Geometría analítica Rectas y planos Colección 3

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Geometría analítica
Rectas y planos 3
Ecuación del plano1. Escribe la ecuación en forma paramétrica del plano definido por (u y v , director; w , normal):
a) 
A(5,4,6)
u = (-1,-3,-5) ; v = (-4,3,-5)
b) 
A(2,3,1)
w = (2,-1,-1)
c) A(3,4,6)
B(1,1,1) ; C(7,6,4)
2. Escribe la ecuación general del plano definido por ( u y v , director; w , normal):
a) 
A(3,2,3)
u = (0,2,4) ; v = (2,2,-2)
b) 
A 3,3,7
2
w = (3,-1,-1)
c) A(5,2,6)
B(3,2,2) ; C(3,6,4)
3. Escribe la ecuación segmentaria del plano definido por (u y v , director; w , normal):
a) A(1,1,5) ; u = (0,4,-4) ; v = (2,0,-4) b) A(3,2,2) ; w = (4,4,4)
4. Escribe cuatro puntos que pertenezcan al plano:
a) 1  
x = 2+3 +
y = 2+4+2
z = 3+3 -
b) 2  x-4y-2z+16 = 0 c) 3  
x
6
 + y
4
 + z
3
 = 1
5. Indica si los puntos A(1,4,2), B(5,4,6) y C(3,2,2) pertenecen al plano:
a) 1  
x = 3 + -
y = 1 - -6
z = 3+4+3
b) 2  x+y-5z+5 = 0
6. Escribe dos vectores directores y uno normal al plano:
a) 1  
x = 5-3
y = 5-2 -
z = 5 +-4
b) 2  x-2y+5z-12 = 0 c) 3  
x
8
 + y
6
 + z
8
 = 1
7. Expresa en forma paramétrica la ecuación del plano:
a) 1  x+4y-2z-10 = 0 b) 2  
x
2
 - y
3
 + z
6
 = 1
8. Calcula la ecuación general del plano:
a) 1  
x = 1 -2 +
y = 3+2+3
z = 4 - -
b) 2  
x
8
 + y
6
 + z
4
 = 1
9. Calcula la ecuación segmentaria del plano:
a) 1  
x = 1+5 -
y = 2 -2+4
z = 4 -4 -4
b) 2  3x-y+4z-6 = 0
10. Determina los valores de k y t para que el punto A(3,k,t) pertenezca a los planos 1  
x = 3-2 +
y = 5-4 +
z = 7 -2
 y 2  
x
6
 + y
6
 + z
6
 = 1
Ecuación de la recta11. Escribe la ecuación, en forma paramétrica, de la recta r definida por ( v , director):
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Rectas y planos 3
a) A(2,3,5) ; v = (2,-1,3) b) A(7,1,2) ; B(2,6,7)
12. Escribe la ecuación, en forma continua, de la recta r definida por ( v , director):
a) A(1,1,5) ; v = (3,3,-2) b) A(2,1,-3) ; B(-2,3,-2)
13. Escribe las ecuaciones reducidas de la recta r definida por ( v , director):
a) A(3,3,2) ; v = (1,2,3) b) A(3,5,1) ; B(5,4,4)
14. Expresa en forma paramétrica la ecuación de la recta:
a) r1  
x+2
2
 = y-1
-1
 = z-4
3
b) r2  
y = 2x-4
z = 3x-8
15. Expresa en forma continua la ecuación de la recta:
a) r1  
x = 2+3
y = 3+2
z = 4 -2
b) r2  
y = 2x+1
z = x-2
16. Escribe las ecuaciones reducidas de la recta:
a) r1  
x = 4+2
y = 4+3
z = 3
b) r2  
x-3
2
 = y-2
3
 = z-2
-1
17. Escribe tres puntos que pertenezcan a la recta:
a) r1  
x = 3 +
y = 1+2
z = 5 -
b) r2  
x-1
3
 = y
4
 = z-1
3
c) r3  
x = 7-y
z = 7-y
18. Indica si los puntos A(1,4,5), B(3,2,3) y C(5,6,1) pertenecen a la recta:
a) r1  
x = 3+2
y = 5 +
z = 3 -2
b) r2  
x
2
 = y-5
-2
 = z-6
-2
c) r3  
x = 6-z
y = 8-2z
19. Halla el valor de k y t para que el punto A(k,t,2) pertenezca a la recta:
a) r1  
x = 4+2
y = 4 -
z = 4+2
b) r2  
x-3
2
 = y-5
-1
 = z-4
-1
c) r3  
y = 10-2x
z = x-1
20. Escribe un vector director y dos normales a la recta:
a) r1  
x = 3+2
y = 4 +
z = 2+5
b) r2  
x-3
-4
 = y-4
1
 = z-3
1
c) r3  
x = -2z+12
y = 4z-12
Ecuaciones de rectas y planos21. Escribe la ecuación, en forma impícita, de la recta r:
a) r  
x = 4+2
y = 4 -
z = 4+3
b) r  x = 7-z
y = 12-2z
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22. Dada la recta r  2x-y+3z-16 = 0
2x+y-z-8 = 0
, escribe sus ecuaciones:
a) Paramétricas b) Reducidas
23. Determina la ecuación del plano que contiene al punto A y a la recta r:
a) A(3,4,2) ; r  
x = 3 -
y = 6 -
z = 4+3
b) A(3,4,5) ; r  x = 12-2y
z = 12-2y
24. Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s:
a) r  
x = 5 -
y = 2+2
z = 3 +
 ; s  2x-y+3z-16 = 0
2x-y+z-8 = 0
b) r  y = -2x+12
z = 3x-9
 ; s  2x+y-4z = 0
5x-3y+z-11 = 0
25. Escribe la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s:
a) r  
x = 4 +
y = 3+3
z = 7 -4
 ; s  y = 3x-7
z = -4x+17
b) r  x = -z+9
y = 3z-10
 ; s  x-y+4z-10 = 0
2x-y+5z-18 = 0
26. Se considera el conjunto de planos: (2m+3)x+(m-2)y-(m+1)z-8m = 0
a) Halla la ecuación en forma paramétrica de la recta r común a todos los planos.
b) Escribe la ecuación del plano del conjunto que contiene a la recta: s  x-6
-2
 = y-3
1
 = z-2
2
.
27. Los vectores w 1 = (1,6,1) y w 2 = (2,0,-1) son normales a una recta r que pasa por el punto A(4,3,4). Determina la ecuación de la
recta.
28. Determina la recta r sabiendo que se encuentra en el plano   x-4y-2z-17 = 0, pasa por el punto A(3,4,2) y el vector
w = (2,1,-1) es normal.
29. Una recta r pasa por el punto A y se corta con la recta s. Determina su ecuación, sabiendo que el vector w es normal r.
a) A(3,3,3) ; s  
x = 5 +
y = 4+3
z = 2 -
 ; w = (2,1,0) b) A(4,4,4) ; s  4x+y+z-17 = 0
4x+7y-z-39 = 0
 ; w = (1,2,5)
30. Escribe la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y se apoya en las rectas s1 y s2:
a) A(4,5,4) ; s2  6-x = 
y-4
3
 = 4-z ; s2  
x = 4 +
y = 6+3
z = 6 +
b) A(4,6,4) ; s2  
x = 2 -4
y = 6+4
z = 5+3
 ; s2  
y = -2x+13
z = 2x-5
Planos paralelos31. Comprueba si los planos 1 y 2 son paralelos:
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a) 
1  -4x+y+2z = 0
2  8x-2y-4z-15 = 0
b) 
1  
x = 4 + -3
y = 5 -+2
z = 4+2 -2
2  2x+4y+z-24 = 0
c) 
1  
x = 4 +-5
y = 3+2
z = 3 - +
2  
x = 3+4 +
y = 6+3-3
z = 4 -2 +
32. Determina el valor de m para que los planos 1 y 2 sean paralelos:
a) 
1  mx-my-12z+25 = 0
2  -2x+2y-8z+45 = 0
b) 1  
x = 5 ++m
y = 4-m -3
z = 5 - +3
 ; 2  3x-y+z-8 = 0
33. Determina el valor de m y n para que los planos 1 y 2 sean paralelos:
a) 
1  (x,y,z) = (5,2,4)+(2m,-3,n)+(1,n,m)
2  6x-y+3z-25 = 0
b) 1  
x = 5-2 +4
y = 4 + +
z = 3 ++m
 ; 2  
x = 3 + -
y = 4 ++2
z = 5+n+3
34. Escribe la ecuación del plano  que pasa por el punto A(5,5,5) y es paralelo al plano :
a)   (x,y,z) = (5,4,3)+(-2,1,-1)+(-3,-2,3) b)   3x+y-5z = 0
35. Escribe las ecuaciones, en forma paramétrica y general, de los planos que pasan por el punto A(4,3,5) y son paralelos a los planos
coordenados.
