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Geometría
Selectividad CCNN Madrid
1. [2014] [EXT-A] Dados los puntos A(2,0,-2), B(3,-4,-1), C(5,4,-3) y D(0,1,4), se pide:
a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C.
b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.
2. [2014] [EXT-A] Dados los planos 1  2x-z-1 = 0 ; 2  x+z+2 = 0 ; 3  x+3y+2z-3 = 0, se pide:
a) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por 1 y 2.
b) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano 3.
3. [2014] [EXT-B] Dados el plano  y la recta r siguentes:   2x-y+2z+3 = 0, r  
x = 1-2t
y = 2-2t
z = 1+t
, se pide:
a) Estudiar la posición relativa de r y .
b) Calcular la distancia entre r y .
c) Obtener el punto P' simétrico de P(3,2,1) respecto del plano .
4. [2014] [JUN-A] Dados el punto P(1,0,1), el plano   x+5y-6z = 1, y la recta r  x = 0
z = 0
, se pide:
a) Calcular el punto P' simétrico a P respecto de .
b) Hallar la distancia de P a r.
c) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y las intersecciones de  con los ejes
coordenados OX, OY y OZ.
5. [2014] [JUN-B] Dados el plano   2x-y = 2, y la recta r  x = 1
y-2z = 2
, se pide:
a) Estudiar la posición relativa de r y .
b) Determinar el plano que contiene a r y es perpendicular a .
c) Determinar la recta que pasa por A(-2,1,0), corta a r, y es paralela a .
6. [2013] [EXT-A] Dados los puntos A(2,-2,1), B(0,1,-2), C(-2,0,-4), D(2,-6,2), se pide:
a) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos.
b) Hallar el área del triángulo ABC.
7. [2013] [EXT-A] Dados el punto P(1,2,-1) y el plano   x+2y-2z+2 = 0, sea S la esfera que es tangente al plano  en el punto P' de
modo que el segmento PP' es uno de sus diámetros. Se pide:
a) Hallar el punto de tangencia P'.
b) Hallar la ecuación de S.
8. [2013] [EXT-B] Sea rA la recta con vector dirección (1,,2) que pasa por el punto A(1,2,1), rB la recta con vector dirección (1,1,1)
que pasa por B(1,-2,3), y rC la recta con vector dirección (1,1,-2) que pasa por C(4,1-3). Se pide:
a) Hallar  para que las rectas rA y rB se cortan.
b) Hallar  para que la recta rA sea paralela al plano definido por rB y rC.
c) Hallar el ángulo que forman rB y rC.
9. [2013] [JUN-A] Dados el punto P(-1,0,2) y las rectas: r  x-z = 1
y-z = -1
 , s  
x = 1+
y = 
z = 3
 se pide:
a) Determinar la posición relativa de r y s.
b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s.
c) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.
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10. [2013] [JUN-B] a) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2,1,1) y que pasa por el punto P(4,6,2), con la superficie
esférica de centro C(1,2,-1) y radio 26.
b) Hallar la distancia del punto Q(-2,1,0) a la recta r  x-1
2
 = y+2 = z-3
2
.
11. [2013] [JUN-B] Dados el punto P(1,0,-1), el plano   2x-y+z+1 = 0, y la recta r  -2x+y-1 = 0
3x-z-3 = 0
, se pide:
a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a la recta r y perpendicular al plano .
b) Hallar el ángulo entre r y .
12. [2012] [EXT-A] Se dan la recta r y el plano , mediante: r  x-4
2
 = y-1
-1
 = z-2
3
 ,   2x+y-2z-7 = 0.
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno.
13. [2012] [EXT-A] Dadas las rectas r  x-1
2
 = y-2
2
 = z
-2
 , s  x+y = 4
2x+z = 4
 , se pide:
a) Hallar la ecuacion del plano que pasa por A(2,3,4) y es paralelo a las rectas r y s.
b) Determinar la ecuacion de la recta que pasa por B(4,-1,2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.
