Soluções de Geometria para Exames de Admissão

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ADMISIÓN tvitter.com/calapenshko 
 SOLUCIONARIO 
Y DELOS 
OS EXÁMENES 
AAN MARCOS 
|
 
o olucionario S an Marcos 
GEOMETRÍA 
DECO 
ÍN DICE twitter.com/calapenshko 
 f . 
 
1. Definiciones y segmentos 2 
2. Ángulos 3 
3. Triángulos: propiedades y teoremas 3 
4. Congruencia de triángulos 5 
5. Cuadriláteros 5 
6. Polígonos q 
7. Circunferencia 7 
8. Cuadriláteros inscritos 9 
9. Proporcionalidad 9 
10. Semejanza de triángulos 10 
11. Relaciones métricas de triángulos rect. 11 
12. Relaciones métricas de triángulos oblicuángulos 
y en la circunferencia 14 
13. Perimetros +5 
14. Áreas de regiones triangulares 15 
15. Áreas de paralelogramos 17 
16. Áreas de trapecios 20 
17. Áreas de regiones circulares 21 
18. Relación de áreas 23 
19. Áreas de poligonos regulares 24 
20. Geometría del espacio: poliedros 24 
21. Prisma y pirámide 26 
22. Cono 29 
23. Esfera 30 
24. Sólidos geométricos 31 
25. Máximos y mínimos geométricos 32 
Solucionario 33 
Claves 
 
 
GEOMETRÍA | 
Para aquellos que no conocen las matemáticas, es dificil 
sentir la belleza, la profunda belleza de la naturaleza... 
twitter.com/calapenshko Richard P. Feynman 
¡MENA ASNO 
Pregunta N.* 1 (UNMSM 2012-1) 
En una recta, se ubican los puntos 
consecutivos P, Q, R y $. Si PQ = a; 
PR = m; PS = by QR = RES, halle 
una raíz de la ecuación: 
y 
2 bw+a 
+ 
A) 1 
D) -1 
 
m-a_ 
b=-m =0 
B) 2 C) 2 
E) 3 
Pregunta N.* 2 (UNMSM 2016-11) 
Se realiza dos cortes a un alambre en posición 
horizontal y resulta que cada trozo mide el 
cuádruple del anterior. Si la diferencia de las 
longitudes de los dos trozos menores es 60 cm, 
¿cuánto mide el alambre? 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
210 cm 
480 cm 
520 cm 
420 cm 
400 cm 
Pregunta N.* 3 (2017-1) 
La figura representa una vereda; los puntos A, 
M, B y Cestán ubicados en línea recta; el punto 
M es equidistante de A y C. Si la diferencia de las 
longitudes de AB y BC es 32 m, calcule la 
longitud de MB. 
2 
 
 
A) 17m 
B) 18m 
C) 19m 
D) 16 m 
E) 15m 
Pregunta N.* 4 (2017-11) 
En la fachada de un edificio de 85 metros de 
altura, hay un diseño artístico para macetas 
en diferentes puntos consecutivos, alineados 
verticalmente a lo largo de su altura, O, P Q, 
S y I, siendo O el punto correspondiente a la 
base del edificio y T al techo. Las distancias 
OP y ST están en razón de 3 a 2, yP y S son 
puntos medios de OQ) y QT respectivamente. 
¿Cuál es la distancia entre Q y S? 
A) 17m 
B) 15m 
C) 21m ; 
D) 18m - E 
E) 16m
2. ÁNGULOS 
PREGUNTA N* 5 (UNMSM 2012-11) 
El doble del complemento de un ángulo 
es el triple de su suplemento disminuido 
en 120%. Halle la medida del ángulo en 
radianes. 
2x1 5r 
A) o B) 
3 
3r q ár 
4 
p) 2 E) 
2 3 
PREGUNTA N” (UNMSM 2014-11) 
En la siguiente figura, se traza las bisectrices de los 
ángulos AOP, POQ y QOB. Calcule mÍ(POQ) si 
su bisectriz es perpendicular a AB y las bisectrices 
de AOP y QOB forman un ángulo de 110P. 
A) 35% 
B) 450 
C) 60% 
P Q 
 
D) 409 
E) 90% 
A* O 
Pregunta N.* 7 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, L,//Lo y a«+[f=308". Halle 6. 
 
 
E; a z > 
. SA La 
A) 522 B) 322. C) 42 
D) 48* E) 382 
PREGUNTA N.* 8 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, las rectas 4, y Pa son paralelas. Si 
a+pP=5x, halle el valor de x. 
 