Rectas paralelas36. Comprueba si las rectas r y s son paralelas:
a) 
r  
x = 5+2
y = 7 -6
z = 3 -2
s  3-x = y-1
3
 = z-4
b) 
r  
x = 4 -3
y = 3+2
z = 6+2
s  y = -x+9
z = -x+8
c) 
r  y = 2x-2
z = 3x-7
s  5x-y-z-4 = 0
7x-5y+z-8 = 0
37. Determina el valor de m para que las rectas r y s sean paralelas:
a) r  
x = 4 -2
y = 3 -6
z = 2+m
 ; s  y = 3x-9
z = -2x+14
b) r  x = -2z+15
y = 2z-9
 ; s  mx-3y+8z-14 = 0
5x+my+8mz-38 = 0
38. Determina el valor de m y n para que las rectas r  y = mx-5
z = 2nx+20
 y s  6x-ny+mz-48 = 0
4y+3z-29 = 0
 sean paralelas.
39. Escribe la ecuación de la recta s que pasa por el punto A(5,6,5) y es paralela a la recta r:
a) r  
x = 3 -
y = 1+3
z = 3+2
b) r  y = -x+7
z = 2x-6
c) r  4x-y+2z-16 = 0
3x+y-z-8 = 0
40. Escribe las ecuaciones, en forma paramétrica y reducida, de las rectas que pasan por el punto A(4,3,5) y son paralelas a los ejes
de coordenadas.
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Rectas y planos 3
Rectas y planos paralelos41. Comprueba si la recta r y el plano  son paralelos:
a) 
r  
x = 5+2
y = 5-
z = 6+2
  2x+6y+z-24 = 0
b) 
r  x = -2z+10
y = 4z-9
  
x = 2 -+2
y = 2+2 +
z = 2 +
c) 
r  y-4z+5 = 0
5x+y+z-30 = 0
  
x = 3 + -2
y = 2-2+5
z = 2 + -
42. Determina el valor de m para que la recta r y el plano  sean paralelos:
a) 
r  x-2
2
 = 5-y
3
 = z-3
m
  6x+y+mz-22 = 0
b) 
r  y = x-2
z = 2
  
x = 3-m2 +3
y = 3 -3-m
z = 5 - -
c) 
r  x+2my-z-8 = 0
4x-y+2z-23 = 0
  5x+my+z-17 = 0
43. Calcula los valores de a y b para que las rectas r1  
4-x
3a
 = y-2
3
 = 1-z
b
 y r2  
x = 1 +a
y = 3-5
z = 7+b
 sean paralelas al plano   x-y+6z-25 = 0.
44. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos P y Q y es paralelo a la recta r:
a) 
P(1,1,6) ; Q(1,6,3)
r  x-3
4
 = y-4
3
 = 3-z
b) 
P(6,2,6) ; Q(4,3,7)
r  x+y = 10
3x+z = 18
c) 
P(7,2,7) ; Q(4,4,2)
r  x+4y+2z-27 = 0
2x+5y+2z-34 = 0
45. Escribe la ecuación del plano que pasa por el punto P(4,5,3) y es paralelo a las rectas:
a) r1  
x = 3 +
y = 2-2
z = 1-3
 ; r2  
x-6 = 0
y+z-8 = 0
b) r1  3x-12 = 2y-8 = 30-6z ; r2  
4x+2y-z-19 = 0
y+2y+2z-22 = 0
46. Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s:
a) r  x-3 = 1-y
2
 = 4-z ; s  x-y+2z-4 = 0
x-2y+6z-12 = 0
b) r  x-2y-3z+16 = 0
x+y+3z-17 = 0
 ; s  x-z-4 = 0
y-3z+2 = 0
47. Se considera el conjunto de planos: H  (5m+5)x+(2m+3)y-(m-1)z-(31m+39) = 0.
a) Halla la ecuación de la recta r común a todos los planos de H.
b) Escribe la ecuación del plano de H que es paralelo al plano   8x+3y-2z-24 = 0.
c) Escribe la ecuación del plano de H que es paralelo a la recta s  x-2
2
 = y-4
2
 = 6-z.
48. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P y es paralela a los planos 1 y 2:
a) P(3,4,3) ; 1  x-y-5z+16 = 0 ; 2  3x-3y-7z+24 = 0 b) P(5,2,6) ; 1  
x = 3 + -2
y = 4 -2+4
z = 5+3 -
 ; 2  4x+y+z-18 = 0
49. Calcula la ecuación de la recta r que es paralela al plano , pasa por el punto A y se corta con la recta s:
a)   x-y+5z-10 = 0 ; A(6,1,5) ; s  3-x = y-3
2
 = 6-z b)   x-3y-8z+32 = 0 ; A(7,5,6) ; s  3x-y-z-1 = 0
7x-y+3z-41 = 0
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Rectas y planos 3
50. Calcula la ecuación de la recta r que es paralela a la recta s y se apoya en las rectas s1 y s2:
a) s  3-x = y-1
3
 = z-4
1
 ; s1  
x+4y-z-20 = 0
5x-y+2z-30 = 0
 ; s2  
x = 1+4
y = 4+3
z = 4 -
b) s  x-4 = 3-y = z-1
3
 ; s1  
5x+y-z-16 = 0
x-3y-5z+24 = 0
 ; s2  
x = 3 +
y = 7 -2
z = 4+3
Planos perpendiculares51. Comprueba si los planos 1 y 2 son perpendiculares:
a) 
1  5x-3y+z-10 = 0
2  2x+3y-z-16 = 0
b) 
1  -x+y+4z-12 = 0
2  
x = 3 - +
y = 3 -+4
z = 3+2 +
c) 
1  (2,3,4)+(4,1,1)+(-2,-1,1)
2  (2,3,4)+(2,-1,-1)+(4,4,1)
52. Determina el valor de m para que los planos 1 y 2 sean perpendiculares:
a) 1  5x+my+z-16 = 0 ; 2  x-my-z-8 = 0 b) 1  mx+3y-z-12 = 0 ; 2  
x = 4+m+2
y = 4 -2 +
z = 4 -2 -3
53. Determina el valor de m y n para que el plano   -x+3y+6z-34 = 0 sea perpendicular a los planos 1  mx+ny+z-12 = 0 y
2  3x+my+nz-24 = 0.
54. Determina el valor de a, b y c para que el plano   ax-y+cz-8 = 0 contenga al punto P(4,b,3) y sea perpendicular a los planos
1  x+by+z-20 = 0 y 2  2x+by-z-16 = 0.
55. Calcula la ecuación del plano  que pasa por los puntos P y Q y es perpendicular al plano :
a) P(5,5,4) ; Q(3,1,1) ;   x-y+3z-12 = 0 b) P(4,4,4) ; Q(5,7,4) ;   
x = 2 ++
y = 4 + -
z = 1+2+
56. Calcula la ecuación del plano  que pasa por el punto P, es perpendicular al plano  y paralelo a la recta r:
a) P(2,3,2) ;   4x-y-z-3 = 0 ; r  x-2
4
 = y-2
5
 = 5-z b) P(2,6,4) ;   x+y+3z-20 ; r  8x-y-z-36 = 0
4x-2y+z-15 = 0
57. Calcula la ecuación del plano  que contiene a la recta r y es perpendicular al plano :
a) r  x-5 = 2-y = 3-z
2
 ;   -x+2y+z-8 = 0 b) r  x+3y-z-12 = 0
2x-y+5z-17 = 0
 ;   4x+y-z-10 = 0
58. Se considera el conjunto de planos: H  (5m+1)x+(3m-1)y+(m-11)z-(36m-44) = 0.
a) Halla la ecuación de la recta r común a todos los planos de H.
b) Escribe la ecuación del plano 1 de H que pasa por el punto P(6,2,6).
c) Escribe la ecuación del plano 2 de H que es perpendicular al plano 1 del apartado anterior.
