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Libro de Teoria (Catedra)
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Contenidos
Desigualdades
Inecuaciones
Valor Absoluto
Hay muchos casos de aplicación de desigualdades en la vida cotidiana, eso incluye áreas de la
tecnología, la medicina, la economía y otras.
En la tecnología, existen umbrales a partir de los cuales las cosas pueden prenderse, apagarse o
hacer algo. Por ejemplo la diferencia de potencial en los diodos de silicio obedece a la
desigualdad si VD < 0.7V no conduce, si VD > 0.7 conduce. Si fuera de germanio seria con 0.3V.
En la naturaleza todo obedece las leyes de mínimo esfuerzo y energía, como las leyes Clausius, los
procesos espontáneos, la entropía, entre otras; cuyas condiciones se expresan con desigualdades.
NÚMEROS REALES
UNIDAD
TEMÁTICA
1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 2 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURALES
N
1, 2, 3, …
ENTEROS Z
RACIONALES
Q
REALES
R
Cero 0
Negativos …-3, -2, -1
Irracionales
... ; ; 32
FRACCIONARIOS
5
3
DECIMALES EXACTOS 6,25
DECIMALES PERIÓDICOS 10,33…
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 3 -
1.- DESIGUALDADES
1.1 Definición
Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los números reales, entonces pueden
ser comparados.
a < b ; a ≤ b ; a > b ; a ≥ b
1.2.- Propiedades de ordenamiento
1.2.1 Definición
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es menor que b si y solo si
(b-a) es un número real positivo.
Simbólicamente: R a) - (b b a : R b a,
Ejemplo:
R 4 3 -7 diferencia la ue porq7 3
1.2.2 Definición
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es mayor que b si y solo si
(a - b) es un número real positivo.
Simbólicamente: R b) - (a b a : R b a,
1.2.3 Definición
El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado porque existe una relación entre sus
elementos tal que:
Para todo a, b, c R, se cumple:
Transit iva Propiedad Si2)
: verdadera es iones proposiclas de una soloy Una
c a entonces c b y b a
b a ó b a ; b a
)1
1.3 Propiedades de la relación mayor
Sean a, b, c pertenecientes a R:
b a ó b a que significa b a Si )1 Si x ≥ 2 quiere decir que x puede tomar por
ejemplo los valores 2, 3, 4,5, …
b a ó b a que significa b a Si )2
Si x ≤ 2 quiere decir que x puede tomar por
ejemplo los valores … -1, 0, 1 , 2
c b c a ent onces b a Si3)
2 1
4 - ... 4 - ent onces 4 - cy 2 5Si
2.5
c b c a entonces 0 cy b a Si4 ..)
6
2.5
15
3. .... 3. ent onces 3 cy 2 5Si
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 4 -
c b c a entonces 0 cy b a Si ..)5
6
2.5
- 15 -
(-3) . .... (-3) . ent onces 3 - cy 2 5Si
6)
0 b . a si
0 b
0 a
o
0 b
0 a
7) 0 b . a si
0 b
0 a
o
0 b
0 a
1.2 INECUACIONES
1.2.1 Definición Inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas.
7 2x x 23 ; 7 2x
x
x
23
; 522 2x xx
1.2.2 Generalidades
A diferencia de las ecuaciones, que pueden verificarse sólo para algunos valores de la
variable, las inecuaciones pueden tener infinitas soluciones.
Resolver una inecuación es determinar todos los valores de la variable que la verifican.
Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más
simples hasta que el resultado final sea de alguno de los siguientes tipos
K x ; K x ; K x ; K x
La solución de una inecuación se expresa en forma de conjunto o unión de conjuntos.
El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en
cuenta las propiedades de las desigualdades.
1.2.3 Clasificación de las Inecuaciones
En el desarrollo de este curso se trabajará con las siguientes inecuaciones:
ALGEBRAICA
RACIONAL
Lineales o de 1°
grado
7 2x x 23
ENTERAS
Cuadráticas o de
2° grado
522 2x xx
FRACCIONARIAS
7 2x
x
x
23
CONTINUAS
4
23
2x7 2x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 5 -
1.3 VALOR ABSOLUTO
1.3.1 Definición
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por x , se define como:
0 x si x-
0 x si x
x
Cualquier número x tiene su representación en la recta real.
1.3.2 Interpretación gráfica
El Valor Absoluto de un número es no negativo ya que gráficamente representa la distancia desde
ese número al origen.
Así
3 representa la distancia desde 3 al origen
- 3 representa la distancia desde -3 al origen
3 x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 3 unidades del
origen
4 3-x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 4 unidades del
número 3
3
3
3
3
4 4
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 6 -
1.3.3 Propiedades
El Valor Absoluto goza de las siguientes propiedades:
y x y x
0 y siendo
y
x
y
x
7)
y . x y . x 6)
a x o a - x si 0 a con a x 5)
a x a -si 0 a con a x 4)
x x 3)
x todo arap 0 x 2)
0 x si 0 x
2
)8
)1
*********************************************************
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 17
FUNCIONES REALES
UNIDAD
TEMÁTICA
2
Contenidos
Conceptos Afines
Funciones Crecientes y decrecientes
Función biunívoca
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes y Especiales
Función Inversa
Algebra de funciones
Función Compuesta
Anexo
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 18
MAPA CONCEPTUAL
es una Se representa
descripción de
como como como
En la que para cada
se la conoce
como
que puede tener puede ser
mediante
es una
se la
llama
pertenece a un
se asocia
un
es una
de un
y = f(x)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 19
CONTENIDOS TEÓRICOS
2.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f , de A en B denotada por
𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una correspondencia que cumple con las siguientes condiciones:Condición de existencia: Todos los elementos de A están relacionados con
elementos de B, a A b B / (a,b) f
Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un único
elemento de B, (a , b1 ) f ^ (a , b2 ) f b1 = b2
Si a las componentes del conjunto A las designamos con la letra x y a las componentes del
conjunto B las designamos con la letra y, tendremos:
De esta forma todo punto P f se denota: )f(x x, P
En nuestro estudio consideraremos funciones en las que las componentes de los pares ordenados, son
números reales. Este tipo de funciones se llaman Funciones Reales de variable real o simplemente Funciones
Reales.
f
xi
y=f(xi)
A
B
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 20
2.2.- CONCEPTOS BÁSICOS
Dominio
Es el conjunto de todos los valores reales de la variable independiente, generalmente x, para los
cuáles está definida la función*.
𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑥/∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
*Recordar las “Reglas Sagradas” del Cálculo
Una función esté definida si se cumplen las siguientes reglas:
- La división por cero no está permitida
0
2
- El radicando de una raíz de índice par debe ser siempre positivo 0
- El argumento de un logaritmo debe ser siempre mayor que cero 0 log
Ejemplos:
1).- 52x3xf(x) 4
La función dada no tiene denominador que pueda hacerse 0. Cumple la primera ley.
La función dada no contiene raíces, por lo tanto cumple la segunda ley.
La función dada no contiene logaritmos, por lo tanto cumple la tercera ley.
Entonces la función dada no tiene problemas en su dominio. Para cualquier valor dado a la variable
independiente x, la función y está definida. Esto se expresa:
domf ; domf ,
2).- Determine analíticamente el dominio de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
a) Como es una función de índice par, el radicando debe ser positivo (2° regla): 2x − 4 ≥ 0
2x ≥ 4 ; x ≥ 2 entonces 𝐝𝐨𝐦𝐟 = [𝟐; ∞)
Codominio/rango
Es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función
Son los valores de la variable dependiente designadas generalmente con y ó f(x).
