Tema 32 - Coordenadas polares

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104UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 33
COORDENADAS POLARES
TRIGONOMETRÍA
I. CONCEPTO
P
P = (2.65, 155°)
r = 2.65
 = 155°
155°
2.65
O 1 2 3
Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia. De manera más precisa, se toman: un
punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y
una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa
por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia. Con este
sistema de referencia y una unidad de medida métrica
(para poder asignar distancias entre cada par de puntos
del plano), todo punto P del plano corresponde a un
par ordenado (r, ) donde r es la distancia de P al
origen y  es el ángulo formado entre el eje polar y la
recta dirigida OP que va de O a P. El valor  crece en
sentido antihorario y decrece en sentido horario. La
distancia r(r  0) se conoce como la "coordenada radial"
o "rad io vector", mientras que el ángulo es la
"coordenada angular" o "ángulo polar".
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el
valor de  es indefinido. En ocasiones se adopta la
convención de representar el origen por (0,0°).
II. REPRESENTACIÓN DE PUNTOS DE
COORDENADAS POLARES
O
r
L1
r
(3,60°)
(4,210°)

Los puntos (3,60°) y (4,210°) en un sistema de
coordenadas polares.
En la figura se representa un sistema de coordenadas
polares en el plano, el centro de referencia (punto O)
y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para
referenciar un punto se indica la distancia al centro de
coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
El punto (3,60°) indica que está a una distancia de 3 unidades
desde O, medidas con un ángulo de 60° sobre OL.
El punto (4,210°) indica que está a una distancia de 4
unidades desde O y un ángulo de 210° sobre OL.
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares
es que un único punto del plano puede representarse con un
número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede
en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el
sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia
biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las
coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es
el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo
más un número de revoluciones completas y la misma
distancia. En general, el punto (r,  ) se puede
representar como (r, n 360   ) o (–r,   (2n + 1) 180°),
donde n es un número entero cualquiera.
El centro de coordenadas está definido por una distancia
nula, independientemente de los ángulos que se
especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas
arbitrarias (0,  ) para representar el polo, ya que
independiente del valor que tome el ángulo , un punto
con radio 0 se encuentra siempre en el polo. Estas
circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar
confusiones en este sistema de coordenadas. Para
obtener una única representación de un punto, se suele
limitar r a números no negativos r  0 y  al intervalo
[0,360°) o (–180°,180°] (en radianes, [0,2 ) o (– , ).
Los ángulos en notación polar se expresan normalmente
en grados o en radianes, dependiendo del contexto.
Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima
utilizan las medidas en grados, mientras que algunas
aplicaciones físicas (especialmente la mecánica
rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático
expresan las medidas en radianes.
DESARROLLO DEL TEMA
105UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 33
COORDENADAS POLARES
III. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
r Cos
r Sen

r
y
x
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas
polares y las coordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en
el punto O se puede definir un sistema de coordenadas
polares de un punto M del plano, definidas por la
distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo  del
vector de posición sobre el eje x.
A. Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su
ángulo  sobre el eje x, y su distancia r al centro
de coordenadas, se tiene:
x = rCos 
y = rSen 
B. Conversión de coordenadas rectangulares a
polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas
rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada
polar r es:
r = 2 2x y (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular , se deben
distinguir dos casos:
• Para r = 0, el ángulo  puede tomar cualquier
valor real.
• Para r  0, para obtener un único valor de ,
debe limitarse a un intervalo de tamaño 2  .
Por convención, los intervalos utilizados son
[0,2 ) y (– , ].
Para obtener  en el intervalo [0,2 ), se deben
usar las siguientes fórmulas (arcTan denota la inversa
de la función tangente):
yarcTan si x 0 y y 0
x
yarcTan 2 si x 0 y y 0
x
yarcTan si x 0
x
si x – 0 y y 0
2
3 si x 0 y y 0
2
     
 
        
 
        
 
 

   

Para obtener  en el intervalo (– , ], se deben
usar las siguientes fórmulas:
–
–
y2arcTan si x
x | z |
si x
        

 


o equivalentemente
yarcTan si x 0
x
yarcTan si x 0 y y 0
x
yarcTan – si x 0 y y 0
x
si x 0 y y 0
2
– si x 0 y y 0
2
    
 
        
 
        
 
  

   