59. Calcula la ecuación del plano  que pasa por el punto P y es perpendicular a los planos 1 y 2:
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Rectas y planos 3
a) P(4,4,4) ; 1  x+2y+2z-16 = 0 ; 2  3x-y+4z-24 = 0 b) P(6,6,3) ; 1  4x-2y-z-6 = 0 ; 2  
x = 5+2 +
y = 3 - -
z = 5 ++3
60. Calcula las ecuaciones de dos planos perpendiculares, sabiendo que se cortan en la recta r y uno de ellos pasa por el punto P:
a) P(4,7,4) ; r  
x = 3
y = 4 +
z = 3+2
b) P(3,6,4) ; r  2x+7y-20z+20 = 0
8x+11z-60 = 0
Rectas perpendiculares61. Comprueba si las rectas r1 y r2 son perpendiculares:
a) r1  1-x = y-5 = 
1-z
3
 ; r2  
x = 6+4
y = 4 +
z = 2 -
b) r1  
x = 2 +
y = 1+3
z = 2 +
 ; r2  
x-y-7z+44 = 0
3x+7y-z-28 = 0
62. Determina el valor de m para que las rectas r1 y r2 sean perpendiculares:
a) r1  4-x = 
1-y
2
 = z-2
m
 ; r2  
x = 3+m
y = 6 +2
z = 1 -3
b) r1  
x-2
2
 = y-2
m
 = 5-z ; r2  
2x+y-mz-2 = 0
mx+5y-5z-22 = 0
63. Determina los valores de m y n para que la recta r  x-3
m
 = 5-y = z-2
2
 sea perpendicular a las rectas r1  
x = 3 -
y = 6+3
z = 4 +n
 y
r2  
nx+2y+3z-31 = 0
3x-7y+7z-24 = 0
.
64. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y corta perpendicularmente a la recta s:
a) A(4,6,4) ; s  x-5
2
 = 2-y = 4-z b) A(4,1,6) ; s  x+5y-3z-13 = 0
7x-y-3z-19 = 0
65. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto A, se encuentra en el plano  y es perpendicular a la recta s:
a) A(2,5,2) ;   2x+5y-z-27 = 0 ; s  (x,y,z) = (3,2,5)+(1,4,1) b) A(4,3,1) ;   x+5y+z-20 = 0 ; s  x-6y+z+26 = 0
x-y-4z+16 = 0
66. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(2,7,6), es paralela al plano de ecuación   5x+y+z-18 = 0 y es
perpendicular a la recta s  
x = 2+4
y = 2+2
z = 6 -
.
67. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto A, es perpendicular a la recta s y se apoya en la recta t:
a) A(5,1,3) ; s  x-1 = 6-y = z-2
4
 ; t  3x+y+z-22 = 0
x+3y-z-14 = 0
b) A(2,5,2) ; s  x-y+4z-16 = 0
x-2y+2z-5 = 0
 ; t  
x = 3+3
y = 4 -2
z = 6+6
68. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular a las rectas r1 y r2:
a) P(7,5,6) ; r1  
x = 6+2
y = 2 -
z = 2
 ; r2  x-1 = 
y
2
 = 7-z b) P(5,4,5) ; r1  x-2 = 
5-y
2
 = 2-z ; r2  
2x-3y+5z-18 = 0
x+y+5z-24 = 0
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
69. Calcula la ecuación de la recta r que corta perpendicularmente a las rectas r1 y r2:
a) r1  x-3 = 
4-y
2
 = z-2
3
 ; r2  
x = 5+2
y = 6 +
z = 5 -4
b) r1  x-3 = 5-y = 
3-z
2
 ; r2  
x+y+5z-28 = 0
x-4y-5z+32 = 0
70. Determina el valor de m para que el plano   4x-y-2z-4 = 0 corte a los planos 1  mx-2y-z-8 = 0 y 2  x+my+3z-36 = 0 en
dos rectas perpendiculares.
Rectas y planos perpendiculares71. Comprueba si la recta r y el plano  son perpendiculares:
a) r  5-x = y-4
2
 = z-4
4
 ;   2x-4y-8z+45 = 0 b) r  x+y+4z-25 = 0
5x-y+2z-23 = 0
 ;   x+3y-z-15 = 0
72. Determina el valor de m para que la recta r y el plano  sean perpendiculares:
a) r  
x = 5 +
y = 6+3m
z = 4 +m
 ;   mx+3y+z-16 = 0 b) r  mx+3y+mz-19 = 0
7x+my-mz-21 = 0
 ;   mx-2y+5z-16 = 073. Determina los valores de m y n para que la recta r y el plano  sean perpendiculares:
a) r  
x = 4+m
y = 5 +
z = 5 -n
 ;   nx+my+8z-35 = 0 b) r  3x-my+z-9 = 0
mx+y+3z-19 = 0
 ;   x+2y+nz-8 = 0
74. Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al plano :
a) P(4,5,5) ;   x-3y-5z+26 = 0 b) P(1,5,6) ;   
x = 3+ +
y = 1+ -
z = 4++2
75. Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r:
a) P(3,6,5) ; r  x-2
3
 = y-2 = 3-z b) P(5,2,3) ; r  5x+y-z-9 = 0
x-11y-5z+43 = 0
76. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P, se encuentra en el plano  y es perpendicular a la recta s:
a) P(5,6,4) ;   x-2y+4z-9 = 0 ; s  - x
2
 = y-4 = z-7 b) P(5,3,4) ;   x-2y-5z+21 = 0 ; s  2x-y-z+2 = 0
7x-3y-z-13 = 0
77. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P, es paralela al plano  y perpendicular a la recta s:
a) P(3,7,2) ;   x+y+4z-30 = 0 ; s  x-4
4
 = 5-y = 7-z b) P(4,3,3) ;   6x+y-2z-8 = 0 ; s  6x+y+z-19 = 0
x+6y-z-30 = 0
78. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P, es perpendicular a la recta s y se apoya en la recta t:
a) P(5,4,3) ; s  
x = 5 +
y = 1-4
z = 5-2
 ; t  7x-y-z-23 = 0
5x+y-3z-13 = 0
b) P(6,1,2) ; s  5x-2z = 22
5y+2z = 38
 ; t  x-5 = 4-y = 2-z
2
79. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P y corta perpendicularmente a la recta s:
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
a) P(4,4,3) ; s  x-1 = y-2
3
 = 5-z b) P(5,3,5) ; s  2x+6y+z-40 = 0
x+6y-z-32 = 0
80. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(3,5,3) y es perpendicular a las rectas r1  
x = 3+3
y = 4 +
z = 6 -
 y
r2  
7x-y-4z-27 = 0
x+3y-10z+15 = 0
.
81. Calcula la ecuación de la recta r que corta perpendicularmente a las rectas r1  
x-2
3
 = 3-y = 4-z y r2  
5x+y-z-19 = 0
x+5y+z-35 = 0
.
Posición relativa. Planos82. Indica la posición relativa de los planos 1 y 2:
a) 
1  2x+8y-4z-17 = 0
2  3x+12y-6z-47 = 0
b) 1  2x-y+4z-20 = 0 ; 2  
x = 3 ++3
y = 2-2+2
z = 4 - -
83. Estudia la posición relativa de los planos 1 y 2, según los distintos valores de m y n:
a) 
1  15x+my-6z-9 = 0
2  10x-2y-4z+n = 0
b) 1  mx+5y+z-25 = 0 ; 2  
x = 6+m +
y = n - -
z = 3 ++3
84. Determina los valores de m y n para que los planos 1  x+my+4z-10 = 0 y 2  
x = 2+2 +3
y = 4 -2+m
z = n -+m
 no tengan ningún punto en
común.
