Tema 28 - Cono

Vista previa del material en texto

99UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 29
GEOMETRÍA
CONO
Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada y un
plano secante a dicha superficie que no contiene al vértice.
La sección plana limitado por la directriz se denomina base
del cono y la perpendicular trazada del vértice a dicha base
a su altura.
I. VOLUMEN DEL CONO
baseA HV
3


– A base: área de la base
– H: longitud de la altura del cono
II. CONO DE REVOLUCIÓN
Es el sólido que se genera cuando se hace girar 360°
una región triangular recta en torno a uno de sus ca-
tetos contenido en una recta denominado eje de giro.
– O: centro de la base del cono
– R: radio de la base
• Área de la superficie lateral
S.LA rg 
g: longitud de la generatriz
• Área de la superficie total
S.T S.L baseA A A 
Abase: área de la base
• Volumen
2rV H
3
    
H: longitud de la altura
Desarrollo de la superficie lateral de cono de
revolución
La superficie lateral es equivalente con su respectivo
desarrollo, este es un sector circular cuyo centro es
el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz.
S.I sec torA A 
2r rRg .360
360 g
           
DESARROLLO DEL TEMA
100UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
CONO
TEMA 29
Exigimos más!
Problema 1
En un con o circ u lar, recto la
generatriz mide 12 cm y una cuerda
de la circunferencia de la base mide
16 cm. Si la distancia del centro
de dicha circunferencia a la cuerda
es 4 cm, entonces el volumen del
cono (en cm3) es:
UNI 2011 - II
A) 640
3
 B) 641
3
 C) 642
3

D) 643
3
 E) 644
3

Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Aplicando de fórmula teorema o
propiedad
Teorema de pitágoras
Solución del problema
En el OHN: R2 = 82 + 42
  R = 4 5
En el PON: h2 = 122 – R2
h2 = 122 –  24 5
h2 = 64
  h = 8
Conclusión y respuesta:
Luego:  
 22
cono
4 5 8R hV
3 3
  
(cono)
640V
3
 
Respuesta: A) 
640
3
Problema 2
Considere dos esferas tangentes
exteriormente, cuyos radios miden
1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule
el volumen (en cm3) del cono circular
recto circunscrito a las dos esferas.
A) 80  B) 81 C) 82 
D) 83 E) 84 
Resolución:
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Trazamos QL RS
En el QRL, ya que QR = 2(RL)
m RQL 30º ,  luego m QPT 30º
Resultando un cono equilátero.
En el PTQ de 30º y 60º:
PQ = 2
En el POB de 30º y 60º:
9R 3 3
3
 
Conclusión y respuesta:
Luego:
 2
(cono)
3 3 9V
3
 
(cono)V 81  
Respuesta: B) 
81
Problema 3
El ángulo de desarrollo de un cono
circular recto mide 120°. Si la altura
del cono mide 4 cm, entonces el radio
(en cm) del cono es:
UNI 2009 - I
A) 2
2
B) 2
C) 3
D) 2 2
E) 2 3
Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide el radio del cono, R
Análisis de los datos o gráficos
La altura del cono; h = 4
El ángulo del desarrollo del cono circular
mide 120°.
Operación del problema
a) Aplicación de fórmula o teorema
R360
g
  
b) Solución del problema
120º
g
R120 360
g
  
R 1
g 3

Conclusiones
42 + R2 = (3R)2
R 2 
Respuesta: B) 2
problemas resueltos