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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2006
1. [ANDA] [JUN-A] Sea I = 
2
x3
1+x2
dx
0
.
a) Expresa I aplicando el cambio de variable t = 1+x2.
b) Calcula el valor de I.
2. [ANDA] [JUN-B] El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = x
2
a
 e y = ax, con a > 0, vale 3. Calcula el valor de a.
3. [ANDA] [SEP-A] Calcula:
a) 5x
2-x-160
x2-25
dx
b) 2x-3 tg x2-3x dx, siendo tg la función tangente.
4. [ANDA] [SEP-B] Halla la función f: sabiendo que f''(x) = 12x-6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de
abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x-y-7 = 0.
5. [ARAG] [JUN-A] a) Utilizando el cambio de variable t = ex, calcular ex+exdx.
b) Calcular lim
x0
sen x
7x2
.
6. [ARAG] [JUN-B] La función f:[0,+) definida por f(x) = 
ax si 0  x  8
x2-32
x-4
si x > 8
 es continua en [0,+).
a) Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.
b) Calcular 
10
f(x)dx
0
.
7. [ARAG] [SEP-A] Dadas las funciones f(x) = x2 y g(x) = x3, determinar el área encerrada por las gráficas de ambas funciones
entre las rectas:
a) x = 0 y x = 1.
b) x = 1 y x = 2.
8. [ARAG] [SEP-B] Usando el cambio de variable t = lnx, calcular ln(lnx)
xlnx
dx.
9. [ASTU] [JUN] Sea la función f(x) = 3x
3
x2-4
. Calcula:
a) Las asíntotas de la función.
b) 
1
f(x)dx
-1
.
10. [ASTU] [SEP] La curva y = x2-2x+1 y la recta que pasa por los puntos A 1,0 y B 3,4 limitan un recinto finito en el plano.
a) Traza un esquema gráfico de dicho recinto.
b) Halla su área.
11. [C-LE] [JUN-A] Hállese el área del recinto limitado por la parábola y = -x2 y la recta y = 2x-3.
12. [C-LE] [JUN-B] Dada la función f(x) = x-1
x+1
, se pide:
a) Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las
asíntotas de f. Esbócese su gráfica.
b) Calcúlese el área de la región limitada por dicha gráfica y las rectas x = 0, y = 0.
13. [C-LE] [SEP-A] Calcúlese el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = x3-3x2+2x y por la recta tangente a dicha curva
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Selectividad CCNN 2006
en el punto x = 0.
14. [C-LE] [SEP-B] Sea f(x) = 4-2x
2
x
.
a) Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica.
b) Calcúlese 
2
f(x)ln(x)dx
1
.
15. [C-MA] [JUN] Calcular la integral indefinida x+2
x2-2x+1
dx.
16. [C-MA] [JUN] Dadas las funciones f(x) = x2-1 y g(x) = 1-x:
a) Esboza el recinto encerrado entre sus gráficas.
b) Calcula el área de dicho recinto.
17. [C-MA] [SEP] Calcula la siguiente integral: x
3+1
x2+4
dx.
18. [C-MA] [SEP] Dibuja aproximadamente las gráficas de las funciones f(x) = x2-3 y g(x) = 2x, y sombrea el área que queda
encerrada entre ellas.Calcula el valor de dicha área.
19. [CANA] [JUN-B] Calcular x
3-2x2+x-1
x2-3x+2
dx
20. [CANA] [SEP-A] Calcular 2x
x3-2x2-x+3
dx.
21. [CANA] [SEP-B] Calcular 
1
x2+5 e-xdx
0
.
22. [CATA] [SEP] Considere la parábola de ecación y = x2+2x-3.
a) Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola en los puntos de abscisa x = -1 y x = 1.
b) Calculando el mínimo de la función y = x2+2x-3, encuentre el vértice de la parábola.
c) Encuentre las intersecciones de la prábola con los ejes y haga una representación gráfica de la parábola y de las tangentes
obtenidas en el primer apartado.
d) Calcule el ára comprendida entre la parábola y las rectas tangentes.
23. [CATA] [SEP] La gráfica de la función f(x) = 1
2x+1
, cuando x > 0, es tal como sigue.
a) Encuentre una primitiva de la función f.
b) Calcule el área de la región sombreada.
24. [EXTR] [JUN-A] Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva y = x4, su recta trangente en el punto 1,1 y el
eje OX. Calcula su área.
25. [EXTR] [JUN-B] Halla una primitiva de la función f(x) = xex.
26. [EXTR] [SEP-A] Enuncia la regal de Barrow. Representa la gráfica de la función f(x) = 
x
tdt
1
.
27. [EXTR] [SEP-B] Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función f(x) = cosx, en el intervalo -
2
  x  
2
 y por la
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recta y = 1
2
. Calcula su área.