85. Comprueba que los planos se cortan en un punto y calcula dicho punto:
a) 
1  4x-y+2z-16 = 0
2  x-y+3z-10 = 0
3  x+5y-z-10 = 0
b) 
1  2x+4y+z-28 = 0
2  x-4y-2z+20 = 0
3  x+2y+4z-28 = 0
86. Indica la posición relativa de los planos:
a) 
1  x-y+5z-27 = 0
2  5x+2y-3z-16 = 0
3  2x-2y+10z-17 = 0
b) 
1  9x+y+4z-50 = 0
2  4x+y-z-10 = 0
3  x-y+6z-10 = 0
87. Indica la posición relativa de los planos:
a) 
1  x+5y-3z-12 = 0
2  2x-y-6z+20 = 0
3  x-4y-3z+24 = 0
b) 
1  x+3y-z-10 = 0
2  6x-2y-z-20 = 0
3  2x+6y-2z-20 = 0
88. Estudia la posición relativa de los planos, en función de los valores de m:
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
a) 
1  x+4y+mz-24 = 0
2  4x+y-z-14 = 0
3  2x+8y-2z-17 = 0
b) 
1  x-5y+mz+27 = 0
2  5x+y-2z-21 = 0
3  x+3y+z-21 = 0
89. Estudia la posición relativa de los planos, en función de los valores de m:
a) 
1  x+2y+mz-28 = 0
2  2x-y+5z-21 = 0
3  x-my-2z+21 = 0
b) 
1  5x-y+mz-24 = 0
2  x+y+3z-20 = 0
3  2mx-2y-z-4 = 0
90. Estudia la posición relativa de los planos, en función de los valores de m y n:
1  2x+my-13z+22 = 0 ; 2  6x+y-z-22 = 0 ; 3  2x-y+6z+n = 0
91. Determina los valores de m y n para que los planos se corten en una recta y escribe la ecuación de dicha recta en forma
paramétrica:
1  x+my-3z+n = 0 ; 2  x+y+3z-20 = 0 ; 3  5x-y+3z-28 = 0
Posición relativa. Rectas y planos92. Encuentra el punto de corte de la recta r y el plano :
a) r  3-x = y-6
2
 = 2-z
2
 ;   2x-4y+7z-20 = 0 b) r  2x+y-13 = 0
6x+y-2z-23 = 0
 ;   x-5y-2z+20 = 0
93. Indica la posición relativa de la recta r y el plano :
a) r  
x = 5 +
y = 4 +
z = 4+2
 ;   4x-2y-z-1 = 0 b) r  3x+y+z-21 = 0
5x+3y-z-31 = 0
 ;   
x = 2+3 +
y = 2 ++5
z = 4 - +
94. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano , según los distintos valores de m:
a) r  x-3
2
 = 4-y = 5-z ;   x+3y+mz-10 = 0 b) r  3x+y-z-12 = 0
x+5y+mz-39 = 0
 ;   x+3y+z-16 = 0
95. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano , según los distintos valores de m y n:
a) r  x-5 = y-5
m
 = z-3 ;   5x+2y-z+n = 0 b) r  x-y+4z-11 = 0
x-2y+mz-13 = 0
 ;   2x-y+mz+n = 0
96. Comprueba si la recta r y el plano  se cortan, calculando en ese caso el punto de corte:
a) r  5-x = y-3 = 5-z ;   3x-4y-8z+35 = 0 b) r  y+z-7 = 0
4x+y-z-17 = 0
 ;   x-3y+6z-10 = 0
97. Determina los valores de m y n para que la recta r y el plano  no tengan ningún punto en común:
a) r  
x = 3+m
y = 6 -
z = 3 +2
 ;   
x = 7+2 -5
y = n -+2
z = 4+3 -5
b) r  x+my-4z+19 = 0
7x+4y-z-47 = 0
 ;   
x = n + +
y = 3 --3
z = 2+2-2
98. Determina los valores de m y n para que la recta r esté contenida en el plano :
a) r  x-4 = y-4 = 2-z
m
 ;   x-7y+nz+15m = 0 b) r  mx+3y+z-32 = 0
2x+3y+5z-40 = 0
 ;   mx+y-5z+n = 0
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
99. Determina los valores de m y n para que la recta r corte perpendicularmente al plano  y calcula su punto de corte.
a) r  x-2
2
 = y-1
4
 = 5-z ;   
x = 3+m +3
y = 5 ++m
z = 2 +n +n
b) r  mx+3y-5z = 0
6x+2y+nz-28 = 0
 ;   
x = 4+m
y = 5 + +
z = 2 +n-2
100. Calcula la ecuación del plano  que es perpendicular a la recta r  x+4y-z-12 = 0
x-y+4z-22 = 0
 y pasa por el punto de corte de la recta r
con el plano   x-y-4z+18 = 0.
101. Calcula la ecuación de una recta r que se encuentra en el plano   x-3y+5z-10 = 0 y se apoya en las rectas r1  x-2 = y-1 = 5-z
y r2  
3x+y+z-24 = 0
x+3y-z-16 = 0
.
Posición relativa. Rectas102. Encuentra el punto de corte de las rectas r1 y r2:
a) r1  
x = 4 +
y = 3-2
z = 1 -
 ; r2  x-2 = 6-y = 
4-z
2
b) r1  
x-2
2
 = y-2
2
 = 4-z ; r2  
x+y+5z-23 = 0
x-5y-z+19 = 0
103. Indica la posición relativa de las rectas r1 y r2:
a) r1  
x = 1+2
y = 6 -
z = 1 +
 ; r2  x-2 = 6-y = 
z
2
b) r1  x-4 = 
y-4
3
 = 3-z ; r2  
x+4y-2z-9 = 0
2x+5y+2z-39 = 0
104. Estudia la posición relativa de las rectas r1 y r2, según los distintos valores de m:
a) r1  
x = 3+m
y = 5 +2
z = 3 +4
 ; r2  x-3 = 3-y = 
z-4
m
b) r1  x-4 = y-4 = 
z
m
 ; r2  
3x-y-z-6 = 0
x-5y+mz-2 = 0
105. Comprueba que las rectas r1 y r2 se cortan y calcula el punto de corte:
a) r1  
x = 5 +
y = 5+2
z = 3 -
 ; r2  x-3 = 
6-y
3
 = z-3 b) r1  
x = 6
y = 6+
z = 5+
 ; r2  
6x-y+2z-39 = 0
6x-2y+z-30 = 0
106. Comprueba que las rectas r1 y r2 son coplanarias y calcula el plano que las contiene:
a) r1  
x = 3+3
y = 4
z = 5 -2
 ; r2  
x-3
3
 = y-5
-3
 = z-3
4
b) r1  x = 
y
2
 = 6-z ; r2  
3x-y+z-13 = 0
x+y+3z-19 = 0
107. Determina todos los valores de m para los que las rectas r1 y r2 se cortan, calculando el punto de corte en cada caso:
a) r1  
x = 3+m
y = 2 +4
z = 5 +2
 ; r2  x-4 = 
y-4
m
 = 2-z b) r1  
x = 3 +2
y = 4 -
z = 6+m
 ; r2  
x+4y+z-22 = 0
x+my-4z+18 = 0
108.Determina los valores de m para los que las rectas r1  
x = 3+m
y = 5 -
z = 4 +
 y r2  x-6 = 3-y = 
z-7
m
 son coplanarias, calculando, si es
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
posible, el plano que las contiene en cada caso.
109. Calcula los valores de m y n para que las rectas r1 y r2 se corten perpendicularmente:
a) r1  
x = 4
y = 2+m
z = 3 +
 ; r2  x-3 = 
y-5
n
 = z-2
2
b) r1  
x-5
2
 = 3-y = z-5 ; r2  
4x+my+z-20 = 0
x+ny-z-15 = 0
110. Determina los valores de m para los que las rectas r1  
x = 6 +
y = 6+m
z = 4
 y r2  
x-3
m
 = 4-y
2
 = 3-z se cruzan y, si es posible, escribe
los dos planos paralelos que las contienen cuando es m = 2.
111. Determina los valores de m para los que las rectas r1  
x = 3 -
y = 5+m
z = 1 -3
 y r2  
x-4
m
 = y-4 = z-4
-4
 se cruzan y, si es posible, escribe
la ecuación de la recta r que las corta perpendicularmente cuando es m = 2.
Ángulos112. Calcula el ángulo que forman las rectas r1 y r2:
a) r1  5-x = y-3 = 
z-2
2
 ; r2  
x = 5 -
y = 2+2
z = 3 +
b) r1  
x-1
3
 = y-3 = 4-z ; r2  
4x+y+z-23 = 0
5x+2y-z-25 = 0
113. Determina el valor de m para que las rectas r1 y r2 formen entre sí un ángulo de 60º:
a) r1  
x-3
m
 = y-4 = z-3
4
 ; r2  
x = 3+m
y = 4 +4
z = 3 +
b) r1  3-x = y-5 = 
z-6
m
 ; r2  
9x-4y-z-16 = 0
x+4y-9z+16 = 0
114. Calcula la recta r que pasa por el punto A y corta a la recta s formando un ángulo de 45º:
a) A(5,6,2) ; s  
x = 3 -
y = 4+2
z = 3+2
b) A(1,5,0) ; s  8x+7y-z-45 = 0
8x+y+9z-59 = 0
115. Calcula la recta r que se encuentra en el plano   5x-y-z-5 = 0 y corta a la recta s  
x = 4+2
y = 4+2
z = 2 -
 formando un ángulo de 45º.
116. Calcula la ecuación de una recta t que es perpendicular a la recta r  y = 3x
y = 3z-15
 y corta a las rectas s1  
x-1
3
 = 5-y = z-1 y
s2  
x = 4 +
y = 2 +
z = 1+3
 formando el mismo ángulo.
