexta del libro, se llega a fórmulas de
cálculo aproximado de los precios de las opciones, que son las que se uti-
lizan en la práctica cotidiana de los mercados financieros reales.
A partir de las ideas que han servido para construir el modelo BSM, en
la séptima y última sección del libro, se inicia el estudio de modelos ge-
neralizados de mercados financieros continuos modelizados sobre el mo-
vimiento Browniano de dimensión n (procesos de Wiener) y se aborda la
problemática de la existencia de arbitrajes y de la completitud del merca-
do. También, se establecen fórmulas generales de valoración de opciones
europeas y americanas en el momento de su adquisición. Los resultados
de esta sección marcan la pauta a seguir para la construcción y estudio de
modelos de mercados financieros continuos más generales, que estudia-
remos en volúmenes posteriores de esta obra, con un concepto de integral
V
más general que el de Itô y la utilización de semimartingalas como proce-
sos estocásticos de los precios de los activos con riesgo.
Finalmente, se advierte al lector que a lo largo de todo este libro las
referencias de resultados de los volúmenes 1, 2 y 3, de esta obra, llevan
asociadas V. 1, V. 2 y V. 3, respectivamente.
Nuestro agradecimiento al Dr. D. Manuel Linares Linares por las fruc-
tíferas discusiones y colaboraciones en estos temas, y al Dr. D. José María
Sánchez Abril autor de la excelente maquetación del libro.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto: FIS2014-
52172-C2-1-P (Ministerio de Economía y Competitividad).
LOS AUTORES
VI
Índice general
Prefacio III
Índice general VII
5. Mercados financieros a tiempo continuo 1
5.1. Mercados financieros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.2. Modelos de mercados financieros continuos (MFC) . . . . . . 11
5.3. Modelo de Black-Scholes-Merton (BSM) . . . . . . . . . . . . 16
5.4. Evaluación y cobertura de las opciones en el modelo BSM . . 32
5.5. Precios de opciones y ecuaciones en derivadas parciales . . . 62
5.6. Valor aproximado del precio de las opciones . . . . . . . . . . 94
5.7. MFC sobre un proceso de Wiener de dimensión n . . . . . . . 107
Bibliografía 139
Índice alfabético 143
VII
VIII ÍNDICE GENERAL
Capítulo 5
Mercados financieros a tiempo
continuo
5.1. Mercados financieros reales
Observamos un mercado financiero real con los agentes que intervienen,
las regulaciones existentes, los activos financieros y sus precios, la forma-
ción de estos precios y las transacciones que realizan los agentes con di-
chos activos financieros, y se pone de manifiesto de inmediato que hay ac-
tivos sin riesgo, salvo incumplimiento en el pago (default) de la deuda que
emiten algunos Estados o algunas grandes compañías, (activos de este ti-
po son, por ejemplo, deuda pública a corto plazo, los depósitos, las cuentas
bancarias, pagarés a corto plazo, etc.), y hay activos con riesgo los cuales
presentan una marcada aleatoriedad en la formación de sus precios, (por
ejemplo, una acción, un pagaré a largo plazo de una empresa, etc). Un in-
versor (particular o institucional a través de agentes autorizados) compra
y vende activos financieros en este mercado y a la acumulación de todos
los activos de su propiedad se le llama cartera (portfolio). Se ha buscado,
desde hace muchos años, dar un modelo de este mercado real que apor-
tara claridad y precisión sobre todo en la formación de los precios de los
activos y sus derivados financieros y las transacciones de estos activos en
el mercado.
1
2 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Para una mejor comprensión de los modelos abstractos de los merca-
dos financieros reales, es importante analizar su estructura y los activos o
instrumentos financieros que se negocian en dichos mercados financieros
reales.
En la economía financiera se distinguen los siguientes objetos clave y es-
tructuras que definen y explican la naturaleza específica de los problemas
financieros, los objetivos de la teoría financiera y qué técnicas matemáti-
cas son las más adecuadas para su estudio:
(1). Agentes económicos.
(1a). Unidades de gasto con déficit (UGD) o prestatarios.
Son agentes necesitados de financiación en un momento dado
que emiten cierto tipo de activos o instrumentos financieros,
para captar la liquidez de agentes con capacidad de ahorro.
(1b). Unidades de gasto con superávit (UGS) o prestamistas.
En la vida real las UGD y UGS se identifican con los individuos, las fa-
milias, las empresas y el propio Estado. Un agente económico puede
actuar como UGD y como UGS (por ejemplo, una empresa del sector
productivo puede mantener en su activo una cierta cartera de valo-
res y al mismo tiempo, que en su pasivo aparezcauna financiación
ajena a largo plazo).
(2). Mediadores.
Son agentes que intermedian entre las UGD y UGS sin modificar los
activos financieros emitidos. Se distinguen dos tipos:
(2a). Comisionistas (Brokers).
Son agentes que cobran una comisión por los servicios presta-
dos y no asumen riesgos en las operaciones ya sean de ganan-
cias o de pérdidas.
(2b). Dealers.
Compran y venden activos por cuenta propia y asumen el ries-
go de movimientos adversos en los precios de los título nego-
ciados. Como ejemplos de dealers tenemos los bancos.
5.1. MERCADOS FINANCIEROS REALES 3
(3). Intermediarios.
Son agentes económicos que prestan o piden prestados fondos. Rea-
lizan transformaciones en los activos, pues compran activos a las
UGD y los venden modificados a las UGS. La intermediación la eje-
cutan los bancos, las compañías de inversión, los seguros, etc..
(4). Activos o instrumentos financieros principales o primarios.
Los activos financieros primarios son los que representan una par-
te alícuota de un préstamo o del capital social de una corporación
(privada o pública). A continuación se detallan algunos de ellos:
(4a). Acciones de sociedades.
Una acción es un activo, de renta variable, que representa parte
alícuota del capital de la sociedad que la emite y confiere a su ti-
tular la condición de socio, con los consiguientes derechos eco-
nómicos (reparto de dividendos) y políticos. Se pueden enaje-
nar.
(4b). Depósito monetario a plazo fijo.
Es un activo, de renta fija, garantizado hasta una cierta cantidad
por el Supervisor. Si C es la cantidad inicial, al final del tiempo
t se tiene el capital C ·exp(r t ), (fórmula de capitalización).
(4c). Préstamo de una institución.
Es el activo financiero simétrico del anterior.
(4d). Bonos, Pagarés, Letras y Obligaciones de diversos vencimien-
to.
Es deuda emitida por instituciones estatales o particulares y
quedan determinados por el nominal, el tipo de interés y el
vencimiento, (el Bono Estatal (español) a 10 años, mide la pri-
ma de riesgo, al compararlo con su homólogo alemán).
(4e). Fondos, colectivos, de inversión.
Los inversores I1,...,In aportan los capitales C
(0)
1 ,...,C
(0)
n , respec-
tivamente, en el tiempo t = 0 y se crean (en t = 0) N partici-
paciones para cubrir el capital (C (0) =)C (0)1 + ...+C
(0)
n . Entonces,
C (0)/N (= L(0)) es el valor de cada participación en t = 0. El capi-
tal C (0) está constituido por metálico y se pacta la vocación del
4 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
fondo, es decir, qué tipo de transaciones se van a realizar. La
operativa del fondo es que en cada cierre diario t1 (se discretiza
el tiempo en días) se calcula el nuevo capital del fondo, C (t1),
el nuevo número de participaciones Nt1 y el valor liquidativo,
C (t1)/Nt1 (= L(t1)), de cada nueva participación (aquí, de nuevo
la participación es un título de propiedad). En t = 0, las partici-
paciones se reparten entre los inversores proporcionalmente.
(4f ). Cualquier capital C , público o privado, se puede considerar co-
mo un Banco y genera, bajo las normas regulatorias vigentes,
activos financieros, entre otros, como (4a), (4b), (4c), (4d), (4e).
(4g). Participaciones preferentes.
Son activos financieros híbridos entre acciones y bonos. Su prin-
cipal característica es una alta rentabilidad fija (en España se
han vendido preferentes con intereses anuales de hasta el 8 %).
No obstante, los riesgos son igual de altos que los intereses,
pues las entidades solo abonarán estos retornos si alcanzan un
determinado nivel de beneficios. Además, son instrumentos fi-
nancieros sin vencimiento prefijado, lo que hace que el inver-
sor no pueda recuperar su dinero cuando lo desee.
(4h). Deuda subordinada.
Son títulos valores de renta fija con rendimiento explícito, emi-
tidos habitualmente por entidades de crédito y grandes socie-
dades, en los que el cobro de los intereses puede estar condi-
cionado a la existencia de un determinado nivel de beneficios.
De igual manera, en caso de liquidación o quiebra de la enti-
dad emisora, al establecerse el orden de pago a los acreedores,
esta deuda se coloca por detrás de los acreedores ordinarios. A
cambio de este mayor riesgo, que asumen los compradores de
bonos subordinados, suelen ofrecer una rentabilidad mayor a
la de del mercado de renta fija estricta.
Existen tres tipos de deuda subordinada: 1. Redimible, cuyo prin-
cipal tiene un vencimiento determinado en el tiempo; 2. No
redimible, cuyo principal no tiene vencimiento y produce una
deuda perpetua; y 3. Convertible en acciones, en determinada
fecha a opción de la sociedad o del titular de los bonos.
5.1. MERCADOS FINANCIEROS REALES 5
(5). Activos o instrumentos financieros derivados.
La característica esencial de los activos financieros derivados es su
dependencia de otro activo financiero que se denomina subyacente.
Surgen de la necesidad de eliminar el factor riesgo de algunas activi-
dades productivas, y entre los más relevantes tenemos los siguientes:
(5a). Opciones.
Una opción es un contrato que da derecho (pero no obligación)
a su poseedor a vender o comprar un activo financiero a un pre-
cio determinado, (precio de ejercicio), durante un periodo de
tiempo o en una fecha determinada. Para adquirir estos con-
tratos se paga una prima cuyo importe se obtiene, como vere-
mos, de los teoremas importantes y fundamentales de la teoría
del modelo abstracto del mercado financiero. Por otro lado, el
emisor debe dar garantías para que el inversor pueda ejercer el
derecho adquirido, y se tiene el problema de la cobertura (hed-
ging). En resumen, las opciones se caracterizan por tener un
activo financiero subyacente, una fecha de vencimiento (ma-
turity), un precio (strike) y un tipo oficial del dinero, que hay
que tenerlo en cuenta para el cálculo de la prima.
Las opciones que se pueden ejercer antes de la fecha de venci-
miento se les llama americanas y las que sólo se pueden ejercer
en la fecha de vencimiento se les llama europeas. Las opciones
de compra se les denominan call y las de venta put.
Se tienen además opciones sobre tipos de interés a corto o lar-
go plazo, índices bursátiles, sobre materias primas y divisas.
Finalmente, existen opciones exóticas, que son opciones cuyo
precio de ejercicio se fija según la evolución del precio del acti-
vo subyacente. Por ejemplo, las opciones asiáticas son aquellas
en las que precio de ejercicio se determina como la media de
las cotizaciones del activo subyacente durante un período de
tiempo.
(5b). Forwards.
Son contratos por los que dos instituciones se obligan a com-
prar y vender un activo financiero a un determinado precio en
la fecha de vencimiento pactada. No se negocian en mercados
6 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
regulados, y por tanto resulta difícil deshacer la operación (be-
neficio o pérdida al vencimiento del contrato).
(5c). Futuros.
Son contratos análogos a los Forwards que se negocian en mer-
cados regulados y que se pueden vender antes de la fecha de
vencimiento.
(5d). Swaps, (intercambio financiero).
En estos contratos, las dos partes acuerdan intercambiar pagos
o cobros a lo largo del tiempo. No se negocian en mercados or-
ganizados y regulados.
(5e). Warrants.
Son tipos especiales de opciones y la diferencia entre ellos es
puramente nominal.