E
 
M
i
a
”
 
F 
di e
o
 
NN, 
A) 502 D) 309 
B) 409 Ej 459 
C) 608 
PREGUNTA N. 9 (UNMSM 2016-1) 
En la figura, los ángulos AOB y 
AOC cumplen que la suma de sus 
medidas es 80? y la medida del 
ángulo que forman sus bisectrices es 
207. Halle la medida del mayor de 
los dos ángulos. 
A) 502 
B) 709 / 3 
C) 609 ' y 
D) 409 
E) 652 
Á, 
CI eo 
AO AID A 0 
 
Pregunta N.? 10 (UNMSM 2009-11) 
Halle el valor del ángulo x de la gráfica adjunta. 
A) 909 
B) 60? 
C) 859 
D) 3 
E) 75% 
 
 
 
 
PREGUNTA N.* 11 (UNMSM 2011-I) 
En la figura, PS=2 cm y SR=7 cm. Halle PQ. 
Q 
 
2 aL 
Pp Ss R 
 
A) 6cm B) 7cm C) 5cm 
Dj) 4 cm E) 3cm 
 
PREGUNTA N.* 12 (UNMSM 2011-1) PREGUNTA N.* 14 (UNMSM 2011-11) 
En la figura, AB=DE y M es punto medio de BC. 
Halle la medida del ángulo MEC. 
En la figura, si y + f + «u = 40009, halle x. 
A) 209 
E B) 4009 
C) 3009 
D) 5009 
E) 600 
 
 
 
PREGUNTA N.* 15 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, BC es bisectriz del ángulo 
 
A) 34 B) 36" C) 32* OC D. Halle el valor de y. 
D] 33" El 37% 
A) 40 B) 35% C) 609 A 
o E PREGUNTA N.? 13 (UNMSM 2012-11) D) 30% E) 450 ) 
 
En la figura, las rectas Y; y Po, son 
paralelas; además, QR=RP. Halle el valor 
 
de x. 1600 
pa EN 25D C e ao twitter.com/calapenshko 5 
C) 500 | 
D) 608 = ME a 
E 90 ln 
 
 
PREGUNTA N.* 16 (UNMSM 2013-1) 
En la figura, halle a+f. 
AJ 702 D) 609 
B) 900 E) 100* 
C) 80 
 
 
 
PREGUNTA N.?* 17 (UNMSM 2015-I) 
Si en la figura AC=EC, halle x. 
C 
A) 222 
B) 242 > 
C) 440 
D) 342 
E) 20% O 
A 
A H B 
, A) 16 cm 
4. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS B) 24cm 
PREGUNTA N.” 18 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, | es incentro y G es baricentro del 
triángulo ABC, AB = 5cm, BC = 8cm e Halle AC. 
A)) 6,5 
B)) 6 
C)) 7,25 
D) 6,25 cm 
E)) 6,75 
 
PREGUNTA N.? 19 (UNMSM 2013-11) 
En la figura, MN es perpendicular a las rectas 
paralelas Ly y Lo; BP Y AP son bisectrices de los 
ángulos ABT y BÁS respectivamente. 
Si MN = 36 cm y PR es perpendicular a AB, 
halle PR. 
Li «—G 
 L A 2 
 
Mao lol 
 
PREGUNTA N.* 20 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, ABCD es un trapecio, CB=CD=1 m, 
BD=V3 m y la medida del ángulo B_ AD es 45”. 
Halle la medida del ángulo A DB. 
A) 902 D 
B) 1200 
C) 105% 
D) 1359 
E) 73 Á 
 
 
PREGUNTA N. 21 (UNMSM 201 1-IT) -. 7-44 D) 7-27 
 
 
En un triángulo ABC, D es punto medio de AB y E 7 7 
es un punto sobre BC, tal que DE//AC. Si P y Q son 
los puntos medios de AE y DC, respectivamente, E 6 
y PQ=6 cm, halle AC. 
A 180 2-20 59 62m PREGUNTA N.* 25 (UNMSM 2012-11) 
D) 24 cm E) 18 cm ; _ 
PREGUNTA N. 22 (UNMSM 2011-11) 
En la figura, el lado del cuadrado 
ABCD mide 5/2 cm. Halle el perímetro 
En la figura, QP// RS: RS=6 cm y QR=9 cm. de la región rectangular EFGH. 
Calcule QP. 
R Ss 
2a 
 
