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MasMates.com Colecciones de ejercicios Derivadas Selectividad CCNN Extremadura 1. [2014] [EXT-A] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = (x+1) 3 x2 . b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a). 2. [2014] [EXT-B] a) Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange. b) Aplicando el anterior teorema a la función f(x) = senx, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a < b se cumple la desigualdad senb - sena b-a. 3. [2014] [JUN-A] a) Enuncie la condición que se debe cumplir para que una recta x = a sea asíntota vertical de una función f(x). b) Calcule las asíntotas verticales y horizontales ( en - y en +) de la función f(x) = x 2+x-1 x2-x-2 . 4. [2013] [EXT-A] a) Defina a trozos la función f(x) = 2-x·|x| y represéntela gráficamente. b) Estudie la derivabilidad de f(x) en toda la recta real. c) Calcule la función derivada f'(x) para los valores de x que exista. 5. [2013] [EXT-B] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = x 3 (x-1)2 b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a). 6. [2013] [JUN-A] Estudie si la recta r de ecuación y = 4x-2 es tangente a la gráfica de la función f(x) = x3+x2-x+1 en alguno de sus puntos. 7. [2012] [EXT-A] a) Calcule el siguiente límite (ln denota el logsaritmo neperiano): lim x0+ x·lnx. b) Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función f(x) = x·lnx definida en el intervalo abierto (0,+). c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), represente de forma aproximada la gráfica de la función f(x) del apartado b). 8. [2012] [EXT-B] a) Estudie las asíntotas de la función f(x) = e-x2. b) Calcule los extremos relativos y los puntos de inflexión de f(x). c) Utilizando los datos obtenidos en los apartados a) y b), haga la representación gráfica aproximada de la función f(x). 9. [2012] [JUN-A] a) Determine el punto (x,y) de la parábola y = x2 en el que la suma x+y alcanza su mínimo valor. b) Explique por qué dicho mínimo es absoluto. 10. [2012] [JUN-B] Considere la función f(x) = |x| + |x-2|. a) Exprese f(x) como una función definida a trozos. b) Dibuje la gráfica de f(x). c) Escriba el intervalo abierto de la recta real formado por los puntos en los que f(x) es derivable y se anula su derivada. 11. [2011] [EXT-A] Determine los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = a·cos2x+bx3+x2 tenga un punto de inflexión en x = 0. 12. [2011] [EXT-B] Calcule el límite lim x0 ex-e-x+2x sen2x . Página 1 de 4 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Derivadas Selectividad CCNN Extremadura 13. [2011] [JUN-A] a) Enuncie el teorema de Rolle. b) Pruebe que cualquiera que sea la constante a, la función f(x) = x3-5x2+7x+a cumple las hipótesis de dicho teorema en el intervalo [1,3]. Calcule un punto del intervalo abierto (1,3) cuya existencia asegura el teorema de Rolle. 14. [2011] [JUN-B] a) Estudie las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = xe-x. b) Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, la gráfica de la función f(x). 15. [2010] [EXT-A] Diga, razonando la respuesta, qué valor debe tomar c para que sea continua la función f(x) = c si x = 0 ex-1-x x2 si x 0. 16. [2010] [EXT-B] Halle todos los puntos de la gráfica de la función f(x) = x3+x2+x+1 en los que su recta tangente sea paralela a la recta de ecuación 2x-y = 0. 17. [2010] [JUN-B] a) Escriba la "regla de la cadena" para la derivación de funciones compuestas. b) Calcule, y simplifique en lo posible, la derivada de la función f(x) = ln1-cosx 1+cosx , 0 < x < . 18. [2009] [EXT-A] a) Enuncie el teorema de Rolle. b) Aplique dicho teorema para probar que, cualquiera que sea el número real a, la ecuación x3-12x+a = 0 no puede tener dos soluciones distintas en el intervalo [-2,2]. 19. [2009] [EXT-B] a) Calcule el límite lim x0 ex-1 x . b) Diga, razonadamente, el valor que debe tomar c para que la siguiente función sea continua: f(x) = ex-1 x si x 0 c si x = 0 . 20. [2009] [JUN-A] a) Diga cuándo un punto x0,f x0 es de inflexión para una función f(x). b) Calcule los coeficientes a y b del polinomio p(x) = ax3-3x2+bx+1 para que su gráfica pase por el punto (1,1), teniendo aquí un punto de inflexión. c) Diga, razonadamente, si en el punto (1,1) la función p(x) es creciente o decreciente. 21. [2009] [JUN-B] Calcule los máximos y mínimos relativos de la función f(x) = x 2 +cosx en el intervalo 0 < x < 2. Tenga en cuenta que los ángulos se miden en radianes. 