(5f ). Combinaciones.
Estrategias de compra o venta de varias opciones de distinto
tipo (call y put).
(5g). Spreads.
Estrategia de compra o venta de varias opciones del mismo tipo
(call o put).
(5h). CDS (Credit Default Swaps).
Son instrumentos financieros que aseguran una deuda en ca-
so de impago del emisor. Miden el riesgo de crédito y asegu-
ran contra quiebras o impagos. Cuando se toman deudas so-
bre compañías extranjeras, se utilizan los CDS para cubrirse del
riesgo país.
(5i). Repo.
Venta de un activo financiero (de deuda pública) con pacto de
recompra a un tipo de interés determinado. Los tipos de interés
ofrecidos dependen de los tipos de interés de la deuda pública.
(5j). Contratos por diferencias(CFD).
Son contratos que se establecen entre un inversor particular y
una entidad financiera. Su riesgo es superior al de las opciones,
futuros y warrants, por falta de regulación. El inversor estará
5.1. MERCADOS FINANCIEROS REALES 7
siempre a expensas del precio que ofrezca la entidad con la cual
contrata el producto.
(6). Mercados.
Lugares donde, o mecanismos y procedimientos a través de los cua-
les, se intercambian productos (dinero, divisas, metales preciosos)
y activos o instrumentos financieros, y se fijan sus precios. Con los
avances del tratamiento automático de la información y de las tele-
comunicaciones, los mercados convencionales de lugar de encuen-
tro físico de compradores y vendedores ha perdido gran parte de su
significado. Existen mercados donde no se produce contacto físico
entre compradores y vendedores (por ejemplo, el Mercado de Deu-
da anotada del Estado, donde las operaciones se realizan a través de
ordenadores).
La actividad financiera se puede describir en términos del dilema:
Consumo-inversión. La ambivalencia en el comportamiento tanto
de consumidores (consume ahora más) como de inversores (invier-
te ahora para obtener más en el futuro) conduce a un problema de
optimización formulado en economía matemática como consumo-
ahorro, (este problema se trata en la Teoría de la Utilidad), y a un pro-
blema de decisión de constituir una cartera (conjunto de productos
adquiridos por un inversor). El problema de constituir una cartera se
puede describir, de forma simplificada, como el problema de la me-
jor inversión de fondos con la debida atención a los posibles riesgos.
En la cartera de cualquier inversor la cantidad de activos financieros
debe ser variada y de sectores no correlacionados del mercado para
evitar un elevado riesgo (la idea de diversificación se refleja en ada-
gios bien conocidos, a saber, no pongas todos los huevos en un mismo
cesto o nada arriesgado nada ganado.
La interrelación entre oferta y demanda, en una economía libre de
mercado, es la que conduce al precio actualizado (spot price) de ca-
da producto.
8 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
En la actividad de los mercados juega un papel importante la vola-
tilidad del mercado, que hace referencia a la velocidad de cambio
de los precios de los productos que se negocian en el mismo. Los
mercados en los cuales los precios de los productos cambian lenta-
mente, se llaman mercados de baja volatilidad, mientras que aque-
llos en los que la variación de precios es muy rápida son mercados
muy volátiles. Se distinguen tres tipos de volatilidad: futura (impor-
tante para el inversor, pero imposible de determinar a priori), histó-
rica (refleja el comportamiento del mercado en el pasado, y depende
del período de tiempo que se considera para su análisis) e implícita
(se determina conociendo todos los factores que se han utilizado en
la determinación del precio de los productos, y aplicando criterios
de valoración).
La liquidez de un mercado significa que un inversor puede fácilmen-
te comprar o vender un activo financiero en cualquier momento.
Cuanto más líquido es un mercado, más segura es la inversión.
En los mercados hay, básicamente, tres tipos de riesgo: Riesgo de cré-
dito, riesgo operacional y riesgo de mercado. El primero considera
la posibilidad de que alguna de las partes no pueda o pueda par-
cialmente cumplir las obligaciones a las que se ha comprometido al
firmar un contrato. El segundo tipo de riesgos incluye todo tipo de
errores humanos y tecnológicos o condiciones adversas durante las
transacciones. Y, por último, el tercer riesgo está relacionado con las
fluctuaciones de los precios de los productos debidas a la dinámica
de la oferta y la demanda, influencias externas tales como de índole
geopolítico, variaciones en los intereses, etc.
El arbitraje es una actividad financiera en la que simultáneamente
se compra un producto en un mercado y se vende el mismo pro-
ducto en otro mercado, obteniendo ventajas mediante la diferencia
de precios entre ambos mercados. El arbitraje es una operación nor-
malmente a muy corto plazo con obtención de beneficios sin ningu-
na pérdida de dinero, es decir, libre de riesgos (chollo). En un mismo
mercado, se pueden tener arbitrajes por anomalías en los precios de
los productos que se negocian en él. Los mercados sin posibilidades
de arbitrajes, (sin chollos), se llaman viables, (V. 1, pág. 119).
5.1. MERCADOS FINANCIEROS REALES 9
El apalancamiento es una actividad financiera en la que se utiliza el
endeudamiento para financiar una inversión. Con la deuda se ge-
nera un coste financiero (intereses), pero si la inversión genera un
ingreso mayor a los intereses a pagar, la diferencia incrementa el be-
neficio del inversor.
La especulación consiste en el intento de obtener ganancias por par-
te de un inversor (especulador) a partir de su capacidad para pre-
decir un movimiento en los precios, de los productos, no anticipado
por el mercado.
Los mercados según su grado de formalización se clasifican en orga-
nizados y no organizados. En los primeros se negocian grandes can-
tidades de títulos de forma simultánea en un solo lugar bajo ciertas
normas y reglamentos (por ejemplo, la Bolsa de Valores). Los merca-
dos no organizados son los que no se someten a una reglamentación
estricta y en los que se negocia sin que exista un lugar concreto para
ello (por ejemplo, los mercados over the counter (OTC)).
Mencionamos algunos de los mercados:
(6a). Mercados de dinero.
(6b). Mercados de divisas.
Con las reservas, el cambio y la masa monetaria circulante se
puede deducir la solidez económica de un país.
En los negocios en que interviene más de una moneda aparece
el contrato Swaps de riesgo y volatilidad altos.
(6c). Mercados de metales preciosos.
(6d). Mercados del petróleo Brent.
(6e). Mercados de cuentas Bancarias.
(6f ). Mercados de Deuda Pública.
(6g). Mercados de acciones.
10 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
(6h). Mercados financieros.
En este mercado especial, los productos intercambiados son
los activos o instrumentos financieros.
(7). Técnicas matemáticas.
Teniendo en cuenta la esencia de los mercados financieros, las he-
rramientas matemáticas adecuadas para la elaboración de modelos
de partes de estos mercados son las siguientes:
(7a). Teoría de procesos estocásticos.
(7b). Cálculo estocástico.
(7c). Estadísticas de los procesos estocásticos.
(7d). Optimización estocástica.
Ejercicios y problemas
1.1. Las características de un activo financiero son:
(1). Liquidez.
Medida de la posibilidad de que un activo financiero se pueda trans-
ferir antes de su vencimiento, en un mercado, sin pérdida de capital.
Se le designa por L.
(2). Riesgo.
Es función de que a su vencimiento el emisor del activo financiero
cumpla con lo pactado en las cláusulas de amortización. Se le desig-
na por R .
(3). Rentabilidad.
Se refiere a los rendimientos nominales generados por la correspon-
diente inversión financiera en el activo. Se le designa por r .
La relación entre estas características de los activos financieros se expresa
de la forma R = f (L,r ) con las condiciones ∂ f
∂L < 0,
∂ f
∂r > 0.
Dar una interpretación financiera de las dos condiciones anteriores.
5.2. MODELOS DE MERCADOS FINANCIEROS CONTINUOS (MFC) 11
5.2. Modelos de mercados financieros continuos
(MFC)
La idea de mercado financiero discreto (MFD) expuesta en la página 77
del V. 1, se extiende de forma natural al caso de tiempo continuo. En este
caso, el dominio de variación del parámetro t , (t se asimila usualmente al
tiempo), es el intervalo JT = [0,T ] ⊂ R, (0 < T < +∞), (a veces el intervalo
considerado será [0,+∞), que se designa también por J∞).
Una base estocástica (Ω,F , {Ft }t∈JT ,P ), que, por definición, consiste en
un espacio de probabilidad completo (Ω,F ,P ) y una filtración {Ft }t∈JT , (V.
3, pág. 23), en este espacio tal que:
(1) {Ft }t∈JT es completa respecto a P , (V. 3, pág. 24). Como F0 ⊂Ft , t ∈ JT ,
es claro que la completitudde {Ft }t∈JT equivale a que F0 contenga
a N , donde N = {N ∈F : P (N ) = 0}, (los P-cero-conjuntos de F ).
(2) {Ft }t∈JT es continua por la derecha, (V. 3, pág. 24), es decir,
Ft =
⋂
s∈(t ,T ]
Fs , t ∈ JT , (en particular, FT =F );
junto con d +1, (d ∈N), activos financieros primarios, S0 (activo sin riesgo,
por ejemplo una cuenta bancaria), S1,..., Sd , (activos con riesgo, por ejem-
plo acciones), cuyos respectivos precios en cada instante t ∈ JT , S0t , S1t ,...,
Sdt , son variables aleatorias y
S̃0 =
{
S0t
}
t∈JT , S̃
1 =
{
S1t
}
t∈JT , ..., S̃
d =
{
Sdt
}
t∈JT
,
son procesos estocásticos en (Ω,F ,P ) adaptados a la filtración {Ft }t∈JT , (V.
3, pág. 25), continuos por la derecha con límite por la izquierda (CDLI), (V.
3, pág. 3), estrictamente positivos, (P-a.s.) las trayectorias de S̃0 =
{
S0t
}
t∈JT
son de variación acotada, y S00 = 1, constituyen, por definición, un merca-
do financiero a tiempo continuo o mercado financiero continuo (MFC).
En un MFC la σ-álgebra Ft representa la información disponible en el
instante t ∈ JT .
12 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Nota. Recordamos que una función f : [a,b] → R, (a,b ∈ R, a < b), es de
variación acotada (VA) o variación finita (VF) si existe un número real po-
sitivo M tal que
∑i=n−1
i=0 | f (ti+1)− f (ti )| 6 M , para todo t0, t1, ..., tn ∈ [a,b]
con a = t0 < t1 < ... < tn = b, y que si una función f es de variación acotada
en [a,b], entonces existe la integral de Riemann de f en [a,b].
Observación 1. (1). Recordamos: Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabili-
dad, (E ,E ) un espacio medible y η : Ω→ E una variable aleatoria en (Ω,F )
con valores en (E ,E ), (V. 2, pág. 149). Entonces:
(a). Un elemento e de E es una realización de la variable aleatoria η si exis-
te ω ∈Ω tal que η(ω) = e .
(b). La aplicación Pη : E → [0,1], dada por Pη(A) = P
(
η−1(A)
)
, A ∈ E , es una
probabilidad en (E ,E ), que se llama distribución de probabilidad de η en
(E ,E ), (V. 2, pág. 151).
Sea ξ̃ = {ξs }s∈S , S subconjunto infinito de R, un proceso estocástico
real en (Ω,F ) con dominio del parámetro S, (V. 3, pág. 2). Consideramos
el espacio medible
(
R
S ,B
(
R
S
))
y X ξ̃ : Ω → R
S la aplicación definida por
X ξ̃(ω)(s) = ξs (ω), ω ∈Ω, s ∈ S, que es una variable aleatoria en (Ω,F ) con
valores en
(
R
S ,B
(
R
S
))
. Por tanto, por lo recordado en (b), se tiene la pro-
babilidad PXξ̃ en el espacio medible
(
R
S ,B
(
R
S
))
. Además, si (s1, ..., sn) es
una n-tupla ordenada de elementos distintos dos a dos de S, entonces(
ξs1 , ...,ξsn
)
: Ω → Rn es una variable aleatoria en (Ω,F ) con valores en
el espacio medible (Rn ,B (Rn)) y P(ξs1 ,...,ξsn
) (B n) = P
((
ξs1 , ...,ξsn
)−1
(B n)
)
=
PXξ̃
(
J(s1,...,sn ) (B
n)
)
, B n ∈ B (Rn), puesto que se tiene X −1
ξ̃
(
J(s1,...,sn ) (B
n)
)
=
(
ξs1 , ...,ξsn
)−1
(B n), (V. 3, páginas 4 y 5).
