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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Asturias
1. [2014] [EXT-A] Sea la función f(x) = 
ex-1
x
si x  0
k si x = 0
a) Determine razonadamente el valor del parámetro k para que la función sea continua para todos los números reales.
b) Estudie si esta función es derivable cuando x = 0, y en caso afirmativo halle f'(0).
2. [2014] [EXT-B] Considere la función f(x) = ax + 3 + b
x2
.
a) Determine el valor de los números reales a y b para que en el punto de abscisa x = 1 su gráfica admita como tangente la recta
y = 3x.
b) Halle las asíntotas de la curva cuando a = 1 y b = -1.
3. [2014] [JUN-A] Dada la función f:    definida por f(x) = x2e-x2
a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b) Halle, si existen, los máximos y mínimos de la función.
c) Dibuje aproximadamente su gráfica.
4. [2014] [JUN-B] Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en su finca. Sabe que si planta 24 árboles la producción media
de cada uno de ellos será de 600 frutos. Estima que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en
15 frutos.
a) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
b) ¿Cuál es esa producción?
5. [2013] [EXT-A] Calcule los siguientes límtes:
a) lim
x0
 1+x
2 - 1
1 - cos x
b) lim
x0
 (1-cos x)cotg x.
6. [2013] [EXT-B] El coste diario de una máquina que muele trigo para hacer harina depende de las toneladas molidas y viene dado
por la función f(x) = x3+2x2-15x+93 donde x es el número de toneladas molidas.
a) Obtenga la producción diaria óptima para minimizar los costes.
b) ¿Cuál es el coste mínimo diario?
7. [2013] [JUN-A] Considere la curva y = 1
3
x3 - 4x2 - 2
3
x - 4.
a) Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta 0 = 2x+3y-4.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1.
8. [2012] [EXT-A] Calcule lim
x1
1
x-1
 - 1
ln x
. (Nota: ln x denota el logaritmo neperiano de x).
9. [2012] [EXT-B] Sea la función f: definida por f(x) = 
4 si x = 0
m ex-1
x
si x  0
 , donde m.
a) Calcule m para que la función sea continua en x = 0.
b) Para el valor de m calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función f es derivable en x = 0.
10. [2012] [JUN-A] Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio 3.
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11. [2012] [JUN-B] Obtenga una función polinómica de tercer grado y = ax3+bx2+cx+d tal que tenga un mínimo en el punto (1,1) y un
punto de inflexión en el punto (0,3).
12. [2011] [EXT-A] Sabiendo que el lim
x0
3x-m·senx
x2
 es finito, calcule el valor de m y halle el límite.
13. [2011] [EXT-B] Sea f: la función definida por f(x) = x
3-x2 si x  1
ax+b si x > 1
a) Calcule los valores de a y b para que la función sea derivable en todos los números reales.
b) Para esos valores de a y b halle los extremos de la función y dibuje su gráfica.
14. [2011] [JUN-A] Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm2 de área. Sabiendo que los márgenes superior
e inferior son de 4 cm cada uno y los laterales de 2 cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa sea
máxima.
15. [2011] [JUN-B] Calcule:
1. lim
x0
9+x- 9-x
9x
2. lim
x0-
1
x2
tan(x)
 (Nota: tan = tangente)
16. [2010] [EXT-A] Sabiendo que f(x) = 
4 si x  0
4-x2 si x > 0
a) Estudie su continuidad en el punto x = 0.
b) Usando la definición de derivada calcule, si existe, la derivada de la función f en x = 0.
c) Dibuje la gráfica de la función.
17. [2010] [EXT-B] Calcule lim
x
2
(1+2cosx)
1
cosx
18. [2010] [JUN-A] Se considera la función f(x) = ax+b si x < 0
5senx-2cosx si x  0
a) Determine el valor de b para que la función sea continua en el punto x= 0.
b) Calcule el valor de y para que la función sea derivable en el punto x = 0.
19. [2010] [JUN-B] Se considera la función f(x) = x
2
1+x
. 
a) Determine las asíntotas de la función anterior. 
b) Halle, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
c) Dibuje aproximadamente su gráfica.
20. [2009] [EXT] Se considera la función f(x) = x-1
x2
.
a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas.
b) Estudie los intervalos de crecimiento, decrecimiento, cancavidad y convexidad.
c) Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
d) Esboce la gráfica de la función.
21. [2009] [JUN] Se desea construir un prisma recta de base cuadrada cuya área total sea 96 m2. Determine las dimensiones del
lado de la base y de la altura para que el volumen sea máximo.
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22. [2009] [JUN] Sea f(x) = x
2-5x+7
x-3
.
a) Determine el dominio de definición, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Halle las asíntotas y represente aproximádamente la gráfica de la función.
23. [2008] [EXT] Calcule los límites: a) lim
x0
x4+1 - 1
x4
b) lim
x0
1
x
 - 1
ex-1
24. [2008] [JUN] Se dispone de 200 m de tela metálica y se desea vallar un recinto formado por un
rectángulo y dos semicírculos, como indica la figura. Determine las dimensiones de x e y paraque
el área encerrada sea máxima.
25. [2008] [JUN] Se considera la función f(x) = 
1
x-1
si x < 2 
x2-3 si x  2
a) Determine su dominio de definición, estudie su continuidad y halle las asíntotas.
b) Esboce la gráfica de la función.
c) Halle los puntos donde la recta tangente es paralela a la recta x+4y = 0.
26. [2007] [EXT] Dada la función f(x) = ax3+bx2+cx+d determina las constantes a, b, c, d de manera que simultáneamente:
 Su gráfica pase por el origen de coordenadas y por el punto (2,2).
 La función posea un punto de inflexión en x = 0.
 La función posea un mínimo en x = 1.
