Tema 26 - Pirámide

Vista previa del material en texto

93UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 27
GEOMETRÍA
PIRÁMIDE
I. SUPERFICIE PRISMÁTICA ABIERTA
Es la superficie que se genera al desplazar una recta
denominada GENERATRIZ a través de una poligonal plana
denominada DIRECTRIZ y pasando siempre, por un
punto fijo no coplanar con dicha poligonal denominado
vértice.
Una poligonal puede ser abierta o cerrada, entonces
según esto; la superficie piramidal puede ser abierta o
cerrada.
¿Qué es una pirámide?
Una pirámide, es el sólido geométrico limitado por una
superficie piramidal cuya directriz es cerrada y una plano
secante a dicha superficie que no contiene al vértice,
en dicho plano se determina una sección plana, el cual
es denominada base de la pirámide, la distancia del
vértice de la superficie piramidal a la base se denomina
altura y la porción de superficie piramidal comprendido
ente la base y el vértice se denomina superficie lateral
de la pirámide.
A. Elementos
• Vértice de la Pirámide: O
• Vértices de la base: A, B, C ....
• Aristas laterales: OA,OB,OC ...
• Aristas básicas: AB,BC, CD...
• Caras laterales: AOB, BOC,.. . 
• Base de la pirámide: ABCD
• Altura:  OM OM H
Notación:
Pirámide: O - ABCD
B. Clasificación
1. ¿Qué criterio se toma para clasificar a las pirá-
mides?
• Para clasificar a las pirámides, se evalúa el nú-
mero de lados de la base, así por ejemplo, si
la base es una región triangular, una región
cuadrangular, una región pentagonal, ..., etc.
Se denominará pirámide triangular, pirámide
cuadrangular, pirámide pentagonal, ... etc.
DESARROLLO DEL TEMA
94UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
PIRÁMIDE
TEMA 27
Exigimos más!
 
En toda pirámide se puede realizar las siguien-
tes aplicaciones.
Pirámide pentagonal P - ABCDE
• Área de la superficie Lateral
SL
Áreas de lasA
caras laterales
 
    
 
• Área de la superficie Total
SL SLA A B 
B: área de la base
• Volumen
B HV
3

H: longitud de la altura de la pirámide.
B. ¿Qué elementos representativos se consideran?
La base de una pirámide puede ser una región
poligonal convexa, no convexa o regular. según
el tipo de pirámide que se analice, el pie de su
altura puede ubicarse en el interior de su base
en uno de los vértices de la base, arista básica
o exterior a ésta, pero siempre en el plano que
contiene a la base.
Luego, según sea la base y la ubicación del pie de
su altura, las pirámides pueden ser: pirámide
regular o pirámide no regular (irregular).
Entonces, ¿cuándo una pirámide es regular?, que
elementos se consideran.
Para que una pirámide sea regular es necesario
evaluar la ubicación del pie de su altura y la base,
así.
II. PIRÁMIDE REGULAR
A. Definición
Es aquella pirámide cuya base es una región po-
ligonal regular y el pie de su altura esta en el centro
de su base.
B. Apotema de la pirámide regular (Ap)
Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide
hacia una arista básica.
Nota
En toda pirámide regular se cumple:
• Las caras son triángulos isósceles congruentes
entre sí.
• Las caras laterales y la base forman ángulos diedros
de medidas iguales.
• Las aristas laterales forman con la base ángulos de
medidas iguales.
Pirámide exagonal regular M – ABCDEF
• Ap: apotema de la pirámide.
• ap: apotema del polígono regular ABCDEF.
• O: centro de la base.
• MO: altura de la pirámide, o es el pie de dicha altura.
• a: medida del diedro formado por una arista lateral
con la base.
• b: medida del ángulo formado por una arista lateral
con la base.
MON: aplicando el teorema de Pitágoras
2 2 2(AP) (ap) H 
H: longitud de la altura de la pirámide
95UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 27
Exigimos más!
PIRÁMIDE
• Área de la superficie lateral
SLA P(Ap)
p: semiperímetro de la base
• Área de la superficie total
ST SL baseA A A 
A base: área de la base
• Volumen
baseA HV
3


