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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN Aragón
1. [2014] [EXT-A] Considere la función: f(x) = x
2
2x-6
a) Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función.
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función.
2. [2014] [EXT-B] a) Considere la función: f(x) = 
x2 si x < 2
2x+a si 2  x  4
-x2+3x+b si x > 4
Determine los valores de a y b para que la función sea continua.
b) Supongamos ahora que a = 0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de f(x) en x = 2.
3. [2014] [JUN-A] Considere la función: f(x) = x
2+3
x2+2
.
a) Determine las asíntotas, horizontales, verticales y oblicuas, que tenga la función f(x).
b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) ¿Tiene la función algún máximo o mínimo relativo?
4. [2014] [JUN-B] a) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos y puntos de inflexión de la función: g(x) = e
x
x+1
.
b) Determine: lim
x+
3x2+2x+2- 3x2+x
5. [2013] [EXT-A] Sea la función f(x) = (x+2)
2
x2+4x+3
.
a) Determine su dominio de definición.
b) Encuentre las asíntotas que tenga esa función.
c) Considere ahora la función g(x) = (x+2)
2
x+3
. Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si
existen.
6. [2013] [JUN-A] Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que
recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un
cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste.
El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase
figura).
El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metrro de cable
aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué
parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea
mínimo?
7. [2012] [EXT-A] Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide 50 cm.
En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado x con el fin de poder doblar la cartulina y
formar una caja, sin tapa.
¿Cuál debe ser el lado del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?
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8. [2012] [EXT-B] Sea la función f(x) = 1
x2-x-6
.
a) Determine el dominio de f(x).
b) Estudie si la función f(x) es continua. Si no lo es, determine los puntos de discontinuidad.
c) Determine los posibles máximos y mínimos, así como las asíntotas de f(x).
9. [2012] [JUN-A] a) Descomponer el número 12 en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado
del segundo sea máximo.
b) Hallar el valor de k para que lim
x0
ex-e-x+kx
x-sen(x)
 = 2.
c) Sea f : una función real de variable real, continua y derivable en la recta real. Supongamos que f (0)  0 y
f(x+y) = f(x)·f(y), para todo número real x,y.
Demostrar que f(0) = 1; f (x)  0; f(x) > 0 y f'(x) = f'(0)·f(x) para todo número real x.
10. [2012] [JUN-B] Sea f la función de variable real definida mediante la expresión f(x) = 2x
x2+1
.
a) Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes, y asíntotas de la función f.
b) Calcule, si existen, los extremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
c) Calcule, si existen, los puntos de inflexión de f.
d) Dibuje la gráfica de f.
11. [2011] [EXT-A] En un campo hay plantados 50 manzanos. En este momento cada manzano produce 800 manzanas. Está estudiado
que por cada manzano que se añade al campo, los manzanos producen 10 manzanas menos cada uno. Seterminar el número de
manzanos que se deben añadir para maximizar la producción de manzanas de dicho campo.
12. [2011] [EXT-B] Sea la función f(x) = x
2
4-x
. Determinar:
a) Su dominio de definición.
b) Sus asíntotas.
c) Máximos y mínimos.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
13. [2011] [JUN-B] Sea la función f(x) = x
3
(x-1)2
a) Calcular su dominio.
b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Analizar sus puntos de inflexión.
14. [2010] [EXT-A] Sea la función f(x) = xlnx+(1-x)ln(1-x) con x(0,1).
a) Calcular sus extremos relativos.
b) Estudiar su crecimiento y decrecimiento y razonar si posee algún punto de inflexión.
15. [2010] [EXT-B] El número de socios de una ONG viene dado por la función n(x) = 2x3-15x2+24x+26, donde x indica el número de
años desde su fundación.
a) Calcular el número de socios iniciales en el momento fundacional y en el quinto año.
b) ¿En qué año ha habido el menor número de socios? ¿Cuántos fueron?
c) El cuarto año se produjo un cambio en la junta directiva, ¿influyó en el ascenso o descenso del
número de socios?
