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Colecciones de ejercicios
Geometría
Selectividad CCNN 2004
1. [ANDA] [JUN-A] Sean los puntos A(1,2,1), B(2,3,1), C(0,5,3) y D(-1,4,3).
(a) Probar que los cuatro puntos están en el mismo plano. Hallar la ecuación de dicho plano.
(b) Demostrar que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo.
(c) Calcular el área de dicho rectángulo.
2. [ANDA] [SEP-A] Se sabe que el triángulo ABC es rectángulo en el vértice C, que pertenece a la recta intersección de los planos
y+z = 1 e y-3z+3 = 0, y que sus otros dos vértices son A 2,0,1 y B 0,-3,0 . Halla C y el área del triángulo ABC.
3. [ANDA] [SEP-B] Halla la perpendicular común a las rectas r 
x = 1
y = 1
z = 
 y s 
x = 
y = -1
z = -1
.
4. [ARAG] [JUN-A] Sean los puntos A(2,3,0) y B(-2,1,4). Determinar:
(a) Ecuación del plano  mediatriz del segmento AB.
(b) El volumen del tetraedro formado por  y losa tres planos coordenados.
(c) Ecuación de la recta perpendicular a  que pasa por el origen.
5. [ARAG] [JUN-B] Sea el plano  de ecuación x-5y+z+3 = 0 y sean r y s las rectas de ecuaciones:
r: x-3 = y-2
2
 = z-4
3
 ; s: x+1
2
 = y = z+2. Determinar:
(a) Los puntos de intersección del plano  con cada una de las dos rectas.
(b) El área y el perímetro del triángulo formado por los dos puntos anteriores y el origen de coordenadas.
6. [ARAG] [SEP-A] La recta x = 1-y
3
 = 2-z
2
 corta a los tres planos coordenados en tres puntos. Determinar las coordenadas deestos
puntos, la distancia existente entre cada par de ellos e indicar cuál es el que se encuentra en medio de los otros dos.
7. [ARAG] [SEP-B] Sea la recta r que pasa por los puntos (1,2,3) y (-1,0,2).
a) Determinar las ecuaciones de los planos  y  que son perpendiculares a la recta r y que pasan respectivamente por los puntos
(4,-2,-1) y (2,-1,-3).
b) Calcular la distancia que hay entre ambos planos  y .
8. [ASTU] [JUN] Sea el prisma triangular (triangulos iguales y paralelos) de la figura, con A 1,-1,0 ,
B 1,0,-1 , C 0,1,-1 y A' 1,-1, . Calcula:
a) La ecuación del plano  que pasa por los puntos A, B y C.
b) El valor de  para que el plano ', que contiene a los puntos A', B' y C', diste una unidad del plano .
c) Para  = 1, el plano ' y el volumen del prisma.
9. [ASTU] [SEP] Sean los puntos A(-1,1,0), B(0,1,1). Determina:
a) Las ecuaciones paramétricas de la recta r que une los puntos.
b) La ecuación del plano  que pasa por A y es perpendicular a la recta r.
c) La distancia del punto B al plano .
10. [ASTU] [SEP] Sea el plano : ax+2y-4z = b y la recta r: x-3
4
 = y-1
-4
 = z+3
1
.
a) Con a = 1, estudia la posición relativa de la recta y el plano.
b) Siguiendo con a = 1, calcula b para que el punto (3,1,-3) pertenezca a la recta y al plano.
c) Determina los valores de a y b para que la recta r está contenida en el plano .
11. [C-LE] [JUN-A] Sea la recta r x+y+1 = 0
2x-z+3 = 0
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a) Escríbase la recta r en forma paramétrica.
b) Para cada P de r, determínese la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente al eje OZ.
12. [C-LE] [JUN-A] Determínese si el plano   2x+3y-4 = 0 corta o no al segmento de extremos A(2,1,3) y B(3,2,1).
13. [C-LE] [JUN-B] Hállese la ecuación del plano que contiene a la recta r x = y = z y es perpendicular al plano   x+y-z-1 = 0.
14. [C-LE] [SEP-A] Sea m un número real y sean r y  la recta y el plano dados respectivamente por:
r  2x-my+z = 2-m
x+2y+z = 0
 ;   3x+2z = 2-m
a) Estúdiese la posición relativa de r y  en función del valor de m.
b) Para el valor m = 1, hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de corte de r y  y es perpendicular a la recta
t  x = y = z.
15. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese la distancia entre las rectas r y s de ecuaciones: r  
x = 1+2
y = 0
z = -
 , s  x
-1
 = y-3
1
 = z-2
-1
.
16. [C-LE] [SEP-B] Hállese la ecuación general del plano que pasa por los puntos A(2,2,-1), B(4,0,2) y es perpendicular al plano
  x-5y+2z-6 = 0.
17. [C-MA] [JUN] Se considera la recta r x+2z = 3
y+4z = 5
 y el plano  3x-y+2z = 1. Se pide:
a) Comprueba que r y  son paralelos.
b) Calcula la distancia entre r y .
c) Determina dos rectas distintas que estén contenidas en  y sean paralelas a r.
18. [C-MA] [JUN] Considera los puntos A(2,0,0), B(0,2,0), C(2,2,1) y D(1,1,2) y calcula:
a) El volumen del tetraedro que determinan.
b) La ecuación cartesiana o implícita del plano que contiene al punto D y es paralelo al que contiene a los puntos A, B y C.
19. [C-MA] [SEP] Halla la distancia del plano 1 4x-10y+2z = -1 al plano 2 
x = 2 + 3
y =  + 
z =  - 
.
20. [C-MA] [SEP] Considera la recta r que pasa por los puntos A(2,1,0) y B(-4,-2,0) y la recta s determinada por el punto C 2,3,5 y el
vector dirección v 1,3,0 .
a) Calcula el ángulo formado por r y s.
b) Calcula la distancia de r a s.
21. [CANA] [JUN-A] a) Están alineados los puntos A(1,0,-1), B(-1,1,2) y C(3,0,1)? Justificar la respuesta.
b) En caso afirmativo, determinar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo, determinar la ecuación del plano que
pasa por los tres puntos.
22. [CANA] [JUN-B] Hallar la ecuación del plano que contiene al punto A(0,-2,4) y a la recta de ecuación: x+1
2
 = y-3 = z+2
-2
.
23. [CANA] [SEP-A] Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-4,0) y contiene a la recta r: x+y = 4
-3x+z = -2
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24. [CANA] [SEP-B] Dados los planos de ecuaciones 
ax -2z= 15
2x+y+ z= -7
x+y+ az=-8a
, determinar los valores de a para que los tres planos pasen por
una recta. Justificar.
25. [CATA] [JUN] Dado el sistema 
 y+ z= 2
-2x+y+ z= -1
(2-2m)x +(2m-2)z=m-1
 donde m es un parámetro:
a) Discuta el sistema según los valores de m.
b) Resuelva los casos compatibles.
c) En cada una de los casos de la discusión del apartado a), dé una interpretación geométrica del sistema.
26. [CATA] [JUN] Tenemos cuatro puntos en el espacio: A(0,0,0), B(0,0,2), C(0,2,0) y D(2,0,0). Se pide:
a) Represente gráficamente los cuatro puntos.
b) Calcule el volumen del tetraedro (pirámide de base triangular) ABCD.
c) Halle la ecuación del plano que pasa por B, C y D.
d) Calcule la distancia del origen al plano del apartado anterior.
27. [CATA] [JUN] Consideremos los puntos del espacio A(1,1,0), B(0,1,2) y C(-1,2,1). Nos dicen que estos tres puntos forman partedel
conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Se pide:
a) ¿Están estos puntos alineados?
b) ¿Podemos averigual el rango de la matriz del sistema de ecuaciones?
Razone adecuadamente las respuesta.
28. [CATA] [SEP] Considere las rectas r: x-2
-2
 = y+1
1
 = z
2
 y s: 
x = 1+3t
y = -1-4t
z = 5 + t
a) Estudie su posición relativa.
b) Halle la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.
c) Calcule la distancia entre r y s.
29. [EXTR] [JUN-A] Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos de coordenadas (1,0,0), (0,1,1) y (1,2,0). Determinar la
distancia del punto (2,1,1) a dicho plano.
30. [EXTR] [JUN-B] Qué relación existe entre los coeficientes de las ecuaciones
ax+by+cz = d , a'x+b'y+c'z = d'
de dos planos paralelos? Razonar la respuesta.
