Tema 16 - Límites I

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47UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 16
LÍMITES I
ÁLGEBRA
I. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
Consideremos una función real de variable real:
3x xf(x) ; x 0
x
 
Se observa que el equivalente será:
2f(x) x 1; x 0  
¿Qué sucede si x asume valores muy cercanos a cero?
f(x) asumirá valores muy cercanos a 1, dándole un
enfoque geométrico:
Y
1
f(x)
0 x
f
X
(valores por
la izquierda)
(valores por
la derecha)
Se observa que, a medida que x se acerca a 0, ya sea
por la derecha o por la izquierda, entonces f(x) se
acerca a 1. Es decir: Si x tiende a 0, entonces f(x)
tiende a 1. Simbolizando:
x 0
lim f(x) 1


o en forma equivalente:
2
x 0
lim (x 1) 1

 
Para obtener el valor de 1 se ha reemplazado en
f(x) = x2 + 1 el valor x = 0, así:
2
x 0
lim f(x) f(0) 0 1 1

   
II. DEFINICIÓN
El número L se llama límite de la función real de una
variable real f en el punto x0 (x0 no pertenece necesa-
riamente al Dom(f ); si para cada 0 , es posible ha-
llar un  que depende de  , tal que:
 00 ; 0 / x Domf 0 x x f(x) L            
Se dice que L es el límite de f(x), cuando x tiende a x0
y se escribe como:
0x x
lim f(x) L


III. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Y
f
X
L 
f(x)
L
L
X0 X X0 X0 
IV. TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE
Sea A una función real de una variable real y x0 no
pertenece necesariamente al Dom A.
0 0
1 2 1 2x x x x
lim A(x) L lim A(x) L L L 
   
A. Teoremas
Sean: f g dos funciones reales de variable real y
además "a" un punto que no pertenece necesaria-
mente a: Domf  Domg = 
DESARROLLO DEL TEMA
48UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
LÍMITES I
TEMA 16
Exigimos más!
Si: 
x a
lim f(x) A

  
x a
lim g(x) K


Entonces:
1.
x a
 lim (f g)(x) A + K 

 
2.
x a
 lim (f g)(x) A K 

  
3.
x a
 lim (f g)(x) A K 

 
4.
x a
 Si c R
 lim cf (x) c A

 

5.
x a
 Si K 0:
f A lim (x) 
g K
   
 

Problema 1
Calcular:
x 0
3 x 3Lim
x
  
 
 
UNI
Nivel fácil
A)
1
2 3 B)
1
3
C)
1
3 D)
2
3
E)
2
2 3
Resolución:
Tenemos:
x 0
3 x 3Lim
x
  
 
 
Evaluamos:
3 x 3 0
0 0
  
Luego:
x 0
( 3 x 3) ( 3 x 3)Lim x
x ( 3 x 3)
   
 
Efectuando:
x 0
xLim
x( 3 x 3)  
x 0
1 1 1Lim
3 x 3 3 3 2 3
 
  
Respuesta: A) 
1
2 3
Problema 2
Calcular:
3x 1
6 2Lim
x 1x 1
   
UNI
Nivel intermedio
A) -2 B) –1
C) 2 D) 1
E) x
Resolución:
Tenemos:
3x 1
6 2Lim
x 1x 1
   
Evaluamos:
6 2
0 1 1
   

Luego:
2
3 2x 1
2(x x 1)6Lim
x 1 (x 1)(x x 1)
   
     
Efectuando:
2x 1
2(x 2)(x 1)Lim
(x 1)(x x 1)
   
    
Simplificando:
2 2x 1
2(x 2) 2(1 2)Lim 2
x x 1 1 1 1
           
Respuesta: A) -2
Problema 3
Evaluar:
   
x
Lim x 2 x 5 x

    
UNI
Nivel intermedio
A)
7
2 B)
2
4
C)
5
2 D)
3
2
E) 27
Resolución:
Tenemos:
   
x
Lim x 2 x 5 x

    
Evaluamos:
   2 x 5        
Luego:

      
 
5 4
2
3x
x 2x 5Lim ax bx c 0
x 1
 
   
   
x 2 x 5 x
x 2 x 5 x
    
    
Efectuando:
2
x
(x 2)(x 5) xLim
(x 2)(x 5) x
  
  
Reduciendo:
x 2
2
10x(7 )7x 10 xLim
7 10x 7x 10 x x 1 x
x x

 
     
Simplificando:
x
2
10(7 ) 7xLim
27 101 1
x x



  
Respuesta: A) 7/2
problemas resueltos