Tema 27 - Tronco de pirámide

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97UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 28
GEOMETRÍA
TRONCO DE PIRÁMIDE
I. TRONCO DE PIRÁMIDE
Se denomina tronco de pirámide a la porción de pirá-
mide comprendida entre la base y la sección plana de-
terminado por un plano paralelo a dicha base y secantes
a todas las caras laterales.
A la sección plana se denomina sección transversal y a
la pirámide que tiene por base a la sección transversal
y por vértice al vértice de la pirámide original se deno-
mina pirámide deficiente y siempre es semejante con
la pirámide inicial.
Sea la pirámide de P – ABC hacia él se traza el plano S
secante y paralelo al plano, determinándose la sección
plana triangular MNQ o sección transversal, luego:
• Área de la superficie lateral
SL
Áreas de lasA
caras laterales
 
     
• Área de la superficie total
S.T. S.L.A A A B  
A y B son área de sus bases.
• Volumen
HV (A B A B)
3
   
– H: es la longitud de la altura del tronco de pirá-mide.
– P – MNQ es la pirámide deficiente.
– P – ABC y P – MNQ son pirámides semejantes.
Luego se cumple:
2 2
2
2 2
(AB) (PA)A ...k
B (MN) (PM)
  
k: razón de semejanza
II. TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Un tronco de pirámide es regular cuando sus bases
son regiones poligonales regulares semejantes, sus
caras laterales son regiones trapeciales congruentes
y forman con las bases diedros suplementarios.
Superficie cónica
Definición
Es la superficie que se genera por una recta denomi-
nada generatriz al ser desplazada a través de una línea
curva plana denominada directriz y pasando siempre
por un punto fijo no coplanar con dicha directriz.
Nota:
Emplear adecuadamente los términos inscrito,
circunscrito, exinscrito en los sólidos.
 
DESARROLLO DEL TEMA
98UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
TRONCO DE PIRÁMIDE
TEMA 28
Exigimos más!
Problema 1
En una pirámide regular de base
cuadrangular, el punto medio de la
altura dista en una cara lateral y de una
arista lateral 6 u y 8 u respectivamente.
Calcule al altura (en u) de la pirámide.
A) 6 2 B) 12 2
C) 18 2 D) 24 2
E) 34 2
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Aplicando el teorema de la base media:
OP = 16  OQ = 12
En el POD:
2 2 2
1 1 1 ...(1)
h 2b 16
 
En el POK:
2 2 2
1 1 1
h b 12
 
 2 2 2
1 1 1 ...(2)
2h 2b 2 12
  

(1)–(2): 2 2 2 2
1 1 1 1– –
h 2h 16 2 12


2 2 2
1 32
h 16 12
 

h 24 2 
Respuesta: D) h = 24 2
Problema 2
En la figura, O - ABC es una pirámide
regular. Calcule la relación que existe
entre el volumen de la pirámide regular
y el volumen del tronco de cilindro (O
es centro).
UNI 2013 - I
A) 3
3
B) 2 3
3
C) 3
4
 
D) 3 3
4
E) 3
2
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden:
 P
TC
VVolumen de la pirámide
Volumen del tronco de cilindro V
=
Operación del problema
A B
C
O
R
H R 3
h
ABC : equilátero
3BC : L BC R 3 =
22
P
1 3 R h 3V (R 3) .h
3 4 4
= =
2
TC BaseV A Eje R h = =
2
P
2TC
R h 3
V 4
V R h
=
Conclusiones y respuesta
P
TC
V 3
V 4


=
Respuesta: C) 3
4
Problema 3
Una servilleta de papel cuadrada
ABCD, cuyo lado tiene 24 cm de
longitud, se dobla por las líneas
punteadas tal como se muestra en la
f igura, donde M y N son puntos
medios de BC y CD respectivamente;
luego se juntan los bordes MB con MC,
NC con ND y AB con AD formándose
una pirámide. Calcule la altura de esta
pirámide (en cm).
 UNI 2012 - I
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Resolución:
Ubicación de incógnita
h: altura de la pirámide
Análisis de los datos o gráficos
La pirámide B–MAN es trirectangular
en B.
Operación del problema
Por teorema en los tr iedros
trirectángulos.
2 2 2 2
1 1 1 1 h 8
h 12 12 24
    
Respuesta: C) 8
problemas resueltos