Tema 26 - Estadística - Diagramas circulares

Vista previa del material en texto

69UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 28
I. GRÁFICO DE SECTORES CIRCULARES
A un seminario de liderazgo, asistieron 540 profesionales,
de los cuales: 180 son ingenieros, 150 son médicos,
108 son abogados, 60 son profesores y el resto son
profesionales de otras especialidades. Ordenando estos
datos estadísticos con sus respectivas frecuencias, se
forma la siguiente tabla:
 
Profesión
Ingenieros
Médicos
Abogados
Profesores
otros
Frecuecia
180
150
108
60
42
180/540 = 0,33
150/540 = 0,28
108/540 = 0,20
60/540 = 0,11
42/540 = 0,08
33%
28%
20%
11%
8%
hi%
Frec. relativa
(hi)
 Total 540 Total 100%
Para formar el gráfico de sectores se considera el total
de datos de la población como el área del círculo y a
cada característica señalada le corresponderá un sector
circu lar, cuyo ángulo central estará dado por:

 frecuencia (f)Ángulo(º) x 360º
Total de datos (n)
Pero:
 
relativa (h)
frecuencia (f) ffrecuencia(º ) h =
Total de datos (n) n
Reemplazando:
 Ángulo (º) h x 360º
La parte que representa a cada sector circular es
proporcional a la frecuencia del mismo. Con lo anterior,
se calcularía el ángulo de cada sector.
Profesión fi hi h%i Ángulo i
Ingenieros
Médicos
Abogados
Profesores
Otros
180
150
108
60
42
0,33
0,28
0,20
0,11
0,08
33%
28%
20%
11%
8%
0,33 360°=120°
0,28 360°=100°
0,20 360°=72°
0,11 360°=40°
0,08 360°=28°
Tendremos la representación siguiente:
 
Otro ejemplo es la siguiente gráfica de sectores co-
rrespondiente a la distribución de los alumnos de un
colegio según los cursos que prefieren.
 
Si se desea conocer los ángulos.
DESARROLLO DEL TEMA
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS
CIRCULARES
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
70UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
TEMA 28
Exigimos más!
Curso hi% Ángulo
Historia 35% 35% (360°) =126°
Castellano 30% 30% (360°) =108°
Matemática 20% 20% (360°) =72°
Otros 15% 15% (360°) =54°
II. HISTOGRAMAS
Se tiene la siguiente distribución de frecuencias, for-
mando con los resultados de los exámenes tomados a
30 estudiantes en un curso de la universidad.
Para graficar estos datos de modo que se visualice los
intervalos señalados, se emplean los Histogramas, estos
son diagramas que representan datos cuantitativos
continuos utilizando barras o rectángulos contiguos,
cuyas bases se sitúan en el eje horizontal y están
limitados por los valores extremos de cada intervalo de
clase y las alturas son del histo-grama señalado, se
puede apreciar:
 
III. POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
Se obtiene a partir del histograma, uniendo con seg-
mentos los puntos medios de los lados superiores de
los rectángulos. Así para los ejemplos mostrados:
 
El polígono de frecuencias se puede construir sin
necesidad de haber hecho antes el histograma.
Basta señalar en el eje horizontal las marcas de clase;
por cada punto señalado se traza un segmento
proporcional a la frecuencia de la clase respectiva.
Tanto con el histograma o el polígono de frecuencias
es pos ible obtener la tabla estadística a la que
pertenecen las datos señalados.
 
71UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 28
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
Exigimos más!
IV. DIAGRAMA ESCALONADO
Son diagramas de barras o rectángulos, similares al
histograma, cuyas bases representan los intervalos de
clase y las alturas son proporcionales a las frecuencias
absolutas o relativas acumuladas.
V. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL
Llamados generalmente promedios, son funciones que
se obtienen a partir de los datos cuantitativos de una
población o muestra, resumiendo la información
obtenida puntualmente, es decir en un solo valor.
Según el estadígrafo que se utilice, pueden esta
ubicados cerca a la parte central de los datos
estadísticos (por ello su nombre de tendencia central).
Entre ellos se tiene: la media aritmética, la mediana y
la moda. Otros estadígrafos que no son tendencia
central son la dispersión, la varianza, la desviación media,
etcétera. Los datos cuantitativos que se obtienen de
la población, pueden presentarse en tablas de
frecuencias (datos tabulados o clasificados) o sin que
sean ordenados en tablas (datos no tabulados o no
clasificados). En cada caso, hay que considerar la
característica de los datos para calcular el promedio
respectivo.
A. Media aritmética (x o Ma)
Esta dada por la suma de todos los datos de la
población dividida entre el número total de ellos.
Sean los datos d1 , d2 , d3 , ... dn
Se tendrá:
n
i
1 2 n i 1
d
d d ... d
x
n n
   