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = {𝑦/∀𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
Ejemplo:
determine analíticamente la imagen de la siguiente función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
Desarrollo 𝑦 = √2𝑥 − 4
(𝑦)2 = (√2𝑥 − 4)
2
; 𝑦2 = 2𝑥 − 4 → 𝑥 =
𝑦2 + 4
2
Lo que nos indica que la imagen de la función 42)( xxf es: 𝒓𝒈𝒐𝒇 = ℝ+ = [𝟎, ∞)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 21
Gráfica de función
Durante el curso graficaremos las funciones en el SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.
Como la función es un conjunto de pares ordenados,
se pueden asociar uno a uno con puntos sobre el plano
cartesiano. A ese conjunto de puntos del plano lo llamamos
“gráfica de la función”, así
𝑔𝑟𝑎𝑓 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ⁄ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
y normalmente permite ver a f como un trazo sobre el plano.
Simetría
La gráfica de una función puede:
Respecto al eje de ordenadas (simetría
axial)
FUNCIÒN PAR
- TENER SIMETRÌA
Respecto al origen de coordenadas
(Simetría Central)
FUNCIÒN IMPAR
-NO TENER SIMETRÌA SI NO ES PAR NI IMPAR
Definición de función par
Se dice que la función f es PAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al eje de las
ordenadas (simetría axial)
El eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las
ordenadas
Definición de función impar
Se dice que la función f es IMPAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 , 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al origen de
coordenadas (simetría central)
x
y
P ( x, y)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 22
Definición de función no simétrica
Se dice que la función f NO ES SIMETRICA si no es Par ni
Impar.
f: R → R NO ES SIMETRICA ⇔ ∀ x ∈ domf ,
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ∧ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(−𝑥)
El eje de simetría de la parábola no coincide con el eje de las
ordenadas
Intersección de la gráfica con los ejes coordenados
En distintas circunstancias se hace necesario conocer la
intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, por
ejemplo determinar
“para qué precio de venta de un producto no se obtienen
ganancias”.
Antes de explicar cómo se obtienen los valores, vamos a definir los siguientes términos:
2.2.5.1 Intersección con el eje de las abscisas: es el punto 0) ; P(x de la gráfica para el que
la ordenada es nula. La abscisa del punto, en este caso x, es el CERO DE LA FUNCIÓN f
2.2.5.2 Intersección con el eje de las ordenadas: es el punto y); Q(0 de la gráfica para el
que la abscisa es nula. La ordenada del punto, en este caso y, es f (0).
Analíticamente:
Q (0; y)
P1 (x1:0)
CEROS de f
f (0)
P2 (x2:0)
INTERSECCIONES de
f CON LOS EJES
COORDENADOS
Y
x
f(0) y y eje el con ónintersecci
0f(x) x x eje el con ónintersecci
f(x)y
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 23
2.3.- FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Definición de función creciente
Una función f se dice creciente en un intervalo si para todo
par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si x1 x2 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Definición de función decreciente
Una función f se dice decreciente en un intervalo si para
todo par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si x1 x2 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
LAS FUNCIONES CRECIENTES o DECRECIENTES EN UN INTERVALO SE LLAMAN ESTRICTAMENTE MONÓTONAS EN
EL INTERVALO
2.4.- FUNCIÓN BIUNÍVOCA, FUNCIÓN INYECTIVA O FUNCIÓN UNO A UNO
Definición de función biunívoca
Una función f es biunívoca (inyectiva o uno a uno) si para todo par de elementos x1 y x2 del
dominio de f con )f(x)f(x que cumple se , x x 211 2
𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 𝒚 𝒇(𝒙𝟏) ≠ 𝒇(𝒙𝟐)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 24
Para aclarar el concepto, se grafica a continuación una función NO BIUNÍVOCA
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 ≠ 𝑥2 ; 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
o 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) y 𝑥1 ≠ 𝑥2
Criterios gráficos y analíticos
Criterio Gráfico
(Criterio de la recta horizontal)
Criterio Analítico
se usan las condiciones de la definición
Se trazan rectas horizontales que intersecten a la
gráfica de f. Si lo hace en un solo punto, la función
graficada es biunívoca.
Caso contrario se trata de una función no biunívoca
f NO ES biunívoca
Sea 21 xln)x(f
- Se forman f(x1) y f(x2) :
211 1 xln)x(f ; 222 1 xln)x(f
- Se analizan como son x1 y x2 cuando f(x1)=f(x2)
21 x x x x x x
x x :des propiedasegún
x x
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
;
11
1ln1ln
O sea que f(x1) = f(x2) si: x1 = x2 ; -x1= -x2
pero también si: x1 = - x2 ; -x1 = x2
Entonces f NO es biunívoca.
Sea 11 3 x)x(f
BIUNÍVOCA ES
xf xf ; x xPara
x x
x x
1x 1x
121
33
33
2
21
21
21
11
11
11
FRT- UTN- ANÁLISISMATEMÁTICO I Página 25
2.5.- CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Las funciones que se estudiarán durante el dictado de la materia son: Explicitas e Implícitas
Funciones explicitas
Son aquellas funciones donde la variable independiente y la variable dependiente están
claramente diferenciadas. Se expresan de la forma y = f (x)
Ej y = 3x2 – ex + ln (x-1)
Funciones implícitas
Son aquellas funciones expresadas en términos de las dos (o más) variables. Es decir son funciones
de la forma F(x,y) = 0
Ej: sen(x - y) + 3x2 y3 – 3x + 5y = 0
Clasificación de funciones Explicitas
ALGEBRAICAS
RACIONAL
Entera
(polinomial)
Función constante : y= K con kR
Función lineal y = mx + b
Función cuadrática y = ax2 +b x + c
Función cúbica y = ax3 +b x2 + cx +d
Función bicuadrada
y = ax4 +b x3 + cx2 +dx+e
Fraccionaria
)x(Q
)x(P
)x(fy
IRRACIONAL n )x(Py
TRASCENDENTES
EXPONENCIAL 1 a y 0 a con xa)x(f
LOGARÍTMICA xlny;)x(log)x(fy
TRIGONOMETRICAS
Circulares : y = sen x … ; y = tg x
Hiperbólicas : y = Sh x …; y = Th x
ESPECIALES
VALOR ABSOLUTO xy
SIGNO )x(P sgny
PARTE ENTERA xy
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 26
2.5.1.FUNCIONES ALGEBRAICAS
Son funciones que vienen expresadas mediante un numero finito de operaciones algebraicas
elementales: suma, diferencia, producto, cociente, potencia radicación.
2.5.1.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Las funciones algebraicas racionales se clasifican en Enteras y Fraccionarias
Funciones Algebraicas Enteras o Polinomiales
Están definidas por :
na...
2nx.2a
1nx.1a
nx.0a)x(f
(1)
donde a0 , a1 , a2 ,.... constantes reales ; n = entero positivo
el dominio de estas funciones es : domf = reales
a) Función constante
Si en (1) se hace n = 0 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
kxf , kaaxf n )()( 0
Características:
dom f = reales
rgo f = {k}
gráfica es una recta horizontal
paralela o coincidente con el eje de
las abscisas
b) Función lineal
Si en (1) se hace n = 1 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
10.)( axaxf
haciendo a1 = b y ao = m tenemos : bx.m)x(f
Características:
dom f = reales
rgo f = reales
gráfica: es una recta no vertical
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 27
Parámetros
b es la ordenada al origen de la recta
m es la pendiente de la recta. Se la define como la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación: tgm
Mide la variación de la variable dependiente y, respecto a la variación de la variable
independiente x.