28. [MADR] [JUN-B] a) Estudiar y representar gráficamente la función f(x) = 1
(x-2)2
.
b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función anterior y las rectas y = 1, x = 5
2
.
29. [MADR] [SEP-A] Calcular 
2
dx
x2+2x
1
30. [MADR] [SEP-B] Dada la función f(x) = xe2x, se pide:
a) Dibujar su gráfica, indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x) entre -1  x  1.
31. [MURC] [JUN] i) Enuncie el teorema fundamental del Cálculo.
ii) Calcule la integral siguiente: I = 
1
x2-1 e-2xdx
0
.
32. [MURC] [JUN] Calcule el área determinada por la función f(x) = x
2
x2+4x+3
 y las rectas y = 0, x = 0 y x = 3.
33. [MURC] [SEP] Calcule la siguiente integral: I =
1
x2+1
x2-4
dx
0
.
34. [MURC] [SEP] Calcule el área de la región determinada por las curvas y = x2 e y = x1/2.
35. [RIOJ] [JUN] Sea a un número positivo menor que 4. Calcula 
a
1
x3-4x2-25x+100
dx
-a
36. [RIOJ] [SEP] Calcula 16-x2dx (expresa el resultado final en función de la varible x).
37. [RIOJ] [SEP] Dibuja la figura comprendida entre las funciones f(x) = cos(x) y g(x) = 2x

+1 y calcula su área (nota: el cosena está
dado en radianes).
38. [VALE] [JUN-A] a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función f(x) = x2-4, cuando -1  x  4.
b) Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = x2-4 en el intervalo -1,4 .
c) Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y = f(x) y las rectas x = -1, x = 4 e y = 0.
39. [VALE] [SEP-A] Dadas las funciones f(x) = x3-3x+8 y g(x) = -3x, se pide:
a) Calcular el máximo absoluto de la función f(x) en el intervalo [-3,0].
b) Calcular el punto de corte de la curva y = f(x) y la recta y = g(x).
c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y = f(x) y las rectas y = g(x), x = -3 y x = 0.
 Soluciones
1. a) 1
2
5
t-1
t
dt
1
 b) 2 5+2
3
 2. 3 3. a) 5x+3ln|x+5|-9
2
ln|x-5|+c b) -ln cos x2-3x +c 4. f(x) = 2x3-3x2-8x+13 5. a) eex+c b) no existe  6. a) 8 b) 206
3
 - 16ln3
2
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7. a) 1
12
 b) 17
12
 8. [ln(lnx)]
2
2
+c 9. a) x = -2; x = 2; y = 3x b) 0 10. a) b) 4
3
 11. 32
3
 12. a) Creciente: . Cóncava: -1,+ . Asíntotas: y = 1. Gráfica:
2 4-2-4
2
4
-4
X
Y
 b) 2ln2-1 13. 27
4
 14. a) Dominio: -{0}. Asíntotas: x = 1, y = -2x. Simetría: respecto al origen. Gráfica: 
1 2 3-1
1
3
-2
X
Y
 b) ln4-1 15. ln|x-1|- 3
x-1
+c 16.
a) b) 9
2
 17. x
2
2
-2ln x2+4 + 1
2
arctgx
2
+c 18. 32
3
 19. x
2
2
+x+ln x2-3x+2 +c 20. - 1
2
ln|x-1|- 1
4
ln|x+1|+3
4
ln|x-3|+c 21. 7e-10
e
 22. a) y = -4; y
= 4x-4 b) -1,4 c) 1 2 3-1-3
1
-2
-4
X
Y
 d) 2
3
 23. a) F(X) = 1
2
ln(2x+1)+c b) 1
2
ln9
5
 24. 6
5
 25. F(x) = xex-ex+c 26. f(x) = x
2-1
2
 
1 2-1-2
1
2
3
X
Y
 27.
 3 3-
3
 28. a) Dom: -{2}. Asint: x = 2, y = 0. Crec: -,2 . 
1 2 3 4 5-1
1
3
X
Y
 b) 1
2
 29. 1
2
ln3
2
 30. a) Dom: . Crec: - 1
2
,+ . Conv: -3
2
,+ .
P.infl: -3
2
. Graf: 
-1-2
1
2
-1
X
Y
 b) e
-2+e2+2
4
 31. ii) -3e
-2-1
4
 32. 6-7ln2
2
 33. 4-5ln3
4
 34. 1
3
 35. 4
45
ln5-a
5+a
 - 1
9
ln4-a
4+a
 36. 8arcsenx
4
+x
2
16-x2+c 37.
1-1-2-3-4
1
-1
X
Y
 2- 
2
 38. a) 
2 4-2
2
4
6
-4
X
Y
 b) 2,0 , 4,12 c) 59
3
 39. a) -1,10 b) -2,6 c) 21
4
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