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Colecciones de ejercicios
Integrales
Selectividad CCNN 2013
1. [ANDA] [EXT-A] a) Determina la función f:    tal que f'(x) = (2x+1)e-x y su gráfica pasa por el origen de coordenadas.
b) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
2. [ANDA] [EXT-B] Sea g:    la función definida por g(x) = -x2+6x-5.
a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa x = 4.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta x-2y+2 = 0. Calcula el área de este recinto.
3. [ANDA] [JUN-A] Sean f:  y g:  las funciones definidas mediante
f(x) = |x(x-2)| y g(x) = x+4
a) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas.
b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.
4. [ANDA] [JUN-B] Sea g:    la función definida por g(x) = ln x2+1 (donde ln denota el logaritmo neperiano). Calcula la
primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.
5. [ARAG] [EXT-A] a) Calcule: 
3
1
2x2-4x+2
dx
2
b) Determine el límite: lim
x+
1+2ln(x)+[ln(x)]2
x[1+ln(x)]
6. [ARAG] [EXT-B] a) Considere las funciones: f(x) = x2+1 y g(x) = 3-x.
Determine los puntos de corte de esas dos funciones.
Determine el área encerrada entre esas dos funciones.
b) Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función: h(x) = x6+2.
7. [ARAG] [EXT-B] a) Usando el cambio de varialble t = ex, calcule: e
x
1-e-x
dx
b) Calcule: lim
x+
x-1
x+1
x
8. [ARAG] [JUN-A] a) Determine la función f(x) cuya derivada es f'(x) = 2xe5x y que verifica que f(0) = 2.
b) Calcule: lim
x2+
1
3-x
1
(2-x)2
9. [ARAG] [JUN-B] a) Sea la función f(x) = x
3
x2-1
. Determine el dominio y las asíntotas de f(x), si existen.
b) Determine el área del recinto encerrado por las funciones: f(x) = -x2+3 y g(x) = 1.
10. [ARAG] [JUN-B] a) Determine qué valor debe tomar k para que lim
x+
2x- 4x2+kx-5 = 1.
b) Calcule: 2x[ln(x)]2dx.
11. [ASTU] [EXT-A] Calcule 

2
(sen(2x)+xsenx)dx
0
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Integrales
Selectividad CCNN 2013
12. [ASTU] [EXT-B] Las gráficas de las funciones f(x) = sen 
2
x y g(x) = x2 limitan un recinto finito en el plano.
a) Dibuje un esquema del recinto.
b) Calcule se área.
13. [ASTU] [JUN-A] Sea la función f:    definida por f(x) = 
4x+12 si x  -1
x2-4x+3 si x > -1
.
a) Haga un dibujo aproximado de la gráfica de la función f.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y la recta x = 2.
14. [ASTU] [JUN-B] Sea la parábola y = x2-3x+6.
a) Halle la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa x = 3.
b) Haga un dibujo aproximado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada
anteriormente.
c) Calcule el área del recinto anterior.
15. [C-LE] [EXT-A] a) Hallar lim
x+
xln(x+1)
x2+1
.
b) Calcular x+1+1
x+1
dx.
16. [C-LE] [EXT-B] a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f(x) = 1
x2-x-2
.
b) Calcular 1
x2-x-2
dx.
17. [C-LE] [JUN-A] Sea la función f(x) = a x+bx si 0  x  1
clnx si 1 < x
. Hallar a, b y c sabiendo que f(x) es continua en (0,), la recta
tangente a f(x) en el punto de abscisa x = 1
16
 es paralela a la recta y = -4x+3, y se cumple que 
e
f(x)dx = 2
1
.
18. [C-LE] [JUN-B] Sea la función f(x) = x-2
x+2
.
a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento.
b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y = 1, la gráfica de la función f(x), el eje OX y la recta x = 2; calcular el área de
dicho recinto.
19. [C-MA] [EXT-A] Calcula las siguientes integrales:
1 + x + x
x2
dx , e
x
e2x - 3ex + 2
dx
Observación: El cambio de variable t = ex puede ayudarte a calcular la segunda integral.
