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Colecciones de ejercicios
Derivadas
Selectividad CCNN 2013
1. [ANDA] [EXT-A] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero
y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima.
2. [ANDA] [EXT-B] Sea f: (0,+)   la función definida por f(x) = 2ln(x)
x2
 (donde ln denota el logaritmo neperiano).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y
valores que se alcanzan).
b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
3. [ANDA] [JUN-A] Sabiendo que lim
x0
xcos(x) + bsen(x)
x3
 es finito, calcula b y el valor del límte.
4. [ANDA] [JUN-B] Sea f: (-,1)  R la función definida por f(x) = x+2e
-x si x  0
a b-x si 0 < x < 1
.
a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio.
b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
5. [ARAG] [EXT-A] Sea la función f(x) = (x+2)
2
x2+4x+3
.
a) Determine su dominio de definición.
b) Encuentre las asíntotas que tenga esa función.
c) Considere ahora la función g(x) = (x+2)
2
x+3
. Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos, si
existen.
6. [ARAG] [JUN-A] Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que
recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un
cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste.
El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase
figura).
El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metrro de cable
aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué
parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea
mínimo?
7. [ASTU] [EXT-A] Calcule los siguientes límtes:
a) lim
x0
 1+x
2 - 1
1 - cos x
b) lim
x0
 (1-cos x)cotg x.
8. [ASTU] [EXT-B] El coste diario de una máquina que muele trigo para hacer harina depende de las toneladas molidas y viene dado
por la función f(x) = x3+2x2-15x+93 donde x es el número de toneladas molidas.
a) Obtenga la producción diaria óptima para minimizar los costes.
b) ¿Cuál es el coste mínimo diario?
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9. [ASTU] [JUN-A] Considere la curva y = 1
3
x3 - 4x2 - 2
3
x - 4.
a) Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta 0 = 2x+3y-4.
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1.
10. [C-LE] [EXT-A] Sea f(x) = (x+1)e-x. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de
concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
11. [C-LE] [EXT-B] a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica.
b) Estudiar la continuidad de la función f(x) = 
e1/x si x < 0
k si x = 0
1-cos(x)
sen(x)
si x > 0
 en el intervalo - 
2
,
2
, según los valores de k.
12. [C-LE] [JUN-A] a) Estudiar el crecimiento de la función f(x) = x3+3x2-3.
b) Probar que la ecuación x3+3x2-3 = 0 tiene exactamente tres soluciones reales.
13. [C-LE] [JUN-B] Determinar, de entre todos los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima.
14. [C-MA] [EXT-A] a) Calcula el valor de a, a > 0, para que la función f(x) = 
ex-e-x
ax
si x < 0
2x+7
2x+1
x
si x  0
 sea continua en x = 0.
b) Calcula el límite lim
x+
f(x).
15. [C-MA] [EXT-B] a) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
b) Halla el punto de la gráfica de la función f(x) = x3+3x2+1 donde la recta tangente tiene pendiente mínima.
16. [C-MA] [JUN-A] a) Enuncia el teorema de Bolzano.
b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x5-10x4+10x3+3 y g(x) = ex se cortan en algún punto con coordenada de
abscisa entre -1 y 0.
c) Calcula los puntos de inflexión de f(x).
17. [C-MA] [JUN-B] a) Calcula los valores de los parámetros a,b para que la función f(x) = ax
2+bx
x+1
 tenga como asíntota oblicua la
recta y = 2x+3.
b) Para los valores encontrados, escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisas x = 0.
18. [CANA] [EXT-A] a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la función y = x2+1 en su punto extremo.
b) Calcular lim
x4
x+2
6
1
x-4
c) Calcular lim
x0
x2-1
x2
 - 1
x
.
19. [CANA] [EXT-B] Dada la función f(x) = 
(x+a)2 x  -1
bx
x+2
 x > -1
Hallar los valores de a y b para que f(x) sea derivable en todo .
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20. [CANA] [EXT-B] Entre todos los rectángulos de área 8 m2 hallar las dimensiones del que minimiza el producto de las diagonales.
21. [CANA] [JUN-A] Determinar los valores de a y b para que la función f(x) = e
ax si x  0
2a+bsenx si 0 < x
 sea derivable.
22. [CANA] [JUN-B] a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función f(x) = x3+ax2+bx+c tiene extremos relativos en
x = 1 y x = -3, y que corta a su función derivada en x = 0. Determinar asimismo la naturaleza de los extremos.
b) Calcular el límite: lim
x2
x+2 - 2
2x-3 - 1
23. [CANA] [JUN-B] La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de
forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo.
El perímetro del rectángulo es de 100 metros. Calcular las longitudes de sus lados para que
el área del rombo inscrito sea máxima.
24. [CATA] [EXT] Se quiere construir una tienda en forma de pirámide regular de base
cuadrada. Disponemos de 300 m2 de tela para la fabricación de las cuatro caras de la
tienda (se supone que en la elaboración de las caras no se pierde tela). Designamos x la
longitud de un lado de la base de la tienda.
a) Sabiendo que el volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por la
altura, compruebe que, en este caso, V(x) = x 9·10
4 - x4
6
b) Determine el valor de x para que el volumen sea lo mayor posible (no es necesario que
compruebe que el valor obtenido corresponde realmente a un máximo)
25. [CATA] [JUN] Se quiere construir un canal que tenga como sección un trapecio isósceles de manera que la
anchura superior sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelos sean de 8 metros. A la
derecha tiene un esquema de la sección del canal.
a) Encuentre el valor del segmento L de la gráfica en función de la variable x (anchura inferior del canal).
b) Sabemos que el área de un trapecio es igual a su altura multiplicada por la semisuma de sus bases.
