Tema 17 - Límites II

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49UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 17
 LÍMITES II
ÁLGEBRA
I. LÍMITES LATERALES
A. Definición 1
Se dice que L es el límite lateral de f(x) cuando x
tiende hacia "a" por la derecha y se denota por:
+x a
 lim f (x) L 


Geométricamente:
B. Definición 2
Se dice que "m" es el límite lateral de f(x) cuando
x tiende hacia "x" por la izquierda y se denota por
 lim f(x) M 
x a

 
Geométricamente:
Teorema:
+
lim f(x) L lim f(x) Mlim f(x)
x a x ax a
  
 
Es decir existe el límite de una función, sí y solo si
existen los límites laterales y son iguales.
II. TEOREMA SOBRE LÍMITES INFINITOS
1. x 0
1lim
x
 
2. x 0
1lim
x
 
3. Si "n" es un entero positivo, entonces:
nx 0
nx 0
1a) lim
x
; sin es impar1b) lim
 ; si n es parx


 

 

4. Sean f y g dos funciones tales que:
 
    
x x
 
lim f (x) lim g(x)
 

entonces:
 
x 
lim f(x) g(x)
 
  
 ;
 
x
A lim f(x) g(x)
 
 
Generalmente, al calcular el 
x a
Lim f(x)

 es necesario
calcular los límites laterales de f(x) cuando la fun-
ción tiene diferentes reglas de correspondencia para
x < a y x > a.
DESARROLLO DEL TEMA
50UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
LÍMITES II
TEMA 17
Exigimos más!
Es decir, usando los siguientes símbolos, podríamos re-
sumir así:
I. ( ) ( )    
II. ( ) ( )    
III. ( ) ( )   
Nota:
Cuando se tienen funciones racionales, el análisis del
comportamiento en . Se realiza dividiendo el nume-
rador y el denominador por la mayor potencia de la
función racional.
IV. ( ) ( )   
V. ( ) ( )   
VI. n
 ; n 0 (par)
( )
 ; n 0 (impar)
 
  
 
VII.
 ; K 0
K( )
 ; K 0
 
  
 
VIII.
 ; K 0
K( )
 ; K 0
 
  
 
III.CÁLCULOS DE LOS LÍMITES
A. Forma indeterminada 0
0
Si se reeemplaza x por el valor del x0 correspon-
diente se obtiene la expresión 0/0, efectuaremos
ciertas operaciones algebraicas para levantar la in-
determinación.
B. Forma indeterminada 

Sea:
n n 1 n 2
0 1 2 n
m m 1 m 2
0 1 2 m
a x a x a x ... a
L lim
b x b x b x ... b
 
 
   

   
Entonces de acuerdo al valor de los grados n y m
de los polinomios se tiene:
0
0
 ; si n m
a
L ; si n m
b
0 ; si a n m
 

 

 
IV.TEOREMA SOBRE LÍMITES AL INFINITO
Si n es un entero positivo cualquiera, entonces:
1 1 0 lim 0 lim n nx xx x
 
   
 
x
x
1Sea : f : R R definida por f(x) = 1+
x
1entonces : lim 1+ e 2,71828... 
x
   
 
    
 
Para las formas indeterminadas ; 0   se trata de
transformarlas a una de las dos formas:
0
0
 ó  .