Tema 24 - Matrices II y III

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71UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 25 - 26
MATRICES II Y III
ÁLGEBRA
I. DEFINICIÓN DE DETERMINANTE
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada, el determinante de
A es un operador (función) que aplicado a la matriz A,
le hace corresponder un único valor numérico.
Notación: |A| o det(A) o detA
Pero el criterio de asignación de ese valor (número real
o complejo) a cada matriz cuadrada no es sencillo en el
caso general. Vamos a definir el determinante para una
matriz de orden 1; 2 y luego de orden 3.
A. Cálculo de determinantes
De orden 1
11 11 11A (a ) A a a   
El determinante coincide con el valor del único ele-
mento de la matriz.
De orden 2
11 12 11 12
21 22 21 22
a a a a
A | A |
a a a a
 
   
 
11 22 21 12a a a a 


Ejemplo:
   3 2 3 2A | A | 3 4 1 2 10
1 4 1 4
 
      
 
De orden 3
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a a a a
A a a a A a a a
a a a a a a
 
    
 
 
= a11a22a33+a12a23a31+a13a32a21–a31a22a13–a21a33a12–
a32a11a23
Para recordar fácilmente éste resultado vamos a
recurrir a una regla práctica, llamada la regla de Sarrus
que consiste en repetir las dos primeras filas (o
columnas) debajo (o a la derecha) de todos los ele-
mentos de la matriz, así:
1311 12
11 12 13 11 122321 22
21 22 23 21 2231 32 33
31 32 33 31 321311 12
2321 22
aa a
a a a a aaa a
o a a a a aa a a
a a a a aaa a
aa a
Ejemplo:
32 2
2 2 3 01 1
A 1 1 0 A 1 2 1
1 2 1 32 2
01 1
  
 
     
  

|A|= –2 + 6 + 0 – 3 – 0 – 2 = –1
B. Matrices singulares y no singulares
Sea A = (aij) una matriz cuadrada. Si |A| = 0 decimos
que A es una matriz singular, en caso contrario
(|A|  0) decimos que A es una matriz no singular..
1. Propiedades
(Sólo para matrices cuadradas)
a. |AB| = |A| |B|
b. I: matriz identidad |I| = 1
 : matriz nula  | | = 0
c. |A| = |AT|
d. Si se intercambian 2 filas (o 2 columnas) de
una matriz, el determinante cambia de signo.
e. Si una matriz tiene 2 filas (o 2 columnas)
iguales su determinante es cero.
• 
3 7
A | A | 0
3 7
 
   
 
• 
1 1 1
B 3 5 7 | B | 0
1 1 1
 
    
 
 
 (verifique)
DESARROLLO DEL TEMA
72UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA
MATRICES II - III
TEMA 25 - 26
Exigimos más!
A la primera fila le sumamos 
1
3 de la segunda
fila 1 2
1f f
3
 .
5 10
B |B | 15
3 9
 
   
 
k. El determinante de una matriz diagonal o trian-
gular (inferior o superior), es igual al producto
de multiplicar los elementos de su diagonal
principal.
•
1 0 0 0
0 2 0 0
A | A | 4! 24
0 0 3 0
0 0 0 4
 
 
     
   
•
4 0 6
B 0 5 3
0 0 1 / 2
 
   
 
 
    1| B | 4 5 102
       
• El determinante de una matriz antisimétrica
de orden impar es cero.
2. Menor complementario y con factor de un
elemento de una matriz
Sea A = (aij)n una matriz cuadrada:
11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
11 12 ij in Fila i
n1 n2 nj nn
Columna j
a a ... a ... a
a a ... a ... a
a a ... a ... aA
a a ... a ... a


 
 
 
 
 
   
 
 
 
  
 
   
   
y sea Mij la matriz cuadrada de orden (n–1) que
resulta de eliminar la fila i y a columna j de A,
entonces:
a. El determinante |Mij| se llama menor (menor
complementario) del elemento aij de la matriz A.
b. El cofactor del elemento aij, que se denota
por Aij, se define por Aij=(–1)
i+j|Mij|.
Ejemplo:
Los menores complementarios y cofactores de
los elementos de la matriz.
1 2 3
A 1 3 4
1 4 3
 
   
 
 
f. Si una matriz tiene una fila nula (o columna
nula) su determinante es cero.
• 
1 2 1
A 0 0 0 | A | 0
4 5 3
 
    
 
 
g. Si en una matriz, todos los elementos de una
fila (o columna) son multiplicados por una es-
calar  , su determinante queda multiplicado
por .
• a b a bA ; B
c d c d
   
        
 |B| = ad – bc = (ad–bc)
 |B| = |A|
•
1 1 2
A 9 3 12 | A | 16
0 2 5
 
    
  
Multiplicamos la segunda fila de A por 3,
queda:
1 1 2
B 9 3 12 | B | 3| A | 48
0 2 5
 