31. [EXTR] [SEP-A] Determinar una recta que sea paralela al plano que pasa por los puntos de coordenadas 1,1,0 , 1,0,1 y 0,1,1 ,
que también sea paralela al plano x+2y+3z = 0, y que no esté contenida en ninguno de estos dos planos.
32. [MADR] [JUN-A] Se considera la recta y los planos siguientes:
r  
x = 2-3
y = 1+2
z = 4-
 ; 1  2-3x-2y-z = 0 ; 2  3+2x+2y-2z = 0
Se pide:
a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos.
b) Determinar la posición relativa de los dos planos.
c) Calcula la distancia de r a 2.
33. [MADR] [JUN-B] a) Determinar la posición relativa de los siguientes planos, para los distintos valores del parámetrok:
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1  2x+3y+kz = 3
2  x+ky-z = -1
3  3x+y-3z = -k
b) En los casos en los que los tres planos anteriores se corten a lo largo de una recta común, hallar un vector directo de dicha
recta.
34. [MADR] [SEP-A] Sea el plano   x+2y+3z = 6.
a) Hallar el punto simétrico del (0,0,0) respecto de .
b) Hallar el plano perpendicular a  que contiene al eje OZ.
c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos de intersección de  con los ejes coordenados.
35. [MADR] [SEP-B] a) Hallar el conjunto formado por los puntos del plano z = 0 que distan 3 unidades del plano de ecuación
2x-y+2z = 4.
b) Desribir dicho conjunto.
36. [MADR] [SEP-B] El plano   2x-2y+z = 2 determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide:
a) Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen.
b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a dicha altura.
c) Calcular el área de la cara del tetraedro que está contenida en el plano .
37. [MURC] [JUN] a) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta  dada por la intersección de los planos: 1: x+y-z-1 = 0 y
2: 2x-y+z = 0.
b) Encontrar la distancia del punto (1,0,1) a dicha recta.
38. [MURC] [JUN] a) Demostrar que las rectas 1= 
x = t
y = -t
z = 2+t
 y 2= 
x+y-z = 0
2x+y+1 = 0
 se cruzan en el espacio.
b) Encontrar la distancia entre dichas rectas.
39. [MURC] [SEP] a) Estudiar, según los valores del parámetro real a, la dependencia lineal de los vectores e1 = (1,0,a), e2 = (2,a,-1) y
e3 = (0,1,a).
b) Para a = 2, escribir el vector (-4,-8,3) como combinación lineal de los e1, e2 y e3.
40. [MURC] [SEP] Encontrar la distancia del punto P(1,-1,2) al plano que contiene a la recta : 
x = t
y = 2-t
z = 3+t
 y pasa por el punto 2,1,3 .
41. [MURC] [SEP] Dadas las rectas 1 = 
x = 4+t
y = 7+2t
z = -t
 y 2 = 
x+y-5 = 0
3x+z-8 = 0
 , se pide:
a) Demostrar que están contenidas en un plano cuya ecuación se determinará.
b) Encontrar la perpendicular común a dichas rectas.
42. [RIOJ] [JUN] Una recta pasa por el punto (1,-1,0) y es paralela a los planos x+y = 1, x+z = 1. Halla sus ecuaciones.
43. [RIOJ] [JUN] Dada la recta r  x
2
 = y-1
-1
 = z+1
3
 y el plano   x+3y-3z = 3, calcula:
a) El plano que contiene a r y es perpendicular a .
b) El volumen del tetraedro determinado por el plano  y los planos coordenados.
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44. [RIOJ] [SEP] Dados los puntos A = (1,2,0), B = (-1,0,0), C = (0,-2,0) y D = (0,0,1), se pide:
a) Ecuación de la recta que contiene a B y a C.
b) Área del triángulo BAC.
c) Volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
45. [RIOJ] [SEP] Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones e interpreta geométricamente la solución obtenida: 
2x+y = 3
4x-y = -3
-x+y = 3
.
46. [VALE] [JUN-A] Dados los planos 1: x+y+z = -5, 2: x-3y-z = 3 y la recta r: 
x-2
2
 = y-1
3
 = z
2
, se pide:
a) Determinar razonadamente la posición relativa de la recta r y de la recta s intersección de los planos 1 y 2.
b) Obtener razonadamente la ecuación del plano que contiene a la recta s anterior y es paralelo a r.
