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Integrales
Selectividad CCNN 2012
1. [ANDA] [JUN-A] Sea f una función continua en el intervalo [2,3] y F una primitiva de f tal que F(2) = 1 y F(3) = 2. Calcula: 
1. 
3
f(x)dx
2
2. 
3
5f(x)-7 dx
2
3. 
3
F(x) 2f(x)dx
2
2. [ANDA] [JUN-B] Sea la función f definida por f(x) = 2
x2-1
, para x  -1 y x  1.
a) Halla una primitiva de f.
b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [2,k] sea ln(2),
donde ln denota el logaritmo neperiano.
3. [ANDA] [SEP-A] Sea I = 
1
x
1+ 1-x
dx
0
.
a) Expresa la integral I aplicando el cambio de variable t = 1-x.
b) Calcula el valor de I.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea f:  la función definida por f(x) = 9-x
2
4
.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta x+2y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.
5. [ARAG] [JUN-A] Calcule la siguiente integral indefinida x
2+11x
x3-2x2-2x+12
dx
6. [ARAG] [JUN-B] a) Calcule la siguiente integral indefinida: cos[ln(x)]dx.
(Ayuda: realice un cambio de variable adecuado para esta integral).
b) Calcule el límite siguiente: lim
x+
x2
x+3
ln x+5
x-1
.
7. [ARAG] [SEP-A] Considere las funciones f(x) = ex+1 y g(x) = e-x+5.
a) Determine los posibles puntos de corte de esas dos funciones.
b) Calcule el área encerrada entre esas dos funciones y las rectas x = 1 y x = 3.
8. [ARAG] [SEP-B] a) Calcule el límite lim
x+
x+6
x+2
3x
.
b) Calcule la integral 
/2
esen(x)sen(x)cos(x)dx
0
 usando el cambio de variable sen(x) = t.
9. [ASTU] [JUN-A] Calcule 
2
dx
x2+3x
1
10. [ASTU] [JUN-B] Halle el área de la zona del plano limitada por las rectas y = 0, x = 1 y x = e, y la gráfica de la curva y = Ln2(x).
11. [ASTU] [SEP-A] Las curvas y = ex, y = e-x y la recta x = 1 limitan un recinto finito en el plano.
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a) Dibuje un esquema del recinto.
b) Calcule su área.
12. [ASTU] [SEP-B] Se considera la curva de ecuación y = x3-2x2+x.
a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa curva en el origen.
b) Dibuje un esquema del recinto limitado por la gráfica de la curva y la recta hallada.
c) Calcule el área de ese recinto.
13. [C-LE] [JUN-A] Sea f(t) = 1
1+et
a) Calcular f(t)dt.
b) Sea g(x) = 
x
f(t)dt
0
. Calcular lim
x0
g(x)
x
.
14. [C-LE] [JUN-B] a) Calcular 1
x2+2x+3
dx.
b) Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f(x) = ax3+2x2+3 en los puntos de
abscisas x = 1 y x = -1 sean perpendiculares.
15. [C-LE] [SEP-A] a) Calcular sen(2x)
3+sen2(x)
dx
b) Calcular lim
x0
ln(1+x)+ln(1-x)
xsen(x)
dx
16. [C-LE] [SEP-B] a) Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y = x3-6x2+4x+8 la recta tangente a la misma es paralela a
la recta y = 4x+7.
b) Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x = 1, x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la
función f(x) = x2-4 y el eje OX.
17. [C-MA] [JUN-A] a) Esboza la región encerrada entre la parábola f(x) = x2-1 y la recta g(x) = 5-x.
b) Calcula el área de la región anterior.
18. [C-MA] [JUN-B] Calcula las integrales: I1 = 
1
4+9x2
dx e I2 = tagx+ 
1
tagx
dx.
19. [C-MA] [SEP-A] Calcula las siguientes integrales: sen2x cosx dx ; 
e x
x
dx.
20. [C-MA] [SEP-B] Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones f(x) = x3-3x2+2x+1 y g(x) = 1.
21. [CANA] [JUN-A] Calcular:
1. 5 3 x-3x3+ 2
x2
dx 2. 5
(2x-3)2+9
dx 3. 
/2
cot x dx
/6
22. [CANA] [SEP-B] Calcular el área comprendida entre la gráfica de la función y = x3-6x2+8x y el eje OX, haciendo un dibujo
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aproximado y explicando.
23. [EXTR] [JUN-A] a) Calcule los puntos de corte de la recta 2y-x = 3 y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica xy = 2, x > 0.
b) Dibuje el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior.
c) Calcule el área de dicho recinto.
24. [EXTR] [JUN-B] Calcule la siguiente integral de una función racional: x
2+1
x2-1
dx.
25. [EXTR] [SEP-A] a) Diga cuándo una función F(x) es primitiva de otra función f(x).
b) Haciendo el cambio de variable t = x-1, calcule la primitiva de la función f(x) = x x-1 cuya gráfica pasa por le punto (1,0) del
plano.
26. [EXTR] [SEP-B] Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F(x) de la función f(x) = (x+1)2·senx que
cumpla F(0) = 1.