14. [2012] [EXT-B] Dado el punto P(2,1,-1), se pide:
a) Hallar el punto P' simetrico de P respecto del punto Q(3,0,2).
b) Hallar el punto P'' simetrico de P respecto de la recta r  x-1 = y-1 = z.
c) Hallar el punto P''' simetrico de P respecto del plano   x+y+z = 3.
15. [2012] [JUN-A] Dados los puntos P1(1,3,-1), P2(a,2,0), P3(1,5,4) y P4(2,0,2), se pide:
a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos esten en el mismo plano.
b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vertices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7.
c) Hallar la ecuacion del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.
16. [2012] [JUN-B] Dadas las rectas r1  
x-2
3
 = y-1
-5
 = z
2
 y r2  
x = -1-
y = 3+
z = 5
 , se pide:
a) Estudiar su posicion relativa.
b) Hallar la mínima distancia de r1 a r2.
17. [2011] [EXT-A] Dados los planos 1  2x+3y+z-1 = 0, 2  2x+y-3z-1 = 0 y la recta r  
x-1
2
 = y+1 = z+2
2
, se pide:
a) El punto o puntos de r que equidistan de 1 y 2.
b) El volumen del tetraedro que 1 forma con los planos coordenados XY, XZ, YZ.
c) La proyección ortogonal de r sobre el plano 2.
18. [2011] [EXT-B] Dado el punto P(0,1,1) y las rectas r  x-1
2
 = y+1
1
 = z
-1
, s  x = 0
y = 0
, se pide:
a) Determinar las coordenadas del punto simétrico de P respecto a r.
b) Determinar la recta que pasa por el punto P, tiene dirección perpendicular a la recta r y corta a la recta s.
19. [2011] [JUN-A] a) Hallar el volumne del tetraedro que tiene un vértice en el origen y los otros tres vértices en las intersecciones
de las rectas r1  x = y = z, r2  
y = 0
z = 0
, r3  
x = 0
z = 0
 con el plano   2x+3y+7z = 24.
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b) Hallar la recta s que corta perpendicularmente a las rectas r4  
x+1
1
 = y-5
2
 = z+1
-2
, r5  
x
2
 = y-1
3
 = z-1
-1
.
20. [2011] [JUN-B] Dados los planos 1  2x+y-2z = 1, 2  x-y+2z = 1, se pide:
a) Estudiar su posición relativa.
b) En caso en que los planos sean paralelos, hallar la distancia entre ellos; en caso de que se corten, hallar un punto y un vector de
dirección de la recta que determinan.
21. [2011] [JUN-B] a) Hallar la ecuación del plano 1 que pasa por los puntos A(1,0,0), B(0,2,0) y C(0,0,1).
b) Hallar la ecuación del plano 2 que contiene al punto P(1,2,3) y es perpendicular al vector v = (-2,1,1).
c) Hallar el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y P.
22. [2010] [EXT-A] Dadas las rectas: r1  
y = 1
z = 3
 ; r2  
x = 0
y-z = 0
 , se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a r1 y r2 y es perpendicular a ambas.
b) Hallar la mínima distancia entre r1 y r2.
23. [2010] [EXT-B] Dados el plano 1  2x-3y+z = a y el plano 2 determinado por el punto P(0,2,4) y los vectores v1 = (0,2,6) y
v2 = (1,0,b), se pide:
a) Calcular los valores de a y b para que 1 y 2 sean paralelos.
b) Para a = 1 y b = 0 determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de 1 y 2.
c) Para a = 4 y b = -2 determinar los puntos que están a igual distancia de 1 y 2.
24. [2010] [JUN-A] Dadas las rectas: r  x
2
 = y-1
3
 = z+4
-1
 ; s  x
1
 = y
1
 = z
4
, se pide:
a) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.
b) Calcular la mínima distancia entre las rectas r y s.