Compruebe que, en este caso, el área de la sección viene dada por A(x) )= 3x 256-x
2
4
.
c) Calcule el valor de x para que el área de la sección del canal sea máxima (no es necesario que compruebe que es realmente un
máximo).
26. [CATA] [JUN] La función f(x) es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La gráfica
de la función derivada es la que puede ver aquí dibujada, siendo f'(x) creciente en los
intervalos (-,-3] y [2,+).
a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto de
abscisa x = 0.
b) Indique las abscisas de los extremos relativos de la función f(x) y clasifique estos
extremos.
27. [EXTR] [EXT-A] a) Defina a trozos la función f(x) = 2-x·|x| y represéntela gráficamente.
b) Estudie la derivabilidad de f(x) en toda la recta real.
c) Calcule la función derivada f'(x) para los valores de x que exista.
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28. [EXTR] [EXT-B] a) Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función
f(x) = x
3
(x-1)2
b) Represente la función f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado a).
29. [EXTR] [JUN-A] Estudie si la recta r de ecuacióny = 4x-2 es tangente a la gráfica de la función f(x) = x3+x2-x+1 en alguno de
sus puntos.
30. [MADR] [EXT-A] Dada la función f(x) = 4
x-4
 + 27
2x+2
, se pide:
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión.
c) Esbozar la gráfica de la función.
31. [MADR] [EXT-B] Dada la función f(x) = e1/x, se pide:
a) Calcular lim
x+
f(x), lim
x-
f(x) y estudiar la existencia de lim
x0
f(x).
b) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimeinto y decrecimiento de f(x) y sus asíntotas.
32. [MADR] [JUN-A] Dada la función f(x) = x
3
(x-3)2
, se pide:
a) Hallar las asíntotas de su gráfica.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.
33. [MURC] [EXT-A] Calcule los siguientes límites:
a) lim
x+
 x
2+1
x2-1
x2+2
b) lim
x0
 senx
2
1-cosx
34. [MURC] [EXT-B] Descomponga el número 48 como suma de dos números positivos de tal manera que el producto de uno de ellos
por el cubo del otro sea el mayor valor posible.
35. [MURC] [JUN-A] Dada la función f(x) = x
2
x-1
, se pide:
a) Dominio de definición y punto de corte con los ejes.
b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas).
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos).
d) Representación gráfica aproximada.
36. [MURC] [JUN-B] Considere la función dada por f(x) = 
x
1-ex
si x  0
-1 si x = 0
a) Demuestre que la función es continua en todo .
b) Determine si la función es derivable en x = 0 y, en caso afirmativo, calcule f'(0).
37. [RIOJ] [EXT-A] Un segmento de longitud l se apoya en los eje coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un
triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abscisa en que se apoya para que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa
l, sea máximo.
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38. [RIOJ] [EXT-B] i) Si h(x) es una función real tal que h(0) = 0 y h'(0) = 1 y g(x) = esen(h(x)), aplica la regla de la cadena para
calcular la derivada g'(0).
ii) Calcula los posibles valores de a, b, c para los que f(x) = alnx + bx + cx2 tiene en (1,0) un mínimo relativo y cumple que
lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
39. [RIOJ] [JUN] Dependiendo de los valores de a, estudia la continuidad de la función f(x) = 
ex-1 2
ex2-1
si x  0
a si x = 0
.
40. [RIOJ] [JUN-B] Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la
función f(x) = xex. Con los datos obtenidos, haz una representación gráfica aproximada de f(x).
41. [VALE] [EXT-A] Se dan las funciones f(x) = 1
2
ln 1+x
1-x
 y g(x) = ln 1-x
1+x
. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos
del razonamiento utilizado:
a) Las derivadas de f(x) y g(x).
b) Los dominios de definición de f(x) y g(x).
c) La expresión simplificada de la función f(x)+g(x), y el recorrido de esta función f(x)+g(x).
42. [VALE] [JUN-A] Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes. Se obtuvo que la ecuación de su
trayectoria T es y2 = 2x+9, siendo -4,5  x  8 e y  0, estando situado el Sol en el punto (0,0). Obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La distancia del meteorito al Sol desde el punto P de su trayectpria cuya abscisa es x.
b) El punto P de la trayectoria T donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol.
c) Distancia mínima del meteorito al Sol.
Nota. En los tres resultados solo se dará la expresión algebraica o el valor numérico onbtenido, sin mencionar la unidad de medida
por no haber sido indicada en el enunciado.
43. [VALE] [JUN-B] Dada la función f definida por f(x) = senx, para cualquier valor real x, se pide obtener razonadamente,
escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = /6.
b) La ecuación de la recta normal a la curva y = f(x) en el punto de abscisa x = /3. Se recuerda que la recta normal a una curvaen
un punto P es la recta que pasa por ese punto P y es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto P.
c) El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b).
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