Finalmente, sea x ∈RS una realización de la variable aleatoria X ξ̃ : Ω→
R
S . Entonces, existe ωx ∈Ω tal que X ξ̃(ωx ) = x y, naturalmente, para todo
ω′x ∈ X −1ξ̃ (x), se tiene que X ξ̃(ω
′
x ) = x. Para todo s ∈ S (y ωx , fijo, en X −1ξ̃ (x))
se cumple que X ξ̃(ωx )(s) = ξs (ωx ) = x(s).
Consideramos ϕωx
ξ̃
: S → R, s 7→ ξs (ωx ), la trayectoria de ξ̃ en ωx , que sa-
bemos que es medible. Entonces, ϕωx
ξ̃
(s) = ξs (ωx ) = x(s) ∈ R, s ∈ S. Luego,
5.2. MODELOS DE MERCADOS FINANCIEROS CONTINUOS (MFC) 13
ϕ
ωx
ξ̃
= x, y por tanto, la realización x de la variable aleatoria X ξ̃ es la tra-
yectoria ϕωx
ξ̃
del proceso estocástico ξ̃ en ωx , (V. 3, pág. 2). Obsérvese que
ϕ
ωx
ξ̃
= ϕω
′
x
ξ̃
, para todo ω′x ∈ X −1ξ̃ (x). Supongamos, ahora, la trayectoria ϕ
ω
ξ̃
,
ω ∈Ω, del proceso estocástico ξ̃ en ω, (V. 3, pág. 2). Entonces, ϕω
ξ̃
es la rea-
lización X ξ̃(ω) de la variable aleatoria X ξ̃, ya que ϕ
ω
ξ̃
(s) = ξs (ω) = X ξ̃(ω)(s),
s ∈ S.
(2). En un MFC, con base estocástica (Ω,F , {Ft }t∈JT ,P ), el precio del ac-
tivo financiero Si , i = 0,1, ...,d , en el tiempo t ∈ JT , es la variable aleato-
ria Ft -medible Sit , (pág. 11). Así, con la terminología recordada en (1), las
realizaciones de Sit son números reales, y para todo B ∈ B(R) el conjunto
{ω : ω ∈Ω y Sit (ω) ∈ B} =
(
Sit
)−1
(B) es un elemento de Ft , (Ft ⊂ F ), y por
tanto está definida la probabilidad PS it
(B) = P
((
Sit
)−1
(B)
)
, del suceso B .
En particular, si Sit es una variable aleatoria constante, S
i
t tiene una única
realización ut ∈ R y PS it ({ut }) = P (Ω) = 1, ({ut } ∈B(R)). Además, para cual-
quier otro número real v con v 6= ut , se tiene que PS it ({v}) = P (;) = 0.
(3). Los conceptos de activos sin riesgo y con riesgo se establecerán más
adelante, con toda generalidad, en cada modelo particular de mercado fi-
nanciero continuo. En algunos de estos modelos, se define el activo sin
riesgo S0 como aquel en que las variables aleatorias S0t , t ∈ JT , son cons-
tantes de valor Ct . En este caso, el precio de S0 en t ∈ JT tiene a Ct como
única realización y P
((
S0t
)−1
(Ct )
)
= PS0t ({Ct }) = P (Ω) = 1, t ∈ JT .
Un MFC en el que S0t es la variable aleatoria constante de valor 1, para
todo t ∈ JT , se llama normalizado.
Dado un MFC con activos financieros primarios S0, S1,..., Sd , y precios
de estos activos en el tiempo t ∈ JT , S0t , S1t ,..., Sdt , respectivamente, para
todo t ∈ JT y todo i ∈ {0,1, ...,d} a
(
S
i
t =
)
Sit /S
0
t se le llama precio actualizado
en t ∈ JT del activo Si , (es decir, se toma S0t como unidad de precio y se
calcula el precio, en el instante t ∈ JT , del activo financiero Si en términos
de esta unidad).
14 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Observación 2. Asociado a un MFC con base estocástica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y activos financieros S0, S1,..., Sd , con precios en el tiempo t ∈ JT , S0t , S1t ,...,
Sdt , respectivamente, se tiene un MFC normalizado con la misma base es-
tocástica y con los mismos activos S0, S1,..., Sd , pero con otra escala de
precios en t ∈ JT , S
0
t = S0t /S0t = 1, S
1
t = S1t /S0t ,..., S
d
t = Sdt /S0t , respectivamen-
te, es decir, los precios actualizados.
Una cartera (portfolio), (V. 1, pág. 118), en un MFC con base estocás-
tica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y activos financieros primarios S0, S1,..., Sd , con
precios en t ∈ JT , S0t ,..., Sdt , respectivamente, es un proceso estocástico en
(Ω,F ,P ) medible, φ̃=
{(
H0t , H
1
t , ..., H
d
t
)}
t∈JT , (V. 3, pág. 21), del espacio me-
dible (JT ,B(JT ))⊗ (Ω,F ) en
(
R
d+1,B
(
R
d+1)), y adaptado a {Ft }t∈JT , don-
de H it da, en el instante t , la cantidad del activo financiero S
i que hay en
la cartera, i = 0,1, ...,d , t ∈ JT . Un inversor consigue una cartera φ̃ nego-
ciando con los activos financieros del mercado siguiendo una estrategia de
gestión. Dada una cartera φ̃, se llama valor de dicha cartera, en el instante
t ∈ JT , a la variable aleatoria
H0t S
0
t +H
1
t S
1
t + ...+H
d
t S
d
t
(
=Vt
(
φ̃
))
.
Es claro que
{
Vt
(
φ̃
)}
t∈JT es un proceso estocástico real.
Además, si φ̃ es una cartera de un MFC, entonces también es una carte-
ra en el mercado normalizado asociado al mercado dado, y el valor de la
cartera, en el instante t ∈ JT , en el mercado asociado es(
V t
(
φ̃
)
=
)
H0t ·1+H
1
t S
1
t + ...+H
d
t S
d
t .
Se tiene que V t
(
φ̃
)
=
(
Vt
(
φ̃
))
/S0t , t ∈ JT . A V t
(
φ̃
)
se le llama valor actuali-
zado de la cartera φ̃ en el instante t ∈ JT .
Finalmente, observamos que toda cartera en el MFC normalizado asocia-
do es también cartera en el MFC dado. Así, ambos mercados tienen las
mismas carteras.
Se dice que una estrategia de gestión φ̃=
{(
H0t , H
1
t , ..., H
d
t
)}
t∈JT , en un MFC,
es autofinanciada si
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0s dS
0
s +H
1
s dS
1
s + ...+H
d
s dS
d
s
)
, t ∈ JT ,
donde la integral, que se supone que existe, se especificará más adelante.
5.2. MODELOS DE MERCADOS FINANCIEROS CONTINUOS (MFC) 15
Una estrategia de gestión autofinanciada φ̃ =
{(
H0t , H
1
t , ..., H
d
t
)}
t∈JT se
dice que es débilmente admisible si existeuna constante K
(
φ̃
)
< +∞ tal
que Vt
(
φ̃
)
>−K
(
φ̃
)
, (λT ×P )-a.s, (λT medida de Lebesgue en JT , (V. 2, pág.
106)). Esta condición de admisibilidad refleja la condición natural, en los
mercados reales, de endeudamiento tolerable por los acreedores.
Una estrategia de gestión débilmente admisible φ̃ =
{(
H0t , H
1
t , ..., H
d
t
)}
t∈JT
se llama arbitraje si V0
(
φ̃
)
= 0, VT
(
φ̃
)
> 0 (P-a.s) y P
(
VT
(
φ̃
)
> 0
)
> 0, (pág.
8).
Los distintos modelos particulares de un MFC se obtienen imponiendo
condiciones adicionales a los procesos estocásticos de los precios de sus
activos financieros (por ejemplo: que sean procesos de Itô respecto a un
proceso de Wiener o que sean semi-martingalas (se estudiarán en el V. 5),
etc.).
Ejercicios y problemas
2.1. Consideramos un MFC con activos financieros primarios S0, S1,..., Sd ,
y precios de estos activos en el tiempo t ∈ JT , S0t , S1t ,..., Sdt , respectivamen-
te. Supongamos que la evolución, con el tiempo t , de los precios de S0 está
regida por la ecuación diferencial dS0t = r S0t d t , S00 = 1, r > 0, r ∈ R. Deter-
minar (resolviendo la anterior ecuación) S0t , y los precios actualizados de
S1,..., Sd .
2.2. Consideramos un MFC con base estocástica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y ac-
tivos financieros primarios S0, S1,..., Sd , y precios de estos activos en el
tiempo t ∈ JT , S0t , S1t ,..., Sdt , respectivamente. Supongamos que la evolu-
ción, con el tiempo t , de los precios de S0 está regida por la ecuación dife-
rencial estocástica
dS0t = rt (ω)S
0
t d t , S
0
0 = 1, (es decir, S
0
t = 1+
∫t
0
ruS
0
udu),
donde {rt }t∈JT es un proceso estocástico real medible y adaptado a {Ft }t∈JT ,
tal que P
({∫T
0 |rt |d t <+∞
})
= 1. Determinar (resolviendo la anterior ecua-
ción) S0t , y los precios actualizados de S
1,..., Sd .
16 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
5.3. Modelo de Black-Scholes-Merton (BSM)
Se considera un MFC con base estocástica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y dos activos
financieros primarios, (d = 1), S0 y S1(= S), (véase la página 11).
Después de los trabajos de L. Bachelier y P. A. Samuelson, (véase el Pre-
facio de V. 1)), las condiciones adoptadas por F. Black, M. Scholes y R. C.
Merton, para describir la evolución de las cotizaciones de los activos finan-
cieros S0 y S en el MFC dado son las siguientes:
(1). Los precios S0t , t ∈ JT , del activo S0 (activo sin riesgo) están regidos
por la ecuación diferencial ordinaria
dS0t
d t
= r S0t , S
0
0 = 1,
donde r es una constante positiva (r es la tasa o tipo de interés ins-
tantáneo, (V. 1, páginas 140 y 141)). Se sobreentiende que la ecuación
diferencial está dada para cada ω ∈Ω. Por consiguiente, resolviendo
la ecuación diferencial anterior,
S0t (ω) = exp(r t ), t > 0, ω ∈Ω.
Para cada t , fijo, S0t (ω) es una variable aleatoria constante de valor
exp(r t ).
(2). Los precios St , t ∈ JT , del activo S (activo con riesgo) están regidos por
la ecuación diferencial estocástica
dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 = x0, t ∈ JT , (3.1)
donde µ, σ y x0 son constantes reales con σ 6= 0 y x0 > 0, (a µ se le
llama deriva y a σ volatilidad (en la literatura de economía financie-
ra)), y W̃ = {Wt }t∈JT es un proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto
a {Ft }t∈JT y a P , (V. 3, pág. 83). Así, por el Teorema 4.9.10., (V. 3, pág.