25. [2010] [JUN-B] Dadas las rectas: r  x = y-1
2
 = z+1
-1
 ; s  x+z = 3
2x-y = 2
 , se pide:
a) Hallar la ecuación del plano  determinado por r y s.
b) Hallar la distancia desde el punto A(0,1,-1) a la recta s.
26. [2010] [JUN-B] Sea  el plano que contiene a los puntos P = (1,0,0), Q = (0,2,0) y R = (0,0,3). Se pide:
a) Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos P, Q y R.
b) Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano .
27. [2009] [EXT-A] Dadas las rectas r  x
1
 = y
2
 = z
a
 y s  x-3
b
 = y
1
 = z-3
-1
, determinar los valores de los parámetros a, b para los cuales
las rectas r y s se cortan perpendicularmente.
28. [2009] [EXT-A] Dado el plano   2x-y+2z+1 = 0 hallar las ecuaciones de los planos paralelos a  que se encuentran a 3 unidades
de .
29. [2009] [EXT-B] Dada la recta r  x-1
1= y
-1
 = z
1
 y el plano   x+y-2z+1 = 0, hallar la ecuación de la recta s simétrica de la recta r
respecto del plano .
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30. [2009] [JUN-A] Dado el plano   x+3y+z = 4, se pide:
a) Calcular el punto simétrico P del punto O(0,0,0) respecto del plano .
b) Calcular el coseno del ángulo  que forman el plano  y el plano x = 0.
c) Calcular el volumen del tetraedro T determinado por el plano , y los planos x = 0, y = 0, z = 0.
31. [2009] [JUN-B] Dadas las rectas r  x-1
2
 = y-2
3
 = z
1
 y s  x+2
2
 = y
1
 = z-2
1
, se pide:
a) Hallar la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a s.
b) Determinar la distancia entre las rectas r y s.
c) Estudiar si la recta t paralela a r y que pasa por O(0,0,0) corta a la recta s.
32. [2008] [EXT-A] Dados los puntos P(1,1,3), Q(0,1,0), se pide:
a) Hallar todos los puntos R tales que la distancia entre P y R sea igual a la distancia entre Q y R. Describir dicho conjunto de
puntos.
b) Hallar todos los puntos S contenidos en la recta que pasa por P y Q que verifican dist(P,S) = 2·dist(Q,S), donde "dist" significa
distancia.
33. [2008] [EXT-A] Dadas las rectas r  x+1
1
 = y-2
2
 = z
3
, s  x
2
 = y-1
3
 = z
4
, hallar la ecuación de la recta t perpendicular común a
ambas.
34. [2008] [EXT-B] Dados el plano 1 x+y+z = 1 y la recta r  
x-1
2
 = y+1
3
 = z
-4
 , se pide:
a) Hallar el punto P determinado por la intersección de r con 1.
b) Hallar un plano 2 paralelo a 1 y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos 1 y 2 tenga longitud de 29
unidades.
35. [2008] [JUN-A] Dadas las rectas r x-ay = 2
ay+z = 1
 y s x-z = 1
y+z = 3
, se pide:
(a) Discutir la posición relativa de las dos rectas r y s, según los valores del parámetro a.
(b) Si a = 1, calcular la distancia mínima entre las dos rectas r y s.
36. [2008] [JUN-B] Dados los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0), se pide:
(a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios.
(b) Hallar la ecuación del plano  determinado por los puntos A, B y C.
(c) Hallar la distancia del punto D al plano .
37. [2008] [JUN-B] Dado el plano  3x+2y-z+10 = 0 y el punto P(1,2,3), se pide:
(a) Hallar la ecuación de la recta r perpendicular al plano  que pasa por el punto P.
(b) Hallar el punto Q intersección de  y r.
(c) Hallar el punto R intersección de  con el eje OY.
(d) Hallar el área del triángulo PQR.
38. [2007] [EXT-A] Hallar los puntos de la recta r: x-3
1
 = y-5
1
 = z+1
-1
 cuya distancia al plano : 2x-y+2z+1 = 0 es igual a 1.