22. [2008] [EXT-A] a) Calcula el siguiente límite: lim x0 ln x2+1 x . b) Indica, razonadamente, el valor que debe tomar a para que la siguiente función sea continua: f(x) = a si x = 0 ln x2+1 x si x 0 . Nota: ln denota logaritmo neperiano. 23. [2008] [EXT-B] Halla los puntos de la curva de ecuación y = x3-2x2+1 donde la recta tangente es paralela a la recta y+x-2 = 0. 24. [2008] [JUN-B] Calcula el siguiente límite: lim x0 ex-1 2 ex2-1 Página 2 de 4 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Derivadas Selectividad CCNN Extremadura 25. [2007] [EXT-A] a) Enuncia el teorema de Rolle. b) Prueba que la función f(x) = x3+x2-x-1 satisface sus hipótesis en el intervalo -1,1 y calcula un punto del intervalo abierto -1,1 cuya existencia asegura el teorema de Rolle. 26. [2007] [EXT-B] Para la función f(x) = x2e-x: a) Comprueba que la recta y = 0 es asíntota horizontal en +. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Con los datos anteriores, haz una representación aproximada de la gráfica de la función. 27. [2007] [JUN-A] a) Enuncia la regla de la cadena para derivar funciones compuestas. b) Dada la función h(x) = esen f(x) , calcula el valor de su derivada en x = 0, sabiendo que f(0) = 0 y f'(0) = 1. 28. [2007] [JUN-B] Determina los puntos de la parábola y = x2 que están a mínima distancia del punto P= 0,1 . 29. [2006] [EXT-A] Dada la función f(x) = senx+sen(x+1) cosx-cos(x+1) , en el intervalo 0 < x , calcula su derivada, simplificándola en lo posible. ¿Es constante esta función f(x)? 30. [2006] [EXT-B] Calcula las asíntotas y determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = 1+x2 -1. A partir de los resultados obtenidos, dibuja la gráfica de la función f(x). 31. [2006] [JUN-A] Calcula lim x0 1+x-ex sen2x 32. [2006] [JUN-B] Defien el concepto de máximo relativo de una función f(x) y enuncia su relación con las derivadas suxcesivas de f(x). 33. [2005] [EXT-A] Enunciar el teorema del Valor medio del cálculo diferencial. Usarlo para demostrar que para cualesquiera números reales x < y se verifica que cosy - cosx y-x. 34. [2005] [EXT-B] Hallar la derivada en el punto x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = sen x. 35. [2005] [JUN-A] Hallar la derivada en x = 0 de la función f f(x) , donde f(x) = (1+x)-1. 36. [2005] [JUN-B] Representar gráficamente la función f(x) = x-2senx en el intervalo - < x < , determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). 37. [2004] [EXT-A] Se desea construir un paralelepípedo rectangular de 9 litros de volumen y tal que un lado de la base sea doble que el otro. Determinar las longitudes de sus lados para que el área total de sus 6 caras sea mínima. 38. [2004] [EXT-B] Determinar los puntos de la curva plana y3 = 2x en que la recta tangente es perpendicular a la recta y+6x = 0. 39. [2004] [JUN-A] Determinar el mayor área que puede encerrar un triángulo rectángulo cuyo lado mayor mida 1 metro. Página 3 de 4 17 de julio de 2015 MasMates.com Colecciones de ejercicios Derivadas Selectividad CCNN Extremadura 40. [2004] [JUN-B] Si la gráfica de la función f(x) es: 1 2-1-2 1 -1 X Y Representar aproximadamente la gráfica de la derivada f'(x). 41. [2003] [EXT-A] Con un alambre de 2 metros se deseaformar un cuadrado y un círculo. Determinar el lado del cuadrado y el radio del círculo para que la suma de sus áreas sea mínima. 42. [2003] [EXT-B] Determinar en qué puntos es negativa la derivada de la función f(x) = exx-2. 43. [2003] [JUN-A] Representar gráficamente la función f(x) = ex-ex, determinando sus extremos (máximos y mínimos relativos). ¿Existe algún valor de x en que f(x) sea negativo? 44. [2003] [JUN-B] Determinar una recta tangente a la parábola y = 2-x2 que sea paralela a la recta de ecuación 2x+y = 4. Soluciones 7. a) 0 b) min: 1 e ; positiva en (1,+) c) 1 2 3 1 2 X Y 8. a) y = 0 b) max: 0; p.i.: - 2 2 , 2 2 c) 1 2-1 1 -1 X Y 9. -1 2 , 1 4 10. a) -2x+2 si x < 0 2 si 0 x < 2 2x-2 si x 2 b) 1 2 3-1 1 2 3 X Y c) (0,2) 11. a=1, b0. 12. 0 13. b) 7 3 14. a) asint: y = 0; max: 1; p.i: 2 b) 1 2 3 4-1 1 -2 X Y 15. 1 2 16. (-1,0), 1 3 ,40 27 17. b) 2 senx 19. a) 1 b) 1 20. b) 1, 2 c) dec. 21. max: 6 ; min: 5 6 22. a) 0 b) 0 23. (1,0), 1 3 ,22 27 24. 1 25. b) 1 3 26. b) Creciente en 0,2 c) 27. h'(0)=1 28. 2 2 , 1 2 , - 2 2 , 1 2 29. f'(x) = 0. Es constante 30. 1 2-1 1 -2 X Y 31. -1 2 34. 1 35. 1 4 36. 1 2 3-1-3 1 -2 X Y 37. 3 3, 3 3 2 , 2 3 38. (-4,-2), (4,2) 39. 1 4 40. 1 2-1 X Y 41. r = 1 +4 ; l = 2 +4 42. (0,2) 43. 1 2 3-1 1 2 X Y 44. y = -2x+3 Página 4 de 4 17 de julio de 2015
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