Muchos lenguajes de programación modernos
evitan tener que almacenar el signo del numerador
y del denominador gracias a la implementación de
la función aTan2, que tiene argumentos separados
para el numerador y el denominador. En los
lenguajes que permiten argumentos opcionales, la
función aTan puede recibir como parámetro la
coordenada x (como ocurre en Lisp).
IV. ECUACIONES POLARES
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define
una curva expresada en coordenadas polares. En
muchos casos se puede especificar tal ecuación
definiendo "r" como una función de  . La curva
resultante consiste en una serie de puntos en la forma
(r( ), ) y se puede representar como la gráfica de
una función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la
ecuación de una función polar r: Si r(– ) = r( ) la
curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°),
si r(180° – ) = r( ) será simétrica respecto al eje
vertical (90°/270°), y si r (  –  °) = r(  ) será
simétrico rotacionalmente  ° en sentido horario
respecto al polo.
Debido a la naturaleza circu lar del sis tema de
coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir
con una simple ecuación polar, mientras que en su
forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas
de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral
de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la
cardioide.
Para los apartados siguientes se entiende que el círculo,
la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el
dominio y rango de la curva.
A. Circunferencia
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TEMA 33
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Un círculo con ecuación r( ) = 1.
La ecuación general para una circunferencia con
centro en (r0,) y radio a es.
r2 – 2rr0Cos(  – ) + r 20 = a
2
En ciertos casos específicos, la ecuación anterior
se puede simplif icar. Por ejemplo, para una
circunferencia con centro en el polo y radio a, se
obtiene.
r( ) = a
B. Línea
Las líneas notables (aquellas que atraviesan el polo)
se representan mediante la ecuación.
 = 
donde  es el ángulo de elevación de la línea, esto
es,  = arcTan m donde m es la pendiente de la
línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La
línea no radial que cruza la línea radial  = 
perpendicularmente al punto (r0,  ) tiene la
ecuación.
r( ) = r0Sec(  – )
C. Rosa polar
Una rosa polar con ecuación r( ) = 2Sen4 
La rosa polar es una famosa curva matemática que
parece una flor con pétalos, y puede expresarse
como una ecuación polar simple.
r( ) = aCos(k  + n)
Para cualquier constante  0 (incluyendo al 0). Si k
es un número entero , estas ecuaciones
representan una rosade k pétalos cuando k es
impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional pero
no entero, la gráfica es similar a una rosa pero con
los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones
nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc.
pétalos.
La variable a representa la longitud de los pétalos
de la rosa.
Si tomamos solo valores positivos para r y valores
en el intervalo [0,2 ) para , la gráfica de la
ecuación.
r = ( ) = 0
kaSen
2
     
es una rosa de k pétalos, para cualquier número
natural k. Y si k – 0, la gráfica es una circunferencia
de radio r = 0aSen( )
D. Espiral de Arquímedes
Un brazo de la espiral de Arquímedes con ecuación
r( ) =  para 0 <  < 6 .
La espiral de Arquímedes es una famosa espiral
descubierta por Arquímedes, la cual puede
expresarse también como una ecuación polar
simple. Se representa con la ecuación.
r( ) = a + b 
Un cambio en el parámetro a producuirá un giro en
la espiral, mientras que b controla la distancia entre
los brazos, la cual es constante para un espiral dada.
La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para
 > 0 y otro para  < 0. Los dos brazos están
conectados en el polo. La imagen especular de un
brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo.
Esta curva fue una de las primeras curvas, después
de las secciones cónicas, en ser descritas en
tratados matemáticos. Además es el principal
ejemplo de curva que puede representarse de
forma más fácil con una ecuación polar.
Otros ejemplos de espirales son la espiral logarítmica
y la espiral de Fermat.
V. SECCIONES CÓNICAS
Eje mayor
Ej
e 
m
en
or
Semilado recto
Elipse, indicándose su semilado recto.
Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en
cualquier punto del eje horizontal (de modo que el
semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar)
es dada por:
r
1 eCos

 
l
donde e es la excentricidad y l es el semilado recto
(la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor
a la curva).
Si e > 1, está ecuación define una hipérbola; si e = 1,
define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para
la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de
radio l .
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Problema 1
Hallar el área del triángulo cuyos vértices
son los puntos: A(0,0°), B(r1, 1) y
C(r2, 2).
O
hr2
r1
A(0,0°)
C(r , )2 2
B(r , )1 1
A) 1 2 2 1r .r Sen( – )
2
 
B) 1 2 2 1
r .r Sen( )
2
  
C) 1 2 1 2
r .r Sen( – )
3
 
D) 1 2 1 2
r .r Sen( )
3
  
E) 1 2 1 2
r .r Sen( )
2
  
Resolución:
Área = 
b h
2

b = r1
Sen( 2 – 1) = 
2
h
r
Por lo tanto:
h = r2Sen( 2 – 1)
Sustituyendo:
A = 1 2 2 1r .r Sen( – )
2
 
Respuesta: A) – ) 
1 2r .r Sen(
2 1
2
Problema 2
Determinar las coordenadas
rectangulares del punto (3,90°).
A) (0,5) B) (1,3)
C) (0,3) D) (2,7)
E) (5;8)
Resolución:
El punto P(x,y) = P(r, ) = P(3,90°)
Se tiene
x = rCos  = 3Cos90° = 3(0) = 0
y = rSen  = 3Sen90° = 3(1) = 3
Por lo tanto:
x = 0
y = 3
En consecuencia la solución es P(0,3).
Respuesta: C) (0,3)
Problema 3
Transformar la ecuación rectangular
2x2 + 2y2 + 2x – 6y + 3 = 0 a su forma
polar.
A) 2r2 + 2rCos  + 6rSen  – 3 = 0
B) 2r2 – 2rCos  – 6rSen  – 3 = 0
C) r2 + 2rCos  – 6rSen  + 3 = 0
D) 2r2 + 2rCos  – 6rSen  + 3 = 0
E) 2r2 – 2rCos  + 6rSen  + 3 = 0
Resolución:
Sustituyendo x = rCos , y = rSen 
en la ecuación dada:
2(rCos)2+2(rSen)2+2(rCos)–6(rSen)+3=0
2r2Cos2 +2r2Sen2 +2rCos –6rSen +3=0
Factorizando:
2r2(Cos2 +Sen2)+2rCos –6rSen +3=0
Nota: Cos2  + Sen2  = 1
2r2(1) + 2rCos  – 6rSen  + 3 = 0
Finalmente se obtiene:
2r2 + 2rCos  – 6rSen  + 3 = 0
Respuesta: D) 2r2+2rCos –6rSen +3=0
problemas resueltos