162),
St = S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
· t +σWt
)
, t ∈ JT ,
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 17
(solución única de la ecuación diferencial estocástica (3.1)), y se tie-
ne que S̃ = {St }t∈JT es un proceso estocástico de Itô (movimiento
Browniano geométrico, (P. A. Samuelson)), (V. 3, pág. 120), respec-
to al proceso de Wiener W̃ , y por el Teorema 4.9.13., (V. 3, pág.170),
S̃ es un proceso de Markov respecto a {Ft }t∈JT y a P . Además, si µ= 0
(no hay deriva), S̃ = {St }t∈JT es una martingala respecto a {Ft }t∈JT y
a P , (Problema 6.2, (V. 3, pág. 96)).
(Como el proceso estocástico W̃ es continuo, S̃ es proceso estocásti-
co continuo.)
En lo sucesivo al MFC particular descrito por las condiciones (1) y (2) an-
teriores, se le designará por modelo BSM.
Observación. Si se tiene la ecuación diferencial ordinaria
dS0t
dt = r S
0
t , S
0
0 =
C , entonces S0t = C exp(r t ), t > 0, que es la fórmula de capitalización al
final del tiempo t de una cantidad inicial C al tipo de interés instantáneo
del r por 1, (véase el Ejemplo 9, (V. 1, pág. 140)).
Si tomamos logaritmos Neperianos en la fórmula de (2), obtenemos:
ln(St ) = ln(S0)+
(
µ−
σ2
2
)
· t +σWt = b(t )+σWt , t ∈ JT ,
siendo b(t ) = ln(S0)+
(
µ−
(
σ2/2
))
· t .
De donde, (Teorema 4.6.4., (V. 3, pág. 83), y (1) de la página 80 de V. 3),
Fln(St )(y) = P (b(t )+σWt 6 y) = P
(
Wt 6
y −b(t )
σ
)
=
= FWt
(
y −b(t )
σ
)
=
1
p
2πt
∫x
−∞
exp
(
−
ȳ2
2t
)
d ȳ , x =
y −b(t )
σ
,
(Fln(St ) y FWt son las funciones de distribución de las variables aleatorias
ln(St ) y Wt , respectivamente, (V. 2, pág. 151)), y efectuando el cambio u =
ȳσ+b(t ), se obtiene
Fln(St )(y) =
∫y
−∞
1
p
2πt
·
1
σ
·exp
(
−
(u −b(t ))2
σ22t
)
du,
18 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
siendo σ 6= 0 , lo que indica que la variable aleatoria ln(St ) es normal,
N
(
b(t ), tσ2
)
, (V. 2, pág. 299). Se tiene un resultado más preciso: El pro-
ceso estocástico real S̃ = {St }t∈JT es solución de una ecuación diferencial
estocástica del tipo (3.1) de (2), (pág. 16), si y sólo si {ln(St )}t∈JT es un mo-
vimiento Browniano (no necesariamente estándar).
Por último, observamos que
1
S0t
= exp(−r t ) = 1+
∫t
0
−r exp(−r s)d s y St , t ∈ JT ,
son procesos estocásticos de Itô respecto a W̃ y aplicando la fórmula de
integración por partes (estocástica) (V. 3, pág. 144) se tiene,
S t =
St
S0t
= exp(−r t )St = S0 +
∫t
0
(
exp(−r s)Ssµ+Ss (−r )exp(−r s)
)
d s+
+
∫t
0
exp(−r s)σSsdWs , (P −a.s.), t ∈ JT ,
de donde, para todo t ∈ JT ,
St = S0 +
∫t
0
Ss(µ− r )d s +
∫t
0
SsσdWs , (P −a.s.),
lo que podemos escribir en la forma de ecuación diferencial estocástica
dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0,
(compárese con la ecuación diferencial estocástica que rige los precios
del activo con riesgo: dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0),
S0 = S0 = S0S00
. La ecuación diferencial estocástica obtenida rige la evolución
de los precios actualizados del activo con riesgo, (pág. 13). En el modelo
BSM se tiene que en t ∈ JT el precio actualizado del activo con riesgo es un
valor S t , en t = 0, que al capitalizarlo da St al final del tiempo t , (pág. 13).
Estrategias de gestion autofinanciadas en el modelo BSM
En el caso discreto, la estrategia de gestión autofinanciada se caracteriza
por, (V. 1, páginas 118 y 119), Vn+1
(
φ̃
)
−Vn
(
φ̃
)
=φn+1 · (Sn+1 −Sn).
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 19
En el caso de mercado financiero a tiempo continuo, la estrategia au-
tofinanciada en el modelo BSM, se define así: El contexto es un MFC con
base estocástica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y dos activos financieros S0 y S con pre-
cios regidos por las ecuaciones diferenciales estocásticas
dS0t = r S0t d t , S00 = 1, (es decir, S
0
t = 1+
∫t
0 r S
0
udu)
dSt =µSt d t +σSt dWt , S0 = x0,
(r , µ, σ y x0, constantes con σ 6= 0 y x0 > 0), donde W̃ = {Wt }t∈JT es un pro-
ceso de Wiener en (Ω,F ,P ) respecto a {Ft }t∈JT y a P , y φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT
una estrategia de gestión (cartera), (pág. 14), en este mercado.
Definición 5.3.1. La estrategia de gestión φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT es autofinan-
ciada en el modelo BSM si:
(1)
∫T
0 | H
0
t | d t +
∫T
0 H
2
t d t <+∞, (P-a.s.),
(2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+HuµSu
)
du +
∫t
0
HuσSudWu .
Observaciones. (a). De la condición (1), de la definición anterior, se de-
duce que
∫T
0 H
2
udu <+∞, (P-a.s.). Por otro lado, la aplicación t 7→ St
es continua (P-a.s.), ((2), pág. 16). Así, la función H(u,ω)σS(u,ω) es
de clase PT respecto a {Ft }t∈JT y a P , (V. 3, pág. 97), y por consiguien-
te existe laintegral
∫t
0 HuσSudWu . Por tanto, (1) implica que la fór-
mula de (2) está bien definida, (véase la página 97 de V. 3)).
(b). La condición (2), de la definición anterior, muestra que
{
Vt
(
φ̃
)}
t∈JT es
un proceso de Itô respecto a W̃ , y en consecuencia la ecuación de (2)
se puede escribir como ecuación diferencial estocástica: dVt
(
φ̃
)
=(
H0t r exp(r t )+HtµSt
)
d t +HtσSt dWt con condición inicial V0
(
φ̃
)
.
Recordamos que si un proceso estocástico, ξ̃ = {ξt }t∈JT , tiene diferen-
cial estocástica
dξt = at d t +bt dWt con condición inicial ξ0,
20 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
y f (t ,ω), t ∈ JT , ω ∈Ω, es una función no anticipativa, (V. 3, pág. 96), res-
pecto a {Ft }t∈JT , (es decir, f es medible y adaptada a {Ft }t∈JT ), entonces
se define la integral estocástica
∫t
0 f (s,ω)dξs , (V. 3, pág. 121), mediante la
fórmula
∫t
0
f (s,ω)dξs =
∫t
0
f (s,ω)a(s,ω)d s +
∫t
0
f (s,ω)b(s,ω)dWs , t ∈ JT ,
siempre que las dos integrales del segundo miembro existan, para lo cual
es suficiente que
P
{∫T
0
∣∣ f (s,ω)a(s,ω)
∣∣d s <+∞
}
= 1, P
{∫T
0
f 2(s,ω)b2(s,ω) <+∞
}
= 1.
Sea φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT estrategia de gestión autofinanciada en el modelo
BSM. Entonces, se tiene dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, y
P
{∫T
0
∣∣H(s,ω)µS(s,ω)
∣∣d s <+∞
}
= 1, P
{∫T
0 H
2(s,ω)σ2S2(s,ω) <+∞
}
= 1.
Así, por lo que se acaba de recordar,
∫t
0
Hs dSs =
∫t
0
HsµSs d s +
∫t
0
HsσSsdWs ,
y por tanto, se concluye que
Vt
(
φ̃
)
−V0
(
φ̃
)
=
∫t
0
H0s r exp(r s)d s +
∫t
0
Hs dSs
y teniendo en cuenta que S0t = 1+
∫t
0 r exp(r u)du, de donde r exp(r t )d t =
dS0t , (pág. 16),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
H0s dS
0
t +
∫t
0
HsdSs =V0(φ̃+
∫t
0
(
H0s dS
0
t +Hs dSs
)
,
(véase la página 14), o bien en notación diferencial estocástica, análoga a
la de los procesos de Itô,
dVt
(
φ̃
)
= H0t r exp(r t )d t +Ht dSt con condición inicial V0
(
φ̃
)
, o
dVt
(
φ̃
)
= H0t dS
0
t +Ht dSt con condición inicial V0
(
φ̃
)
,
que recuerda la caracterización de estrategia de gestión autofinanciada en
el caso discreto.
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 21
Observación. Si en el modelo BSM se supone que una estrategia de ges-
tión φ̃ es un proceso de Itô respecto a W̃ (V. 3, pág. 126), entonces por el
Teorema 4.8.6., (V. 3, página 128), aplicado a:
dS0t = r S0t d t , S00 = 1
dSt =µSt d t +σSt dWt , S0 = x0
d H0t = a0t d t +b0t dWt , H00 = u0
d Ht = at d t +bt dWt , H0 = v0,
tomando f (t , x, y,u, v) = xu + yv , se tiene que
d
(
Vt
(
φ̃
))
=
(
H0t dS
0
t +Ht dSt
)
+
(
S0t d H
0
t +St d Ht +σSt bt d t
)
.
Por tanto, en este caso, la variación del valor de la cartera φ̃ tiene dos par-
tes, una debida al cambio de los precios de los activos financieros del mer-
cado S0 y S, H0t dS
0
t +Ht dSt , y otra S0t d H0t +St d Ht +σSt bt d t que se puede
interpretar como inyección de capital externo al mercado, (véase la pági-
na 54). Por consiguiente, las estrategias de gestión autofinanciadas en el
modelo BSM son estrategias de gestión con valor que evoluciona, con el
tiempo, sin aporte o consumo de capital, (véase la página 14).
Designamos, como se ha dicho anteriormente, por St = exp(−r t )St el
precio actualizado del activo con riesgo en el instante t ∈ JT , (página 18).
Proposición 5.3.2. Sea φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT una estrategia de gestión en el
modelo BSM cumpliendo (1) de la definición anterior. Consideramos el va-
lor actualizado de la cartera φ̃, (pág. 14),
V t
(
φ̃
)
= exp(−r t ) ·Vt
(
φ̃
)
, (es claro que V 0
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
).
Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a). φ̃ es una estrategia de gestión autofinanciada en el modelo BSM (es
decir, se cumple (2) de la definición anterior).
(b). Para todo t ∈ JT ,
V t
(
φ̃
)
=V 0
(
φ̃
)
+
∫t
0
HuSu(µ− r )du +
∫t
0
σHuSudWu (P −a.s.),
22 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
(c). Para todo t ∈ JT
∫t
0
HsdSs =V t
(
φ̃
)
−V 0
(
φ̃
)
, (P −a.s.), t ∈ JT .
Demostración. (a)=⇒(b). Tenemos que φ̃ es una estrategia de gestión au-
tofinanciada en el modelo BSM. Consideramos los procesos de Itô respec-
to a W̃ ,
{
Vt
(
φ̃
)}
t∈JT y
1
S0t
= exp(−r t ) = 1+
∫t
0
(−r exp(−r s))d s, (d
(
1
S0t
)
=−r exp(−r t )d t ), t ∈ JT .
Por la fórmula de integración por partes estocástica, (V. 3, pág. 144), se tie-
ne:
V t
(
φ̃
)
= exp(−r t )Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
+
∫t
0
[
exp(−r s)
(
H0s r exp(r s)+HsµSs
)
+Vs (φ̃)(−r )exp(−r s)
]
d s+
+
∫t
0
exp(−r s)HsσSs dWs =V0(φ̃)+
∫t
0
(µ− r )Hs Ssd s +
∫t
0
HsσSsdWs ,
(P-a.s.), t ∈ JT , que es lo que se afirma en (b).
