Trabajo Unidad 5 EAD

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Nombre del alumno: Antony Arturo García Pérez
Matrícula: 201DD687
Carrera: Ingeniería Industrial Modalidad Mixta
Nombre de la materia: Cálculo Diferencial
Nombre del docente: ING. ISRAEL HERNÁNDEZ MORALES
Trabajo Unidad 5 EAD
Sabinas, Coahuila							24/11/2020
Trabajo Unidad 5 EAD
· Recta Tangente y recta normal a una curva en un punto
Una recta se dice que es tangente a una función en un punto cuando pasa por ese punto y su pendiente es f'(a). La recta normal a una función en un punto, por su parte, es la que pasa por dicho punto y tiene pendiente -1/f'(a).
Rectas tangente y normal
En azul, la recta tangente a la función f(x), en rojo, en x=a. En verde, la recta normal a la función en el mismo punto. Observa que ambas son perpendiculares.
Ya sabes que una recta queda definida cuando conocemos dos puntos por los que pasa, pero también cuando conocemos un punto por el que pasa y la pendiente de la misma. En este caso, el punto, común a ambas, es (a, f(a)). Para el cálculo de las pendientes (f'(a) y -1/f'(a) respectivamente) se hace imprescindible conocer el valor de la derivada de la función en el punto.
Expresión de la recta tangente
Se define la recta tangente a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que pasa por (a, f(a)) y tiene por pendiente la derivada de la función en el punto, f'(a). Su expresión es:
y−f(a)=f'(a) ⋅ (x−a)
Demostración
Sabemos que la ecuación de una recta viene dada por y=m·x+n, siendo:
· m la pendiente de la misma
· n es la ordenada en el origen, es decir, donde la recta corta al eje y
Por tanto, para determinar la ecuación de la recta tangente debemos calcular m y n. Por la definición de recta tangente que hemos dado sabemos que:
1. La pendiente de la recta tangente en x=a coincide con el valor de la derivada en x=a, con lo que m=f'(a)
2. La recta 'toca' a la función en el punto, es decir, pasa por (a, f(a)). Sustituyendo en la ecuación genérica de la recta x por a, e y por f(a), nos queda f(a)=m·a+n
Relación con la secante
Tal y como veíamos al estudiar la tasa de variación instantánea a partir de la tasa de variación media, una manera alternativa de definir la recta tangente es considerarla como la recta secante que pasa por dos puntos infinitamente próximos de la función.
Rectas secante y recta tangente
En verde hemos pintado la recta secante a la función en dos puntos de abscisas a y a+h. Observa que la pendiente de dicha recta viene determinada por la razón trigonométrica tangente del ángulo β que forma la recta con la horizontal.
Efectivamente, observa las siguientes gráficas:
Definiciones erróneas de recta tangente
La recta azul, en 1, cumple la definición que dábamos a comienzos del apartado de recta tangente, es decir, pasa por el punto (a, f(a)) y su pendiente es f'(a), con lo que se trata de una recta tangente, a pesar de que toca a la función en más de un punto. Por otro lado, en 2, existen dos rectas que tocan la función en un único punto, la verde y la azul. Sin embargo, ninguna de ellas es la recta tangente porque se trata de un punto anguloso y no existe f'(a).
Expresión de la recta normal
Se define la recta normal a una función en un punto de abscisa x=a como aquella recta que es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Por tanto, pasa por (a, f(a)) y tiene por pendiente -1/f'(a). Su expresión es:
y−f(a)=−1/f'(a) ⋅ (x−a)
Rectas normal
En verde, la recta normal a la función, representada en rojo claro, en (a, f(a)). Se trata de una recta perpendicular a la recta tangente, representada en azul claro.
· Teorema de Rolle y teorema del valor medio
Teorema de Rolle:
Si f es una función en la que se cumple:
(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
f '(c) = 0
El Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-1719).
En la figura se ilustra la interpretación geométrica del Teorema de Rolle. Como se puede observar se cumplen las tres condiciones que requiere el Teorema: f es continua en [a, b] e integrable en (a, b), y 
 f (a) = f (b) = 0. También se puede observar el punto (cuya abscisa es c) donde la recta tangente a la gráfica de f es paralela al eje x, es decir donde se cumple que f '(c) = 0.
El Teorema de Rolle es susceptible de una modificación en su enunciado que no altera para nada la conclusión del mismo. Esta se refiere al punto (iii) f (a) = f (b): basta con que el valor de la función sea el mismo para x = a y x = b y no necesariamente sean iguales a cero. 
Teorema del Valor medio:
Si  f  es una función en la que se cumple que:
(i)    F  es continua en el intervalo cerrado [a, b]
(ii)   F  es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)
Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que
Se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio.
El teorema afirma que si la función es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,
· Función creciente y decreciente
Si al aumentar el valor de x el valor de su imagen ¦(x) también se incrementa, se dice que la gráfica de la función crece y, por el contrario, cuando el valor x aumenta disminuye ¦(x), decimos que la función decrece.