Q Pp 
A) 12cm Bj) l4cm C) l5cm 
Dj 16 cm E) 18 cm 
PREGUNTA N.* 23 (UNMSM 2012-1) 
En un trapezoide ABCD, los ángulos opuestos 
DAB y BCD miden 76* y 154” respectivamente. 
Halle la medida del menor ángulo formado por las 
bisectrices interiores de los ángulos ABC y CDA. 
A) 35% B) 36? C) 37” D) 39” E) 38* 
PREGUNTA N.? 24 (UNMSM 2012-1) 
 
La base mayor de un trapecio isósceles mide 
igual que una diagonal y la base menor mide 
el doble de la altura. Halle la razón entre 
las longitudes de la base menor y la mayor; 
en el orden indicado. 
1447 2+ +47 
E «¿Mr 
 
 
A) 15 cm B_ EF C 
B) 25 cm si 
C) 10 cm 
D) 20 cm 
E) 30 cm 
G 
Á H D 
Pregunta N* 26 (UNMSM 2013-11) 
En la figura, ABCD es un paralelogramo cuyo 
lado menor mide 16 m y DE es bisectriz del 
ángulo ADC. Halle la medida del segmento que 
une los puntos medios de AE y BD. 
LS 
A) 7m B)9m C) 8m D) 6m E) 10m 
 
PREGUNTA N.* 27 (UNMSM 2017-1) 
Tres árboles se encuentran alineados y se 
ubican en forma perpendicular a la superficie, 
tal como muestra la figura. El pequeño mide 
2 m y el mediano 3 m. Si la distancia entre 
cada par de árboles conse ¡a 3m, 
¿cuánto mide el árbol más alto? 
 
 
¿3m 3m 
A) 45m o, D) 43m 
3) 50m Y E a som 
Mo Belo es 
Pregunta N.* 28 (UNMSM 2009-11) 
 
Los puntos A, B y C son tres vértices consecutivos 
de un poligono regular de 15 lados. Halle los 2/3 
de la medida del ángulo ABC. 
A) 106% B)1042 C)1082 D)10 E) 100* 
PREGUNTA N.?” 29 (UNMSM 2012-11) 
Halle la medida del ángulo interior de un 
polígono regular sabiendo que este tiene 20 
diagonales. 
A) 120% Bj) 144? E) 150* 
Dj 1082 El 135 
PREGUNTA N.* 30 (UNMSM 2013-11) 
Determine el polígono convexo, cuyo 
número de diagonales excede el número 
de vértices en 18. 
A) Eneágono 
B) Pentágono 
C) Exágono 
D) Polígono de 26lados 
E) Polígono de 32 lados 
 
GEOMETRÍA . 
Dios es geómetra. 
Platón 
7. CIRCUNFERENCIA 
PREGUNTA N.* 31 (UNMSM 2010-11) 
Las circunferencias Cy y Ez de centros O y O' 
respectivamente son tangentes exteriores, y los 
segmentos de recta MA y LA son tangentes a 
estas. Si DA=18 cm y el radio de C; mide 9 cm, 
¿cuántos mide el radio de Co? 
 
M 
A 
L 
Aj ¿cm D) 3,5 cm 
B) 3cm E) 2,5 cm 
C) 4cm 
PREGUNTA N.* 32 (UNMSM 2015-11). 
En la figura, se tiene un triángulo ABC 
inscrito en el círculo de centro O y radio de 
12,5 m. Si AC=20 m, BC=15 m, halle AB. 
 
A) 8m Bs E 
2 [LS 
C) 7m 
D) 9m A 
E) 7,5m 
 
 
ÁNGULOS EN LA PREGUNTA N.? 36 (UNMSM 2011-11) 
CIRCUNFERENCIA En la figura, si mB A=30* y el radio mide 
RONEAIGIEMN 
PREGUNTA N.* 33 (UNMSM 2009-11). IAN 
En la figura, mCD = 2mBC, E y C son 
 
 
 
 
puntos de tangencia. Halle el valor de x. Si B 
á 
A) 12 
B) 309 M 
C) 182 
E A) V2R cm Ja 
E B) 242R cm 
E) 159 Y2 
C) 442R cm E) y BR 0 
SHA C PREGUNTA N.* 37 (UNMSM 2012-11) 
. En la figura, Á y B son puntos de 
PREGUNTA N.* 34 (UNMSM 2010-1) tangencia y el ángulo AC Bmide60*. 
En la figura, BD=BC y la medida del Halle lamedida del arco ADB. 
arco Á Ces igual a 5x. Halle el valor de x. C 
o A) 602 
A) a D B) 757 A 
B) 8 C) 120 A Ñ 
CJ) 18 D) 90* 3 
o 200 E) 1059 D) 16 AQ c E) ( ¡B 
E) 122 0 zx 
. a ( Ul N be ) 
PREGUNTA N.*35 MSM 2010 q PREGUNTA N.? 38 (UNMSM 2014-11) 
En la figura A y C son puntos de tangencia. 
Halle la medida del ángulo inscrito ABC en la En la figura, O es centro de la 
circunferencia. Si OC=r es el radio 
circunferencia. de la circunferencia y 0=3f, halle 
 