(b)=⇒(a). Los procesos estocásticos V t
(
φ̃
)
y exp(r t ), t ∈ JT , son procesos
de Itô respecto a W̃ . Aplicamos la fórmula de integración por partes esto-
cástica (V. 3, pág. 144) y obtenemos:
Vt
(
φ̃
)
=V t
(
φ̃
)
exp(r t ) =V0
(
φ̃
)
+
+
∫t
0
[
V s
(
φ̃
)
r exp(r s)+exp(r s)HsSs (µ− r )
]
d s +
∫t
0
exp(r s)σHsSs dWs =
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0s r exp(r s)+HsµSs
)
d s+
∫t
0
HsσSsdWs , (P −a.s.), t ∈ JT ,
lo que prueba (2) de la definición anterior.
(b)⇐⇒(c). Tenemos, (pág. 18),
dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0.
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 23
Así, por la definición de
∫t
0 Hs dSs , s ∈ JT , siempre se tiene
∫t
0
Hs Ss(µ− r )d s +
∫t
0
HsσSs dWs =
∫t
0
Hs dSs , (P −a.s.),
lo cual establece la equivalencia entre (b) y (c).
Observación. Si operamos formalmente la igualdad que define dSu , obte-
nemos
dSu = d
(
exp(−r u) ·Su
)
= exp(−r u)dSu +Su exp(−r u)(−r )du =
=
[
exp(−r u)µSu +Su exp(−r u)(−r )
]
du +exp(−r u)σSudWu =
= Su(µ− r )du +σSudWu ,
que es la ecuación diferencial estocástica, que rige los precios actualizados
del activo con riesgo, obtenida rigurosamente en la página 18.
Invariancia del precio del activo con riesgo, en el modelo BSM, por el
cambio de Girsanov.
Recordamos que si (Ω,F ,P ) es un espacio de probabilidad y Q es una pro-
babilidad en (Ω,F ), se dice que Q es absolutamente continua respecto a
P , (Q ≪ P ), si Q(A) = 0 siempre que P (A) = 0, A ∈ F , (Definición 3.1.17,
(V. 2, pág. 26)).
Recordamos también una versión (más restringida) del teorema de Ra-
don-Nikodym (V. 2, pág. 187):
Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabilidad y Q una probabilidad en (Ω,F ).
Entonces, Q es absolutamente continua respecto a P , (Q ≪ P ), si y só-
lo si existe una variable aleatoria ξ sobre (Ω,F ), ξ : Ω → [0,+∞), tal que
Q(A) =
∫
A ξdP , A ∈F . Además, ξ es única, salvo equivalencia estocástica.
Se pone la notación dQdP = ξ, (V. 2, pág. 189).
En efecto: Si existe una variable aleatoria ξ, sobre (Ω,F ), ξ : Ω→ [0,+∞),
tal que Q(A) =
∫
A ξdP , A ∈ F , por el Teorema 3.4.20., (V. 2, pág. 183),
Q ≪ P . La otra implicación es la que constituye el teorema de Radon-
Nikodym.
24 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Recordamos que dos probabilidades P y Q, sobre un espacio medible
(Ω,F ), se dice que son equivalentes si P ≪Q y Q ≪ P .
Sean P , Q probabilidades en (Ω,F ) tales que Q ≪ P . Consideramos ξ =
dQ
dP , como en el teorema de Radon-Nikodym anterior. Entonces P , Q son
equivalentes si y sólo si P (ξ> 0)= 1, (Problema 3.1, pág. 32).
Es importante destacar que:
Proposición 5.3.3. Si P y Q son probabilidades equivalentes sobre un es-
pacio medible (Ω,F ), (P ≪ Q y Q ≪ P )), y {ξn}n∈N es una sucesión de va-
riables aleatorias convergente en probabilidad a la variable aleatoria ξ, res-
pecto a P, (es decir, para todo ε > 0, ĺımn→+∞ P {|ξn −ξ| > ε} = 0), entonces
{ξn}n∈N converge en probabilidad a ξ, respecto a Q, (es decir, para todo ε> 0,
ĺımn→+∞Q{|ξn −ξ| > ε} = 0).
Demostración. Ponemos Aεn = {|ξn − ξ| > ε}. Como Q ≪ P , por la versión
anterior del teorema de Radon-Nikodym, existeη>0 tal que Q(A)=
∫
A ηdP ,
A ∈F . Sea ε> 0. Queremos probar que
ĺım
n→+∞
{∫
Aεn
ηdP
}
= 0
y sabemos por hipótesis que ĺımn→+∞ P
(
Aεn
)
= 0.
Si η es simple, (η =
∑n
i=1 xi I Ai )), es claro que se produce dicha conver-
gencia. El caso general esconsecuencia del Corolario 3.4.22, (V. 2, pág.
184).
Finalmente, recordamos el teorema del cambio de Girsanov, (Teorema
4.12.6., V. 3, pág. 193), y la invariancia de la integral estocástica por este
tipo de cambios, (V. 3, pág. 194).
Teorema 5.3.4 (Girsanov). Sean (Ω,F ,P ) un espacio de probabilidad com-
pleto, {Ft }t∈JT una filtración de este espacio completa respecto a P, W̃ =
{Wt }t∈JT un proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a {Ft }t∈JT y a P, y θ̃ =
{θt }t∈JT un proceso estocástico, en (Ω,F ,P ), medible y adaptado a {Ft }t∈JT ,
con P
(∫T
0 θ
2
s d s <+∞
)
= 1, y tal que el proceso estocástico
kt = exp
(
−
∫t
0
θs dWs −
1
2
∫t
0
θ2s d s
)
, t ∈ JT ,
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 25
es una martingala respecto a {Ft }t∈JT y respecto a P, (una condición su-
ficiente para que {kt }t∈JT sea martingala es que E
[
exp
(
1
2
∫T
0 θ
2
t d t
)]
< +∞,
(Teorema 4.12.2, (V. 3, pág. 190))). Entonces, E (kT ) = 1 y W ∗t =Wt+
∫t
0 θsd s,
t ∈ JT , es un proceso de Wiener respecto a {Ft }t∈JT y respecto a la probabili-
dad P∗, donde P∗(A) =
∫
A kT dP, A ∈F .
A veces usamos la notación P kT en vez de P∗, (kT > 0). Por otro lado, es
claro que P y P∗ son probabilidades equivalentes, (Problema 3.2., pág. 32).
Proposición 5.3.5 (Invariancia de la integral estocástica). Con las hipó-
tesis del teorema anterior, se considera además un proceso estocástico η̃ ={
ηt
}
t∈Jt medible y adaptado a {Ft }t∈JT con
∫T
0 η
2
s d s <+∞, (P-a.s), (como P
y P∗ son probabilidades equivalentes, también se tiene que
∫T
0 η
2
s d s <+∞,
(P∗-a.s.)). Entonces,
∫t
0
ηs dWs +
∫t
0
ηsθsd s =
∫t
0
ηsdW
∗
s ,
(la integral del segundo miembro en el contexto del espacio de probabilidad
(Ω,F ,P∗) y el proceso de Wiener W̃ ∗ =
{
W ∗t
}
t∈JT ).
El precio del activo con riesgo en el modelo BSM, (pág. 16), está defini-
do en el escenario:
[
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
base estocástica y W̃ = {Wt }t∈JT proceso de Wiener, en
(Ω,F ,P ), respecto a {Ft }t∈JT y a P ], concretamente ese precio es la solu-
ción única de la ecuación diferencial estocástica
dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0, t ∈ JT , (3.2)
que no es otra que
St = S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σWt
)
, t ∈ JT .
Realizamos el cambio de Girsanov , (teorema anterior), para θt = (µ−r )/σ,
t ∈ JT . Entonces el nuevo escenario es:
[
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
∗) base estocástica, donde
P∗(A) =
∫
A
kT dP, A ∈F , kT = exp
(
−
µ− r
σ
WT −
1
2
T
(µ− r )2
σ2
)
,
26 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
y W̃ ∗ =
{
W ∗t
}
t∈JT proceso estocástico de Wiener, en (Ω,F ,P
∗), respecto a
{Ft }t∈JT y respecto a P
∗, donde W ∗t =Wt +
µ−r
σ · t , t ∈ JT ].
Ocurre que
St = S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σWt
)
=
= S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σ
(
W ∗t −
µ− r
σ
t
))
= S0 exp
((
r −
σ2
2
)
t +σW ∗t
)
,
que es solución única de la ecuación diferencial estocástica
dSt = r St d t +σSt dW ∗t , con condición inicial S0, t ∈ JT . (3.3)
En este sentido decimos que el precio del activo con riesgo es invariante
por el cambio de Girsanov. También diremos que el cambio lleva la ecua-
ción diferencial estocástica (3.2) a la ecuación diferencial estocástica (3.3).
Invariancia de la estrategia de gestión autofinanciada, en el modelo BSM,
respecto al cambio de Girsanov
Observamos que la Definición 5.3.1., se da en el marco:
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
base estocástica, W̃ = {Wt }t∈JT proceso de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto
a {Ft }t∈JT y a P , y la solución de la ecuación diferencial estocástica dSt =
µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0 (precio del activo financiero con
riesgo S en t = 0).
Como sabemos, la solución de dicha ecuación diferencial estocástica es
St = S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σWt
)
, t ∈ JT .
Después del cambio de Girsanov, (pág. 24), (poniendo θt = (µ− r )/σ, t ∈
JT ), se tiene el escenario:
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
∗) base estocástica, donde dP∗=
kT dP ,
W̃ ∗ =
{
W ∗t =Wt +
µ− r
σ
· t
}
t∈JT
proceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a {Ft }t∈JT y a P
∗, y la solución
(única) de la ecuación diferencial estocástica dSt = r St d t +σSt dW ∗t con
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 27
condición inicial S0, solución que naturalmente es
S0 exp
((
r −
σ2
2
)
t +σW ∗t
)
= S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σWt
)
= St , t ∈ JT .
En este sentido decimos que dSt = µSt d t +σSt dWt con condición inicial
S0, (3.2), se transforma, mediante el cambio de Girsanov con θt = (µ−r )/σ,
t ∈ JT , en dSt = St r d t +σSt dW ∗t con condición inicial S0, (3.3), (se puede
decir también que el precio del activo financiero con riesgo es invariante
por dicho cambio).
Por cálculo formal (incorrecto) se pasa de (3.2) a (3.3). En efecto:
dSt =µSt d t +σSt
(
dW ∗t −
µ− r
σ
d t
)
=σSt dW ∗t + r St d t .
Sea φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT una estrategia de gestión autofinanciada (Defini-
ción 5.3.1., pág. 19) respecto al primer escenario, es decir se cumplen:
(1)
∫T
0 | H
0
t | d t +
∫T
0 H
2
t d t <+∞, (P-a.s.),
(2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+HuµSu
)
du +
∫t
0
HuσSudWu ,
donde Vt
(
φ̃
)
= H0t S0t +Ht St .
Como ya se ha visto, (pág. 20), al ser φ̃ autofinanciada, se tiene que
Vt
(
φ̃
)
−V0
(
φ̃
)
=
∫t
0
H0s r exp(r s)d s +
∫t
0
Hs dSs .
Entonces, φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT es una estrategia de gestión autofinanciada
(pág. 19) respecto al segundo escenario.
En efecto: Teniendo en cuenta que P∗ y P son equivalentes, se tiene (1) de
la Definición 5.3.1.. Probemos (2) de la Definición 5.3.1., (para el segundo
escenario). Lo que tenemos que probar es que para todo t ∈ JT
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+Hur Su
)
du+
∫t
0
HuσSudW
∗
u , (P
∗−a.s.).