117. Calcula el ángulo que forman los planos 1 y 2:
a) r1  3x+y-z-12 = 0 ; r2  x+3y+z-20 = 0 b) r1  x-2y+6z-18 = 0 ; r2  
x = 4+2+2
y = 5 + -3
z = 3 - +
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
118. Determina el valor de m para que los planos 1 y 2 formen entre sí un ángulo de 45º:
a) r1  x-2y-2z+8 = 0 ; r2  x+my+z-20 = 0 b) r1  2x-y+2z-8 = 0 ; r2  
x = 3 + +
y = 2+m-5
z = 2 -2 +
119. Determina los valores de m y n para que el plano 1 pase por el punto A y forme un ángulo de 60º con el plano 2:
a) 
1  mx+ny-2z+8 = 0
A(1,1,4)
 ; 2  x+2y+z-16 = 0 b) 
1  3x+my+nz-16 = 0
A(4,4,4)
 ; 2  
x = 3+ +
y = 3+-2
z = 5 - +
120. Considera la recta definida de forma implícita: r  x-4y-10z+50 = 0
y+2z-12 = 0
a) Comprueba que el plano   2x+y-2z-8 = 0 pertenece al haz de planos que definen la recta.
b) Escribe la ecuación implicita de r como intersección del plano  y otro plano del haz que forme con  un ángulo de 45º.
121. Calcula la ecuación de un plano  que se corta con el plano   3x+y-2z-8 = 0 formando un ángulo de 60º, siendo su intersección
la recta r  x-3 = 5-y = z-3.
122. Calcula el ángulo que forman la recta r y el plano :
a) r  x-5 = 2-y
2
 = 3-z ;   3x-y-z-4 = 0 b) r  x+2y+3z-24 = 0
4x-3y+z-8 = 0
 ;   x+3y-z-12 = 0
123. Determina el valor de m para que la recta r y el plano  formen un ángulo de 30º:
a) r  x-3 = y
m
 = z-3 ;   x+y+mz-24 = 0 b) r  my = 4
x-z = 0
 ;   x-my-4z+16 = 0 = 0
124. Calcula la ecuación de una recta r que pasa por el punto A(5,4,5), se encuentra en el plano   2x-y+2z-16 = 0 y forma con el
plano   x+4y+z-26 = 0 un ángulo de 45º.
125. Calcula la ecuación de una recta r que se apoya en la recta s  (x,y,z) = (2,5,5)+(1,-2,1) y corta en el punto A(4,4,4) al plano
  x+y+4z-24 = 0 formando un ángulo de 30º.
126. Calcula la ecuación de un plano  que pasa por los puntos A(4,4,4) y B(6,3,6) y forma un ángulo de 30º con la recta
r  z = 4x-12
z = 4y-12
.
Distancias - 1127. Encuentra los puntos de la recta r que distan 3 unidades del punto A:
a) r  
x = 2 +
y = -2 +
z = -1+3
 ; A(5,4,3) b) r  x-8y+z+24 = 0
x+3y+z-20 = 0
 ; A(4,3,3)
128. Escribe la ecuación de una recta r que pasa por el punto A(3,5,2) y corta a la recta s  5-x = y-1
2
 = z-2 a 3 unidades de
distancia del punto B(2,4,5).
129. Escribe la condición que deben cumplir las coordenadas de todos los puntos que equidistan de los puntos A(3,1,3) y B(5,7,5).
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
Indica el lugar geométrico que generan.
130. Encuentra los puntos del plano   x-4y-z+16 = 0 que equidistan de los puntos A(3,5,2) y B(5,3,6). Indica el lugar geométrico
que generan.
131. Encuentra los puntos de la recta r  
x = 2 -2
y = 5+2
z = 4 +
 que equidistan de los puntos A(2,6,1) y B(4,4,7).
132. Calcula la distancia del punto P a la recta r:
a) P(3,6,2) ; r  4-x = y-1
2
 = z-3
2
b) P(3,2,5) ; r  4x-y-z-11 = 0
5x-2y-z-10 = 0
133. Determina el valor de m para que la distancia del punto P a la recta r sea 6:
a) P(7,2,7) ; r  x-5 = y-4
m
 = 1-z b) P(6,m,0) ; r  4x-2y+z-8 = 0
x+2y+4z-32 = 0
134. Escribe la ecuación de una recta r que se encuentra en el plano   2x+y-14 = 0, pasa por el punto A(5,4,10) y dista 6 unidades
del punto P(5,4,1).
135. Escribe la ecuación de una recta r que pasa por el punto A(2,2,0), dista 3 unidades del punto P(3,2,5) y se apoya en la recta
s  x-5 = 7-y = z-5.
136. Escribe la ecuación de una recta r que se encuentra en el plano   4x+y-2z-13 = 0, dista 3 unidades del punto P(5,3,2) y se
apoya en la recta s  x-4 = 5-y = z-5.
137. Encuentra los puntos de la recta r que equidistan de las rectas s1 y s2:
a) r  
x = 4 +
y = 5 +
z = 3-2
 ; s1  
x = 2+2
y = 2+2
z = 3 -3
 ; s2  
x = 5+2
y = 5+2
z = 3+3
b) r  
x = 2+2
y = 1+2
z = 3 +
 ; s1  
x+y = 4
x+z = 5
 ; s2  
x = 5+
y = 1+
z = 5+
Distancias - 2138. Calcula la distancia del punto P al plano :
a) P(3,7,7) ;   x-2y-4z+18 = 0 b) P(7,7,9) ;   
x = 2 +3
y = 2+2 -2
z = 5 -
139. Determina el valor de m para que el punto P diste 2 unidades del plano :
a) P(6,6,m) ;   2x+3y+6z-40 = 0 b) P(7,6,4) ;   6x+my-3z-4 = 0
140. Escribe la ecuación del plano , paralelo al de ecuación   2x-3y-6z+24 = 0, que dista 2 unidades del punto P(6,5,7).
141. Escribe la ecuación del plano perpendicular a la recta r  
x = 5+2
y = 5+2
z = 5 +
 que dista 1 unidad del punto P(3,2,3).
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
142. Calcula los puntos de la recta r  x-3 = 5-y = z-3 que distan 2 unidades del plano de ecuación   2x+6y-3z-20 = 0.
143. Escribe la relación que deben cumplir las coordenadas de los puntos que equidistan de los planos 1  x+y+6z-32 = 0 y
2  2x+3y+5z-40 = 0. Indica el lugar geométrico que forman.
144. Escribe la relación que deben cumplir las coordenadas de los puntos que se encuentran en el plano   x-4y-6z+32 = 0 y
equidistan de los panos 1  6x+y-z-24 = 0 y 2  3x-2y+5z-24 = 0. Indica el lugar geométrico que forman.
145. Calcula los puntos de la recta r que equidistan del punto A y del plano :
a) r  
x = 3 +
y = 3 -
z = 4+2
 ; A(2,3,7) ;   x+2y-z-8 = 0 b) r  x+2y = 13
2y+z = 14
 ; A(2,3,7) ;   x-y+3z-8 = 0
146. Calcula los puntos de la recta r  
x = 2+
y = 6 -
z = 1+que equidistan de la recta s  
x = 3+3
y = 2 -
z = 1 -
 y del plano   x+y+2z-8 = 0.
147. Calcula los puntos de la recta r  
x = 4+3
y = 4 -
z = 5
 que equidistan de los panos 1  2x+5y-3z-16 = 0 y 2  x+6y+z-32 = 0.
Distancias - 3148. Comprueba que las rectas r1 y r2 son paralelas y calcula la distancia que existe entre ellas:
a) r1  
x = 4+2
y = 4 -2
z = 5+3
 ; r2  
x-3
2
 = 4-y
2
 = z
3
b) r1  
x = 5+2
y = 6 -2
z = 4 -
 ; r2  
x-y+4z-19 = 0
4x+y+6z-46 = 0
149. Calcula el valor de m para que las rectas paralelas r1  
x = 2+2
y = m+3
z = 2+2
 y r2  
3x-2y-7 = 0
2y-3z+10 = 0
 disten entre sí 3 unidades.
150. Calcula los valores de m y n para que las rectas r1  
x = 3+2
y = 6 -3
z = m+4
 y r2  
5x+ny-z-25 = 0
x+6y+4z-40 = 0
 sean paralelas y disten entre sí 3
unidades.
151. Escribe la ecuación de una recta r contenida en el plano   x = 4 que dista 3 unidades de la recta paralela s  
x = 5
y = 4+
z = 5+
.
