Tema 04 - Ecuaciones II

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11UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 4
ECUACIONES II
ÁLGEBRA
I. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (CUA-
DRÁTICA)
A. Forma general
2ax bx c 0  
donde: x  incógnita, asume dos valores
a ; b ; c / a 0  
B. Fórmula de Carnot
Si: x1; x2 son las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0; a 0
Estas se obtienen a partir de la relación:
2
1;2
–b b – 4acx
2a

1. Discriminante
  dada la ecuación cuadrática en "x":
ax2 + bx + c = 0; a 0
se define como: 2b – 4ac 
2. Propiedad del discriminante
El discriminante de una ecuación cuadrática per-
mite decidir qué clase de raíces presenta, es
decir:
1. Si: 0  , la ecuación tiene raíces reales y
diferentes.
2. Si: 0  , la ecuación tiene raíces reales e
iguales (raíces dobles).
3. Si: 0  , la ecuación tiene raíces imagi-
narias y conjugadas.
II. RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES Y LOS CO-
EFICIENTES (PROPIEDADES DE LAS RAÍ-
CES) DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Si x1 ; x2 son las raíces de la ecuación cuadrática en "x"
2ax + bx + c = 0
Se cumple:
• Suma: 1 2
bs x x –
a
  
• Producto: 1 2
cp x . x
a
 
• Diferencia: 
2
1 2
b 4ac| x x | ;a 0
a
  
Para determinar la diferencia de raíces se recomienda
utilizar la equivalencia de Legendre, veamos:
(x1 + x2)
2 – (x1 – x2)
2 = 4(x1 x2)
A. Casos particulares
Dada la ecuación cuadrática en "x": ax2 + bx + c = 0
De raíces x1 ; x2, si estas son:
1. Simétricas, se cumple: x1 + x2 = 0.
2. Recíprocas, se cumple: x1 . x2 = 1.
B. Reconstrucción de la ecuación cuadrática en "x"
Siendo "s" y "p", suma y producto de raíces, res-
pectivamente, toda ecuación cuadrática en "x" se
determina según la relación:
2x – sx p 0 
C. Ecuaciones cuadráticas equivalentes
Siendo: ax2 + bx + c = 0
a1x2 + b1 x + c1 = 0
Se cumple: 
1 1 1
a b c
a b c
 
D. Ecuaciones cuadráticas con una raíz común
Sean: ax2 + bx + c = 0
a1 x
2 + b1 + c1 = 0
Se cumple:
2
1 1 1 1 1 1(ab – a b)(bc – b c) (ac – a c)
DESARROLLO DEL TEMA
12UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
ECUACIONES II
TEMA 4
Exigimos más!
Problema 1
Sea la ecuación 4x2 – 2x + 3 = 0, cuyas
raíces son a y b. Halle otra ecuación
cuadrática que tenga por raíces (2a – 1)
y (2b – 1)
UNI 2008 - I
Nivel fácil
A) y2 – y + 1 = 0
B) y2 – y – 2 = 0
C) y2 + y + 3 = 0
D) 2 1y y 2 0
2
  
E) 2 1y y 3 0
4
  
Resolución:
Dada la ecuación:
4x2 – 2x + 3 = 0 de raíces {a;b}
1. Si cambiamos: "x" por " y
2
"
entonces: 
2y y4 2 + 3 = 0
2 2
      
   
tenemos: y2 – y + 3 = 0
de raíces {2a; 2b}
2. Si cambiamos: "y" por "y+1"
Entonces: (y + 1)2 – (y + 1) + 3 = 0
Tenemos: y2 + y + 3 = 0 de raíces
{2a – 1, 2b – 1}
Respuesta: C) y2 + y + 3 = 0
Problema 2
Las raíces de la ecuación x x 2 4  
son:
UNI 2007 - II
Nivel intermedio
A) solo x = 6
B) solo x = 3
C) x = 3, x = 6
D) x 6 , x = 3
E) No existen soluciones
Resolución:
 x x 2 4 x 2 4 x      
Elevando al cuadrado y teniendo en
cuenta que
 x – 2  0  4 – x  0
tenemos x2 – 9x + 18 = 0
(x – 3)(x – 6) = 0 de donde la que
verifica solo será x = 3
Respuesta: B) Solo x = 3
Problema 3
Una ecuación cuadrática tienen como
raíces a 4 y 2    . Halle la suma de
las cifras del producto de estas raíces,
siendo  el discriminante de la ecua-
ción.
UNI 2006 - II
Nivel difícil
A) 10 B) 11
C) 12 D) 13
E) 14
Resolución:
Suma de Raíces S 2 2   
2Producto Raíces P 2 8     
Luego la ecuación será:
2 2x (2 2)x 2 8 0        
Luego calculando el discriminante:
2 2(2 2) 4( 2 8)
36
           
 
Luego:
Producto de Raíces = (40)(34) = 1360
cifras 10
Respuesta: A) 10
problemas resueltos