Si m > 0 la función es creciente y = 2x – 1
En este caso b = -1
si m < 0 la función es decreciente
y = (- 3/2) x + 2 en este caso b = 2
b) Función Cuadrática
Si en (1) se hace n = 2 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
21
2
0 ..)( axaxaxf
Haciendo : a0 = a ; a1 = b ; a2 = c
cx.b2xa)x(f con 0a
Características
dom f = reales
rgof= (- , k] ò [k, + )
la gráfica es una parábola de eje vertical
si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba ;
si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo
y
x
2
1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 28
- Si b = 0 c 0 y = a x2 + c
el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje y
Ejemplo: y = - x2 + 5
Si b = 0 c= 0 : y = a x2
el vértice de la parábola está ubicado en el origen de
coordenadas
Ejemplo: y = x2
Si b 0 ; c 0 : y = a x2 + bx + c
el vértice se encuentra “desplazado horizontalmente”
Ejemplo: y = 0.25 x2 -2x + 1
Para determinar las coordenadas (h, k) del vértice empleamos la fórmula:
a
b
h
2
y haciendo )(hfy obtenemos el valor de k
encontrando los ceros de la función o haciendo tabla de valores determinamos otros puntos
pertenecientes a la parábola y podremos graficar.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 29
Funciones Algebraicas Racionales Fraccionarias
Presentan la forma:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf con P y Q polinomios de la variable x
0/ (xi)i Q x Rdomf
Asíntota Vertical
La recta x = a con a constante real
es asíntota vertical de la gráfica de f si se
presenta al menos una de las siguientes
situaciones:
)(
)(
)(
)(
afax
afax
afax
afax
Asíntota Horizontal
La recta y = k con k constante real es
asíntota horizontal de la gráfica de f si se
presenta al menos una de las siguientes
situaciones:
k xfx
k xfx
)(
)(
Método para determinar asíntotas Horizontales en funciones racionales fraccionarias
Una función algebraica racional fraccionaria puede expresarse:
rdenominado polinomio grado m ; numerador polinomio del grado n
.xb
.xa
Q(x)
P(x)
f(x)
m
o
n
0
i) si n > m la gráfica de f no tiene A.H
ii) si n = m la gráfica de f tiene A.H en
o
o
b
a
y
iii) si n < m la gráfica de f tiene A.H en ) x eje ( 0y
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 30
2.5.1.2 FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Presentan la forma:
n x f(x) / f
0 x domf 0x si x - f(x) x f(x) par es n si nn
0, rgof
a, domf
a-x f(x)
0 , - rgof
a, domf
a-x -f(x)
R domf x x - f(x) x f(x) impar es n si nn
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 31
2.5.2 FUNCIONES TRASCENDENTES
Función Exponencial
La función exponencial presenta la forma: 1ay0adondeaf(x) x
* domf = reales
* Si 0 < a < 1 f es decreciente
Si a > 1 f es creciente
f presenta asíntota horizontal
f no tiene asíntota vertical
f es biunívoca
su f-1 es la función logarítmica
Función Logarítmica
La función logarítmica presenta la forma:
1ay0a ;dondexlogf(x) a
𝑑𝑜𝑚𝑓 = (0, ∞)
rgof = reales
Si 0 < a < 1 f es decreciente
Si a > 1 f es creciente
f presenta asíntota vertical
f no tiene asíntota horizontal
f es biunívoca
su f-1 es la función exponencial
Función Trigonométrica Circular
Las funciones trigonométricas circulares son las funciones trigonométricas referenciadas en la
circunferencia y que se definen por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos
valores de la variable independiente.
Las funciones trigonométricas circulares son periódicas es decir tienen la propiedad de tomar el
mismo valor a intervalos iguales.
Una función f es periódica, con período p 0 , si para todo x perteneciente a su dominio, se
verificaque : p)f(xf(x)
A continuación repasaremos características de las funciones trigonométricas circulares:
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 32
FUNCIÓN DOMINIO RANGO SIMETRÍA CEROS f0) p GRAFICA
y = sen x
(-, )
[-1,1]
Impar
Zn
nπx
0
2
y = cos x
(-, )
[-1,1]
Par
Z(impar)n
2
n.π
x
1
2
y = tg x
Z(impar)n
2
n.π
x
(-, )
Impar
Zn
nπx
0
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 33
y = cosec x
Zn
nπx
(-, )
Impar
Z(impar)n
2
n.π
x
y = sec x
Z(impar)n
2
n.π
x
Re(-1,1)
Par
1
2
y = cotg x
Zn
nπx
Re(-1,1)
Impar
2
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 34 -
2.5.3 FUNCIONES ESPECIALES
Función Valor Absoluto
Presenta la forma:
xy)/y(x,f
domf = (-, )
rgo f = [0, )
según la definición de Valor Absoluto tenemos:
0xsix
0xsix
xf(x)
Función Parte Entera o Función del mayor entero
Está definida de la siguiente forma: xyyxf /),(
se define como el mayor entero que no supera a x . domf= (-. ) rgof= {Z}
xxf )(
x y
-2,1 -3
2 -2
-1,8 -2
-1,5 -2
-1,1 -2
-0,2 -1
0 0
0,2 0
0,6 0
1 1
1,2 1
1.4 1
1.8 1
2 2
2,3 2
Ejemplo vida cotidiana:
En un país cualquiera…
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 35 -
Función Signo
Está definida por:
0 x si 1
0 x si
0 x si
xxf 0
1
)sgn()( domf= (-. ) ; rgof= {-1, 0 , 1}
Función Parte Decimal o Función Mantisa
La función parte decimal o función mantisa M(x) = x -E(x) hace corresponder a cada número real
x el mismo número menos su parte entera.
Esta función tiene aplicaciones en la electrónica
x [|E|] x-[|E|]
-2,1 -3 0,9
2 -2 0
-1,8 -2 0,2
-1 -1 0
-1,1 -2 0,9
-0,2 -1 0,8
0 0 0
0,2 0 0,2
0,6 0 0,6
1 1 0
1,2 1 0,2
1.4 1 0,4
1.8 1 0,8
2 2 0
2,3 2 0,3
3 3 0
3,1 3 0,1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 36 -
2.6.- FUNCIÓN INVERSA
Sea una función biunívoca f:
𝑓 = {(1,2); (2 ,4); (3, −1); (4, −2)}
la nueva función g , obtenida al intercambiar los pares ordenados de f:
𝑔 = {(2, 1); (4, 2); (−1, 3); (−2, 4)}
es la FUNCIÓN INVERSA de f.
Definición de función inversa
Si f es una función biunívoca, el conjunto de pares ordenados obtenido al intercambiar el orden
de las componentes de cada uno de los pares ordenados de f, se llama función inversa de f y la
designamos por f-1
Definición rigurosa
Sea la función biunívoca f está definida por la ecuación y = f(x) , es decir:
𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
La función inversa de f será:
𝑓−1(𝑦) = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 = 𝑓
−1(𝑦)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Para poder graficar ambas funciones, f y f-1, en un mismo sistema de ejes coordenados y como
las letras que se usan para designar las variables de una función pueden ser cualesquiera,
escribimos la expresión (1) de la siguiente forma:
𝑓−1
(𝑥)
= {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓−1(𝑥)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Características de f y f-1:
i) Si f es creciente/decreciente, su inversa f-1 también será creciente/decreciente
ii) 𝑑𝑜𝑚 𝑓−1 = 𝑖𝑚𝑔 𝑓 y 𝑖𝑚𝑔 𝑓−1 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓
iii) las gráficas de f y f-1 resultan simétricas respecto
a la recta y = x (1° bisectriz)
Si f no es biunívoca, se restringe
el dominio para poder formar f-1.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 37 -
2.7.- ALGEBRA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones definidas por y = f(x) , y = g(x) es posible formar, bajo ciertas condiciones,
una nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas.
Es así que :
𝑖) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑣) 𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0}
𝑣) 𝑔(𝑥)/ 𝑓(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0}
Como vemos las operaciones : suma, diferencia y producto sólo podrán efectuarse si
domf domg
la operación cociente sólo podrá efectuarse si :
domf domg y g(x) 0
Para comprender el condicionamiento que solo pueden formarse las operaciones entre funciones
solo para los valores de x domf domg observamos las graficas de f y g.
