Tema 03 - Polígonos

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9UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 3
POLÍGONOS
GEOMETRÍA
Es la figura geométrica cerrada, que se forma al unir tres o
más puntos no colineales mediante segmentos de recta.
 
Elementos:
Vértices : A, B, C, D y E
Lados : AB, BC, CD, DE, AE
A. Diagonal
Segmento que une dos vértices no consecutivos.
 
En la figura:
Diagonal: AC
Diagonal Media: MN
B. Región Convexa
Es aquella región en la cual, para todo segmento
cuyos extremos son puntos de la región, dicho
segmento está contenido en dicha región.
C. Región no Convexa
Es aquella región en la cual existen segmentos cuyos
extremos son puntos de la región, y el segmento
no está contenido integramente en la región.
 
Región no Convexa
I. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
Por la región que limitan.
A. Polígono Convexo
Polígono que limita una región convexa.
 
DESARROLLO DEL TEMA
10UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
POLÍGONOS
TEMA 3
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B. Polígono no Convexo o Cóncavo
Polígono que limita una región no convexa.
 
C. Polígono equiángulo
 
D. Polígono equilátero
 
E. Polígono Regular
Es aquel polígono equiángulo y equilátero a la vez.
 
II. PROPIEDADES DEL POLÍGONO
* En todo polígono de “n” lados
N° lados = N° vértices
* Suma de las medidas de los ángulos internos (S i)
 iS 180(n 2) 
* Suma de medidas de los ángulos exteriores.
eS 360 
III. NÚMERO DE DIAGONALES DE UN PO-
LÍGONO
A. Número de diagonales trazadas desde un vértice
 
En la figura se muestra un polígono de n lados.
 
N°diagonales
= n 3
de 1 vértice

Número total de diagonales
En todo polígono de n lados
 
N° total de n(n 3)=
2diagonales

B. Número de diagonales medias de un polígono
 
En la figura se tiene un polígono de “n” lados.
Sean: 1 2 3 nM ,M ,M ,.....,M los puntos medios de los
lados del polígono.
 
diagonales medias
de1 punto medio
N° = n-1
Número total de diagonales medias
En todo polígono de n lados
 total de diagonales medias
n(n-1)N° =
2
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POLÍGONOS
C. Medida de un ángulo interior
En la figura se muestra un polígono equiángulo de
“n” lados.
 : medida de un ángulo interior..
Entonces: 180°(n - 2)
n
 
D. Medida de un ángulo exterior
360
n
 
medida de un ángulo central de un polígono regular
(C ) .
Los polígonos según su número de lados se de-
nominan:
7 lados ......................... Heptágono
8 lados ......................... Octágono
9 lados ......................... Nonágono
10 lados ......................... Decágono
11 lados ......................... Endecágono
12 lados ......................... Dodecágono
15 lados ......................... Pentadecágono
20 lados ......................... Icoságono
Problema 1
En un polígono convexo ABCDEF se
tiene AB = 7, CD = 6 y DE = 8.
Calcule BF.
UNI 2009 - I
A) 7 3
2
B) 7
C) 5 3
D) 7 2
E) 7 3
Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide BF = x
Análisis de los datos o gráficos
ABCDEF es un hexágono equiángulo;
AB = 7; CD = 6 y DE = 8.
Operación del problema
Solución del problema:
60º
6
66
C
Q
D
E
F
B
AP
60º
60º
60º
7
7
7 X
7
30º
8
30º
QEFP es un trapecio isósceles
Del gráfico: PQ / /EF
360m e 60
6
    .....(1)
 PBA es equilátero
 ABF es isósceles
Conclusiones
PBF: (30°; 60°)
 x = 7 3
Respuesta: E) 7 3
Problema 2
Halle el número de diagonales de un
polígono regular ABCDE... sabiendo
que las mediatrices de los lados AB y
DE forman un ángulo de 60º.
A) 90
B) 105
C) 120
D) 135
E) 150
Resolución:
Ubicación de incógnita
 n n 3NºD
2

n: Nº de lados del polígono
problemas resueltos
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Análisis de los datos o gráficos
A
20º
20º20º
60ºM
B
T
20º
P
C Q D
N
E
F
O
m MON 60
Al trazar OP BC y OQ CD se tiene que:
m MOP m POQ m QOD 20º    
Operación del problema
• Aplicación de fórmula, teorema
o propiedad
Número de diagonales
Medida del ángulo exterior
• Solución del problema
En el cuadrilátero MBPO:
m TBP m MOP 20º  
360º 20º n 18
n
   
Finalmente
 18 18 3NºD
2

Conclusiones y respuesta
Nº D 135 
Respuesta: D) 135
Problema 3
Tres de las diagonales de un polígono
regular forman un triángulo equilátero.
Determine la suma de los ángulos
internos si se sabe que la medida de
su ángulo interno es mayor que 140°
pero menor que 156°.
A) 1440°
B) 1620°
C) 1800°
D) 1980°
E) 2160°
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: Suma de los ángulos internos
= Si
Análisis de los datos o gráficos
140º < i < 156º .... (1)
Operación del problema
Propiedad en el polígono regular
 180º n 2
i
n
–
=
en (1):
 180º n 2
140º< <156º
n
–
n 10;11;12 =
La cantidad de lados(n) debe ser
multiplo de tres, para que se pueda
formar el triángulo equilátero.
n 12 =
Si = 180º(n – 2) = 180º(12 – 2)
Conclusiones y respuesta
Si 1800º =
Respuesta: 1800