Tema 19 - Derivadas II

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55UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 19
DERIVADAS II
ÁLGEBRA
APLICACIONES DE LA DERIVADA
A. Valores extremos
Se llaman valores extremos de una función a todos sus
máximos y mínimos relativos.
Si f '(x) existe y si f '(x0) es un valor extremo entonces
la recta tangente en este punto debe ser horizontal,
esto equivale a que: f '(x0) = 0.
Teorema
Si una función f satisface las siguientes 3 característi-
cas:
• f tiene un valor extremo en el punto x = a.
• f esta definida en un entorno N(a) de a.
• Existe f'(a).
B. Teorema de L' Hospital
Si: 
x a
f(x)Lim L
g(x)

sea de la forma: 
0
0
 ó 


Se puede considerar el límite pero con las correspon-
dientes derivadas:
x 0 x 0 x 0
f(x) f '(x) f ''(x)L Lim Lim Lim ..... L
g(x) g '(x) g ''(x)  
   
C. Criterio de la primera derivada
Si C un punto crítico de f si existe un intervalo [a; b]
donde f es continua y C a;b , entonces:
1.      
   
f(c) es un máximof '(x) 0; x a;c
y
relativo de ff '(x) 0; x c;b
2.
     
   
f(c) es unmínimof '(x) 0; x a; c
y
relativo de ff '(x) 0; x c;b
D. Concavidad y puntos de inflexión
Sea f una función continua sobre un intervalo a;b al
cual pertenece x0 tal que f''(x0) = 0.
1.
0
0 0
0
f ''(x) 0; x a; x
(x ; f(x ))
f ''(x) 0; x x ;b
     
   
Es un punto de inflexión
2.  0 0 0
0
f ''(x) 0; x a; x
x ; f(x )
f ''(x) 0; x x ;b
     
   
Es un punto de inflexión
E. Raíz de multiplicidad
Dado un polinomio P(x) de grado no menor que dos.
Si X0 es una raíz de P(x) cuya multiplicidad es k, se
cumple:
DESARROLLO DEL TEMA
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DERIVADAS II
TEMA 19
Exigimos más!
Problema 1
Calcular:
x
2
tgx 8lim
sec x 10


Resolución:
x
2
tgx 8lim
sec x 10


Da lugar a una indeterminación del tipo


. Llamemos:
f(x) = tgx – 8 y
1g(x) sec x 10 10
cos x
   
Entonces f y g son derivables en su
domino de definición (en particular en
2

 y en un entorno suyo):
2
2
1f '(x) sec x
cos x
  y
2 2
1 senxg '(x) ( senx)
cos x cos x
  
De este modo:
22
2
x x x x
2 2 2 22
1
f '(x) cos x 4cos xlim lim lim lim 1
g'(x) senx senxcos x senx
cos x
      
   

Al ser f y g son derivables en un en-
torno de 
2
 podemos aplicar la regla
de L'Hôpital y se tiene que:
x x x
2 2 2
f(x) f '(x) tgx 8lim lim lim 1
g(x) g'(x) sec x 10    
  

Problema 2
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
x 0
1 1lim
Ln(1 x) x
   
Resolución:
x 0
1 1lim
Ln(1 x) x
      
x 0 x 0
x Ln(1 x)1 1 0lim lim
Ln(1 x) x x Ln(1 x) 0 
                  
x 0
11
1 x(L'Hôpital) lim
1Ln(1 x) x
1 x


 
 


x 0
x 0
x
1 xlim
(1 x)Ln(1 x) x
1 x
xlim
(1 x)Ln(1 x) x
0 (L'Hôpital)
0



  

 
  
   
 
x 0
x 0
1lim
1Ln(1 x) (1 x) 1
1 x
1 1lim
Ln(1 x) 2 2



   


 

Problema 3
Resolver aplicando el teorema de
L'Hôpital:
x 0
x senxlim
1 cos x 

Resolución:
x 0
x senx 0lim (L'Hôpital)=
1 cos x 0
   
  

x 0
senx x cos x 0lim (L'Hôpital)=
senx 0
    
 

x 0
cos x cos x ( senx) x 2lim 2
cos x 1
    
problemas resueltos