47. [VALE] [JUN-B] Se considera la recta r: (x,y,z) = (t+1,2t,3t), el plano : x-2y-z = 0 y el punto P=(1,1,1). Se pide:
a) Deteminar la ecuación del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano .
b) Determinar la ecuación del plano 2 que contiene a la recta r y pasa por el punto P.
c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos anteriores 1 y 2.
48. [VALE] [SEP-A] a) Obtener el planos que pasa por el punto P(-2,4,-3) y es perpendicular a la recta r: (x,y,z) = (1,2,0)+t(1,2,-1).
b) Calcular la distancia del punto P a la recta r.
49. [VALE] [SEP-B] Consideremos los puntos A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1) y D=(2,1,2). Se pide:
a) Hallar el área del triángulo de vértices B, C y D.
b) Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D.
c) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por los puntos B, C y D.
 Soluciones
1. (a) x - y + 2z - 1 = 0 (c) 2 6 2. 0,0,1 ; 10 3. 
x = 1+
y = 1-
z = -1
 4. (a) 8x+4y-8z+7 = 0 (b) 2
3
 (c) 
x = 2
y = 
z = -2
 5. (a) (3,2,4), (-1,0,-2) (b) A= 6 P= 29+ 5+2 14 6.
A(1,-2,0), B 1
3
,0,4
3
, C(0,1,2); d(A,B)= 2 14
3
, d(B,C)= 14
3
, d(C,A)= 14 ; B 7. 2x+2y+z-3 = 0; 2x+2y+z+1 = 0; 4
3
 8. a) x+y+z = 0 b)  3 c) x+y+z-1 = 0 ; 3
2
 9. a)
x = -1+
y = 1
z = 
 b) x+z+1 = 0 c) 2 10. a) se cortan b) 17 c) 3, 23 11. a) 
x = 
y = -1-
z = 3+2
 b) 
x =  - 
y = -1- + (+1)
z = 3+2
 12. corta en 7
5
,2
5
,9
5
 13. x-y = 0 14. a) m = 2, r contenida
en ; a  2: se cortan b) x+y+z = 0 15. 6 14
7
 16. 11x-y-8z-28 = 0 17. b) 3 14
14
 18. a) 4
3
 b) x+y-2z+2 = 0 19. 30
60
 20. a) 45º b) 5 21. a) no b) x+5y-z-2 = 0
22. 4x+14y+11z-16 = 0 23. 11x+2y-3z-14 = 0 24. -1 25. a) m = 1: comp. indet; m  1: comp. det. b) m = 1: 3
2
,2-k,k ; m  1: 3
2
,0,2 c) m = 1: recta; m  1: punto 26.
b) 4
3
 c) x+y+z-2 = 0 d) 2 3
3
 27. a) no b) 1 28. a) se cruzan b) 9x+8y+5z-26 = 0 c) 8 170
85
 29. x+z-2 = 0; 2
2
 30. a
a'
 = b
b'
 = c
c'
  d
d'
 32. a) corta a 1; paralela a
2 b) se cortan c) 
3
6
 33. a) k = -2: se cortan en una recta; k = 1
3
: se cortan dos a dos; k  -2, 1
3
: se cortan en un punto. b) 1,0,1 34. a) 6
7
,12
7
,18
7
 b) 2x-y = 0 c)
6 35. a) P x,-2x+13,0 , Q x,2x+5,0 b) rectas 2x-y-13 = 0
z = 0
; 2x-y+5 = 0
z = 0
 36. a) 2
3
 b) 
x = 2
y = -2
z = 
 c) 3
2
 37. a) 
x = 1
3
y = 2
3
 + 
z = 
 b) 66
6
 38. b) 14
14
 39. a) a = -1: l.d. a
 -1: l.i. b) 2e1-3e2-2e3 40. 6 41. a) 7x-2y+3z-14 = 0 b) 
x = 2-7
y = 3+2
z = 2-3
 42. 
x = 1+
y = -1-
z = -
 43. a) 6x-9y-7z+2 = 0 b) 2
567
 44. a) 
x = -1+
y = -2
z = 0
 b) 3 c) 1 45. Tres rectas
que se cortan en (0,3) 46. a) se cruzan b) 8x-6y+z+12 = 0 47. a) x-2y-z+2 = 0 b) x+y-z-1 = 0 c) 
x = k
y = 1
z = k
 48. a) x-2y+z+13 = 0 b) 4 3
3
 49. a) 3 b) 2
3
 c) 3
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