     
  
h. Si una matriz A de orden n es multiplicada
por una escalar  (es decir, todos los ele-
mentos de A son multiplicados por ), el de-
terminante de A queda multiplicado por n .
Es decir:
nA A   
i. Si dos filas (o dos columnas) de una matriz
tienen elementos respectivamente propor-
cionales, su determinante vale cero.
x y 2y
A z u 2u
1 0 0
 
   
 
 
  
x y 2y x y y
| A | z u 2u 2 z u u 2 0 0
1 0 0 1 0 0
   
j. Si una fila (o columna) de una matriz se le suma
(o resta) un múltiplo o submúltiplo de otra fila
(o columna, su determinante no se altera.
4 7
A | A | 15
3 9
 
   
 
73UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 25 - 26
Exigimos más!
MATRICES II - III
Ejemplo:
Calcule el determinante de la matriz:
3 6 9
A 0 2 1
3 1 2
 
   
  
Resolución:
Calculemos el determinante, realizando el desarrollo
por la segunda fila (a21= 0; a22 = 2; a23 = 1) luego:
|A| = a21A21 + a22A22 + a23A23
como:
A21 = (–1)
2+1|M21|=
6 9
3
1 2

  

A22 = (–1)
2+2|M22|=
3 9
33
3 2

 
A23 = (–1)
2+3|M23|=
3 6
21
3 1
 

Entonces:
|A| = 0(–3) + 2(33) + 1(21) = 87
Ahora, calculemos el determinante realizando el
desarrollo por la primera columna (a11 = 3; a21 = 0;
a31 = 3). Luego: |A| = a11A11 + a21A21 + a31A31
Como:
A11=(–1)
1+1 |M11| = 
2 1
5
1 2


A21=(–1)
2+1 |M21| = 
6 9
3
1 2

 

A31=(–1)
3+1 |M31| = 
6 9
24
2 1


B. Determinante de Van Der Monde
•      
2 2 2
1 1 1
x y z z x z y y x
x y z
   
•      
     
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z w
w x w y w z
x y z w
z x z y y x
x y z w
  
  
Ejemplos:
•      
1 1 1
3 4 5 5 3 5 4 4 3 2
9 16 25
    
Son los siguientes:
• Menores complementarios:
 
11 12
13 21
22 23
31 32
33
3 4 1 4
M 7 M 1
4 3 1 3
1 3 2 3
M 1 M 6
1 4 4 3
1 3 1 2
M 0 M 2
1 3 1 4
2 3 1 3
M 1 M 1
3 4 1 4
1 2
M 1
1 4
     
   
   
    
 
• Cofactores:
A11 = (–1)
1+1 M11 = 1(–7) = –7
A12 = (–1)
1+2 M12 = (–1)(–1) = 1
A13 = (–1)
1+3 M13 = 1(1) = 1
A21 = (–1)
2+1 M21 = (–1)(–6) = 6
A22 = (–1)
2+2 M22 = 1(0) = 0
A23 = (–1)
2+3 M23 = (–1)(2) = –2
A31 = (–1)
3+1 M31 = 1(–1) = –1
A32 = (–1)
3+2 M32 = (–1)(1) = –1
A33 = (–1)
3+3 M33 = 1(1) = 1
Observación:
El menor complementario |Mij| y el cofactor Aij de
un elemento aij de la matriz A, sólo se diferencian
en el signo.
Como Aij=(–1)
i+j |Mij|  Aij =  |Mij|
II. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE
POR COFACTORES
A. Teorema
El determinante de una matriz cuadrada A = (aij)n
es igual a la suma de los productos de los elementos
de una fila (o columna) por sus respectivos cofac-
tores. Para aplicar este teorema es necesario elegir
una fila (o una columna) y proceder a efectuar el
desarrollo por dicha fila (o columna).
1. Si elegimos la fila i, el desarrollo de determinante
(por filas) está dado por:
|A| = ai1Ai1ai2Ai2 +... + ainAin
2. Si elegimos la columna j, el desarrollo del de-
terminante (por columnas) está dado por:
|A| = a1jA1j + a2jA2j +... + ainAnj
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MATRICES II - III
TEMA 25 - 26
Exigimos más!
•        
   
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1
2 3 5 7
7 2 7 3 7 5 5 2
2 3 5 7
5 3 3 2 2
2 3 5 7
   
  
5 4 2 3 2 1 240     
C. Matriz inversa
Sea A = (aij)n una matriz no singular, diremos que A
tiene inversa (o que es inversible) si existe otra matriz
B = (bij)n del mismo orden, tal que AB = BA = In (In
matriz identidad). B es llamada la matriz inversa de
A, y se denota por A–1.
Prueba
A es inversible   A–1, luego 1A A 1  (tomamos
determinantes):
1 1A A I A A 1   
De aquí ninguno de los determinantes es cero.
Por tanto A 0 . Así A es no singular..
Ejemplos:
• 
2 3
A
3 5
 