28 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Por la invariancia de integración estocástica por el cambio de Girsanov
(Proposición 5.3.5., pág. 25), se tiene que
∫t
0
Ss Hs dWs +
∫t
0
Ss Hs
µ− r
σ
d s =
∫t
0
Ss Hs dW
∗
s ,
y por tanto,
∫t
0
σSs Hs dWs +
∫t
0
Ss Hsµd s =
∫t
0
Ss Hs r d s +
∫t
0
SsσHsdW
∗
s .
Esta última ecuación junto a
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+HuµSu
)
du +
∫t
0
HuσSudWu ,
nos da la igualdad que se quería probar.
Análogamente se prueba el recíproco, es decir: Estrategia de gestión au-
tofinanciada en el segundo escenario implica estrategia de gestión autofi-
nanciada en el primer escenario.
En lo que precede se ha demostrado el siguiente resultado (véase el Pro-
blema 3.4, pág. 32):
Proposición 5.3.6. Se considera el escenario:
(I).
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
base estocástica, W̃ = {Wt }t∈JT proceso de Wiener, en
(Ω,F ,P ), respecto a {Ft }t∈JT y a P, y la ecuación diferencial estocástica
dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0.
Realizamos el cambio de Girsanov para θt = (µ− r )/σ, t ∈ JT , y obtenemos
el escenario:
(II).
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
∗) base estocástica, donde
P∗(A) =
∫
A
kT dP, A ∈F , y kT = exp
(
−
µ− r
σ
WT −
1
2
T
(µ− r
σ
)2)
,
W̃ ∗ =
{
W ∗t =Wt + ((µ− r )/σ) · t
}
t∈JT proceso de Wiener, en (Ω,F ,P
∗), res-
pecto a la filtración {Ft }t∈JT y a P
∗, y la ecuación diferencial estocástica
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 29
dSt=r St d t +σSt dW ∗t con condición inicial S0.
Sea φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT un proceso estocástico medible de (JT ,B(JT ))⊗(Ω,F )
en
(
R
2,B
(
R
2
))
, y adaptado a {Ft }t∈JT . Entonces, las siguientes afirmaciones
son equivalentes:
(a). φ̃ es una estrategia de gestión autofinanciada en el escenario (I), es decir,
se verifica:
(a1)
∫T
0 | H
0
t | d t +
∫T
0 H
2
t d t <+∞, (P-a.s.),
(a2) Para todo t ∈ JT , (P-a.s.),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+HuµSu
)
du +
∫t
0
HuσSudWu .
(b). φ̃ es una estrategia de gestión autofinanciada en el escenario (II), es de-
cir, se verifica:
(b1)
∫T
0 | H
0
t | d t +
∫T
0 H
2
t d t <+∞, (P∗-a.s.),
(b2) Para todo t ∈ JT , (P∗-a.s.),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+Hur Su
)
du +
∫t
0
HuσSudW
∗
u .
Proposición 5.3.7. Consideramos los escenarios (I) y (II) como enla propo-
sición anterior. Sea φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT una estrategia de gestión tal que
∫T
0
|Ht |d t +
∫T
0
H2t d t <+∞, (P
∗−a.s.).
Entonces, se verifica, (P∗-a.s.),
Vt
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
(
H0ur exp(r u)+Hur Su
)
du +
∫t
0
HuσSudW
∗
u , t ∈ JT ,
si y sólo si
V t
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
σHuSudW
∗
u , t ∈ JT , (P
∗−a.s.).
30 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Indicación de la demostración: Utilizar la fórmula de integración por par-
tes (estocástica), (V. 3, pág. 144).
Martingala de los precios actualizados del activo con riesgo en el modelo
BSM
Los teoremas fundamentales Teorema 2.1.5. (V. 1, pág. 78), Teorema 2.2.1.
(V. 1, pág. 90), de la teoría discreta, se han obtenido realizando un cambio
de probabilidad que convierte los precios actualizados en martingalas. En
tiempo continuo, el teorema de Girsanov, (pág. 24), suministra el cambio
de probabilidad conveniente, en el sentido que convierte los precios ac-
tualizados en martingalas, (V. 3, pág. 58).
Como en el caso discreto, vamos a demostrar a continuación, para el caso
continuo, que los precios actualizados del activo con riesgo forman una
martingala respecto a una probabilidad equivalente a la dada.
Sean
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
una base estocástica, W̃ = {Wt }t∈JT un proceso
de Wiener, en (Ω,F ,P ), respecto a {Ft }t∈JT y a P , y la ecuación diferencial
estocástica
dξt =µξt d t +σξt dWt con condición inicial S0 (3.4).
Aplicamos el teorema del cambio de Girsanov, (pág. 24), para θt = (µ−
r )/σ, t ∈ JT . Entonces, obtenemos el escenario:
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
∗) base
estocástica, donde dP∗ = kT dP y kT = exp
(
−µ−rσ ·WT −
1
2 T
(µ−r
σ
)2)
, W̃ ∗ =
{
W ∗t =Wt +
µ−r
σ t
}
t∈JT
proceso de Wiener, en (Ω,F ,P∗), respecto a {Ft }t∈JT
y a P∗, y la ecuación diferencial estocástica
dξt = rξt d t +σξt dW ∗t con condición inicial S0 (3.5).
Naturalmente
S0 exp
((
µ−
σ2
2
)
t +σWt
)
= St , t ∈ JT ,
es solución de (3.4) y
S0 exp
((
r −
σ2
2
)
t +σW ∗t
)
, t ∈ JT ,
5.3. MODELO DE BLACK-SCHOLES-MERTON (BSM) 31
es solución de (3.5) y ambas coinciden. Así,
St = S0 +
∫t
0
r Ssd s +
∫t
0
σSsdW
∗
s , t ∈ JT (3.6)
y este proceso estocástico es un proceso de Itô respecto a W̃ ∗. Aplicamos
la fórmula de integración por partes estocástica, (V. 3, pág. 144), (en el con-
texto P∗, {Ft }t∈JT , W̃
∗), a los procesos (3.6) y exp(−r t ), t ∈ JT , y obtenemos
S t = St exp(−r t ) = S0 +
∫t
0
(
Ss (−r )exp(−r s)+exp(−r s)r Ss
)
d s+
∫t
0
exp(−r s)σSsdW ∗s = S0 +
∫t
0
σSs dW
∗
s , (P
∗−a.s.), t ∈ JT ,
lo que implica (Teorema 4.9.10., (V. 3, pág. 162)), que
{
S t
}
t∈JT
es una mar-
tingala respecto a {Ft }t∈JT y a P
∗ (probabilidad equivalente a P ) y
S t = S0 exp
(
−
σ2
2
t +σW ∗t
)
, t ∈ JT .
Por otro lado, como se ha dicho anteriormente,
St = St ·exp(r t ) = S0 exp
((
r −
σ2
2
)
· t +σW ∗t
)
es solución de la ecuación diferencial estocástica
dξt = rξt d t +σξt dW ∗t con condición inicial S0.
Resumen. Los precios actualizados del activo con riesgo, St , t ∈ JT , cons-
tituyen una martingala en el espacio de probabilidad (Ω,F ,P∗) respecto a
{Ft }t∈JT y a P
∗.
El proceso de Itô respecto a W̃ ∗, St = S0 +
∫t
0 σSsdW
∗
s , lo escribimos tam-
bién de la forma
dS t =σSt dW ∗t , con condición inicial S0,
que podemos comparar con la ecuación diferencial estocástica, obtenida
en la página 18,
dSt = St (µ− r )d t +σS t dWt , con condición inicial S0,
32 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
y por cálculo formal (incorrecto) se pasa de la primera expresión a la se-
gunda, diferenciado formalmente la expresión W ∗t =Wt + ((µ− r )/σ)t .
Ejercicios y problemas
3.1. Sean P , Q probabilidades en (Ω,F ) tales que Q ≪ P . Se considera
ξ = dQdP , como en el teorema de Radon-Nikodym, (Q(A) =
∫
A ξdP, A ∈ F ).
Probar que P , Q son equivalentes si y sólo si P (ξ> 0) = 1.
Indicación: Si P ≪ Q, se toma A = ξ−1(0) y se calcula Q(A) =
∫
A ξdP =∫
Ω I AξdP .
Para la otra implicación: Si P (ξ > 0) = 1 y Q(B) = 0, entonces 0 =
∫
B ξdP =∫
Ω IBξdP , y se determina IBξ, (propiedades de la esperanza matemática).
3.2. En el teorema del cambio de Girsanov (pág. 24), aparece la proba-
bilidad P∗(A) =
∫
A kT dP , A ∈ F . Probar que las probabilidades P y P
∗
son equivalentes, (P ≪ P∗, (propiedades de la esperanza matemática), y
P∗ ≪ P , (continuidad absoluta de la integral de Lebesgue), (V. 2, pág. 184)).
3.3. Probar la Proposición 5.3.5., (pág. 25).
Indicación: Para ηt simple, (V. 3, pág. 97), es claro que la igualdad de la pro-
posición es cierta, y se concluye aplicando el teorema de la convergencia
dominada de Lebesgue, (V. 2, pág. 172).
3.4. Completar la demostración de la Proposición 5.3.6. de la página 28,
probando que (b) implica (a), es decir, toda estrategia de gestión autofi-
nanciada en el segundo escenario también es estrategia de gestión autofi-
nanciada en el primer escenario.
5.4. Evaluación y cobertura de las opciones en el
modelo BSM
Establecido el modelo BSM, vamos a estudiar en primer lugar cómo se fija,
en este modelo, el precio de las opciones, (pág. 5).
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 33
Precio de las opciones europeas
Se considera el modelo BSM con base estocástica
(
Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
)
y dos
activos financieros primarios S0 y S, con evolución de sus precios regida
por las ecuaciones diferenciales estocásticas
dS0t = r S0t d t , S00 = 1,
dSt =µSt d t +σSt dWt , con condición inicial S0 = x0, t ∈ JT ,
respectivamente, donde r ,µ,σ y x0 son constantes con r > 0,σ 6= 0 y x0 > 0.
Una opción europea es una variable aleatoria positiva h, en (Ω,F ,P ),
(> 0, es decir, h : Ω→ [0,+∞)). Se recuerda que F =FT .
Casos particulares de opciones europeas son, (K constante):
(1). h = (ST −K )+ = máx {ST −K ,0}, en cuyo caso la opción se llama call.
(2). h = (K −ST )+ = máx {K −ST ,0}, en cuyo caso la opción se llama put.
Si pensamos en un contrato que da derecho (y no obligación), en el tiem-
po T , a comprar una acción (activo con riesgo) al precio K , al ejecutar este
contrato en T , el tenedor del mismo cobrará (ST − K )+, (call). Análoga-
mente, si pensamos en un contrato que da derecho (y no obligación), en el
tiempo T , a vender una acción (activo con riesgo) al precio K , al ejecutar
este contrato en T , el tenedor del mismo cobrará (K −ST )+, (put).
Como en el caso discreto, (V. 1, pág. 94) vamos a definir el valor de la op-
ción en cada instante t .
Definición 5.4.1. Una estrategia de gestión φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT , (pág. 14),
es admisible, si es autofinanciada, (Definición 5.3.1., pág. 19), y el valor
actualizado
V t
(
φ̃
)
= H0t +Ht S t
de la cartera correspondiente es (para todo t) positivo y de cuadrado inte-
grable respecto a P∗, (es decir, E∗
(
Vt
(
φ̃
)2)<+∞), donde (pág. 25)
dP∗ = kT dP, kT = exp
(
−
µ− r
σ
WT −
1
2
T
(µ− r
σ
)2)
.
34 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Definición 5.4.2. Sea h una opción europea. Se dice que h es realizable
(attainable) si existe φ̃ =
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT estrategia de gestión admisible tal
que VT
(
φ̃
)
= h, (se dice que φ̃ realiza a h o que la cartera φ̃ alcanza o cubre
la opción h en el tiempo T ).