152. Escribe la ecuación de una recta r que se apoya en la recta t  
x = 5+4
y = 4 +
z = 3 -4
 y dista 6 unidades de la recta paralela
s  x-2 = y-2
3
 = 5-z.
153. Escribe la ecuación de una recta r que está contenida en el plano   x+y-6 = 0 y equidista del punto P(5,3,2) y de la recta
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
paralela s  
x = 3 +
y = 5 -
z = 4+2
.
154. Escribe la ecuación de una recta r que es paralela a la recta s  
x = 3 +
y = 5 -
z = 4+2
, se apoya en la recta t  x-4 = y-3 = z-1
2
 y
equidista del punto P(6,7,2) y de la recta s.
155. Calcula la ecuación de la recta r que es paralela y equidistante a las rectas s1  
x = 2+2
y = 5 -
z = 6 +
 y s2  
x = 4+2
y = 7 -
z = 4 +
 y se apoya en la
recta t  x-6 = y-4 = 3-z.
156. Calcula la distancia que hay entre los planos 1 y 2:
a) 1  x-y+5z-10 = 0 ; 2  x-y+5z-28 = 0 b) 1  
x = 6+2 -
y = 2 - +
z = 4+2-3
 ; 2  
x = 4+3 +
y = 6 - -
z = 2 ++3
157. Determina el valor de m para que sea de 1 unidad la distancia entre los planos 1  2x-3y+6z-16 = 0 y 2  2x-3y+6z+m = 0.
158. Escribe las ecuaciones de los planos que distan 1 unidad del plano   3x+6y-2z-32 = 0.
159. Calcula la ecuación del plano que equidista de los planos de ecuaciones 1  x+y+6z-20 = 0 y 1  x+y+6z-45 = 0.
160. Calcula la ecuaciones de los planos que distan del punto P(2,3,6) doble de lo que distan del plano   x-2y+6z-8 = 0.
Distancias - 4161. Calcula la distancia entre la recta r y el plano :
a) r  
x = 4+2
y = 4 -2
z = 5 +
 ;   x-y-4z+8 = 0 b) r  3x+y+z-20 = 0
x+3y-z-16 = 0
 ;   2x+4y-z-18 = 0
162. Determina los valores de m y n para que la recta r diste 2 unidades del plano :
a) r  
x = m+n
y = 4-2
z = 5-2
 ;   2x-3y+6z-16 = 0 b) r  x = m
z = 14-2y
 ;   2x+6y+nz-40 = 0
163. Escribe la ecuación de una recta contenida en el plano   4x<+11y+5z-81 = 0 que dista 2 unidades del plano   x-4y+8z-9 = 0.
164. Escribe la ecuación de un plano  que equidista de las rectas r1  
x = 3 -
y = 1+3
z = 3 +
 y r2  5-x = 
y-5
3
 = z-3 y es perpendicular al
plano  que contiene a las dos rectas dadas.
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
165. Escribe la ecuación de un plano  que diste del plano   x+6y-2z-8 = 0 doble de lo que dista a la recta r  x = 14-2y
x = 5-z
.
166. Calcula la distancia entre las rectas r1 y r2:
a) r1  
x = 3 +
y = 3+3
z = 2 -2
 ; r2  
x-7
2
 = y-1
-4
 = z-7 b) r1  
x = 5+2
y = 3 -2
z = 1 -
 ; r2  
4x+y+z-26 = 0
x-y+4z-24 = 0
167. Calcula el valor de m para que las rectas r  
x = 2+2
y = 2+2
z = m+3
 y s  x-3
2
 = y-2
-3
 = z-6
-2
 disten entre sí 3 unidades.
168. Calcula la ecuación de una recta r que es paralela a la recta s1  
x = 4+3
y = 3 -2
z = 2+2
, se corta con la recta s2  x-3 = 
y-2
2
 = 5-z y se
cruza con la recta s3  
y-2z = 0
2x+3z = 21
 a 3 unidades de distancia.
169. Una recta r se corta con la recta s1  
x = 1+2
y = 4 -
z = 6 -2
, es paralela a la recta s2  x-5 = y-1 = 
7-z
2
 y se cruza con la recta
s3  
y = 2x-10
y = 12-2z
. Calcula su ecuación, sabiendo que equidista de s2 y s3.
170. Escribe la ecuación de una recta r que se apoya en la recta s1  6-x = 3-y = 
z-7
7
, es perpendicular al plano   x+3y+z-22 = 0 y
equidista del punto P(6,3,7) y de la recta s2  
z = 3x-5
z = 3y-11
.
Aplicaciones - 1171. Calcula la proyección ortogonal del punto P sobre la recta r:
a) P(2,5,4) ; r  x-6 = y-6
2
 = 4-z b) P(3,7,2) ; r  x+y+4z-24 = 0
2x-y+5z-27 = 0
172. Calcula la proyección ortogonal del punto P(7,4,2) sobre el plano   4x-y+z-8 = 0.
173. Calcula la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano :
a) r  x-5 = 2-y = z-7 ;   x-2y+4z-8 = 0 b) r  z = 14-2x
z = 2y-8
 ;   x+3y-z-8 = 0
174. Determina los puntos P de la recta r1  
x = 2 -
y = 6 +
z = 5+2
 y Q de la recta r2  
x-3
2
 = y-2 = 6-z que se encuentran a menor distancia
entre sí.
175. Calcula el simétrico del punto P respecto de la recta r:
a) P(3,7,6) ; r  x-3 = 5-y = z-2
2
b) P(7,1,7) ; r  3x-y-z-7 = 0
3x+y-5z+7 = 0
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
176. Calcula el simétrico del punto P(4,1,6) respecto del plano   x+3y-z-12 = 0.
177. Sabiendo que el simétrico del punto A(5,0,3) respecto de un plano  es el punto A'(7,4,1), calcula el simétrico del punto B(6,8,2)
respecto de ese mismo plano .
178. Calcula la simétrica de la recta r respecto del plano :
a) r  
x = 5+2
y = 3 -3
z = 7+2
 ;   x-y+3z-12 = 0 b) r  x+y = 8
x+z = 11
 ;   x-y+2z-8 = 0
179. Calcula el simétrico del plano   x+6y+z-32 = 0 respecto del plano   x+3y+2z-24 = 0.
180. Calcula los planos bisectores de los planos 1  2x+3y+5z-40 = 0 y 2  x+6y+z-32 = 0.
Aplicaciones - 2181. Determina los puntos de corte del plano   4x+4y+3z-24 = 0 con los ejes de coordenadas y calcula el
área del triángulo que forman y el volumen del tetraedro que forman con el origen de coordenadas.
182. La hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene de extremos los vértices A(4,6,5) y B(1,1,6). Calcula el vértice C, sabiendo que se
encuentra en la recta de ecuación r  x-2 = 4-y
2
 = z-1
2
 y determina su área.
183. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene de extremos los vértives A(3,6,1) y B(4,7,7). Calcula el vértice C, sabiendo que se
encuentra en la recta de ecuación r  x+3y+4z-32 = 0
3x+y+4z-40 = 0
, y determina su área.
184. El lado desigual AC de un triángulo isósceles se encuentra en la recta r  
x = 2 +
y = 1+2
z = 3+2
 y mide 6 unidades, siendo el otro vértice
el punto B(5,6,1). Encuentra los vértices A y C y calcula su área.
185. Un triángulo rectángulo isósceles tiene el ángulo recto en el vértice A(3,3,4) y la hipotenusa BC se encuentra en la recta
r  x+5y-z-32 = 0
5x+y+z-40 = 0
. Determina los vértices B y C y calcula su área.
186. Los puntos A(7,7,6) y B(1,1,6) son vértices de un triángulo de 9 u2 de área. Determina el vértice C, sabiendo que se encuentra en
la recta r  x-5 = 2-y = 3-z.
187. Un triángulo rectángulo, de 9 u2 de área, tiene un cateto en la recta r  
x = 1 +
y = 8 -2
z = 1+2
, siendo el otro vértice el punto A(7,2,1).
Determina los vértices B y C del triángulo.
188. Un cuadrado apoya dos lados opuestos en las rectas r  x-5 = 7-y = z-4
2
 y s  x+3y+z-19 = 0
3x+y-z-13 = 0
. Calcula su área.
189. Un cubo tiene dos caras opuestasen los planos 1  x-y+5z-10 = 0 y 1  x-y+5z-28 = 0. Calcula su volumen.
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Geometría analítica
Rectas y planos 3
190. Un rectángulo, que tiene una superficie de 18 u2, tiene dos lados opuestos en las rectas r  
x = 1+2
y = 4 -2
z = 1 +
 y s  y = 11-x
y = 18-2z
. Si un
vértice es el punto A(3,2,2), determina los otros tres vértices.
