Tema 06 - Circunferencia II

Vista previa del material en texto

23UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 6
CIRCUNFERENCIA II
GEOMETRÍA
I. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIR-
CUNFERENCIAS EN EL PLANO
A. Circunferencias exteriores
R
r
O2
O1 m
  1 2C C
m R r 
Propiedades
Según el gráfico:
1

L y 2

L : Rectas tangentes comunes exteriores
3

L : Recta tangente común interior
A, B, C y D : Puntos de tangencia
 AB CD PQ 
BQ CP
AQ PD
AC / /BD
B. Circunferencias secantes
  1 2 A,BC C
R – r m R r  

L : Secante común
 1 2O O

L
C. Ángulo entre dos circunferencias secantes
 
A
m
n
B
x
m

: Recta tangente a 2C
n

: Recta tangente a 1C
x : Medida del ángulo entre 1C y 2C
Si x = 90º
1 C y 2C son ortogonales
D. Circunferencias tangentes interiores
mO2 O1
A
B
T
r R
 1 2 T C C
DESARROLLO DEL TEMA
24UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA II
TEMA 6
Exigimos más!
T: Punto de tangencia
O1, O2, T : Son colineales
m R – r

L : Recta tangente común exterior
Además:  mTA mTB
Teorema
T y V: Puntos de tangencia
 mAL mBL
E. Circunferencias tangentes exteriores
 1 2 T C C
T : Punto de tangencia
O1, T y O2 son colineales
m R r 

L : Recta tangente común interior
Además:  mTA mTB
F. Circunferencias interiores
 1 2 C C
m R – r
G. Circunferencias concéntricas
 1 2 C C
AB = CD
2 2AB 2 R – r
T y Q: Puntos de tangencia
II. CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA
CIRCUNFERENCIA
Definición
Es aquel cuadrilátero cuyos vértices pertenecen a una
misma circunferencia:
En el gráfico; A, B, C y D: son puntos de la circunferen-
cia; entonces:
Teorema 1
En todo cuadrilátero inscrito sus ángulos interiores
opuestos son suplementarios.
En el gráfico ABCD inscrito en la circunferencia.
Entonces:
180    
Además:
  
25UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 6
Exigimos más!
CIRCUNFERENCIA II
Teorema 2
En todo cuadrilátero inscrito sus diagonales determinan
con los lados opuestos ángulos de igual medida.
En el gráfico, ABCD: inscrito en la circunferencia.
Entonces:
  
Nota:
En el gráfico se tienen dos circunferencias secantes
en A y B.
Se cumple:
MN / /PQ
 
III. CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE EN UNA
CIRCUNFERENCIA
Definición
Es aquel cuadrilátero convexo que puede inscribirse
en una circunferencia; es decir que sus vértices pueden
ser ubicados en una misma circunferencia.
En el gráfico; si: A, B, C y D pueden ser ubicados en una
circunferencia, entonces:
Condición para que un cuadrilátero sea inscriptible
Todo cuadrilátero convexo cuyos ángulos interiores
opuestos son suplementarios, es inscriptible.
En el gráfico, si:    = 180°
entonces: 
también, si:   
entonces: 
Todo cuadrilátero convexo cuyas diagonales determi-
nan con dos lados opuestos ángulos de igual medida,
es inscriptible.
En el gráfico, si:   , entonces:
IV. TEOREMAS ADICIONALES
A. Recta de Simpson
Si desde un punto ubicado en la circunferencia
circunscrita a un triángulo, se trazan perpendiculares
a los 3 lados; entonces se cumple que los pies de
estas perpendiculares están contenidos en una
misma recta denominada recta de Simpson.
L: Recta de Simpson
B. Teorema de Nagel
En todo triángulo se cumple que el segmento que
une los pies de 2 alturas es perpendicular el diá-
metro de la circunferencia circunscrita trazada por
el vértice del cual no partió altura alguna.
BD MN
OM
A
D
N
B
C
26UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
CIRCUNFERENCIA II
TEMA 6
Exigimos más!
Problema 1
En la figura, O es el centro del círculo
trigonométrico. Si OA = 1 u y 3tan
3
  ,
calcule el área de la región sombreada
(en u2).
A
O

UNI 2011 - II
A)
7
9

B)
5
6

C)
6
7

D)
7
8

E)
8
9

Resolución:
Ubicación de incógnita
Calcular el área de la región sombreada.
Análisis de los datos o gráficos
A
C.T.
3Tan
3
 
OA = 1
Operación del problema
* Aplicación de la fórmula, teorema o
propiedad.
3Tan
3 6
    
* Solución del problema
r
r
P
 = /6
O1
O
Por el triángulo rectángulo notable
(30º – 60º): 1OO 2r .
Entonces: OP = 3r = 1
1r
3
 
Restando las áreas de las circunfe-
rencias:
2
2 2
x
1 8S (1) u
3 9 9
          
 
Respuesta: B) 
8
9

Problema 2
En la figura, EF es tangente a la circuns-
ferencia inscrita en el triángulo ABC.
Halle el perímetro en metros del trián-
gulo EBF; si AB = 10 m, BC = 12 m y
AC = 11 m.
UNI 2006 - II
Nivel intermedio
A) 8 B) 9
C) 10 D) 11
E) 13
Resolución:
EF es tangente; AB = 10; BC = 12 y AC = 11.
Se pide: Perímetro del EBF 2p  .
• Del gráfico:
TB = BQ = P ........... propiedad
• AT = 10 – p y QC = 12 – p ..........
propiedad
• AL = 10 – p y LC = 12 – p ........
propiedad
• 10 – p + 12 – p = 11
2p 11 
Respuesta: D) 11
Problema 3
En una circunsferencia se trazan los
diámetros perpendiculares AB y CD,
por C se traza una recta L tangente a
la circunferencia, en el arco DB se elige
el punto E de manera que E, B y G
sean colineales  G L , la mEB 70 ,
 AE DC F  . Determine la m AFG .
UNI 2005 - II
Nivel difícil
A) 85° B) 95°
C) 100° D) 125°
E) 155°
Resolución:
AB y CD son diámetro perpendiculares
E; B y G son colineales:
 mEB 70 ;  AE DC F 
se pide la m AFG .
• Del gráfico:
EFCG: inscriptible

inscrito
mCEG mCFG 45   
• BAE: inscrito
como: mBAE 35 
DFA 55  
mAFG 100  
Respuesta: C) 100°
problemas resueltos