Es claro que si la opción europea h es realizable (VT
(
φ̃
)
= h), entonces
h es de cuadrado integrable respecto a P∗, es decir, E∗
(
h2
)
< +∞. Si te-
nemos una opción europea h que es call, es decir h = (ST −K )+, entonces
E∗
(
h2
)
<+∞ ya que E∗
(
S2T
)
<+∞, (Proposición 4.9.11., (V. 3, pág. 163)),
y h2 6 S2T , ((2) de la página 169 de V. 2).
Teorema 5.4.3. Sea h una opción europea de cuadrado integrable respecto
a P∗. Entonces h es realizable, (existe una estrategia de gestión admisible tal
que su valor en el tiempo T es h), y el valor, en t ∈ JT , de toda cartera que
realiza a h, (estrategia de gestión admisible tal que su valor en el tiempo T
es h), es
E∗
(
h ·exp(−r (T − t ))|Ft
)
,
(independiente de la cartera considerada), donde
dP∗ = kT dP, kT = exp
(
−
µ− r
σ
WT −
1
2
T
(µ− r
σ
)2).
Demostración. Supongamos que existe φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT estrategia de ges-
tión admisible tal que VT
(
φ̃
)
= h. Por la Definición 5.4.1. y (b) de la Pro-
posición 5.3.2., (pág. 21),
V t
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
HuSu(µ− r )du +
∫t
0
σHuSudWu , (P −a.s.), t ∈ JT ,
o bien (de forma equivalente, ((c) de la misma proposición))
∫t
0
HsdSs =V t
(
φ̃
)
−V0
(
φ̃
)
, (P −a.s.), t ∈ JT .
Por la fórmula de la invariancia de la integral estocástica por el cambio de
Girsanov, (Proposición 5.3.5., pág. 25), se tiene
∫t
0
Ss HsdWs +
∫t
0
Ss Hs
µ− r
σ
d s =
∫t
0
Ss Hs dW
∗
s ,
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 35
donde
W ∗t =Wt +
µ− r
σ
· t .
Así,
V t
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
σSs Hs dW
∗
s .
En la base estocástica (Ω,F , {Ft }t∈JT ,P
∗) y proceso estocástico de Wiener
W̃ ∗, en (Ω,F ,P∗), respecto a {Ft }t∈JT y a P
∗, se tiene por la Observación
(a) de la página 19 y (g) de la página 109 de V. 3,
E∗
[(∫T
0
σSs Hs dW
∗
s
)2]
= E∗
[∫T
0
σ2S
2
s H
2
s d s
]
<+∞
donde la desigualdad, <+∞, se debe a que V t
(
φ̃
)
es de cuadrado integra-
ble respecto a P∗, es decir, E∗
(
V t
(
φ̃
)2)<+∞.
Por tanto, por (4) de la página 103 de V. 3,
{
V t
(
φ̃
)}
t∈JT
es martingala res-
pecto a {Ft }t∈JT y respecto a P
∗, ya que E∗
(∫T
0 σ
2S
2
s H
2
s d s
)
<+∞. Así,
V t
(
φ̃
)
= E∗
(
V T
(
φ̃
)
|Ft
)
, V t
(
φ̃
)
= E∗
(
h ·exp(−r T )|Ft
)
y
Vt
(
φ̃
)
= E∗
(
h ·exp(−r T + r t )|Ft
)
, t ∈ JT , (independiente de φ̃).
Probemos, ahora, la existencia de φ̃ (estrategia de gestión admisible con
VT
(
φ̃
)
= h). Se define el proceso estocástico
µt = E∗
(
h ·exp(−r T )|Ft
)
, t ∈ JT .
Entonces,
{
µt
}
t∈JT es una martingala respecto a {Ft }t∈JT y respecto a P
∗,
(Ejemplo 2, (V. 3, pág. 61)), de cuadrado integrable respecto a P∗ (es cua-
drado integrable respecto a P∗ por la desigualdad de Doob (V. 3, pág. 100)).
Por el Teorema 4.11.11., (V. 3, página 183), existe un proceso estocástico
{as }s∈JT , medible y adaptado a {Fs }s∈JT con E
∗
(∫T
0 a
2
s d s
)
<+∞, y tal que
µt =µ0 +
∫t
0
as dW
∗
s , (P
∗−a.s.), t ∈ JT , (4.1).
36 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Tomamos
Ht =
at
σSt
, H0t =µt −Ht St y φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT .
Entonces φ̃ es una estrategia de gestión autofinanciada, (Definición 5.3.1.
(pág. 19) y Proposición 5.3.2. (pág. 21)), ya que:
(1) V t
(
φ̃
)
−V0
(
φ̃
)
=µt −µ0, (por la construcción de Ht y H0t ),
(2) Por la definición de
∫t
0 Hs dSs , (pág. 20), y la definición que se acaba de
dar de Ht , se tiene
∫t
0
Hs dSs =
∫t
0
as ·
µ− r
σ
d s +
∫t
0
as dWs ,
(dS t = S t (µ− r )d t +σSt dWt ).
(3) µt −µ0 =
∫t
0 as dW
∗
s , (por la igualdad (4.1)).
(4) Por la invariancia de la integral estocástica por el cambio de Girsanov,
(Proposición 5.3.5., pág. 25),
∫t
0
as
µ− r
σ
d s +
∫t
0
as dWs =
∫t
0
as dW
∗
s ,
y, como consecuencia,
V t
(
φ̃
)
−V0
(
φ̃
)
=
∫t
0
HsdSs .
Además, ya que V0
(
φ̃
)
=µ0,
Vt
(
φ̃
)
=µt ·exp(r t ) = E∗
(
h ·exp(−r T + r t )|Ft
)
y VT
(
φ̃
)
= h.
Por último, V t
(
φ̃
)
es positiva y de cuadrado integrable respecto a P∗, ya
que µt lo es, (pág. 35).
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 37
Observación 1. Si h es una opción europea de cuadrado integrable res-
pecto a P∗ y φ̃=
{(
H0t , Ht
)}
t∈JT es una estrategia de gestión admisible con
VT
(
φ̃
)
= h, entonces, como se ha visto en la demostración del teorema,
V t
(
φ̃
)
=V0
(
φ̃
)
+
∫t
0
σSs Hs dW
∗
s
y V t
(
φ̃
)
es de cuadrado integrable respecto a P∗, y
{
V t
(
φ̃
)}
t∈JT
es martin-
gala respecto a {Ft }t∈JT y respecto a P
∗.
Además, de la primera parte de la demostración del teorema,
Vt
(
φ̃
)
= E∗
[
h ·exp(−r (T − t ))|Ft
]
, t ∈ JT , (independiente de φ̃).
El Teorema 4.11.11, (V. 3, pág. 183), ha sido esencial para la existencia de
la estrategia φ̃.
Vemos, pues, que hay estrategias de gestión φ̃ que realizan a h, y el va-
lor de la cartera Vt
(
φ̃
)
es independiente de φ̃. Es natural, por tanto, definir
el valor de la opción europea h, en el tiempo t , por la expresión
E∗
(
h ·exp(−r (T − t ))|Ft
)
.
Observamos que el call, h = (ST −K )+, cumple que E∗
(
h2
)
< +∞ y por
tanto entra dentro del teorema anterior, es decir h es realizable y el valor,
en t ∈ JT , de toda cartera φ̃ que realiza a h es
Vt
(
φ̃
)
= E∗
(
(ST −K )+ ·exp(−r (T − t ))|Ft
)
.
Observación 2. Supongamos que h, en el teorema anterior (h > 0, h va-
riable aleatoria y E∗
(
h2
)
<+∞), es de la forma h = f (ST ), donde f es una
función de R en R (suficientemente regular). Entonces,
(Vt =)Vt
(
φ̃
)
= E∗
[
f (ST ) ·exp(−r (T − t ))|Ft
]
=
= E∗
[
f
(
St exp
(
σ(W ∗T −W
∗
t )+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))
·exp(−r (T − t ))|Ft
]
,
(φ̃ cualquier estrategia de gestión que realiza a h), ya que, (pág. 27),
St = S0 ·exp
((
r −
σ2
2
)
· t +σW ∗t
)
.
38 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Sabemos que St es Ft -medible y, respecto a P∗, W ∗T −W
∗
t es indepen-
diente de Ft (propiedad de los procesos estocásticos de Wiener, (V. 3, (7)
de la página 80)).
Recordamos el siguiente resultado general:
Lema 5.4.4. Sean (Ω1,F ′,P1) espacio de probabilidad, (E ,E ) y (E ′,E ′) es-
pacios medibles, B una σ-álgebra en Ω1 con B ⊂ F ′, ξ : Ω1 → E una fun-
ción B|E -medible, (Definición 3.1.15., (V. 2, pág. 17)), η : Ω1 → E ′ una fun-
ción F ′|E ′-medible e independiente de B, y φ una variable aleatoria po-
sitiva (o acotada) en el espacio (E ×E ′,E
⊗
E
′), (V. 2, pág. 149). Entonces,
ϕ(x) = E1(φ(x,η)), x ∈ E , es una variable aleatoria en (E ,E ) y
ϕ(ξ) = E1(φ(ξ,η)|B) (P1 −a.s.).
Demostración. Consideramos la probabilidad Pη en (E ′,E ′) inducida por
η, (Pη(A′) = P1(η−1(A′), A′ ∈ E ′) y la probabilidad Pξ en (E ,E ) inducida por
ξ. Entonces, por el Teorema 3.4.36., (V. 2, pág. 202), aplicado a (E ,E ,Pξ),
(E ′,E ′,Pη) y φ, se deduce que la aplicación ϕ : E → R, definida por ϕ(x) =∫
E ′ φ(x, y)Pη(d y), x ∈ E , es una variable aleatoria en (E ,E ).
Por otro lado, por el Teorema 3.4.28., (V. 2, pág. 189), se tiene que
ϕ(x) =
∫
E ′
φ(x, y)Pη(d y) =
∫
Ω1
φ(x,η(ω1))P1(dω1) = E1(φ(x,η)), x ∈ E .
Para toda variable aleatoria no-negativa ζ en (Ω1,B), se considera la pro-
babilidad P(ξ,ζ) en E×R inducida por (ξ,ζ). Entonces, por el Teorema 3.4.36.,
citado anteriormente, se deduce
∫
(E×R)×E ′
φ(x, y)zd(P(ξ,ζ) ×Pη) =
∫
E×R
(∫
E ′
φ(x, y)Pη(d y)
)
zdP(ξ,ζ) =
=
∫
E×R
ϕ(x)zdP(ξ,ζ).
Aplicando de nuevo el Teorema 3.4.28. y teniendo en cuenta que η es in-
dependiente de B, se concluye que
∫
Ω1
φ(ξ,η)ζdP1 =
∫
Ω1
ϕ(ξ)ζdP1,
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 39
y en particular para ζ= IB , B ∈B,
∫
B φ(ξ,η)dP1 =
∫
B ϕ(ξ)dP1, lo cual prue-
ba que E1(φ(ξ,η)|B) =ϕ(ξ), (P1-a.s.).
Consideramos la función:
F (t , x) = E∗
[
exp(−r (T − t )) f
(
x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))]
donde f : R→ R es una función suficientemente regular, t ∈ JT y x ∈ R. A
veces, para hacer referencia explícita a la función f , la función F (t , x) la
designaremos por F f (t , x). Se verifica, F (T, x) = f (x) y, aplicando el lema
anterior, el precio de la opción h = f (ST ) en el tiempo t está dado por Vt =
F (t ,St ), (P-a.s.). En efecto, basta tomar (en el lema):
(Ω1,F ′,P1) B ξ (E ,E ) η (E ′,E ′) φ : E ×E ′ →R
(Ω,F ,P∗) Ft St (R,B(R)) W ∗T −W
∗
t (R,B(R)) φt (x, y)
donde φt (x, y) = exp(−r (T − t )) · f
(
x ·exp
(
σy +
(
r − σ
2
2
)
(T − t )
))
.