27. [MADR] [JUN-A] Calcular razonadamente las siguientes integrales denidas:
1. 

e2xcosxdx
0
2. 
/2
sen2x
1+cos22x
dx
0
28. [MADR] [SEP-B] Dada la funcion f(x) = x2sen x, se pide:
a) Determinar, justicando la respuesta, si la ecuacion f(x) = 0 tiene alguna solucion en el intervalo abierto (/2,).
b) Calcular la integral de f en el intervalo [0,].
c) Obtener la ecuacion de la recta normal a la graca de y = f(x) en el punto (,f()). Recuerdese que la recta normal es la recta
perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
29. [MURC] [JUN-A] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = 
1
1+ x
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 9.
30. [MURC] [JUN-B] a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x
2
ex
.
b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = 0 y x = 1.
31. [MURC] [SEP-A] De todas las primitivas de la función f(x) = e
2x
1+ex
, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (0,1).
32. [MURC] [SEP-B] Calcule el área comprendida entre la curva y = 3
6+2x2
, el eje de abscisas y las rectas verticales que pasan por
los puntos de inflexión de dicha curva.
33. [RIOJ] [JUN] Sea f(x) una función positiva en el interalo [1,5], así f(x)  0 para 1  x  5. Si el área limitada por f(x), el eje de
abscisas (eje x) y las rectas x = 1 y x = 5 es igual a 6, calcula el área del recinto limitado por la función G(x) = f(x)+2 y las
mismas rectas.
34. [RIOJ] [SEP] Calcula el área de la región limitada por la función f(x) = lnx, la recta tangente a f(x) en x = e y el eje de abscisas.
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35. [VALE] [JUN-A] Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número
e. Sea f la función que para un número positivo x está definida por la igualdad f(x) = 4xlnx. Obtener razonadamente:
a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo.
b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xlnx en el punto (1,0).
c) El área limitada entre las rectas y = 0, x = e y x = e2 y la curva y = 4xlnx .
36. [VALE] [JUN-B] Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0,12) , B=(-x,x2) y C=(x,x2), siendo x2 < 12.
Obtener razonadamente:
a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C.
b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima.
Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de
parábola y = x2, cuando -2  x  2.
Obtener razonadamente:
c) El área de la superficie S.
d) El área total del escudo.
37. [VALE] [SEP-A] Se definen las funciones f y g por f (x) = -x2+2x y g(x) = x2.
Obtener razonadamente:
a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones.
b) El máximo relativo de la función f (x) = -x2+2x y el mínimo relativo de g(x) = x2.
c) Los puntos de intersección de las curvas y = -x2+2x e y = x2.
d) El área encerrada entre las curvas y = -x2+2x e y = x2, donde en ambas curvas la x varía entre 0 y 1.
 Soluciones
1.1. 1 1.2. -2 1.3. 7
3
 2. a) ln x-1
x+1b) 5 3. a) 
0
t-t2 dt
1
 b) 1
3
 4. a) y = -1
2
x+ 5
2
 b) ; 5
3
 5. ln x
2-4x+6
x+2
+7 2
2
arctgx-2
2
+c 6. a)
x(senlnx+coslnx)
2
+c b) 6 7. a) 2,e3 b) 2e4-4e3+2e2 8. a) e12 b) 1 9. 1
3
ln8
5
 10. e-2 11. a) b) e
2-2e+1
e
 12. a) y = x b) c)
4
3
 13. a) ln e
t
et+1
 +c b) 1
2
 14. a) 2
2
arctgx+1
2
 +c b)  15
3
 15. a) ln 3+sen2x +c b) -1 16. a) (0,8), (4,-8) b) 37
3
 17. a) b) 125
6
 18. 1
6
arctg3x
2
+c
; ln|tgx|+c 19. sen
3x
3
 +c; 2e x+c 20. 1
2
 21.1. 15
4
x 3 x-x3- 2
x
 +c. 21.2. 5
6
arctg2x-3
3
 +c 21.3. ln 2 22. 
1 2 3 4 5
1 X
Y
 ; 8 23. a) (1,2), (2,1), (-1,1) b)
1 2-1
1
2
X
Y
 c) ln4 24. x-ln|x+1|+ln|x-1|+c 25. 2 3x
2-x-2 x-1
15
 26. -(x+1)2cosx+2(x+1)senx+2cosx 27.1. -2e
2-2
5
 27.2. 
4
 28. a) no b)
-x2cosx+2xsenx+2cosx+c c) y = 1
2
x- 1

 29. a) 2 x-2ln x+1 b) 6-2ln4 30. a) -x
2-2x-2
ex
 b) 2e-5
e
 31. ex-ln ex+1 +ln2 32.  3
6
 33. 14 34. e-2
2
 35. a) 1
e
 b) y
= 4x-4 c) 3e4-e2 36. a) 12x-x3 b) B(-2,4), C(2,4) c) 32
3
 d) 80
3
 37. a) (-,1); (0,+) b) f: max. en 1; g: min. en 0 c) (0,0), (1,1) d) 1
3
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