Por ejemplo:
Media aritmética de 5, 7, 11, 12, 14
a
5 7 11 12 14x M (5,7,11,12,14)
5
    
Se obtiene: x 9, 8
• Para datos clasificados
Cuando los datos se encuentran en una tabla
de frecuencias, se utilizará:
 
k
i i k
i 1
i i
i 1
f .x
x h.x
n


 


donde:
fi: frecuencia absoluta de la clase i
xi: marca de clase de la clase i
hi: frecuencia relativa de la clase i
k: número de clases
n: total de datos
B. Mediana (xm o Me)
La mediana de un conjunto de datos es aquel valor
que divide a dicho conjunto en dos partes que po-
seen la misma cantidad de datos.
Conocidos los datos:
d1 , d2 , d3 , ... dn
ordenados en forma creciente:
d1  d2  d3,... dn
Siendo n el total de datos, se tendrá que si n es
impar se tomará como mediana el valor central; pero
si el número de datos fuese par, habrá entonces 2
términos centrales y la mediana será la semisuma
de dichos valores.
 
 
 
 





 




n 1
2
m n n( ) ( 1)
2 2
Término central d ,si es impar
x d d
semisuma de , si es par
2
 n
 
 n 
Por ejemplo:
Mediana de 5, 7, 7, 9, 10, 12, 15
n = 7 datos (impar)
xm= término central = 47 1
2
d d 
 
 

xm = 9
Otro ejemplo:
Mediana de 5, 6, 7, 8, 10, 10, 14, 15
n = 8 datos (par)
xm = semisuma de
 términos centrales = 8 10 9
2
 
72UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
TEMA 28
Exigimos más!
• Para datos clasificados
Cuando los datos aparecen en una tabla de fre-
cuencias, la mediana será el menor valor cuya
frecuencia absoluta acumulada iguala o excede
a la mitad del total de datos.
Ejemplo (1):
Conocida la distribución de frecuencia de las
longitudes de clavos, de un lote que ha sido
comprado.
 
La mediana debe estar ubicada en el valor que
corresponde a la mitad de los datos.
Según la tabla:
100 es el total de datos, la mediana debería
ocupar el lugar 50, en la columna de Fi se observa
que se acumulan 44 datos en la cuarta fila, se
toma el inmediato superior.
Me = 17
Los datos tabulados son discretos.
C. Moda (xo , Mo)
La moda de un conjunto de valores es el valor que
más se repite en dicho conjunto. Si ningún valor se
Problema 1
A continuación se muestra la gráfica
que indica los gastos incurridos para
remodelar la casa de la familia Pérez:
Cemento
Pintura
Madera
Mano de
obra
S/.1900
S/.1000
S/.2800
S/.1500
S/.5800
Eléctricas
Señale la secuencia correcta después
de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F):
I. El porcentaje del costo total, que
fue dirigido a cemento y madera,
es 36,15%.
II. El gasto en pintura representa el
19,24% del gasto en mano de
obra.
III. La diferencia angular  ( – ) es de
36°.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FVF
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
La casa de la familia Pérez
Cemento
Pintura
Madera
Mano de
obra
S/.1900
S/.1000
S/.2800
S/.1500
S/.5800
Eléctricas
repite, se dirá que no existe moda y el conjunto de
datos será amodal.
Por ejemplo:
• 7, 13, 15, 15, 17, 21  moda Mo = 15
• 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9, 10, 10  moda Mo = 9
• 13, 19, 21, 37, 47  no hay moda
 es amodal
Por datos clasificados:
Si los datos tabulados son discretos la moda será
aquella que posee mayor frecuencia.
 
