Tema 24 - Inecuaciones trigonométricas

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81UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 25
INECUACIONES
TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMETRÍA
I. DEFINICIÓN
Son relaciones de orden establecidas entre expresiones
que involucran razones trigonométricas de una o más
variables (expresiones trigonométricas), las cuales se ve-
rifican para ciertos intervalos de valores de dichas varia-
bles. Para que una inecuación sea considerada como una
inecuación trigonométrica, la variable o incógnita deberá
estar afectada de algún operador trigonométrico.
1Senx Sonejemplos2
de inecuacionesSenx Cos3x
trigonométricasTan2x 1 Senx
   
  
   
2
Sen2x x
Son ejemplos
1xSenx de inecuaciones que2
no son trigonométricas
Tanx x 1
 
   
 
   
II. SOLUCIONES DE LA INECUACIÓN TRI-
GONOMÉTRICA
A todo valor o intervalo de valores de la variable o in-
cógnita que verifique la relación planteada se llamará
solución de la inecuación y al conjunto formado por la
unión de todas las soluciones de la inecuación se le
llamará conjunto solución de dicha inecuación.
Dada la inecuación: Senx 0
Sus soluciones serán:
 O
x
 23
x
45
x
 x 0;  x 2 ;3   x 4 ;5  
III. RESOLUCIÓN DE INECUACIONES TRI-
GONOMÉTRICAS
Resolver una inecuación trigonométrica consiste en
determinar todas sus soluciones; es decir determinar
su conjunto solución, para lo cual se utilizará la circun-
ferencia trigonométrica como herramienta de análisis
en la cual se observará el recorrido del arco que verifi-
ca la inecuación, así como también se empleará la grá-
fica de las funciones presentes en la relación plantea-
da y sus respectivas intersecciones.
Aplicación:
Resuelva la inecuación: Sen2x 0
Resolución:
Ubicamos en la C.T. el recorrido del arco que verifica la
relación, es decir todo el recorrido donde sen2x sea ma-
yor o igual que cero, colocando 2x en dicho recorrido, de
donde se despejará el intervalo de x que nos representa-
rá la solución de la relación planteada.
2K 2x 2K      
K x K
2
    
 C.S. x x K ;K 2        
K  
Aplicación: Resuelva la inecuación:  Cos 2x 04 
• Se grafica cada uno de los miembros de la ine-
cuación como una función independiente; es decir
graficaremos:
 y Cos 2x y 04   
Para luego buscar las intersecciones que es donde
se cumple la igualdad:
DESARROLLO DEL TEMA
82UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
TEMA 25
Exigimos más!
 Cos 2x 04 
Siendo las abscisas de estos puntos los extremos de
los intervalos que verifican la inecuación planteada.
Algunos valores de "x" que cumplen la igualdad:
 cos 2x 04 
Problema 1
Resolver la desigualdad:
sen2x senx, 0 x   
UNI 1994 - I
Nivel fácil
A) 0;
3
 

 B) 0;
3
 
  
C) 0;
3

D) 0;
3
 

 E) 0;
Resolución:
sen2x > senx
2senx cosx > senx
0 x senx 0     (condición)
1cos x
2
 
1
2
/3
– /3
0
Luego: 0 x
3
 
Respuesta: C) 0;
3

Problema 2
Para qué valores del arco, 0 x 2  
se cumple: sen2x > cosx
UNI 1994 - I
A) 50; ;
6 2 6
  
B) 5 3; ;2
2 6 2
   
C) 7; ;2
6 2 6
   
D) 5 3; ;
6 2 6 2
   
E) 7 ;2
6
 
Resolución:
Obteniendo los puntos de intersección:
sen2x cos x 2senx cos x cos x  
3cos x 0 x ,
2 2
   
1 5senx x ,
2 6 6
   
5 3x , ,
6 2 6 2
    
Respuesta: D) 5 3; ;
6 2 6 2
   
Problema 3
El conjunto:
      x 0, 2 / sen x cos x 0    
es igual a:
UNI 2009 - II
Nivel difícil
A) 1 3,
2 2
B) 1 5,
4 4
C) 10,
4
D) 5 , 2
2
E) 1, 2
Resolución:
   sen x cos x 0   
Transformando:
 2sen x 04  
  sen x 04  
 0 x 4
    
0 x 0 x 2
4
       
1 5x
4 4
  
1 5x ;
4 4
 
Respuesta: B) 
1 5;
4 4
Son: x1; x2, x3, x4, ...; los cuales se calculan del
modo siguiente:
1
3x
8 4 8
     ; 2
9 7x
8 4 8
    
3
9 11x
8 4 8
     ; 4
17 15x
8 4 8
    
• Los intervalos de x correspondientes a las regiones
sombreadas son las soluciones de la inecuación ya
que en estos intervalos se cumple la relación:
 Cos 2x 04 
3 7 11 15x ; x ;...
8 8 8 8
      
3 7 11 15C.S x x ; ; ...
8 8 8 8
                   