 
-Lo podemos observar con un breve ejemplo:
Una función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) < f(x2).
Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo, X1 < X2 → f(x1) > f(x2).
Las funciones que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen (las funciones crecientes). Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando x se hace grande.
Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos a<0 obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).
-Una manera fácil de explicar donde una función es creciente y decreciente es en una parábola donde la función f(x)=x^2 es una función decreciente en el intervalo (−∞,0] y creciente en [0,+∞). (Suponiendo que el vértice estuviera en el origen).
*Una regla que se debe seguir para saber si la función es creciente o decreciente, es que se debe observar siempre de izquierda a derecha, de esta manera sabrás rápidamente cual es la dirección de tu función.
· Máximos y mínimos de una función
Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.
Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.
· Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos
PRIMERA DERIVADA: Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c. Teorema Valor máximo y Mínimo "Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto b que contiene a c.
TEOREMA
Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue.
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f  tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
2. Si f'(x)  cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
 3. Si f'(x)  es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c)     no es ni un mínimo ni un máximo relativo. 
· Concavidades y puntos de inflexión
El concepto deconcavidad se utiliza para determinar si la gráfica de la función es de la forma cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
Si para los valores dados de intervalo, la doble derivada de la función es mayor o igual que 0, entonces el gráfico de la función será cóncavo hacia arriba, y cuando la doble derivada se convierte en menor que 0, entonces la forma de la gráfica será cóncava hacia abajo.
Ahí se encuentra una posición en la cual el gráfico de la función cambia su forma de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o vice-versa.
Estas posiciones, o más bien los puntos, son conocidos como puntos de inflexión.
En estos puntos de inflexión, la doble derivada de la función se convierte en 0.
· Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos
El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función F es convexa en un intervalo abierto que contiene a C y f´(c) = 0, f (c) debe ser un mínimo relativo a f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a c y f´(c) = 0, f (c) debe ser un máximo relativo de f.
· Análisis de la variación de una función. Graficación
Cuando la variación total de cualquier función particular es finita, en ese caso, esa función se conoce como Función de Variación Acotada, que puede ser abreviada como función BV (Bounded Variation por sus siglas en inglés). El gráfico correspondiente de la función BV se dice entonces que se comporta bien en un sentido preciso. La función BV tiene amplias aplicaciones en el campo de las matemáticas, y es utilizada en algunos de los teoremas más importantes, tal como son los Teoremas de Fourier. En el caso de la funciones continuas que contienen sólo una variable, la variación acotada implica la distancia finita cubierta por un punto a lo largo del eje y. Otra clasificación establece que las funciones de variación acotada, tienen la propiedad de intervalo cerrado, son las funciones que se pueden establecer como la diferencia entre dos monótonas acotadas.
La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como
Donde S es el conjunto acotado:
La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x). Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función: 
1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g (y) – g(x).
2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0. 
Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. 
| G (ri) – g (ri - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.
3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso
a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].
b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].
c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].
d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]
e). gf es también BV en el conjunto [x, y].
Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.
Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.
La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y].
 Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.
Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:
1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.
· Problemas de optimización y de tasas relacionadas
La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.
Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.
Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:
1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.
2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.
3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.
4). Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.
Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene,
g’ ® = −2r + 4 = 0
Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,
g (0) = −2 g (1) = 1
Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.
Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas. Se trata de un problema en el que se proporciona la tasa de variación de al menos una variable de la función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.
· Calculo de aproximaciones usando diferenciales
La fórmula que se aplica para realizar una aproximación a través de la diferencial surge justamente a partir de la definición de la derivada de una función como un límite.
Esta fórmula viene dada por:
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)*(x-x0) = f(x0) + f'(x0)*Δx.
Aquí se entiende que Δx=x-x0, por lo tanto, x=x0+Δx. Utilizando esto la fórmula puede reescribirse como
f(x0+Δx) ≈ f(x0) + f'(x0)*Δx.
Cabe destacar que “x0” no es un valor arbitrario, sino que es un valor tal que f(x0) es conocido fácilmente; además, “f(x)” es justo el valor que queremos aproximar.
¿Hay mejores aproximaciones?
La respuesta es sí. La anterior es la más sencilla de las aproximaciones llamada “aproximación lineal”.
Para aproximaciones de mejor calidad (el error cometido es menor) se utilizan polinomios con más derivadas llamados “Polinomios de Taylor”, así como también existen otros métodos numéricos como el método de Newton-Raphson entre otros.
Estrategia
La estrategia a seguir es:
– Escoger una función f adecuada para realizar la aproximación y el valor “x” tal que f(x) sea el valor que se quiere aproximar.
– Escoger un valor“x0”, cercano a “x”, tal que la f(x0) sea fácil de calcular.
– Calcular Δx=x-x0.
– Calcular la derivada de la función y f'(x0).
– Sustituir en la fórmula los datos.
· La regla de L´ Hôpital.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.​ La explicación es que ambos habían entrado en un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L'Hopital compró los derechos de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli.
La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que se deriva el numerador y el denominador por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendrá: f'(x)/g'(x).