191. Los puntos A(4,1,4) y B(6,2,2) son vértices consecutivos de un rectángulo de 18 u2 de área. Determina los otros dos vértices,
sabiendo que se encuentran en el plano   x-4y-z+22 = 0.
 Soluciones
1.a) 
x = 5 - -4
y = 4-3+3
z = 6-5 -5
 1.b) 
x = 2 + +
y = 3+2
z = 1 +2
 1.c) 
x = 3-2+4
y = 4-3+2
z = 6-5 -2
 2.a) 3x-2y+z-8 = 0 2.b) 6x-2y-2z-5 = 0 2.c) 4x+y-2z-10 = 0 3.a) x
4
 + y
8
 + z
8
 = 1 3.b) x
7
 + y
7
 + z
7
 = 1
5.a) B, C 5.b) A, C 7.a) 
x = 2-2
y = 1 +
z = -2 ++2
 7.b) 
x = 2+2 -
y = +3
z = +3
 8.a) x-3y-8z+40 = 0 8.b) 3x+4y+6z-24 = 0 9.a) x
6
 + y
6
 + z
8
 = 1 9.b) x
2
 + y
6
 + 2z
3
 = 1 10. 2, 1 11.a)
x = 2+2
y = 3 -
z = 5+3
 11.b) 
x = 7 -
y = 1+
z = 2+
 12.a) x-1
3
 = y-1
3
 = z-5
-2
 12.b) x-2
-4
 = y-1
2
 = z+3
1
 13.a) y = 2x-3
z = 3x-7
 13.b) x = -2y+13
z = -3y+16
 14.a) 
x = -2+2
y = 1 -
z = 4+3
 14.b) 
x = 3 +
y = 2+2
z = 1+3
 15.a) x-2
3
 =
y+3
2
 = z
-2
 15.b) x-1
1
 = y-3
2
 = z-3
1
 16.a) 
y = 3
2
x-2
z = 3
 16.b) x = -2z+7
y = -3z+8
 18.a) A, C 18.b) A, B 18.c) B, C 19.a) 2, 5 19.b) 7, 3 19.c) 3, 4 20.a) (2,1,5); (2,1,-1),
(3,-1,-1) 20.b) (-4,1,1); (1,1,3), (1,3,1) 20.c) (2,-4,-1); (1,0,2), (0,-1,4) 21.a) 2x+y-z-8 = 0
x-4y-2z+20 = 0
 21.b) 3x-y+z-9 = 0
x+y+3z-19 = 0
 22.a) 
x = 4 -
y = 4+4
z = 4+2
 22.b) 
x = - 1
2
z+6
y = 2z-4
 23.a)
4x-y+z-10 = 0 23.b) x+4y+z-24 = 0 24.a) 2x-y+4z-20 = 0 24.b) 4x-y-2z-6 = 0 25.a) 5x-3y-z-4 = 0 25.b) 8x+y+5z-62 = 0 26. a) 
x = 4-3
y = 4 -
z = 4-7
 b) x+4y-z-16 = 0 27.
x+6y+z-26 = 0
2x-z-4 = 0
 28. x-4y-2z-17 = 0
2x+y-z-8 = 0
 29.a) 2x+y+5z-24 = 0
2x+y-9 = 0
 29.b) 3x+6y-z-32 = 0
x+2y+5z-32 = 0
 30.a) 
x = 4 +
y = 5+2
z = 4 -
 30.b) 2x-y+4z-18 = 0
4x+y-z-18 = 0
 31.a) si 31.b) si 31.c) si
32.a) 3 32.b) -2 33.a) -1, 3 33.b) 3, 2 34.a) 
x = 5-2 -3
y = 5 + -2
z = 5 -+3
 34.b) 3x+y-5z+5 = 0 35. 
x = 4
y = 3+
z = 5 +
, x-4 = 0; 
x = 4+
y = 3
z = 5 +
, y-3 = 0; 
x = 4+
y = 3 +
z = 5
, z-5 = 0 36.a) si
36.b) no 36.c) si 37.a) 4 37.b) 1 38. -3, 2; 3, -2 39.a) 
x = 5 -
y = 6+3
z = 5+2
 39.b) 
x = 5 +
y = 6 -
z = 5+2
 39.c) 4x-y+2z-24 = 0
3x+y-z-16 = 0
 40. 
x = 
y = 3
z = 5
, y = 3
z = 5
; 
x = 4
y = 
z = 5
, x = 4
z = 5
;
x = 4
y = 3
z = 
, x = 4
y = 3
 41.a) si 41.b) no 41.c) si 42.a) -3, 3 42.b) 0, 1 42.c) 1 43. 1, -1 44.a) x-3y-5z+32 = 0 44.b) 2x+5y-z-16 = 0 44.c) 4x+y-2z-16 = 0 45.a)
5x+y+z-28 = 0 45.b) x-2y-4z+18 = 0 46.a) 2x-3y+8z-35 = 0 46.b) 5x-2y+z-8 = 0 47. a) 5x+2y-z-31 = 0
5x+3y+z-39 = 0
 b) 8x+3y-2z-48 = 0 c) y+2z-8 = 0 48.a) 
x = 3+
y = 4+
z = 3
48.b) 
x = 5 +
y = 2-2
z = 6-2
 49.a) 
x = 6 -3
y = 1+2
z = 5 -
 49.b) y+4z-29 = 0
x-3y-8z+56 = 0
 50.a) 4x+y+z-30 = 0
2x-y+5z-18 = 0
 50.b) 
x = 2 +
y = 7 -
z = 1+3
 51.a) si 51.b) si 51.c) no 52.a) -2, 2 52.b) 1 53. 3,
-1 54. 2, 3, 1 55.a) 5x-y-2z-12 = 0 55.b) 3x-y+4z-24 = 0 56.a) x-2y+6z-8 = 0 56.b) 8x+y-3z-10 = 0 57.a) 3x+y+z-20 = 0 57.b) x-y+3z-8 = 0 58. a)
2x-y+5z-24 = 0
3x-y+2z-16 = 0
 b) 2x+y-z-8 = 0 c) x+y+3z-20 = 0 59.a) 3x+y-2z-8 = 0 59.b) x-2y+8z-18 = 0 60.a) 5x-2y+z-10 = 0; x+2y-z-8 = 0 60.b) 4x+2y-z-20 = 0; 2x-y+6z-20
= 0 61.a) si 61.b) si 62.a) -1 62.b) 1, 4, -5 63. 1, 2 64.a) 
x = 4 -
y = 6-3
z = 4 +
 64.b) 
x = 4 +
y = 1+3
z = 6 -2
 65.a) 
x = 2+3
y = 5 -
z = 2 +
 65.b) 
x = 4 +
y = 3 +
z = 1-6
 66. 
x = 2 +
y = 7-3
z = 6-2
 67.a)
x = 2 +
y = 5 -
z = 2+4
 67.b) 
x = 5 -
y = 1+7
z = 3+2
 68.a) 
x = 7 +
y = 5+2
z = 6+5
 68.b) 
x = 5 +
y = 4 -
z = 5+3
 69.a) 
x = 5 +
y = 6+2
z = 5 +
 69.b) 
x = 3+
y = 5 -
z = 3+
 70. 5, - 11
4
 71.a) si 71.b) si 72.a) -1, 1 72.b) 1, -6
73.a) -2, 4 73.b) 1, -1 74.a) 
x = 4 +
y = 5-3
z = 5-5
 74.b) 
x = 1+3
y = 5 -
z = 6 -2
 75.a) 3x+y-z-10 = 0 75.b) 2x-3y+7z-25 = 0 76.a) x-2y+4z-9 = 0
2x-y-z = 0
 76.b) x-2y-5z+21 = 0
2x+5y-z-21 = 0
 77.a)
x+y+4z-18 = 0
4x-y-z-3 = 0
 77.b) 6x+y-2z-21 = 0
x-y-5z+14 = 0
 78.a) 6x-3y+2z-24 = 0
x-4y-2z+17 = 0
 78.b) 4x-2y-z-28 = 0
2x-2y+5z-20 = 0
 79.a) 4x+y+7z-41 = 0
x+3y-z-13 = 0
 79.b) x+2y+z-16 = 0
4x-y-2z-7 = 0
 80. 3x+y-z-11 = 0
x+3y+z-21 = 0
81. x-y+4z-15 = 0
3x-y-z-1 = 0
 82.a) paralelos 82.b) coincidentes 83.a) m=-3, n=-6: coincidentes; m=-3, n-6: paralelos; m-3: se cortan 83.b) m=2, n=2: coincidentes; m=2,
n2: paralelos; m2: se cortan 84. m=-1, n3 85.a) (3,2,3) 85.b) (4,4,4) 86.a) sin puntos comunes 86.b) sin puntos comunes 87.a) recta común 87.b) recta
común 88.a) m=-1: sin puntos comunes; m-1: un punto 88.b) m=-3: recta; m-3: punto 89.a) m=-2: nada; m=5: recta; m{-2,5}: punto 89.b) m=-6: nada; m=2: recta;
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Colecciones de ejercicios
Geometría analítica
Rectas y planos 3
m{-6,2}: punto 90. m=3, n-22: nada; m=3, n=-22: recta; m3: punto 91. m=-2, n=16: (x,y,z) = (2,0,6)+(1,2,-1) 92.a) (4,4,4) 92.b) (5,3,5) 93.a) paralela 93.b)
contenida 94.a) m=-1: contenida; m-1: se cortan 94.b) m=2: paralelas; m2: se cortan 95.a) m=-2, n=-32: contenida; m-2, n-22: paralela; m-2: se cortan 95.b) m=6,
n=-20: contenida; m6, n-20: paralela; m6: se cortan 96.a) (3,5,3) 96.b) (4,4,3) 97.a) m=3, n5 97.b) m=-2, n5 98.a) 2, -3; -2
5
, 15 98.b) 4, 0 99.a) -1, 2;
(4,5,4) 99.b) 2, -1; (4,4,4) 100. 3x-y-z-7 = 0 101. 
