Tema 32 - Teorema de Pappus Gulding

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109UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 33
GEOMETRÍA
TEOREMA DE PAPPUS GULDIN
TEOREMA DE PAPPUS GULDIN
El teorema de Pappus Guldin, se aplica para calcular el área
de una superficie generada por una línea plana o para calcular
el volumen de un sólido generado por una región plana
cuando se hace girar 360° en torno a un eje coplanar de
manera tal que no lo divide en dos partes a la línea o región,
así tenemos:
A. Área de la superficie generada
El área de la superficie generada por una línea finita
cuando se hace girar 360° alrededor de eje coplanar,
es igual al producto de la longitud de la circunferencia
que describe su centroide por la longitud de la línea.
360°
A
B
C.G.
X
Eje de giro
Área de la superficie generada
S.G.A (2 X) L  
X : Distancia del C. G. al eje.
L: Longitud de la línea curva AB.
C.G.: Centroide de la línea
B. Volumen del sólido generado
El volumen del sólido generado por una región plana,
cuando se hace girar 360° alrededor de un eje coplanar,
es igual a producto de la longitud de la circunferencia
que describe su centroide por el área de dicha región.
360°
C.G.
A
Eje de giro
Volumen del sólido generado
S.G. )(A 2 X A  
CG: centroide
A: área de la región
X : distancia del C.G al eje de giro
DESARROLLO DEL TEMA
110UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA
TEOREMA DE PAPPUS GULDIN
TEMA 33
Exigimos más!
Problema 1
Un triángulo isósceles cuya base mide
2a unidades y cuya altura mide 3a
unidades, gira alrededor de uno de sus
lados. Calcule (en unidades cúbicas) el
mayor volumen del sólido que de esta
manera se genera.
A) 34 a B) 35 a
C) 36 a D) 37 a
E) 38 a
UNI
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: VSG.: volumen mayor del sólido
generado.
Análisis de los datos o gráficos
ABC : isósceles
G. baricentro
Operación del problema
El mayor volumen se obtiene cuando
gira alrededor de AC

.
Por teorema de Pappus:
SG
2ax 3aV 2 (a)
2
     
3
SGV 6 a  
Respuesta: C) 36 a
Problema 2
En un rectángulo ABCD la diagonal AC
tiene una longitud de 2a unidades y
forma con AB un ángulo de 30°. El
rectángulo gira alrededor de una recta
paralela a AC y que pasa por B. El área
de la superficie total generada por el
rectángulo es:
A) 22 a (3 3) 
B) 2a (3 3) 
C) 23 a 3
D) 2a (3 2 3) 
E) 22 a (3 3) 
UNI
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: Área sup. generada = Ax
Análisis de los datos o gráficos
Del gráfico:
BQA: (Not. 30° y 60°)
a 3OQ
2

Por teorema de Pappus - Guldin
 x a 3A 2 2a 2a 32
 
   
 
 2xA 2 a 3 3   
Respuesta: E)   22 a 3 + 3
Problema 3
Un prisma oblicuo de volumen 150 m3
tiene área de superficie lateral 50 m2.
Determine el área del círculo inscrito a
la sección recta en m2.
UNI 2012 - I
A) 9  B) 4  C) 25 
D) 30  E) 36 
Resolución:
Ubicación de incógnita
Área del círculo = r2
Análisis de los datos o gráficos
V = 150 = S(S.R.) a
SL = 50 = 2p(S.R.) a
Operación del problema
Dividiendo miembro a miembro las
expresiones anterio res tenemos:
(S.R.)
(S.R.)
S150 3
50 2p
 
Pero en la sección recta MNL:
S(S.R.) = p(S.R.)r  
(S.R.)
(S.R.)
S
r
p

luego:
 3 = 
r
2
 r = 6
Conclusiones y respuesta
S =  r2 =  (6)2
 S = 36 
Respuesta: E) 36 
problemas resueltos