En esta
región sólo
está
definida la
función f
En esta
región sólo
está
definida la
función g.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 38 -
2. 8.- FUNCIÓN COMPUESTA
Introducción
Además de las operaciones definidas anteriormente podemos definir otra operación
llamada composición de funciones o función compuesta .
Función compuesta gof
Frecuentemente dos funciones definidas por y = f(x) ; y = g(x), que de ahora en adelante
llamaremos f y g, están relacionadas de forma tal que el rango de una de una de ellas coincide
con el dominio de la otra.
Ejemplo :
f = { (-1,3) ; ( 2,4) ; (0,8 ) ; (8,6) } ; g = { (4,0) ; (3,-1) ; (6,5) }
i formamos una función F cuyos pares ordenados (x,y) estén formados por sólo aquellos valores de
x cuyas imágenes sean a la vez parte del domino de g y su correspondientes imágenes,
tendremos:
F={(x,y) / (-1, -1); (2,0) ; (8,5) }
Generalizando
Si escogemos un x del domf tal que f(x) pertenezca al domg, entonces el elemento de la
imagen de g correspondiente a f(x) de su dominio es g[f(x)], al cuál para simplificar lo llamamos
y . Queda formado así el par (x,y) donde x pertenece al domf e y pertenece a Img.
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y) así formados recibe el nombre de FUNCIÓN
COMPUESTA g de f, que se simboliza por g(f) ó g o f .
-1
2
0
8
3
4
8
6
0
-1
5
f
g
* xi
* f(xi)
f
g
* gf(xi)
g[f (x)]
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 39 -
x
f
f(x)
g
gf (x)
g
g [f(x)]
Definición de gof
Si f y g son funciones tales que Imf domg , la función g(f) definida por
𝑔(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)]}
se llama función compuesta g de f.
Dominio de gof
El dominio de g(f) será: domgf(x)/domfxg(f)dom
Representación funcional de gof
Podemosrepresentar la función compuesta como una máquina, tal como se muestra a
continuación. En este caso se representó g[f(x)].
Ejemplo: Sean
x xf )( y x1- xg )(
La composición f g es posible si el rango de f coincide con el dominio de g
En este ejemplo rgof ,0 y 1 -domg ,
No podemos realizar la composición ya que las imágenes de dominio de f no pertenecen al dominio de g
La condición para que pueda definirse la composición gof es que la imagen de f esté incluida en el dominio
de g. domg rgof
ACTIVIDAD
- representación funcional de fog
- definición de fog
- dominio de fog
*************************************
f f
¿ x f
rgof=[0, ∞)
domg=(-∞,-1]
g
Contenidos
CONCEPTOS PRELIMINARES
DEFINICIONES
LÍMITES LATERALES
LÍMITE EN UN PUNTO
PROPIEDADES
LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTA VERTICAL
LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTA HORIZONTAL
LÍMITES INDETERMINADOS
LÍMITES NOTABLES
LÍMITE es el concepto más importante del cálculo.
Algunos autores, definen el CÁLCULO como el estudio
de los límites. La noción de límite no solamente aparece
en continuidad, derivación e integración, sino, también,
en temas de Cálculo II como series, funciones de varias
variables, integrales múltiples y cálculo vectorial.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
UNIDAD
TEMÁTICA
4
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 77 -
MAPA CONCEPTUAL
Regla de la
cadena
Regla de
sustitución
Teorema
fundamental
del cálculo
Antiderivada
Teorema del
Valor Medio
Teorema de
monotonía
Teorema del
Punto crítico
Fórmula de
Taylor
Derivada
Teorema de
existencia de
máximos y
mínimos
Integral
definida
Teorema
del valor
intermedio
Teorema de
integrabilidad
Continuidad
Serie de
potencia
Derivadas
parciales
LÍMITE
Series
infinitas
Gradiente Integral
Múltiple
Teorema
fundamental
de la integral
de línea
Teorema de
Green
Teorema de
Gauss
Derivada
direccional
Integral
Iterada
Integral de
línea
Teorema de
Stokes
Integral de
superficie
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 78 -
a+ a-
a+ a-
CONTENIDOS TEÓRICOS
4.1 .- CONCEPTOS PRELIMINARES
Definición 1
Sea aR y R+, se llama Entorno del punto a de radio , y se simboliza a, E , al conjunto
de valores de x contenidos en el intervalo abierto a , -a
a x -a / R x a, E
También puede expresarse en términos de Valor Absoluto
a-x / R x a, E
Definición 2
Sea aR y R+, se llama Entorno Reducido del punto a de radio , y se simboliza a, E* , al
conjunto de valores de x contenidos en el intervalo abierto a , -a sin considerar a.
El entorno reducido se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto a,
sin que interese lo que ocurre en dicho punto.
a x a x -a / R x a, E ,*
En términos de Valor Absoluto
ax , a-x / R x a, E *
o a-x 0 / R x a, E *
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 79 -
4.2.- NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Supongamos tener una función f definida en todos los puntos del intervalo (c, d), salvo
posiblemente en un punto a perteneciente a (c, d).
Nos proponemos estudiar el comportamiento de la función f cuando x se acerca a “a”
independientemente del valor que tome en a.
Ejemplo
Dada la función definida por
2 x si 5
2 x si x
xf
12
)( analizamos el comportamiento de f
cuando x se acerca a 2.
x f(x)
1 1
1,5 2
1,9 2,8
1,99 2,98
1,999 2,998
2 5
2,001 3,002
2,01 3,02
2,1 3,2
2,5 4
3 5
Se puede observar que aunque x no toma el valor 2, pudimos tomar valores de x tan próximos a 2
como quisimos y comprobamos que f(x) se aproxima cada vez más a 3
Simbólicamente 3)(lim
2
xf
x
en cambio el valor que toma la función es: f(2) = 5
Noción Intuitiva de límite de una función1
Sea una función f definida en un intervalo (c, d) que contiene al número a, excepto en a donde
la función puede o no existir, entonces cuando escribimos
reales números Ly a con Lxf
ax
)(lim
Significa que para valores de x cada vez más próximos a a, pero distintos de a, la función toma
valores f(x) tan próximos a L como se quiera
L, si existe, es único y finito
1
Contenidos básicos del Cálculo Diferencial e Integral FBQFcia
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 80 -
4.3.- DEFINICIÓN RIGUROSA
Definición 1
La función y=f(x) tiende al límite L cuando x se aproxima hacia a y se simboliza
R L , a con L f(x)
ax
lim
Si para todo E (L, ), arbitrariamente prefijado, existe un δ a, *E contenido en el dominio de f tal
que: a,*E x L, E xf todo para )(
Lxf
ax
)(lim
Definición 2 - Actividad del estudiante: Complete
“Sea a, un punto de un intervalo abierto I, y f(x) una función definida en I, excepto posiblemente
en el punto x = .….
Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende al punto a, existe y se escribe:
............ ............. lim
ax
, si y solamente si, para todo 0......... , existe un 0........ , dependiente
de ……. , tal que si ....... ..... -x 0 , entonces ....... xf .......)( “
a
f(x)
a x
L+
L=f(a)
L-
a x
L+
L=f(a)
L-
Punto vacío
f(x)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 81 -
4.4.- LIMITES LATERALES
Límite lateral izquierdo
-L f(x)
ax
lim
si dado 0 existe > 0 tal que si
-L-f(x) axa
Límite lateral derecho
L f(x)
ax
lim si dado 0 existe > 0 tal que si
L-f(x) axa
4.5 LÍMITE EN UN PUNTO
Condición de existencia
Se dice que existe f(x)
ax
lim
si:
f(x)
ax
limf(x)
ax
lim c)
f(x)
ax
lim existe b)
f(x)
ax
lim existe a
)
f(x)
ax
lim existe
f(x)
ax
lim existe NO
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 82 -
Si los límites laterales existen pero son distintos, o si por lo menos uno de
ellos no existe, NO EXISTE el límite.
i) 2f(x)
-2x
lim
i) 1f(x)lim
2x
ii) 1f(x)lim
-2x
f(x)
2x
lim
ii)
f(x)lim
2x
iii) f(x)limf(x)lim
2-x2x
4.6 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
01. R k con
k k lim
ax
02. g(x) lim f(x)lim g(x)f(x) lim
axaxax
03.- g(x) lim . f(x)lim f(x).g(x) lim
axaxax
04.- 0g(x) lim si
g(x) lim
f(x)lim
g(x)
f(x)
lim
ax
ax
ax
ax
05.- k kklim
f(x)
ax
lim
f(x)
ax
06.-g(x)
ax
lim
f(x)
ax
lim
g(x)
ax
f(x)lim
07.- f(x)lim f(x) lim n
ax
n
ax
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 83 -
4.7 LÍMITES INFINITOS y ASÍNTOTA VERTICAL
Definición Intuitiva de Límites Infinitos
Se dice que la función f tiende a infinito cuando x a, si a medida que “x” se aproxima a “a” por
derecha o por izquierda, el valor absoluto de f(x) toma valores cada vez más grandes.
LIMITE INFINITO implica que “NO EXISTE LÍMITE” o que la función NO TIENE LÍMITE.
Definición Asíntota Vertical
Cuando f(x) cuando x a , ó (x a+ ó x a- ) diremos que la recta x = a es una
Asíntota Vertical de la función f
Ejemplo:
f(x)limf(x)lim
axax
f(x)limf(x)lim
axax
f(x)lim ; f(x)lim
´axax
f de vertical Asíntota es 2 x
2x
x
lim y
2x
x
lim
; 2 - domf ;
2x
x
f(x)
2x2x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 84 -
4. 8 LÍMITES EN EL INFINITO y ASÍNTOTA HORIZONTAL
Definición Intuitiva
Se dice que la función f tiende a L con L R , cuando los valores de x crecen o decrecen
indefinidamente, Lf(x)
x
lim
, y la función se acerca cada vez más a L.
Definición Asíntota Horizontal
Cada vez que para x - o x + , el límite es un número “L” ( con L ), la recta
y = L es una Asíntota Horizontal de la función f.
Ejemplo:
xcuando horizontal asíntota hay o 22lim y
. xcuando 0 y horizontal asíntota Hay 0
2
1
22lim
2f(x)
x
-
x
N
y
x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 85 -
4.9 LÍMITES INDETERMINADOS
El cálculo de los límites conducen a determinar si la función tiene, o no, límite cuando es
x se aproxima al valor a
"
EXISTE NO LÍMITE EL real constante a con (x)f
ax
lim 2)
"
EXISTE LÍMITE EL reales constantes ky a con k(x)f
ax
lim
limit e t iene nof función la a, valor al aproxima se x Cuando"
k es valor suy limit e t ienef función la a, valor al aproxima se x Cuando"
)1
Pero en algunas ocasiones, el cálculo de los límites conducen a expresiones que, aritméticamente,
no tienen significado, tal es el caso de:
1 ; 0 ; 00 ; - ; . 0 ; ;
0
0
Estas expresiones se llaman Indeterminaciones o Indeterminadas.
Las mismas no significan que no existe el límite
Para decidir si existe o no el límite en el punto analizado se deben “levantar” o eliminar las
indeterminaciones aplicando distintos procedimientos algebraicos: factoreo, racionalización,
aplicación de límites notables entre otros.
Ejemplo
1/4. es valor su y
2 a acerca se x cuando f de limite el existe
lim
).2(
)2(
lim
4
2
lim
:aciónindetermin la eliminar de Proceso
0
0
4
2
lim
4
2
f(x)
2x
2x22x
22x2
4
1
2)(x
1
2)(x x
x
x
x
aciónIndetermin
x
x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 86 -
4. 10.- LÍMITE NOTABLES o LÍMITES FUNDAMENTALES
Los límites notables o fundamentales con los que se trabajará durante el dictado de la materia
son:
PRIMER LÍMITE FUNDAMENTAL
Requisitos Previos
TEOREMA DE ESTRICCIÓN
Sean f, g y h funciones definidas en algún intervalo abierto I que contiene a “a”, excepto
posiblemente para x=a. Suponga además que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para toda x en I para la cual
x a . Suponga también que:
Lh(x)
ax
limg(x)
ax
lim
entonces:
Lf(x)
ax
lim
Enunciado
Sea
x
xsen
f(x) entonces 1f(x)
0x
lim
Demostración Primer Límite Fundamental
Consideremos la circunferencia de ecuación 12y2x y
2
π
x
2
π
1
x
xsen
lim
0x
e
x
1
1 lim
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 87 -
ABAB =DABA
xsenAF ;
BA
AF
senx
xtgED ;
BD
ED
tgx
2
x
sup.sector ;
2π
π.x
sup.sector
.1 2π
x
2
π.1
sup.sector
nf.long.circu
long.arco
osup.círcul
sup.sector
Quedan determinadas las siguientes figuras geométricas:
Δ
EBD ; ABD ;
Δ
ABD
Cuyas medidas de áreas son:
Δ
EBD Sup. ABD Sup.
Δ
ABDSup.
(1)
2
ED .BD
sect or sup.
2
AF .BD
Reemplazando en (1):
2
1.t gx
2
x
2
x 1.sen
;
x cos 2
x sen
2
x
2
x sen
Multiplicando miembro a miembro por
senx
2
y operando:
x sen
2
.
x cos 2
x sen
x sen
2
.
2
x
x sen
2
.
2
x sen
x nes
2
.
x cos 2
x nes
x sen
2
.
2
x
x nes
2
.
2
x nes
x cos
1
x sen
x
1
Aplicando propiedades:
h(x)
1
f(x)
x
x sen
) g(x
x cos x cos
x
x sen
1
Aplicando límite miembro a miembro: 1
0x
lim
x
x sen
0x
lim x cos
0x
lim
Como:
1 1
0x
limy 1 x cos
0x
lim
Según el teorema de estricción*: 1
x
xsen
0x
lim
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 88 -
SEGUNDO LÍMITE FUNDAMENTAL
Requisitos Previos
BINOMIO DE NEWTON
n!
n
1)...b-n.(n
...
3
.b
3-n
a
3!
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a
! 2
1)n.(n
!1
1
.b
1-n
a n
0!
n
a
n
ba
nb...3.b3-na
6
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a
2
1)n.(n1
.b
1-n
a n
n
a
n
ba
con n Z+
Demostración Primer Límite Fundamental
Aplicando a la función exponencial dada, el Binomio de Newton:
n
n
1
...
n
2
1
n
1
1 .
n
n
n...3.2.1
1
...
3
n
1
.
n
2
1
n
1
1
3
n
6
1
2
n
1
.
n
1
1
2
n
2
1
11
n
n
1
1
n
n
1
...
n
2
1
n
1
1 n.n.n...
n...3.2.1
1
...
3
n
1
.
n
2
1
n
1
1 n .n. n
6
1
2
n
1
.
n
1
1 .n n
2
1
n
1
. n1
n
n
1
1
:n común factor sacando
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2
1)n.(n
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2
1)n.(n
1
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
3-n
1
3.2.1
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2-n
1
2.1
1)n.(n
1
n
1
.
1-n
1
1
nn
1
n
n
1
1
n-n
1
e2,7182...
límit e aplicando
ndosimplifica
n
n
1
1
n
lim
...
