Tema 04 - Circunferencia trigonométrica II

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13UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 4
CIRCUNFERENCIA
TRIGONOMÉTRICA II
TRIGONOMETRÍA - TEMA 4
I. LÍNEA COTANGENTE
Para representar la cotangente de un arco en la C.T.
trazamos primero el eje de cotagentes (recta tangente
a la C.T. trazada por el origen de complementos), luego
se prolonga el radio que pasa por el extremo del arco
hasta que corte al eje en un punto: la abscisa de este
punto de intersección será la cotangente del arco.
Sabemos por teoría que: cot  = cot 
pero: xcot x
r 1
  

cot x  
A. En cada cuadrante
B. Variación analítica
C. Rango de valores de la cotangente
      cot 
lo cual implica que   cot .
II. LÍNEA SECANTE
La secante de un arco se representa en la C.T. mediante
la abscisa del punto que se determina al intersectar la
recta tangente trazada a la C.T. por el extremo del
arco y el eje de abscisas.
DESARROLLO DEL TEMA
14UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
TEMA 4
Exigimos más!
Sabemos por teoría que: sec  = sec 
pero:   xsec x
1
 sec x  
A. En cada cuadrante
B. Variación analítica
C. Rango de valores de la secante
      sec 1 sec 1
máx(sec  ) =1
mín(sec  ) = –1
relativos
III. LÍNEA COSECANTE
La cosecante de un arco se representa en la C.T.
mediante la ordenada del punto al que se determina
al intersecar la recta tangente a la C.T. trazada por el
extremo del arco y el eje de ordenadas.
Sabemos por teoría que: csc  = csc 
pero:   ycsc y
1
    csc y
A. En cada cuadrante
B. Variación analítica
C. Rango de valores de la cosecante
15UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 4
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
Exigimos más!
      csc 1 csc 1
 máx(sec  ) =–1
 mín(sec  ) = 1
relativos
Observación
Las coordenadas para el extremo de un arco en la C.T.
independientemente del cuadrante en el cual está
ubicado este arco, son coseno y seno de dicho arco
respectivamente; tal como se observa en la figura:
• Como muestra determinaremos las coordenadas
de los extremos de los arcos cuadrantes.
IV. LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
A. Senoverso o verso (Ver)
Es el segmento de recta orientado desde el pie de
la perpendicular que nos representa el seno hasta
el origen de arcos de la O.T.
Por definición:
Ver () = QA
Pero en la figura:
cos
QA 1 cos
 
  
 
Ver( ) 1 cos    
B. Cosenoverso o coverso (Cov)
Es el segmento de recta orientado desde el pie de
la perpendicular que nos representa el coseno hasta
el origen de complementos de la C.T.
Por definición:
Cov() = RB
Pero en la figura:
sen
RB 1 Sen
 
  
 
Cov( ) 1 sen    
C. Exsecante o external (exsec)
Es el segmento de recta orientado desde el origen
de arcos de la C.T. hasta el extremo final de la secante.
Por definición:
exsec() = 4S
Pero en la figura: AS = Sec – 1
Ex sec( ) sec 1    
16UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA II
TEMA 4
Exigimos más!
   A ' –1;0 ; T 1; Tan  
Formamos la matriz.
 
Como tomamos los puntos en senti-
do antihorario omitimos las barras, en-
tonces:
  1S –Tan – Sen – 02  
Conclusión y respuesta
Finalmente obtenemos:
 1S – Tan Sen
2
  
Respuesta: B)  
1– Tan + Sen
2
 
Problema 3
Hallar max minF F , si:
     F 2Sen 3Vers 4 cov
UNI
Nivel intermedio
A) 18 B) 16
C) 15 D) 14
E) 12
Resolución:
Se sabe que:    
  
  
1 Sen 1
0 vers 2
0 cov 2
luego:
   
     
max
min
F 2(1) 3(0) 4(2) 10
F 2( 1) 3(2) 4(0) 8
Respuesta: A) 18
Problema 1
Ordenar de menor a mayor:
 1 1 1M Sen ,N Cot ,P Cos
2 3 4
     
       
     
UNI
Nivel fácil
A) M, N, P B) M, P, N
C) P, N, M D) N, P, M
E) P, M, N
Resolución:
Los argumentos 
1 1 1
, ,
2 3 4
 están en ra-
dianes, los cuales se grafican y se traza
las líneas trigonométricas respectivas:
Se observa que:
1 1 1
Sen Cos Cot
2 4 3
     
      
     
luego: M < P < N
Respuesta: B) M, P, N
Problema 2
En la circunferencia trigonométrica
mostrada mAB 'P  , determine el área
de la región triangular A'MT.
UNI 2010 - II
Nivel fácil
A)  1 tan sen
2
   
B)  1 tan sen
2
   
C)  1 tan sen
2
  
D)  1 tan sen
2
  
E)  1 cot cos
2
   
Resolución:
Ubicación de incógnita:
La circunferencia es trigonométrica,
nos piden el área de la región triangu-
lar A'MT.
Análisis de los datos o gráficos:
Un método eficaz para determinar el
área es aplicando el determinante de
la matriz formada por las coordenadas
de los puntos A', M y T.
Del gráfico obtenemos:
 P Cos ;Sen  
 M –Cos ; – Sen   
problemas resueltos