39. [2007] [EXT-A] Se consideran las rectas r: x-y = 3
x+y-z = 0
, s: x-z = 4
2x-y = 7
. Hallar la ecuación continua de la recta que contiene alpunto
P 2,-1,2 y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores.
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40. [2007] [EXT-B] Dadas las rectas r: x
1
 = y-1
-1
 = z-2
2
 y s: x-3y-5 = 0
x-3z-8 = 0
.
a) Hallar la ecuación del plano  que contiene a r y es paralelo a s.
b) Calcular la distancia entre el plano  y la recta s.
41. [2007] [JUN-A] Dados el punto A(1,-2,-3), la recta r: x+y+1 = 0
z = 0
 y el plano : x-2y-3z+1 = 0, se pide:
a) Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a .
b) Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a .
42. [2007] [JUN-B] Sean los puntos A(,2,), B(2,-,0) y C(,0,+2).
a) ¿Existe algún valor de  para el que los puntos A, B y C están alineados?
b) Comprobar que si A, B y C no están alineados, el triángulo que forman es isósceles.
c) Calcular la ecuación del plano que contiene al triángulo ABC para le valor =0 y hallar la distancia de este plano al origen de
coordenadas.
43. [2006] [EXT-A] Se consideran los puntos A(0,1,0) y B(1,0,1). Se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x,y,z) que equidistan de A y B.
b) Determinar la ecuación que verifican los puntos X(x,y,z) cuya distancia a A es la misma a la distancia de A a B.
c) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C(x,y,z) del plano x+y+z = 3 tales que el triángulo ABC
es rectángulo con el ángulo recto en el vértice A.
44. [2006] [EXT-B] Un plano  corta a los ejes de coordenadas en los puntos A 1,0,0 , B 0,,0 , C 0,0,4 . Se pide:
a) Hallar el valor de >0 de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen) sea 2.
b) Para el valor de  obtenido en el apartado a), calcula la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O.
45. [2006] [JUN-A] Sean las rectas r: x+1
-2
 = y-2
2
 = z
-4
 y s: x-2
3
 = y+1
1
 = z+2
1
.
a) Hallar la ecuación de la recta t que pasa por el origen y corta a las dos rectas anteriores.
b) Halla la recta perpendicular común a r y s.
46. [2006] [JUN-B] Sea r la recta que pasa por el origen de coordenadas O y tiene como vector director v= 4,3,1 . Hallar un punto P
contenido en dicha recta, tal que si se llama Q a su proyección sobre el plano : x = 0, el triángulo OPQ tenga área 1.
47. [2006] [JUN-B] Determinar la posición relativa de las rectas r: x+4
-3
 = y-7
4
 = z
1
, s: x+2y-5z-5 = 0
2x+y+2z-4 = 0
.
48. [2005] [EXT-A] Discutir según los valores del parámetro real  la posición relativa de los planos: 
1: x+z = 
2: 4x+(-2)y+(+2)z = +2
3: 2(+1)x-(+6)z = -
49. [2005] [EXT-A] Se consideran las rectas r: x-y = 3
x+y-z = 0
 y s: x-z = 4
2x-y = 7
a) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el origen.
b) Hallar las coordenadas del punto intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado a).
50. [2005] [EXT-B] Se considera la familia de planos mx+(m-2)y+3(m+1)z+(m+1) = 0.
a) Determinar la recta común a todos los planos de la familia.
b) Determinar el plano de esta familia que pasa por el punto P(1,1,0).
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c) Determinar el plano de esta familia que es paralelo a la recta r: x-2z+1 = 0
-y+z+1 = 0
.
51. [2005] [JUN-A] Dado el punto P(1,3,-1), se pide:
a) Escribir la ecuación que deben verificar los puntos X(x,y,z) cuya distancia a P sea igual a 3.
b) Calcular los puntos de la recta 
x = 3
y = 1+
z = 1-4
 cuya distancia a P es igual a 3.