16. [2010] [JUN-A] Encontrar el polinomio de grado dos p(x) = ax2+bx+c sabiendo que satisface: en x = 0 el polinomio vale 2, su
primera derivada vale 4 para x = 1 y su segunda derivada vale 2 en x = 0. Estudiar si el polinomio obtenido es una función par.
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¿Tiene en x = 0 un punto de inflexión?
17. [2010] [JUN-B] Sea f(x) = 2x
2-x
x2-x3
.
a) Calcular el dominio f(x).
b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x).
c) Analizar las asíntotas de f(x) y calcular las que existan.
18. [2009] [EXT] Sean f(x) = cos(3x-1) y h(x) = sen2(x).
a) Calcular g(x) = (h O f)(x).
b) Comprobar si g(x) es una función par.
c) Obtener g'(x) y estudiar si es cierto que g' 1
3
 = 0.
19. [2009] [EXT] a) Sea f(x) = 
x2+1 1/x , x < 0
x2+2x+a
x+1
, x  0
. Estudiar para qué valores del parámetro a esta función es continua en x = 0.
b) Entre los números cuya suma es 36, encontrar aquellos números positivos cuya suma de cuadrados sea mínima.
20. [2009] [JUN] Sea f(x) = 2x+sen(2x).
a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo.
b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y la existencia de extremos relativos.
c) ¿Son los puntos x = 
2
 +k, con k, puntos de inflexión de f(x)?
21. [2009] [JUN] a) Queremos vallar un campo rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 5 euros/my
la de los otros tres lados, 0.625 euros/m. Hallar el área del campo de mayor superficie que podemos cercar con 1800 euros.
b) Calcular para qué valores de a y b la función f(x) = 
x+1 , x  -1
a+x2 , -1 < x < 1
(b-x)2 , x  1
 es continua.
22. [2008] [EXT] Sea f(x) = 2x
x+1
.
a) Estudiar su dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas.
b) Calcular lim
x+
x2 f(x+1)-f(x) .
23. [2008] [EXT] Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la
estructura de la empresa, sólo puede optar por alarmas de dos tipos, A o B; además, afirma que la seguridad de la empresa se
puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de
alarmas instaladas del tipo B. Estudiar cuántas alarmas de cada tipo deben instalar en la empresa para maximizar la seguridad.
24. [2008] [JUN] Encontrar el valor de k para el cual la función f(x) = 
6-x/2 si x < 2
x2+kx si x  2
 es continua. Estudiar si su derivada es una
función continua.
25. [2007] [EXT-B] Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que:
i) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero.
ii) Se necesitan exactamente 1664 metros de valla para vallar los tres campos.
iii) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible.
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26. [2007] [EXT-B] Calcular lim
x0
sen(4x)sen(5x)
x-x2 2
.
27. [2007] [JUN-B] Sea la función f: definida por f(x) = (x+2)
2
x+1
.
a) Calcular su dominio.
b) Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Analizar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas y determinar las que existan.28. [2006] [EXT-A] Comprobar si f(x) = e
x+senx
ex
 tiene un máximo relativo en x = 
4
.
29. [2006] [EXT-B] Sea f: una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un mínimo relativo en 0,0 y un
máximo relativo en 2,2 . Calcular la expresión de dicha función.
30. [2006] [JUN-A] Calcular los valores de a y b para que la función f(x) = bx
x-a
 tenga como asíntota vertical la recta x = 2 y como
asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = 2 y b = 3 la función f(x) tiene algún mínimo relativo.
31. [2006] [JUN-B] Descomponer el número 8 en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando más el
cuadrado del segundo sea mínima.
32. [2005] [EXT-A] Sea la función f(x) = exsenx. Determinar sus extremos y sus puntos de inflexión en el intervalo [-,].
33. [2005] [JUN-A] Sea la función f(x) = 4x+sen2x
sen3x
. Determinar el dominio de f e indicar si f tiene límite finito en algún punto que no
sea del dominio.
34. [2005] [JUN-A] Calcular los extremos y los puntos de inflexión de la función f(x) = exsenx en el intervalo [0,2].