20. [C-MA] [EXT-B] a) Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = 1/x y g(x) = -2x+3.
b) Calcula el área de la región anterior.
21. [C-MA] [JUN-A] Calcula el valor del parámetro a, a > 0, para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región
limitada por la parábola f(x) = -x2+a2 y el eje de abscisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en
el punto de abscisa x = -a.
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22. [C-MA] [JUN-B] Calcula las siguientes integrales:
2senx cosx
1+sen2x
dx x
2+x-4
x3-4x
dx
23. [CANA] [EXT-A] La siguiente gráfica corresponde a la función f(x) = x2-4x+3
representada respecto a los ejes coordenados. Calcular el área de la parte sombreada.
24. [CANA] [JUN-A] Resolver las siguientes integrales: (a) 5x+ 3x
x2
dx (b) 

6sen x
5-3cos x
dx
0
25. [CATA] [EXT] De la función P(x) = x3+ax2+bx+2 sabemos que
> tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
> la integral definida en el intervalo [0,1] vale - 5
4
.
Calcule el valor de los parámetros a y b.
26. [CATA] [JUN] La curva y = x2 y la recta y = k, con k > 0, determinan una región plana.
a) Calcule el valor del área de esta región en función del parámetro k.
b) Encuentre el valor de k para que el área limitada sea 6 u2.
27. [EXTR] [EXT-A] Calcule el valor de la integral definida 
1
2x
x2+1
 + (2x-1)ex
2-x + 2sen(2x) dx
0
28. [EXTR] [EXT-B] a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y = 1-x2, el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2.
b) Calcule el área de dicho recinto.
29. [EXTR] [JUN-A] a) Halle, utilizando la fórmula de integración por partes,una primitiva de la función f(x) = 1+lnx.
b) Calcule el área de la región limitada por la curva y = lnx, la recta horizontal y = -1 y las rectas verticales x = 1 y x = e.
30. [EXTR] [JUN-B] Calcule la siguiente integral de una función racional: 3x
x2+x-2
dx.
31. [MADR] [EXT-B] Dada la función f(x) = x
x2+1
, se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 0.
b) Calcular 
1
xf(x)dx
0
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Selectividad CCNN 2013
32. [MADR] [JUN-A] Calcular las siguientes integrales: a) x-3
x2+9
dx ; b) 
2
3-x2+x4
x3
dx
1
.
33. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) = 2cos2x, se pide:
a) Determinar los extremos absolutos de f(x) en -
2
,
2
.
b) Determinar los puntos de inflexión de f(x) en -
2
,
2
.
c) Calcular 
/2
f(x)dx
0
.
34. [MURC] [EXT-A] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = 6
x2+2x-8
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = -2 y x = 0.
35. [MURC] [EXT-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x2ex.
b) Calcule la siguiente integral definida: 
1
x2exdx
0
.
36. [MURC] [JUN-A] Calcule la siguiente integral indefinida: 10
x2-x-6
dx.
37. [MURC] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = arctgx.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 1.
38. [RIOJ] [EXT] Calcula una primitiva de la función f'(x) = 1
1-x2
 de modo que f(2) = lim
x0
ln x2+1
x
.
39. [RIOJ] [JUN-A] Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange.
Para la función xsenx si x  
acosx+b si x > 
i) Estudia la derivabilidad de f(x) en función de a y b; expresa la función derivada f'(x) donde exista.
ii) Calcula el área que determina la función f(x) en el intervcalo [0,].
40. [VALE] [EXT-B] En el plano XY está dibujada una parcela A cuyos límites son dos calles de ecuaciones x = 0 y x = 40,
respectivamente, una carretera de ecuación y = 0, y el tramo del curso de un río de ecuación y = f(x) = 30 2x+1, con 0  x  40,
siendo positivo el signo de la raíz cuadrada.
Se pretende urbanizar un rectágulo R inscrito en la parcela A, de manera que los vértices de R sean los puntos (x,0), x,f(x) ,
40,f(x) y (40,0).Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) El área de la parcela A.
b) los vértices del rectángulo R al que corresponde área máxima.
c) El valor de dicha área máxima.
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