  
 
 es inversible, pues |A| = 1  0.
• 
2 3
B
4 6
 
   
 no es inversible, pues |B| = 0.
Ejercicio:
Halle la inversa de 
3 6
A
4 5
 
 
 
Resolución:
Sea 1
x y
A
z w
    
 
 inversa de A, luego 1 2A A I
 
es decir:
3 6 x y 1 0
4 5 z w 0 1
     
     
     
Entonces:
3x 6z 1
3y 6w 0
4x 5z 0
4y 5w 1
 
  

 
  
Resolviendo el sistema:
5 6 4 3x ; y ; z ; w
9 9 9 9
     
Por tanto:
1
5 6
5 619 9A
94 3 4 3
9 9

    
     
   
 
 es la matriz inversa de A.
1. Teorema
Si A = (aij)n es una matriz no singular, su inversa
es única.
2. Cálculo de la matriz inversa
De orden 1
  111
11
1A a A
a
      
 
De orden 2
1a b d b1A A
| A |c d c a
            
Ejemplo:
4 2
A ; | A | 4
10 6
 
  
 
1
3 1
6 21 2 2A
4 10 4 5 1
2

   
     
    
 
De orden n  3
Aquí aplicamos un procedimiento conocido como
el método de Gauss-Jordan, donde a partir de la
matriz ampliada (A  I) por medio de operaciones
elementales fila, se puede obtener una nueva
matriz ampliada (I B) y se concluye que B = A.
Es decir:
   O.E. fila 1A I I A 
Ejemplo:
Halle la inversa de:
1 1 1
A 1 2 1
1 1 2
 
   
 
 
75UNI SEMESTRAL 2013 - III ÁLGEBRA TEMA 25 - 26
Exigimos más!
MATRICES II - III
Problema 1
Si A y B son matrices 3 x 3 y r 0 un
número real, indique la secuencia co-
rrecta después de determinar si la pro-
posición es verdadera (V) o falsa (f).
I. det(aB) = det(A) det(B)
II. det(A + B) = det(A) + det(B)
III. det(rA) = rdet(A)
 UNI 2008 - II
Nivel fácil
A) VVV
B) VVF
C) FVV
D) VFF
E) FFF
Resolución:
Aplicación de fórmulas o teoremas
Tenemos:
• det (AB) = det (A) det (B)
• det (rA) = rn det (A)
Operación del problema
I. (V)
II. det(A + B)  det(A) + det(B) (F)
III. det(rA) = r3det(A) (F)
Respuesta: D) VFF
Problema 2
El valor del determinante de:
2
2
2
a a 1
F b b 1
c c 1

es:
 UNI 2004 - II
Nivel intermedio
A) (a – b)(b – c)(c – a)
B) (a – b)(c – b)(a + c)
C) (b – a)(b + c)(a – c)
D) (a + b)(b – c)(a – c)
E) (a – b)(b – c)(a – c)
Resolución:
Con los cambios:
 1 2 2 3 1 2C C ; C C ; C C  
en ese orden; tenemos:
2
2
2
1 a a
F 1 b b
1 c c
 
por ser un determinante de Vander-
monde:
F = – (b – a) (c – a) (c – b)
ó F = (a – b) (a – c) (b – c)
Respuesta: E) (a – b)(b – c)(a – c)
Problema 3
Considere la ecuación matricial:
3 01 4X
2 7 1 2
   
   
   
donde X es una matriz, calcule det(X)
 UNI 2010 - I
Nivel intermedio
Resolución:
Aplicamos el método de Gauss-Jordan:
 
1 1 1 1 0 0
A I 1 2 1 0 1 0
1 1 2 0 0 1
 
   
 
 

2 1
3 1
f f
f f
1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1


 
    
  
1 2f f
1 0 1 2 1 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1

 
    
  
 1 33 1f f 1f f
1 0 0 3 1 1
0 1 0 1 1 0 I A
0 0 1 1 0 1
 

  
     
  

1
3 1 1
A 1 1 0
1 0 1

  
    
  
Propiedades:
Sean A y B matrices cuadradas no singulares.
1.
11(A ) A
 
2. (AB)–1 = B–1A–1
3. (AT)–1 = (A–1)T
4. |A–1| = 
1
| A |
5.   1 11A A ( escalar)   
problemas resueltos
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MATRICES II - III
TEMA 25 - 26
Exigimos más!
A) 6
B) 7
C) 8
D) 11
E) 19
Resolución:
Ubicación de incógnita
Det(x) = |x|
Análisis de los datos o gráficos
3 01 4x.
2 7 1 2
   
   
   
Operación del problema
Tomando determinante
3 01 4| x |
2 7 1 2



| x | 1 8
| x | 8 
Respuesta: C) 8