52. [2005] [JUN-B] Dadas las rectas r: x-1
2
 = y-1
3
 = z-1
4
 y s: x+1
1
 = y-2
-1
 = z
2
a) Hallar la ecuación de la recta t que corta a las dos y es perpendicular a ambas.
b) Calcular la mínima distancia entre r y s.
53. [2004] [EXT-A] Sea el plano   x+2y+3z = 6.
a) Hallar el punto simétrico del (0,0,0) respecto de .
b) Hallar el plano perpendicular a  que contiene al eje OZ.
c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen y los puntos de intersección de  con los ejes coordenados.
54. [2004] [EXT-B] a) Hallar el conjunto formado por los puntos del plano z = 0 que distan 3 unidades del plano de ecuación
2x-y+2z = 4.
b) Desribir dicho conjunto.
55. [2004] [EXT-B] El plano   2x-2y+z = 2 determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide:
a) Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen.
b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene a dicha altura.
c) Calcular el área de la cara del tetraedro que está contenida en el plano .
56. [2004] [JUN-A] Se considera la recta y los planos siguientes:
r  
x = 2-3
y = 1+2
z = 4-
 ; 1  2-3x-2y-z = 0 ; 2  3+2x+2y-2z = 0
Se pide:
a) Determinar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los planos.
b) Determinar la posición relativa de los dos planos.
c) Calcula la distancia de r a 2.
57. [2004] [JUN-B] a) Determinar la posición relativa de los siguientes planos, para los distintos valores del parámetro k:
1  2x+3y+kz = 3
2  x+ky-z = -1
3  3x+y-3z = -k
b) En los casos en los que los tres planos anteriores se cortena lo largo de una recta común, hallar un vector directo de dicha
recta.
58. [2003] [EXT-A] Dados los puntos A(1,0,1), B(0,2,0) y el plano   x-2y-z-7 = 0, determinar el plano que es perpendicular al plano 
y pasa por los puntos A y B.
59. [2003] [EXT-A] Dadas las rectas r  x-1
-1
 = y+1
1
 = z-k
1
 y s  x-y+z = 3
3x+z = 1
a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano.
b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene.
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60. [2003] [EXT-B] Dado el plano   x+y+z = 0 y la recta r  x-1
1
 = y
2
 = z+1
2
, se pide:
a) Calcular el punto Q en el que se cortan el plano  y la recta r.
b) Encontrar un plano ', paralelo a , tal que el punto Q' en el que se cortan el plano ' y la recta r esté a distancia 2 del punto Q
hallado en el apartado anterior.
61. [2003] [JUN-A] Dadas las recta en el espacio r  x-2
3
 = y-1
-2
 = z
1
 , s  x+1
2
 = y+2
-1
 = z-1
2
a) Hallar la distancia entre las dos rectas.
b) Determianr las ecuaciones de la perpendicular común a r y s.
62. [2003] [JUN-B] Dados el plano   x+3y-z = 1 y la recta r  x+2
6
 = y-1
2
 = z
1
, se pide:
a) Hallar la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .
b) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos  y '.
63. [2002] [EXT-A] Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real :
x+y+z = 2
y-z = 
x+y+z = 
a) Discutir el sistema según los diferentes valores del parámetro .
b) Resolver el sistema en los casos en que sea posible.
c) En el caso  = 2, indicar la posición relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema.
64. [2002] [EXT-A] Se consideran las rectas r: x
1
 = y-1
-2
 = z-3
2
 ; s: x-2
3
 = y
1
 = z+1
-1
a) Calcular la distancia entre r y s.
b) Hallar las ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que corta a ambas.
c) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta que corta a r y s y pasa por el punto P(1,0,0).