120
1
24
1
6
1
2
1
11
n
n
1
1
n
lim
...
n
2
1
n
1
1 .
n...3.2.1
1
...
n
2
1
n
1
1
6
1
n
1
1
2
1
11
n
n
1
1
...
n
2
1
n
1
1 .
n...3.2.1
1
n
lim......
n
2
1
n
1
1
6
1
n
lim
n
1
1
2
1
n
lim1
n
lim1
n
lim
n
n
1
1
n
lim
que es lo que se quería demostrar.
CONTINUIDAD DE UNA
FUNCIÓN
UNIDAD
TEMÁTICA
5
Contenidos
Continuidad de una función en un punto
Discontinuidades: clasificación
Continuidad de una función en intervalos
Propiedades de funciones continuas
En la naturaleza y en la vida cotidiana se presentan numerosos fenómenos que tienen un
comportamiento continuo como por ejemplo el desplazamiento de un vehículo o el volumen del
agua que fluye de un recipiente.
Pero también se presentan discontinuidades en muchas situaciones, como las corrientes eléctricas.
Si bien muchos procesos físicos son continuos, alrededor de 1920 se descubrió que los átomos que
vibran en una molécula de hidrógeno pueden oscilar sólo en niveles de energía discretos y que los
átomos al ser calentados, emiten luz en frecuencias discretas y no en espectros continuos. Como
resultado de estos
descubrimientos y dado que en informática y en estadística hacen un intenso uso de funciones
discretas, la continuidad ha adquirido una gran importancia1
1
http://www.fca.unl.edu.ar
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 104 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
5.1 Definición intuitiva
Una función es CONTINUA cuando no presenta saltos ni interrupciones
Caso contrario la función es DISCONTINUA
5.2 Definición de función continúa en un punto
- Una función f es continua en un punto de abscisa c si:
a) f (c)
b) (x)fl
cx
ím
c) (x)fl
cx
ím
= f (c)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 105 -
5.3 Definición de función discontinua en un punto
Una función f es discontinua en un punto de abscisa c (x = c) si no se verifica por lo menos una
de las tres condiciones de continuidad en un punto.
5.4 Tipos de discontinuidades
Las discontinuidades se clasifican en:
1) Evitables cuando existe el límite en el punto: Existe f(x) lim
cx
2) o Evitables o Inevitables cuando no existe el límite: No Existe f(x) lim
cx
Pueden presentarse los distintos casos:
a) Finitas: cuando existen los límites laterales pero no son iguales
b) Infinitas: cuando al menos uno de los límites laterales es +∞ o - ∞ (el límite no existe)
Evitable Evitable No evitable finita No evitable infinita
5.5 Definición de función continua en un intervalo abierto
Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si
es continua en todos los puntos de ese intervalo
Ejemplo: Sea
3
)(
x
x
xf analice la continuidad de f en los intervalos (-1, 4) y (3, 7)
El 3 Rdomf . El único valor para la cual la función no está definida es para x = 3.
Como 4) (-1, x 3 f es discontinua en (-1, 4).
Como (3,7) x 3 f es continua en (3,7).
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 106 -
5.6 Definición de función continua en un intervalo cerrado
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es:
i) Continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b).
ii) Continua por la derecha de a, es decir
a fxf
ax
)(lim
iii) Continua por la izquierda de b, es decir
b fxf
bx
)(lim
Ejemplo:
Sea
1 x si 1 -x
1x si x
xf
1
)(
2
analice la continuidad de f 3, 2
1) Se estudia si f es continua en 3,2
Las funciones 12 xy xy son continuas en todo su dominio o sea en R. Por tanto queda analizar
si f es continua en x = 1.
1 x en cont inua esf ent onces xf
1x
lim f(1) iii
xf
1x
lim exist e ent onces exist e xf
1x
lim
exist e xf
-1x
lim ii
f i)
0)()
0)(011)(
01
2
1)()
01
2
1)1(
Por tanto decimos que f es continua en el intervalo abierto (-2, 3), cumpliéndose 5.6.i
2) Se estudia si es continua a la derecha de x = -2
2 -x de derecha la a continua esf entonces
x
lim ; 2 -f
31
2
)2(
2
31
2
)2()(
3) Se estudia si es continua a la izquierda de x = 3
3x de izquierda la a continua esf entonces
x
lim ; 3f
213
3
213)(
Como se cumplen todas las condiciones,
f es continua en [-2, 3]
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 107 -
5.7 Propiedades de funciones continuas
Teorema 1
Si )(: xfyf y )(: xgyg son funciones continuas en x = c , también son continuas en c las
siguientes funciones:
a) )(xf . ky con k constante
b) g(x) xf y )(
c) g(x) xf y .)(
d) 0 g(c) con
xg
xf
y
)(
)(
e) Si g(x) es continua en x = c y )(xf es continua en )(cg , entonces la función compuesta
fog es continua en x = c
Teorema 2
Las funciones Algebraicas Enteras (polinomiales) son continuas en el conjunto de los números
reales.
Teorema 3
Las funciones Algebraicas Fraccionarias son continuas para todo valor de x, excepto para
aquellos valores que anulan el polinomio denominador.
5.8 Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados
Los siguientes teoremas enuncian resultados importantes de funciones continuas en intervalos
cerrados que se aplicarán más adelante en el Cálculo Diferencial y en el Cálculo Integral.
5.8.1 Teorema de Bolzano
Sean a,b ∈ R con a < b y f una función continua en [a, b], verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0 (o
f(a)>0 y f(b) < 0). Entonces existe c ∈ (a ,b) tal que f(c) = 0.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 108 -
5.8.2 Teorema del Valor Intermedio
Sea y = f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y k un número cualquiera
entre f (a) y f (b), entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que f(c) = k
5.7.3 Teorema de Weierstrass
Toda función continua en el intervalo cerrado [a, b], tiene al menos un máximo y mínimo
absolutos en [a, b].
CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD
TEMÁTICA
Contenidos
Cociente Incremental
Derivada de una función en un punto
Derivabilidad
Función Derivada
Demostraciones
Derivada de funciones inversas
Método de Derivación logarítmica
Derivada de funciones Compuestas
Regla de la Cadena
Derivadas de Orden Superior
Derivada de Funciones Implícitas
Tabla de Derivadas
5
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 124 -
Descifra en mensaje
Reglas del Juego:
Los números que aparecen en el mensaje corresponden a los
números de las funciones. Cambiar estos números por las letras
que corresponden a las derivadas de las funciones dadas.
“1 2 3 4 2 1 4 5 1 6 “
FUNCIONES DERIVADAS
xtgxf 12cos)()1
x
xxe
x
e
esen
eef´(x) G)2
sec
cos
..
.lnxxnl f(x) 2) 2
1x2 senf´(x) R)
xesec
e f(x) )3
1lnx . x (esec ef´(x) ) A xx2x )
5xtg ln f(x) 4) 12x sec 12xtg sen f´(x) ) I
2 2
1xsen f(x) 5) 2 cos(5x) xsen
f´(x) E)
).5(
5
xx etgx f(x) 6)
x x ln x
xx
f´(x) N) 2
ln.
1
2
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 125 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
COCIENTE INCREMENTAL
Sea una función f definida en un intervalo (c,d) que contiene a los números reales “a” y “x” con
a≠x y “a” fijo.
La diferencia: hΔxax mide la variación de la variable independiente y se denomina
“Incremento de x”
La correspondiente diferencia de ordenadas: kΔyf(a)f(x) mide la variación absoluta
de la función, y se denomina “Incremento de la función”.
El cociente:
a-x
f(a)f(x)
x
y
Se denomina “Cociente Incremental” e indica la rapidez promedio (o rapidez
media) de variación de la función f en el intervalo [ a , x].