35. [2005] [JUN-B] Queremos construir un marco rectangular que encierre una superficie de un metro cuadrado. Sabemos que el
coste de cada centímetro en los lados horizontales es de 2 euros, mientras que en los lados verticales es de 8 euros. Determinar
las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.
36. [2004] [EXT-A] Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los
sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.
37. [2004] [EXT-B] Sea el polinomio x3+bx2+cx+d.
a) Determinar los coeficientes b, c y d sabiendo que tiene extremos en x = -1 y en x = 1 y que pasa por el origen de coordenadas.
b) Estudiar la naturaleza de ambos extremos.
38. [2004] [JUN-A] Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos distintos materiales. Los dos materiales tienen precios
respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el
coste total sea mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha de ser un metro?
39. [2004] [JUN-B] Sea la función f(x) = exsenx. Determinar:
(a) El máximo de la función en el intervalo (0,).
(b) Ecuación de las tangentes a la gráfica en los extremos del intervalo anterior.
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40. [2003] [EXT-A] Determinar el dominio, ceros y extremos de la función f(x) = xlnx.
41. [2003] [EXT-B] Sea la función f(x) = x·senx y sea T la recta tangente a su gráfica en x = . Determinar:
a) La ecuación de T.
b) El área encerrada entre T y los ejes coordenados.
42. [2003] [JUN-A] Determinar un polinomio de tercer grado sabiendo que pasa por los puntos (0,0) y (-1,1) y que los dos son
extremos y analizar la naturaleza de ambos extremos, es decir, si son máximos o mínimos.
43. [2003] [JUN-B] Sea la parábola f(x) = ax2+bx+c. Determinar sus coeficientes, sabiendo que:
a) Pasa por el origen de coordenadas tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y tiene un extremo en x = -0,5.
b) Determinar la naturaleza del extremo anterior.
 Soluciones
7. 8'33 cm 8. a) -{-2,3} b) -{-2,3} c) max: 1
2
 ; asint: x = -2; x = 3; y = 0 9. a) 4, 8 b) -2 10. a) ; sim. resp. el origen; (0,0), y = 0 b) crec: (-1,1), max: 1; min: -1 c)
0,  3 d) 
1 2 3-1-2
1
2
-2
X
Y
 11. 15 12. a) -{4} b) x = 4; y = -x-4 c) min: 0; max: 8 d) crec: (0,4)(4,8). 13. a) -{1} b) crec: (-,1)(3,+) c) 0 14. a) min:
1
2
,-ln2 b) crec: 1
2
,1 ; no 15. a) 26, 21 b) 4; 10 c) si 16. x2+2x+2; no 17. a) -{0,1} b) crec:  c) x = 0; x = 1; y = 0 18. a) sen2[cos(3x-1)] b) no c) si 19. a) 1
b) 18, 18 20. a) no b) crec: ; sin extremos c) si 21. a) 115200 m2 b) -1, 1 22. a) Definida y creciente en -{1}. As: x = -1; y = 2 b) 2 23. 3 de A y 6 de B 24. (a) 1
2
(b) discontinua en el 2. 25. 64, 192, 232 26. 20 27. a) -{1} b) Creciente en -,-2  0,+ c) Vertical: x=1 ; oblicua: y=x+3 28. si 29. f(x) = - 1
2
x3+3
2
x2 30.
a=2, b=3, no 31. 11
6
 y 37
6
 32. Max: 3
4
; min: - 
4
; p.i: 
2
 33. D: - 
3
k / kZ ; lim
x0
f(x) = 2 34. Max: 3
4
 ; min: 7
4
 : p.i: 
2
 y 3
2
 35. horiz: 2 m; vert: 0,5 m. 36. e
2
y e
2
. Suma:2-2ln2 37. a) 0, -3, 0 b) max. min. 38. 15 y 10 cm 39. (a) 3
4
 (b) y = x ; y = -ex+ex 40. Dom: (0,+). Cero: x=1. Min: 1
e
,-1
e
 41. a) y = -x+2 b) 
3
2
42. P(x) = 2x3+3x2; -1: max; 0: min. 43. a) f(x) = x2+x b) mínimo
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