Tema 13 - Relaciones métricas en los cuadriláteros

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49UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 14
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
CUADRILÁTEROS
GEOMETRÍA
TEOREMA DE EULER
En un cuadrilátero ABCD
Sea: AM = MC y BN = ND
entonces se cumple:
2 2 2 2 2 2 2AB BC CD AD AC BD 4(MN)     
Demostración:
Como AM = MC y BN = ND
En el  ABC: aplicamos el teorema de la mediana:
a2 + b2 = 2m2 +
2AC ........(1)
2
y también en el  ADC:
c2 + d2 = 2n2+
2AC ........(2)
2
Sumando la expresión (1) y (2)
a2 + b2 + c2 + d2 = 2(m2 + n2) + AC2
luego en el  BMC: m2 + n2 = 2x2 +
 2BD
2
(teorema de la mediana)
Reemplazando en la ecuación anterior:
2
2 2 2 2 2 2BDa b c d 2 2x AC
2
 
      
 
a2 + b2 + c2 + d2 = AC2 + BD2 + 4x2
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2+ BD2 + 4(MN)2
Problema 1
En un paralelogramo ABCD, se ubica el
punto medio M de BC, el AM = 13 y
DM = 9. Calcule AB, si AB = BC.
UNI
Nivel fácil
A) 10 B) 20
C) 15 D) 30
E) 24
Resolución: Se traza MN // AB ABMN es un
paralelogramo MN AB x   , como:
x
AN ND
2
  en el AMD se aplica el
teorema de la mediana 
2
2 2 2 x13 9 2x
2
  
operando x = 10.
Respuesta: A) 10
DESARROLLO DEL TEMA
problemas resueltos
50UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS CUADRILÁTEROS
TEMA 14
Exigimos más!
Problema 2
En un triángulo ABC, si AB = c, BC = a
y AC = b y se cumple que:
5a2 + 86bc = 5(b2 + c2)
Calcule la medida del ángulo BAC.
UNI
Nivel fácil
A) 24° B) 15°
C) 32° D) 37°
E) 20°
Resolución:
Por la relación de los lados es conveniente
aplicar el teorema de cosenos:
a2 = b2 + c2 - 2bc cosx .....(i)
Del dato
5a2 + 8bc = 5(b2 + c2) ....(ii)
de (i) y (ii)
4
cos x x 37
5
   
Respuesta: D) 37°
Problema 3
Los lados de un triángulo ABC, son
AB = 6, BC = 5 y AC = 7. Si m ABC .
Calcule m BTC . Si T es punto de tan-
gencia del lado AB con la circunferencia
inscrita en el triángulo ABC.
UNI
Nivel intermedio
A)  B) 
C)  D) 
E) 
Del gráfico por teorema:
BT = 2 y AT = 4 para calcular CT = a
Se aplica el teorema de Stewart:
( ABC) a2(6) = 52(4) + 72(2) – 2(4)6
operando:a = 5
BCT es isósceles x 
Respuesta: A) 