El cociente incremental se suele llamar también “Razón de cambio media de
f(x) respecto a x en el intervalo [a,x]” o “Razón promedio de cambio”
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 126 -
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Si el límite del cociente incremental cuando x tiende a “a”, simbolizado por:
a-x
f(a)f(x)
lim
ax
existe, indica la rapidez instantánea de variación de la función f en el punto a.
También suele llamarse Razón de cambio instantánea de f(x) respecto a x en el punto “a”
Este límite, si existe, se define como la “Derivada de f con respecto a x en el punto a” y se
simboliza f’(a).
Como
0h y 0x , a xcuando y h a x ox a x ; hΔxax
la definición anterior puede expresarse:
h
f(a)h)f(a
lim(a)f'
0h
o
x
f(a)x)f(a
lim(a)f'
0
x
Aplicación 1
Sea 4
2 x)x(f determine, si existe, f’(2)
existe 4(2)f'
2)(xlim
2-x
2x.2-x
lim(2)f'
0
0
2-x
4-x
lim
2-x
4-24-x
lim(2)f'
2x2x
2
2x
22
2x
TOME NOTA
Definición: Sea f una función definida en un entorno de un
número a, y sea x cualquier número real perteneciente a ese entorno con x
≠a. Si
a-x
f(a)f(x)
lim
ax
existe, se llama “derivada de f con respecto a x en el punto a y se simboliza
con f’(a). Es decir,
a-x
f(a)f(x)
lim(a)f'
ax
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 127 -
CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE DERIVADA EN UN PUNTO
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Geométricamente (se desarrolla con amplitud en “Aplicaciones de la Derivada”)
La función f es derivable en el punto de abscisa
x= a (en este caso x = 4)
Funciones NO DERIVABLES en x= a (en este caso x = 4)
La derivada de una función f en un punto x=a existe, o sea existe f ‘(a) si:
existe
a-x
f(a)f(x)
ax
lim(a) '- f
existe
a-x
f(a))f(x
ax
lim(a)' f
(a) ' f(a)
'
- f
TOME NOTA
Teorema:
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en x = a si existe la
derivada en x=a, o sea existe f’(a).
TOME NOTA
Una función es derivable en un punto si su
recta tangente en el mismo es única y de
pendiente finita
Recta Tangente no es única La m de la recta Tangente no es finita
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 128 -
Aplicación 2
Sea 4 x)x(f determine si f es derivable en x = 4
4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
existe (4) f
4x
lim(4) f
;
0
0
4-x
4-x
4x
lim
4-x
4-44-x
4x
lim(4) f a)
DESARROLLO
''
'
11
existe (4) f -
4x
lim(4) f
;
0
0
4-x
4-x-
4x
lim
4-x
4-44x-
4x
lim(4) f b)
''
'
11
4 x en derivable es no f entonces (4) f (4) f : como
''
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 129 -
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
Aplicación 3
Sea 42xf(x) determine si f es derivable en [-1, 3]
Desarrollo:
a) f es una función algebraica entera y por lo tanto admite derivada en todo su dominio por
lo tanto f es derivable en (-1, 3).
b) Se determina f’+ (-1)
(-1) f en derivable 2(-1) f
1)(x
1)1).(x(x
-1x
lim(-1) f
0
0
1x
12x-
1x
lim
1x
4142x-
-1x
lim(-1) f
'''
'
c) Se determina f’- (3)
(3) f en derivable -6(3) f
3)(x
3)3).(x(x
3x
lim(3) f
0
0
1x
92x-
3x
lim
1x
4942x-
3x
lim(3) f
'''
'
Entonces f es derivable en [-1, 3]
Teorema:
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en un intervalo
cerrado [a, b], si es derivable en el intervalo abierto (a, b), es derivable por
la derecha de a y derivable por la izquierda de b.
(b) ' fexiste c)
(a) ' fexiste b)
b x a con (x) ' fexiste a)
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 130 -
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
El recíproco de este Teorema no es cierto, o sea que una función continúa en un punto no es
necesariamente derivable en el mismo punto.
Aplicación 4
En la aplicación 1 se demostró que la función 4 x)x(f no es derivable
en x = 4. Analicemos que ocurre con la continuidad en el mismo punto.
4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
4 x en continua es f entonces 0 f(x)
4x
lim f(4) c)
0 f(x)
4x
lim existe entonces
derecha la por limite el existe 4)(x
4x
lim
izquierda la por limite el existe 4)(-x
4x
lim b)
existe 0 4 - 4 f(4) a)
0
0
La función f es continua en x = 4 pero no es derivable en el mismo punto, o sea que CONTINUIDAD
NO IMPLICA DERIVABILIDAD.
Pero sí es cierto que DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD
Teorema
Si una función f es derivable en un punto a, entonces f es
continua en a
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 131 -
OBSERV
FUNCIÓN DERIVADA
Si domfa y es tal que existe
x
f(a)x)f(a
lim(a)f'
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (a)f' ,a .
Si domfb y es tal que existe
x
f(b)x)f(b
lim(b)f'
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (b)f' ,b .
Si domfc y es tal que existe
x
f(c)x)f(c
lim(c)' f
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (c)f' ,c .
Otras notaciones:
Si y = f(x) , la derivada de f se expresa:
dx
f(x)d
,
dx
dy
, Df(x) , Dy , f(x)D , y D , y' , (x)' f xx
Aplicación 5
Determine, aplicando definición, la derivada de la función definida por
12x3x(x) f 2
26x(x)' f
Δx
2Δx 36x Δx
0Δx
lim
Δx
Δx 22Δx 3Δx 6x
0Δx
lim
Δx
12x23x-1Δx) 22x2Δx 3Δx 6x 23x
0Δx
lim
0
0
Δx
12x23x-1Δx)2(x2Δxx3
0Δx
lim(x)' f
Si se repite este procedimiento con todos los valores de domfx , tales
que exista
x
f(x)x)f(x
lim(x)' f
0x
se puede formar el conjunto
(x)f' ,x
Esta última expresión recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA de f
respecto a x.
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 132 -
DEMOSTRACIÓN DE REGLAS DE DERIVADAS
En este material se realizará la demostración de algunas funciones usuales
1) Derivada de una constante: R K con K xf )(
0(x)' f
ntoncese
x
xfxxf
R K todo para
x
KK
x
xfxxf
ónDemost raci
xx
00lim
)()(
lim
0
)()(
00
2) Derivada de la variable independiente: x xf )(
1(x)' f
entonces xf
x
x
x
xxx
xf
ónDemost raci
x
xx
11lim)´(
lim
)(
lim)´(
0
00
3) Derivada de la suma algebraica de funciones: )()()()( xhxgxfxF
w'- ' v ' u ' w- v u
entonces v' g´(x) ; v g(x) ; u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' h(x)' g(x)' f(x)' F entonces
x
xhxxh
x
xgxxg
x
xfxxf
xF
ementeconvenient agrupando
x
xhxgxfxxhxxgxxf
xF
ónDemost raci
xh
x
xg
x
xf
x
x
)('
0
)('
0
)('
0
0
)()(
lim
)()(
lim
)()(
lim)´(
)()()()()()(
lim)´(
TOME NOTA
Determinar la derivada de funciones, aplicando la definición, es un proceso
laborioso, por ello utilizaremos REGLAS DE DERIVACIÓN (“fórmulas de derivadas”)
obtenidas al aplicar la definición de DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 133 -
4) Derivada del producto de funciones: )().()( xg xfxF
v' . u v . u' 'u.v
v' g´(x) ; v g(x)
u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' g . f(x) g(x) (x).' f(x)F'
ent onces
(x) f' . g(x) (x) g' . f(x) xF
xf
x
f(x)-xxf
x
xg
xg
x
g(x) xxg
x
xxf
x
xF
x
f(x)-xxf xg
x
x
g(x) xxg xxf
x
xF
:ement econvenient
ordenandoy g(x) limit e segundo el eny x)f(x limit e primerel en común fact or sacando
x
g(x) . xxf xg xf
x
x
g(x) . xxf xxg xxf
x
xF
:t érmino t ercer el con segundo ely t érmino cuart o el con t érmino primerel agrupando
x
g(x) . xxf -g(x) . xxf xg xfxxg xxf
x
xF
ant erior expresión la de numerador el en g(x) . xxf resión la dores y sumando
x
xg xfxxg xxf
x
xF
ónDemost raci
)('
)('
0
lim).(
)('
)(
0
lim).(
0
lim)´(
).(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().()().(
0
lim)´(
exptan
)().()().(
0
lim)´(
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 134 -
5) Derivada del cociente de dos funciones:
)(
)(
)(xg
xf
xF
2
'
2 v
v' . u - v . u'
v
u
;
g(x)
(x)f(x).g'(x)g(x).f'
F´(x)
entonces
)xg(xxg
x
g(x)-x)g(x
xf
x
f(x-x)f(x
g(x).