65. [2002] [EXT-B] Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes:
1: x+y+az = -2 ; 2: x+ay+z = -1 ; 3: ax+y+z = 3
Se pide:
a) Calcular los valores de a para los cuales los tres planos contienen una recta común.
b) Para los valores de a calculados, hallar unas ecuaciones cartesianas de dicha recta común.
66. [2002] [JUN-B] Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a la recta r: x = 1+t; y = -1+2t; z = t y es perpendicular al
plano P: 2x+y-z = 2.
67. [2001] [EXT-B] Se considera el tetraedro cuyos vértices son A(1,0,0), B(1,1,1), C(-2,1,0) y D(0,1,3).
a) Hallar el área del triángulo ABC y el volumen del tetraedro ABCD.
b) Calcular la distancia de D al plano determinado por los puntos A, B y C.
c) Hallar la distancia entre las rectas AC y BD.
68. [2001] [JUN-A] Dado el plano   x+y+z = 1, la recta r  (x,y,z) = (1,0,0)+(0,1,1) y el punto P(1,1,0), se pide:
a) Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P.
b) Hallar el punto P', simétrico de P respecto de r.
c) Hallr P'', simétrico de P respecto de .
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69. [2001] [JUN-B] Sean las rectas r  x-2 = y-1
k
 = z+1
-2
, s  
x = 1+
y = 2-
z = 2
.
a) Hallar k para que r y s sean coplanarias.
b) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.
c) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas.
70. [2000] [EXT-B] Se consideran los puntos A(1,,0), B(1,1,-2) y C(1,-1,).
a) Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome el parámetro .
b) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos.
71. [2000] [EXT-B] Sea la recta r  x-1
m
 = y
4
 = z-1
2
 y el plano   2x-y+kz = 0.
a) Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano.
b) Calcular m y k para que la recta esté contenida en el plano.
72. [2000] [JUN-B] Sean los puntos P(8,13,8) y Q(-4,-11,-8). Se considera el plano , perpendicular al segmento PQ por su punto
medio.
a) Obtener la ecuación del plano .
b) Calcular la proyección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre .
c) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano  corta a los ejes coordenados y el origen de
coordenadas.
 Soluciones
12. 2
3
,8
3
,-3 , 14
3
,2
3
,3 13. a) 3x-y+2z-11 = 0 b) 
x = 4+3
y = -1-
z = 2+2
 14. a) (4,-1,5) b) (0,1,1) c) 8
3
,5
3
,-1
3
 15. a) 4
3
 b) 10
3
, -2
3
 c) 4x+10z-31 = 0 16. se cruzan; 4 3
3
 17.
a) (3,0,0), 1
2
,-5
4
,-5
2
 b) 1
36
 c) x-2y-3 = 0
2x+y-3z-1 = 0
 18. a) 4
3
,-10
3
,-2
3
 b) 
x = 0
y = 1-k
z = 1-k
 19. a) 32 b) (x,y,z) = -28
13
,35
13
,17
13
+(4,-3,-1) 20. a) se cortan b) 2
3
,-1
3
,0 ; (0,2,1)
21. a) 2x+y+2z-2 = 0 b) 2x-y-z+3 = 0 c) 4
3
 22. a) 
x = 0
y = 1+
z = 3-
 b) 2 23. a) b=-2, a b) 
x = 5
2
y = 
z = -2+3
 c) 2x-3y+z+3 = 0 24. a) -217
251
,-217
251
,-868
251
+(13,-9,-1) b) 5 251
251
25. a) -5x+4y+3z-1 = 0 b) 5 3
3
 26. a) 1 b) 72
49
,36
49
,24
49
 27. 1, -1 28. 2x-y+2z+10 = 0; 2x-y+2z-8 = 0 29. 
x = 1
3
 -5
y = - 2
3
 +
z = 4
3
 -3
 30. a 8
11
,24
11
, 8
11
 b) 11
11
 c) 32
9
 31. a)
x-2z-1 = 0 b) 7 5
5
 c) no 32. a) plano x+3z-5 = 0 b) 1
3
,1,1 , -1,1,-3 . 33. 