27. [2007] [EXT] Dada la función y = x4e-x,
a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b) Halla, si existen, los máximos, mínimos y puntos de inflexión.
c) Dibuja aproximadamente su gráfica.
28. [2007] [JUN] Un río describe la curva y = 1
4
x2 con x [-3,3]. En el punto A 4,0 hay un pueblo.
a) Expresa la función distancia entre un punto cualquiera del río y el pueblo en función de la abscisa x.
b) ¿Cuáles son los puntos de este tramo del río que están más alejados y más cercanos al pueblo?
(Sugerencia: Estudia los máximos y mínimos del cuadrado de la función hallada en el apartado anterior).
c) ¿Hay algún punto del río que esté a una distancia menor que 2 del pueblo?
29. [2006] [EXT] Un campo tiene forma de trapecio rectángulo. Las longitudes de las bases son 24 my
40 m y la de su altura 40 m. Se divide en dos campos rectangulares C1 y C2. Situando el campoenel
origen de coordenadas como se muestra en la figura, calcula:
a) La ecuación de la recta r que contiene al lado inclinado del trapecio.
b) El área de los campos en función de la anchura x de C1.
c) Se quiere sembrar maíz en el campo C1 y trigo en C2. El beneficio del maíz es de 1,2 euros por
m2 y el del trigo 1 euro. ¿Cuáles son las dimensiones de los campos que hacen el beneficio máximo?
30. [2006] [EXT] Calcula:
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a) lim
x0
ex-x-cosx
sen2x
b) lim
x+
1+2
x
x
31. [2006] [JUN] El triángulo isósceles, descrito en la figura, mide 10 cm de base y 20 cm de altura.
a) ¿Cuál es la ecuación de la recta r señalada en la figura que contiene el lado del triángulo?
b) Dado el rectángulo inscrito cuya base mide a, calcula las coordenadas de los puntos B y C en función
de a.
c) Halla el valor de a que hace máximo el área del rectángulo.
32. [2006] [JUN] Sea la función f(x) = 
x2+6x+8 , x  2
2x+4 , -2 < x  0
a cosx , x > 0
a) Estudia su continuidad en toda la recta real en función de a.
b) Estudia su derivabilidad en toda la recta real en función de a.
c) Para a = 4, hazun dibujo aproximado de su gráfica.
33. [2005] [EXT] Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región
rectangular. ¿Cuáles son los valores de x e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del
romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máxima?
34. [2005] [EXT] Dibuja aproximadamente la gráfica de la función f(x) = x
x2-4
 calculando su dominio de definición, sus asíntotas, sus
intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de
inflexión.
35. [2005] [JUN] Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar unaregión
como la de la figura. ¿Cuáles son los valores de x e y que hacen que el área encerradasea
máxima?
36. [2004] [EXT] Con 60 cm de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados midenx
e y. ¿Qué valores de x e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima?
37. [2004] [JUN] Dadas las funciones f(x) = (x+1)2, g(x) = (x-1)2 y h(x) = sen x, calcula los siguientes límites:
a) lim
x0
f(x)-1
h(x)
b) lim
x0
 f(x)-1
g(x)-1
c) lim
x0
f(x)+g(x)-2
[h(x)]2
38. [2004] [JUN] Dibuja aproximadamente la gráfica de la función f(x) = 1- 1
x+1
 calculando su dominio de definición, sus asíntotas,
sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de
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inflexión.
39. [2003] [JUN] Sea la función y = 2 2
x
 -1.
a) Indicar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.
b) Realizar una representación gráfica aproximada de la misma.
 Soluciones
8. -1
2
 9. a) 4 b) f'(0) = 2 10. 3 2
2
x3 2
2
 11. y = x3-3x+3 12. 3; 0 13. a) 1, -1 b) 
1 2-1
-1
X
Y
 14. 17'32x34'64 15.1. 1
27
 15.2. 1 16. a) si b) 0 c)
1 2-1-3
1
3
X
Y
 17. e2 18. -2, 5 19. a) x = -1; y = x-1 b) min: 0; max: -2 c) 
1 2 3-1-3
1
-2
-4
X
Y
 20. a) - {0}; x = 0, y = 0 b) crec: (0,2); conv: (3,+) c) max: 2; p.i: 3
d) 
1 2 3-1-2
1
2
-2
X
Y
 21. 4, 4 22. a) D: - {3}; crec: (-,2)(4,+); max: 2; min: 4 b) 
1 2 3 4 5 6
1
3
X
Y
 23. a) 1
2
 b) 1
2
 24. 28 m, 28 m. 25. a) D: -{1}, cont: -{1} As.
x = 1; y = 0 b) 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 c) -1 26. f(x) = x3-3x 27. a) Creciente en 0,4 b) Máximo: 4, mínimo: 0, inflexión: 2, 6 c) 28. a) D(x) =
x4-16x2+256
4
 b) Más alejado: 0,0 . Más cercanos: -2 2,2 , 2 2,2 c) no 29. a) y = -5
2
x+100 b) 200x-5x
2
2
 ; 60x-1440 c) 30mx25m; 24mx15m 30. a) 1 b) e2
31. a) y = 4x b) B 10-a
2
,0 ; C 10-a
2
,20-2a c) 5 32. a) a=4, ; a4: -{0} b) -{0} c) 
1 3 5 7 9-1-3-5
1
3
-3
X
Y
 33. x=y=25 34. 
1 2 3-1-2-3
1
2
-2
X
Y
35. 23,43 ; 14,86 36. 10 cm y 10 cm 37. a) 2 b) -1 c) 2 38. 
1 2 3-1-3
1
3
-2
X
Y
 39. a) Dom: (0,2]; decreciente en ; p.i: 1; a.v: x = 0 b) 
1 2 3 4-1
1
3
X
Y
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