x = 4 +
y = 3+2
z = 3 +
 102.a) (3,5,2) 102.b) (4,4,3) 103.a) se cortan 103.b) se cruzan 104.a) m=-2: paralelas; m= 5
2
:
se cortan; m -2,5
2
: se cruzan 104.b) m=2: paralelas; m=7: se cortan; m{2,7}: se cruzan 105.a) (4,3,4) 105.b) (6,5,4) 106.a) 2x+6y+3z-45 = 0 106.b)
x+2y+5z-30 = 0 107.a) m = 2: (2,0,4) 107.b) m=0: 6,5
2
,6 108. m=1: x-z+1 = 0; m=2: x+3y+z-22 = 0 109.a) 2, -1; 1, -2 109.b) 1, 4 110. m{-3,0}: 2x-y+6z-30 = 0,
2x-y+6z-20 = 0 111. m - 4
3
,1 : 4x-y-2z-5 = 0
3x-2y+z-8 = 0
 112.a) 33º33'26'' 112.b) 84º47'3'' 113.a) -1, 1 113.b) 2 114.a) 
x = 5 -
y = 6-4
z = 2 -
; 
x = 5 -
y = 6
z = 2+
 114.b) 
x = 1+2
y = 5 -2
z = 
;
x = 1 -2
y = 5+5
z = 14
 115. 
x = 2
y = 2+
z = 3 -
; 
x = 2 +
y = 2+4
z = 3 +
 116. 
x = 4 +
y = 4 -
z = 2+2
; (x,y,z) = 53
8
,25
8
,23
8
+(-1,0,1) 117.a) 62º57'52'' 117.b) 44º18'4'' 118.a) 4 118.b) -2; 7 119.a) 1, -1
119.b) -1, 2; 1
6
, 5
6
 120. b) 2x+y-2z-8 = 0
x+y-10 = 0
; 2x+y-2z-8 = 0
x-y-4z+14 = 0
 121. 2x+3y+z-24 = 0; x-2y-3z+16 = 0 122.a) 47º36'29'' 122.b) 60º30'14'' 123.a) -2; 0; 4 123.b)
-1; 1 124. 
x = 5 -
y = 4+2
z = 5+2
; 
x = 5+2
y = 4+2
z = 5 -
 125. 
x = 4
y = 4 -
z = 4+
; 
x = 4 -
y = 4
z = 4+
 126. x+4y+z-24 = 0; x-z = 0 127.a) (3,2,2); (4,6,5) 127.b) (2,4,6); (6,4,2) 128. 
x = 3 -
y = 5+2
z = 2+3
;
x = 3 +
y = 5+2
z = 2 +
 129. Plano: x+3y+z-20 = 0 130. recta: x-4y-z+16 = 0
x-y+2z-8 = 0
 131. (4,3,3) 132.a) 3 2 132.b) 2 6 133.a) 0; 4 133.b) 2; 19 134. 
x = 5+2
y = 4 -4
z = 10+5
;
x = 5+2
y = 4 -4
z = 10 -5
 135. 
x = 2+2
y = 2+2
z = 3
; 
x = 2+44
y = 2 -24
z = 49
 136. 
x = 6+2
y = 3 -2
z = 7+3
; 
x = 6 +5
y = 3+12
z = 7+16
 137.a)(3,4,5); 41
8
,49
8
,3
4
 137.b) (4,3,4); 1,0,5
2
 138.a) 21 138.b) 7 139.a) 4; -2
3
139.b) -2; -31
4
 140. 3x-2y-6z+59 = 0; 2x-3y-6z+31 = 0 141. 2x+2y+z-10 = 0; 2x+2y+z-16 = 0 142. (2,6,2); (6,2,6) 143. x+2y-z-8 = 0; 3x+4y+11z-72 = 0 144. Dos
rectas: x-4y-6z+32 = 0
x+y-2z = 0
; x-4y-6z+32 = 0
9x-y+4z-48 = 0
 145.a) (5,1,5); (19,-13,19) 145.b) (5,4,6); 59
3
,-10
3
,62
3
 146. (6,2,6); (42,-34,60) 147. (7,3,5); (1,5,5) 148.a) 3
148.b) 74
3
 149. -11
2
; 3 150. -51
13
, 2; 5, 2 151. 
x = 4
y = 2+
z = 7+
 ; 
x = 4
y = 6+
z = 3+
 152. 
x = 5 +
y = 4+3
z = 3 -
 ; 
x = 1 +
y = 3+3
z = 7 -
 153. 
x = 3 +
y = 3 -
z = 3+2
 154. 
x = 5+2
y = 4 -
z = 3 -
 155. 
x = 5+2
y = 3 -
z = 4 +
 156.a)
2 3 156.b) 2 2 157. -23; -9 158. 3x+6y-2z-25 = 0; 3x+6y-2z-39 = 0 159. 2x+2y+12z-65 = 0 160. x-2y+6z+16 = 0; x-2y+6z-16 = 0 161.a) 2 2 161.b) 21
3
162.a) -8, 3; 6, 3 162.b) -8, 3; 8, 3 163. 4x+11y+5z-81 = 0
x-4y+8z+9 = 0
 ; 4x+11y+5z-81 = 0
x-4y+8z-27 = 0
 164. 16x+7y-5z-70 = 0 165. x+6y-2z-56 = 0; x+6y-2z-24 = 0 166.a) 2 6
166.b) 3 2 167. 1; 10 168. 
x = 4+3
y = 4 -2
z = 4+2
 ; (x,y,z) = 46
7
,64
7
,10
7
+(3,-2,2) 169. 
x = 3 +
y = 3 +
z = 4-2
 170. 
x = 7 +
y = 4+3
z = 3 +
 ; (x,y,z) = 139
25
,64
25
,219
25
+(1,3,1) 171.a) (5,4,5)
171.b) (5,3,4) 172. (3,5,1) 173.a) 
x = 2-2
y = 5 +
z = 4 +
 173.b) 
x = 4 -
y = 3 +
z = 5+2
 174. (3,5,3), (5,3,5) 175.a) (5,1,2) 175.b) (3,5,3) 176. (6,7,4) 177. (2,0,6) 178.a)
x = 3
y = 6 -
z = 5-4
 178.b) 
x = 5+
y = 3 -
z = -
 179. 2x+3y+5z-40 = 0 180. x-3y+4z-8 = 0; x+3y+2z-24 = 0 181. (6,0,0), (0,6,0), (0,0,8); 6 41; 48 182. 10
3
,4
3
,11
3
, 66; (3,2,3),
7 6
2
 183. (7,3,4); 7 19
2
 184. (4,5,7), (2,1,3); 3 29 185. (7,5,0), (5,7,8); 18 186. (4,3,4); (2,5,6 187. (3,4,5), (2,6,3); (3,4,5), (4,2,7) 188. 11 189. 24 3 190.
(5,6,6), (3,8,5), (1,4,1); (5,6,6), (7,4,7), (5,0,3) 191. (2,6,0), (0,5,2); (8,6,6), (6,5,8)
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