Si los datos tabulados son contínuos, tomados con
intervalos de ancho de clase común, el intervalo que
contiene a la moda es aquella que tiene la mayor
frecuencia (se le llamaclase modal). El valor de la
moda estará dado por:
1
o o
1 2
d
Mo L
d d
 
     
donde:
Lo : límite inferior de la clase modal.
o : ancho de la clase modal
d1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal
y la frecuencia de la clase anterior.
d2 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal
y la frecuencia de la clase siguiente.
problemas resueltos
73UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO TEMA 28
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
Exigimos más!
Operación del problema:
I.    
 
Cemento Madera 100%
Total
    
 
1900 2800 100% 36,15%
13000
II.    
 
P intura 100%
Manode obra
   
 
1000 100% 17,24%
5800
III. 2800 28360 3613000 13
      
1500 15360 36
13000 13
      
28 –15– 36
13
      
 
– 36   
Conclusiones y respuesta
I. V
II. F
III. V
Respuesta: B) VFV
Problema 2
El Perú exportó a China, en el año
2011, mercadería por un valor de 3600
millones de dólares. Con la información
de los gráficos circulares. Indique el
valor de las exportaciones a China solo
en el rubro texti l, en millones de
dólares.
Gráfico I
Total de exportaciones por sector.
$3600 millones
Pesca
No tradicional
Metal mecánica
Minería
30°
Gráfico II
De exportaciones del sector no
tradicional.
 10%
15%
25%
Productos 
alimentarios
Calzado
Servicios
Textil
MaderaMinería
A) 30 B) 108
C) 300 D) 354
E) 360
Resolución:
Ubicación de incógnita
Cuánto se exportó a China en el rubro
textil.
Análisis de los datos o gráficos
Pesca
No tradicional
Metal mecánica
Minería
30°
10%
15%
25%
Productos 
alimentarios
Calzado
Servicios
Textil
MaderaMinería
Operación del problema
No tradicional=30°<>
30 Total
360


Textil = 10% (No tradicional)
 = 
3010% Total
360
 
  
Rubro textil =  10 30 3600100 360
 
  
 = 30
Respuesta: B) 30
Problema 3
La gráf ica ci rcular muestra la
distribución del presupuesto de una
familia.
Otros 5%
Comida
Casa
Salud
Diversión
Educación
Si el ingreso familiar es de 3600 soles.
Indique las afirmaciones correctas:
I. El presupuesto para gasto de
educación es de 720 soles.
II. Si usaran la tercera parte del
presupuesto de diversión en el
rubro salud, podrían gastar hasta
480 soles en salud.
III. En casa y educación gastan 1140
soles.
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I y II
E) I, II y III
Resolución:
Ubicación de incógnita
Calcula los montos correspondiente a
cada sector para indicar las afirmaciones
correctas.
Análisis de los datos o gráficos
Ingreso familiar =3600 soles
 
Otros 5%
Comida
Casa
Salud
Diversión
Educación
74UNI SEMESTRAL 2013 - III RAZ. MATEMÁTICO
ESTADÍSTICA: DIAGRAMAS CIRCULARES
TEMA 28
Exigimos más!
Operación del problema
Comida=
Casa
Salud=S/.180
Otros= 5
100
(3600)=180
3600
100
=900
S/.900
S/.720S/.720
S/.720
Diversión
Educación
Del gráfico obtenemos:
Educación: S/.720
Comida: 900
Diversión: S/. 900
Casa: S/. 720
Salud: S/.180
Otros: S/.180
I. El presupuesto para gastos de
educación es de 720 soles.
II. Si usaran la tercera parte del
presupuesto de diversión en el
rubro salud, podrían gastar hasta
480 soles en salud.
III. En casa y educación gastan 1440
soles.
I. Educación = S/.720
(V)
II.
900Salud 180 S / .480
3
  
(V)
III. Casa + Educación
S/. 720 + S/.720 = S/.1 440
(V)
Respuesta: E) VVV