xF
x)g(xxg
x
g(x)-x)g(x
xf
x
f(x-x)f(x
g(x).
xF
xxg
.
x
g(x)-x)g(x
xg
xf
x)g(x
1
x
f(x-x)f(x
x
x)g(x . g(x) . x
g(x)-x)g(x f(x).
x)g(x . g(x) x.
f(x-x)f(x . g(x)
xF
x)g(x . g(x)
xgxxg f(x).
x)g(x . g(x)
xfxxf . g(x)
x
1
xF
x)g(x . g(x)
g(x) . f(x) -g(x) f(x).x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
x
1
xF
x)g(x . g(x)
x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
x
1
xg
xf
x)g(x
x)f(x
x
1
xF
ónDemost raci
x
xg
x
(x)f'
x
x
xx
xxxx
xx
x
x
xx
adordeno común teebraicamena operando
:limites de des propiedaaplicando
:común factor sacandoy término tercer el con segundo ely término cuarto el con término primerel agrupando
anterior expresión la de numerador el en g(x) . xf resión la dores y sumando
00
)('
00
0
00
0000
00
0
0
00
lim).(
lim).(lim
)('
lim).(
lim).(lim
)('
)(
1
limlim.
)(
)(
lim.lim)´(
limlim)´(
)()()()(
lim)´(
lim)´(
lim
)(
)(
lim)´(
:)min(lg
exptan
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 135 -
6) Derivada de la función potencial:
nxxf )(
1-n x . n (x)' f
:entonces xxx 1)-(n nxn xf :
xxx 1)-(n nxn
x
xxx 1)-(n nxxn
xf
x
xxxx 1)-(n nxxnx
xf
x
xxx
xf
ónDemost raci
nnn
x
nnn
x
nnn
x
nnnnn
x
nn
x
limite el aplicando
:Newton de Binomio el según término 1 el ndodesarrolla
0
1
0
0
21
0
121
0
221
0
221
0
0
.....
!2
1
.lim)´(
.....
!2
1
.lim
.....
!2
1
..
lim)´(
.....
!2
1
..
!1
1
lim)´(
lim)´(
7) Derivada de la función logarítmica: xxf alog)(
a ln x.
1
e alog .
x
1
(x)' f
x
x
log
x
x f
:(1) en doreemplazan
e
g(x)
:doGeneraliza lFundamenta Limite al acuerdo de
(1)
x
x
1
log
x
xf :límites de propiedadpor
x
x
log
x
(x)f' :lìmites dey logaritmos de propiedadsegún
x
x
log .
x
x
xx
x
log
x
x
.
x
1
(x)' f
:x pordividiendoy ndomult iplica
x
x
log
x
1
x
xx
log
x
1
x log-x)(x
x
1
xf
ónDemost raci
:entonces e alog .
x
1
e
x
x
x
a
xg
x
x
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
aa
x
1
1lim.
1
)('
1
1lim
1lim.
1
)('
1lim.
1
1lim.
1
1lim
1limlimloglim)´(
0
)(
0
0
00
000
ACTIVIDAD: En forma análoga, determine la derivada de f(x) = ln x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 136 -
8) Derivada de la función trigonométrica f(x) = sen x
xcos f´(x)
;
x
2
x2x
x
2
x
sen
xf
2
x2x
2
x
sen
x
2
2
xxx
2
x-xx
sen 2.
x
1
xf
expresada quedará (1)
2
2
sen . 2 sen - sen :comoy x seny x x si
(1) x sen-x)(x ens
x
1
xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
cos.1coslim.
2
lim)´(
cos.limcos..lim)´(
cos.
lim)´(
0
0
1
0
00
0
9) Derivada de la función trigonométrica f(x) = cos x
xsen f´(x)
: entonces
x
sen
2
x2x
sen
x
2
x
sen
xf
2
x2x
sen
2
x
sen
x
2
2
xxx
sen
2
x-xx
sen 2.
x
1
xf
:como expresada quedará (1)
2
sen
2
sen . 2 - cos - cosy
cosenos) de as(Diferenci cos - cos x cos -x)(x cos omoc
x cos-x)(x
x
1
xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
.1lim.
2
lim)´(
.lim..lim)´(
.
coslim)´(
0
0
1
0
00
0
En base a las demostraciones anteriores y aplicando derivada de un cociente y equivalencias
trigonométricas
senx
xgxtco ;
x
senxgxt ;
senx
ecx ;
x
x cos
cos
1cos
cos
1sec
Se pueden demostrar la derivada de f(x) = tgx, f(x) = cotg x ; f(x) = secx ; f(x) = cosec x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 137 -
DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS
10) Derivada de las funciones trigonométricas inversas
a) x arcsenf(x)
2x-1
1
(x)' f
entonces
x
arcsenx D :(2) segúny
ysen
y
arcsenx D
x D
y D
y D
x D
(3) f(x) x DyfD
(2)y sen x :sea o f(x) senyf x
(1) x rcsena xfy
ónDemost raci
x
x :expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
y
x
x
y :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
y
1-
y :derivada suy
1-
:es inversa su
2
2
1
1
1
1
cos
1
11
cos)(
)(
)(
x arctgf(x) b)
2x1
1
(x)' f
entonces
x
arctgx D :(2) segúny
ytgy
arctgx D
:expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
x D
y D
y D
x D :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
(3) f(x) sec x DyfD :derivada suy
(2)y tg x :sea o f(x)tgyf x :es inversa su
(1) x rctga xfy
ónDemost raci
x
x
y
x
x
y
2
y
1-
y
1-
2
22
1
1
1
1
sec
1
11
)(
)(
)(
ACTIVIDAD: En forma análoga, determine las derivadas de las restantes funciones inversas
trigonométricas.
Teorema
Sea f una función creciente (o decreciente) y continua en un intervalo. Si
para un punto x de ese intervalo )x(' ff(x) xD existe y es distinta de cero,
entonces la función inversa f-1 es derivable en f(x), y su derivada está dada
por:
f(x) xD
)y(1-f yD
1
,
y xD
x yD
1
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 138 -
A modo de ejemplo, determinamos la derivada de la función exponencial:
11) Derivada de la función exponencial
aln.xa(x)' f
1a y 0 a con xaf(x)
a ln xa (x)' f . entonces
xa . a ln y' :(1) sustituir )5
y . a ln y' y´: despejar )
0 . x a ln 1.
y
'y
:miembros ambos derivar )3
a ln x. y ln :miembro segundo el en ,logaritmos de spropiedade según )
xa ln y ln
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