De esta forma
ϕt (x) = E∗
(
φt
(
x,W ∗T −W
∗
t
))
=
= E∗
[
exp(−r (T − t )) · f
(
x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))]
=
= F (t , x) y por consiguiente, (P∗-a.s.), ϕt (St ) = F (t ,St ) =
= E∗
[
exp(−r (T − t )) · f
(
St ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))
|Ft
]
.
Por último, F (t ,St ) =Vt , (P-a.s.).
Seguimos con la Observación 2. Respecto a P∗, W ∗T −W
∗
t es Gaussiano de
media 0 y varianza T − t , (V. 3, páginas 83 y 78). Por tanto,
FW ∗T −W
∗
t
(x) = P∗
(
W∗T −W
∗
t 6 x
)
=
∫x
−∞
1
p
2π
1
p
T − t
exp
(
−
y2
2(T − t )
)
d y
40 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
y por la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191),
F (t , x) = exp(−r (T − t ))E∗
[
f
(
x exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))]
=
= exp(−r (T − t )) ·
∫+∞
−∞
f
(
x ·exp
(
σy +
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))
1
p
2π
p
T − t
·
·exp
(
−
y2
2(T − t )
)
d y
Finalmente, realizando el cambio y = z
p
T − t , se obtiene
F (t , x) = exp(−r (T − t ))·
·
∫+∞
−∞
f
(
x ·exp
(
σz
p
T − t +
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))
1
p
2π
·exp
(
−
z2
2
)
d z,
Casos particulares de la función f , (h = f (ST )). Con las notaciones de la
Observación 2 anterior, consideramos ahora los dos casos siguientes:
I. La función f es de la forma f (x) = (x −K )+ y por tanto h = f (ST ) = (ST −
K )+, (call). Entonces,
F (t , x) = E∗
[
exp(−r (T − t ))·
·
(
x exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
)
−K
)
+
]
=
= E∗
[(
x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
−
σ2
2
(T − t )
)
−K ·exp(−r (T − t ))
)
+
]
=
= E∗
[(
x ·exp
(
σζ
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
−K ·exp(−r (T − t ))
)
+
]
,
donde ζ= (W ∗T −W
∗
t )/
p
T − t .
Por la estructura de ζ, ésta es Gaussiana N (0,1) respecto a P∗. Además
Vt = F (t ,St ), (P-a.s.).
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 41
Se introducen las funciones de (t , x):
d1(t , x) =
ln
( x
K
)
+
(
r + σ
2
2
)
· (T − t )
σ
p
T − t
,
d2(t , x) = d1(t , x)−σ
p
T − t =
ln
( x
K
)
+
(
r − σ
2
2
)
· (T − t )
σ
p
T − t
, x > 0, t < T.
Entonces,
x ·exp
(
σζ
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
−K exp(−r (T − t )) > 0⇐⇒ d2(t , x)+ζ> 0
y por tanto, para x > 0, σ> 0, t < T ,
F (t , x) =
= E∗
[(
x ·exp
(
σζ
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
−K exp(−r (T − t ))
)
· I{ζ+d2(t ,x)>0}
]
.
Así, por la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191),
F (t , x) =
∫+∞
−d2(t ,x)
(
x ·exp
(
σy
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
−K exp(−r (T − t ))
)
·
·
1
p
2π
·exp(−
y2
2
)d y,
y cambiando y por −y queda
F (t , x) =
∫d2(t ,x)
−∞
(
x ·exp
(
−σy
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
−K exp(−r (T − t ))
)
·
·
1
p
2π
·exp(−
y2
2
)d y =
∫d2(t ,x)
−∞
x ·exp
(
−σy
p
T − t −
σ2
2
(T − t )
)
·
1
p
2π
·
˙exp(−
y2
2
)d y −
∫d2(t ,x)
−∞
K exp(−r (T − t )) ·
1
p
2π
·exp
(
−
y2
2
)
d y.
42 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Realizando en la primera integral el cambio z = y+σ
p
T − t se obtiene que
F (t , x) =
=
∫d1(t ,x)
−∞
x exp
(
−
z2
2
)
1
p
2π
d z−
∫d2(t ,x)
−∞
K exp(−r (T−t ))
1
p
2π
exp
(
−
y2
2
)
d y =
= xN (d1(t , x))−K exp(−r (T − t )) ·N (d2(t , x)) ,
donde N (d) =Φ(d), (V. 2, pág. 90), es decir,
N (d) =Φ(d) =
1
p
2π
·
∫d
−∞
exp
(
−
y2
2
)
d y.
Naturalmente en este caso particular tenemos también que Vt = F (t ,St ),
(precio de la opción h = f (ST ) = (ST −K )+ en el tiempo t ), t ∈ JT , igualdad
obtenida al comienzo de la observación. En particular,
V0 = F (0,S0) = S0N (d1(0,S0))−K ·exp(−r T ) ·N (d2(0,S0)).
Hemos analizado el caso particular f (x) = (x −K )+ que corresponde a
call, h = f (ST ) = (ST −K )+.
II. Veamos el caso put:
Ahora, f (x) = (K −x)+ y por tanto, h = f (ST ) = (K −ST )+, (put). Entonces,
F (t , x) = E∗
[
exp(−r (T − t ))·
·
(
−x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
)
+K
)
+
]
=
= E∗
[(
−x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
−
σ2
2
· (T − t )
)
+K ·exp(−r (T − t ))
)
+
]
=
= E∗
[(
−x ·exp
(
σζ
p
T − t −
σ2
2
· (T − t )
)
+K ·exp(−r (T − t ))
)
+
]
,
donde ζ =
(
W ∗T −W
∗
t
)
/
p
T − t . Así, por la estructura de ζ, ζ es Gaussiana
N (0,1) respecto a P∗.
Se introducen las funciones d1(t , x), d2(t , x) como antes. Entonces
−x ·exp
(
σζ
p
T − t − (T − t ) ·
σ2
2
)
+K ·exp(−r (T − t )) > 0
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 43
si y sólo si 0 > d2(t , x)+ζ, y por tanto, para x > 0, σ> 0, t < T , se tiene
F (t , x) =
= E∗
[(
−x ·exp
(
σζ
p
T − t − (T − t ) ·
σ2
2
)
+K exp(−r (T − t ))
)
· I{d2(t ,x)+ζ60}
]
Por consiguiente,
F (t , x) =
∫−d2(t ,x)
−∞
(
−x ·exp
(
σy
p
T − t − (T − t ) ·
σ2
2
)
+K exp(−r (T − t ))
)
·
·
1
p
2π
·exp
(
−y2
2
)
d y,
donde se ha aplicado la Proposición 3.4.30., (V. 2, pág. 191). Cambiando la
variable y por −y la fórmula anterior se convierte en
F (t , x) =
∫+∞
d2(t ,x)
(
−x ·exp
(
−σy
p
T − t − (T − t ) ·
σ2
2
)
+K exp(−r (T − t ))
)
·
·
1
p
2π
·exp
(
−y2
2
)
d y =
∫+∞
d2(t ,x)
−x ·exp
(
−σy
p
T − t − (T − t ) ·
σ2
2
)
·
·
1
p
2π
·exp
(
−y2
2
)
d y +
∫+∞
d2(t ,x)
K ·exp(−r (T − t )) ·
1
p
2π
·exp
(
−
y2
2
)
d y.
Realizando en la primera integral el cambio de variable z = y +σ
p
θ se
obtiene
F (t , x) =−xN (−d1(t , x))+K ·exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x)).
Como precio de la opción h = (K − ST )+ en el tiempo t , tenemos Vt =
F (t ,St ) y en particular,
V0 = F (0,S0) =−S0N (−d1(0,S0))+K ·exp(−r T ) ·N (−d2(0,S0)).
Observación 3. En el ámbito (Ω,F , {Ft }t∈JT ,P ), W̃ = {Wt }t∈JT ,
dSt =µSt d t +σSt dWt con condición inicial S0, t ∈ JT ,
44 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
se da la opción europea de cuadrado integrable respecto a la probabilidad
P∗, (θt = (µ− r )/σ), con h = f (ST ), f : R→R y se construye
F (t , x) = E∗
[
exp(−r (T − t )) f (x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
)]
.
Los resultados que preceden se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 5.4.5. Sea h una opción europea de cuadrado integrable respecto
a P∗, y supongamos que h es de la forma h = f (ST ) donde f : R → R es
suficientemente regular. Entonces:
(1) Se tiene,
Vt =Vt
(
φ̃
)
= E∗
[
f (ST ) ·exp(−r (T − t ))|Ft
]
=
= E∗
[
f
(
St ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))
·
·exp(−r (T − t ))|Ft
]
,
para toda estrategia de gestión φ̃ que realiza a h.
(2) F (t ,St ) =Vt , (P-a.s.), donde
F (t , x) =
= E∗
[
exp(−r (T − t )) f
(
x ·exp
(
σ
(
W ∗T −W
∗
t
)
+
(
r −
σ2
2
)
(T − t )
))]
.
(3) Se verifica que
F (t , x) = exp(−r (T − t ))·
·
∫+∞
−∞
f
(
x ·exp
((
r −
σ2
2
)
(T − t )
)
·exp
(
σy
p
T − t
))
·
·
1
p
2π
·exp
(
−
y2
2
)
d y.
(4) Si f (x) = (x −K )+ y por tanto h = f (ST ) = (ST −K )+, se tiene que
F (t , x) = x ·N (d1(t , x))−K ·exp(−r (T − t )) ·N (d2(t , x)) ,
5.4. EVALUACIÓN Y COBERTURA DE LAS OPCIONES EN EL MODELO BSM 45
donde
N (d) =
1
p
2π
·
∫d
−∞
exp
(
−
y2
2
)
d y
d1(t , x) =
ln
( x
K
)
+
(
r + σ
2
2
)
· (T − t )
σ
p
T − t
, x > 0, t < T
d2(t , x) = d1(t , x)−σ
p
T − t .
Además, Vt = F (t ,St ). En particular, para t = 0,
V0 = F (0,S0) =
= S0N


ln
(
S0
K
)
+ r T + σ
2T
2
σ
p
T

−K exp(−r T )N


ln
(
S0
K
)
+ r T − σ
2T
2
σ
p
T

 .
(5) Si f (x) = (K −x)+ y por tanto h = f (ST ) = (K −ST )+, se tiene que
F (t , x) =−x ·N (−d1(t , x))+K ·exp(−r (T − t )) ·N (−d2(t , x)) .
Además, Vt = F (t ,St ). En particular, para t = 0,
V0 = F (0,S0) =−S0N

−
ln
(
S0
K
)
+ r T + σ
2T
2
σ
p
T

+
+K exp(−r T )N

−
ln
(
S0
K
)
+ r T − σ
2T
2
σ
p
T

 .
Observación (Paridad put-call). Se tiene:
F(K−x)+(t , x)−F(x−K )+ (t , x) =−x +K exp(−r (T − t )),
(véase la página 39), y por tanto,
F(K−x)+ (t ,St )−F(x−K )+ (t ,St ) = St +K exp(−r (T − t )).
46 CAPÍTULO 5. MERCADOS FINANCIEROS A TIEMPO CONTINUO
Desde su definición el precio de la opción debe calcularse mediante
una esperanza matemática condicionada. Con la función F (t , x), que es la
función fundamental que da el precio, Vt = F (t ,St ), el cálculo anterior se
reduce al cálculo de una esperanza matemática en el contexto del espacio
de probabilidad (Ω,F ,P∗). En el caso call-put tenemos fórmulas explíci-
tas para F (t , x). Para las coberturas call-put veremos a continuación que
se tienen también fórmulas explícitas. Más adelante se verá que F (t , x) es
solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales.
Cobertura de las opciones europeas en el modelo BSM
Después de dar precio a las opciones, (Teorema 5.4.3., (pág. 34)), veamos
su cobertura.