III. PIRÁMIDE NO REGULAR (IRREGULAR)
Es aquella pirámide cuya base es una región poligonal
cualquiera y el pie de su respectiva altura puede ubi-
carse en la base o exterior a ésta, pero siempre en el
plano que contiene a su base.
En el gráfico se muestra las siguientes pirámides irregulares:
– Pirámide pentagonal M – ABCDE.
– Pirámide cuadrangular M – ABCF.
– Pirámide pentagonal M – AFCDE.
• Área de la superficie lateral
SL
Áreas de lasA
caras laterales
 
    
 
• Área de la superficie total
S.L S.L baseA A A 
• Volumen
baseA HV
3


Sólidos geométricos semejantes
¿Cuándo dos o más sólidos son semejantes?
Dos o más sólidos geométricos son semejantes, si tienen
igual forma, pero tamaños diferentes.
IV. PIRÁMIDES SEMEJANTES
Definición
Dos pirámides son semejantes si sus bases son polígonos
semejantes y sus respectivas caras laterales forman con
la base diedros de igual medida.
 
En la figura se muestra la pirámide M – ABCD semejante
a la pirámide M´ – A´B´C´D´, siempre se cumple las
siguientes propiedades.
A . Las áreas de sus bases son proporcionales al cuadrado
de las longitudes de sus líneas homólogas, así:
2 2 2
2
2 2 2
(MA) (AB)A H ...k
B (MÁ ) (Á B́ ) h
   
– A y B son áreas de las bases de las pirámides.
– k: razón de semejanza.
B. Los volúmenes de dicha pirámides son proporcio-
nales al cubo de las longitudes de sus líneas ho-
mólogas.
3 3 3M ABCD 3
3 3 3Ḿ Á B́ Ć D́
V (MA) (AD) H ...k
V (Ḿ Á ) (Á D́ ) h


   
 
33 3 1 3
3 3 3
2
h(AB) (PA)Ve ABC ...k
Ve MNQ (MN) (PM) h
    

Nota
En las pirámides semejantes las áreas de las super-
ficies laterales y totales son proporcionales al cuadrado
de la longitud de las respectivas líneas homólogas.
96UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
PIRÁMIDE
TEMA 27
Exigimos más!
Problema 1
Una pirámide regular triangular forma en
su vértice un triedro cuyas caras miden
60°. La suma de las áreas de las caras
es 281 3 m . Determine la altura (en m)
de la pirámide.
UNI 2009 - II
A) 3 2 B) 3 3
C) 4 2 D) 5 3
E) 6 2
Resolución:
Considerando como dato la suma de
las áreas de 3 caras (laterales) = 81 3.
Como las caras en "v" miden 60° y la
pirámide es regular resulta ser un te-
traedro regular.
• suplat.A 81 3
•
23 . 3 81 3
4

• 6 3
Pero: 6h
3
  h 6 2 
Respuesta: E) 6 2
Problema 2
En la figura mostrada, ABCD es un
trapecio rectángulo tal que:
CD = BC = 2 AB = 2a
Si PQ es perpendicular al plano del tra-
pecio tal que PQ = a y los volúmenes
de las pirámides Q–ABP y Q–CDP son
iguales.
Calcule el volumen de la pirámide
Q–BCP.
UNI 2009 - I
A) 31 a
2
B) 33 a
8
C) 34 a
5
D) 37 a
8
E) 35 a
9
Resolución:
VQ-ABP = VQ - CDP
 Las áreas de ABP y CPD son iguales
a) Aplicación de fórmula o teorema
AABP = ACPD
am 2ansen sen
2 2
  
b) Solución del problema
m n
2 1
 
na m2ah
n m


5ah
3

BCP
2A  ah
2
25aBCP
3
A


a2
(a)
x BCP
1 1 5aV A Vx
3 3 3
 
     
 
Respuesta: E) 
3
X
5aV
9

Problema 3
En una pirámide V – ABCD la base ABCD
es un trapecio (AB//CD). Si éste poliedro
se proyecta sobre el plano perpendicular
a AB , el área proyectada es 20.
Si AB = 12 u, CD = 6 u, entonces el
volumen de la pirámide es:
UNI
A) 40 u3 B) 20 u3
C) 22 u3 D) 120 u3
E) 100 u3
Resolución:
Piden:
VV–ABCD = Vx = ?
 x 1 1 12 6V B H h H3 3 2 
Vx = 3hH
hH20 hH 40
2
  
Por lo tanto Vx = 120
Respuesta: D) 120 u3
problemas resueltos