x = -2+
y = -2+2
z = -4-
 34. a) (3,2,-4) b) x+y+z = 0; x+y+z = 2. 35. (a) a = -1: paralelas; a  -1:
secantes (b) 2 6
3
 36. (b) 2x+3y+z-1 = 0 (c) 14
2
 37. (a) 
x = 1+3k
y = 2+2k
z = 3-k
 (b) Q(-2,0,4) (c) R(0,-5,0) (d) 3 70
2
 38. 0,2,2 , 6,8,-4 39. x-2
-3
 = y+1
1
 = z-2
1
 40. a)
-3x+5y+4z-13 = 0 b) 16 2
5
 41. a) 3x+3y-z = 0 b) 
x = 1+
y = -2-
z = -3+
 42. a) no b) AB=BC c) x+y+z-2 = 0, 2 3
3
 43. a) 2x-2y+2z-1 = 0 b) x2+y2+z2-2y-2 = 0 c) 
x = 1-
y = 2
z = 
 44.
a) 3 b) 12x+4y+3z-12 = 0 45. a) 4x+2y-z = 0
x-8y+5z = 0
 b) 14x+10y-2z-6 = 0
x+15y-18z-23 = 0
 46. 10
10
,3 10
40
, 10
40
 47. paralelas 48.   -8
3
,2 : dos planos paralelos cortados por otro;
  -8
3
,2 : se cortan en un punto 49. a) 
x = -3
y = 
z = 
 b) 3,-1,-1 50. a) -2y+3z+1 = 0
x+y+3z+1 = 0
 b) x-5y+12z+4 = 0 c) x+13y-15z-5 = 0 51. a) x2+y2+z2-2x+6y+2z+2 = 0 b)
(0,1,1), (3,2,-3) 52. a) 
x = 27
25
 -2
y = 28
25
z = 29
25
 +
 b) 3 5
5
 53. a) 6
7
,12
7
,18
7
 b) 2x-y = 0 c) 6 54. a) P x,-2x+13,0 , Q x,2x+5,0 b) rectas 2x-y-13 = 0
z = 0
; 2x-y+5 = 0
z = 0
 55. a) 2
3
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b) 
x = 2
y = -2
z = 
 c) 3
2
 56. a) corta a 1; paralela a 2 b) se cortan c) 
3
6
 57. a) k = -2: se cortan en una recta; k = 1
3
: se cortan dos a dos; k  -2, 1
3
: se cortan en un
punto. b) 1,0,1 58. 4x+2y-3 = 0 59. a) 4 b) x+2y-z+5 = 0 60. a) (1,0,-1) b) 3x+3y+3z-8 = 0 ó 3x+3y+3z+8 = 0 61. a) 11 26
13
 b) x-3y-9z+1 = 0
7x-8y-11z+2 = 0
 62. a)
5x-7y-16z+17 = 0 b) 
x = -2+5
y = 1 - 
z = 2
 63. a)   {0,1}: comp.ind;   {0,1}: incomp. b)  = 0: (-k,k,k);  = 1: (-2k,1+k,k) c) se cortan dos a dos 64. a) 5 2
2
 b) 4x+y-z+2 = 0
2x-3y+3z-1 = 0
b) 
x = 1+
y = -
z = -3
 65. a) -2 b) x = -5
3
 +; y = -1
3
 +; z =  66. x-y+z-2 = 0 67. a) 19
2
 , 7
6
 b) 7 19
19
 c) 7 41
41
 68. a) 
x = 1+
y = 1
z = 0
 b) (1,-1,0) c) 1
3
, 1
3
,-2
3
 69. a) -1 b) x+y-3
= 0 c) x = 5
4
 + ; y = 7
4
 + ; z = 1
2
 70. b) 1 71. a) -8, -1
2
 b) 4, -2 72. a) 3x+6y+4z-12 = 0 b) 36
61
,72
61
,48
61
 c) 4
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