 
 
 
A) 80" CD. 
B) 60 A) 1/3 
C) 659 B) r/2 
D) 55 GC) Zr 
EJ me D) r 
 
8. CUADRILÁTEROS INSCRITOS 
 
PREGUNTA N.? 39 (UNMSM 2011-11) 
 
En la figura, ABCD es un trapecio isósceles; 
P y T son puntos de tangencia. Si la 
longitud de la base mayor es el triple de la 
base menor y PT=4,8 cm, halle la longitud 
de la base menor. 
 
B E 
p T 
A D 
A) 3,5 cm C) 3 cm D) 3,8 cm 
B) 3,6 cm E) 3,2 cm 
PREGUNTA N.? 40 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, M, N y Q son puntos de 
tangencia; si AB=9 cm, BC=40 cm, halle el 
valor de CM-AN. 
 
A) 31cm D) 35 cm B 
B) 26cm E) 290cm Y N 
C) 33 cm 
€ Q A 
O OO NIDAD) 
 
PREGUNTA N.* 41 (UNMSM 200-1) 
En la figura, se tiene que Q es el punto medio 
de BC, MP//AC y AQ//FP. Si AB=6 cm y 
maMPF=> mMAF, halle MQ. 
 
O 
M p 
A F c 
A) 2 cm B) 3/2 cm C) 1 cm 
D) 2/3 cm El San 
PREGUNTA N.? 42 (UNMSM 2011-11) 
En la figura, AD=8 cm y AB=10 cm. 
Halle BC. 
 
e 
da 
a 
Á D B 
A) 247 cm D) 343 cm 
B) 4V/2cm E) 4/3cm 
C) 246 cm 
PREGUNTA N. 43 (UNMSM 2015-11) 
En un triángulo cuyos lados miden 36 
cm, 54 cm y 70 cm, respectivamente, se 
traza la bisectriz del ángulo opuesto al 
lado mayor. Halle la diferencia positiva 
entre las longitudes de los segmentos que 
esta bisectriz determina sobre dicho lado. 
A) 14 cm 
B) 16 cm 
C) 12 cm Dl 
D) 10cm . 
E) 18 cm 
 
 
10. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 
 
Pregunta N.” 44 (UNMSM 2009-11) 
Dos postes verticales de a y b metros de 
largo, — situados sobre una superficie 
horizontal, están se-parados por una distancia 
de k metros. Las líneas que unen la cima de 
uno con la base del otro se cortan en el punto 
P. ¿A qué altura respecto a dicha superficie está 
P? 
a apresar au 
ab a+b 
k ab 
2) b-a di E a+b di 
PREGUNTA N.* 45 (UNMSM 2011-1) 
En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 9 m 
y DN=6 m. Halle BM. 
 
 
 
A 35m € 5 
B) 4m 
C) 25m 
D) 2m pr 
E) 3m 
D N TA 
Pregunta N.” 46 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, AD=12cm; CE=4cm y EB=2cm. 
Halle el valor de AB? + CD*. 
Cc D 
E 
A B 
A) 68 cm? o D) 92 cm? 
B) 80m? €) ó0cm E) 100 cm? 
PREGUNTA N.* 47 (UNMSM _2014-I) 
AC 4 
En la figura, == = 5, BE=1 m y AD=6 m. 
BC 3 
Halle CE. 
A) 9m B) 10m 
C)8m D)7m A” 
 
 
a 
El óm e 
LS A 
A D 
Pregunta N.? 48 (UNMSM 2016-11) 
En el gráfico, la sombra del edificio más 
grande mide PQ=12 m, mientras que el 
edificio pequeño tiene una sombra de 
AB=4 m y una altura de BC=10 m. Halle 
la altura del edificio más grande. 
R 
 
 
E
L
E
L
L
L
E
L
L
E
L
E
 
E
L
L
 
LC
 L
E
L
L
E
L
I
 
 AA
A
 
O 
O 
O 
O
 
O 
E 
 
 B P Q A sombra 
A) 35m B) 40m C) 30m 
D) 50m E) 45m 
Pregunta N.? 49 (UNMSM 2016-11) 
Un hombre, un árbol y un faro se 
encuentran ubicados como se muestra en 
la figura. Si el hombre mide 1,82 m y el 
árbol mide 3,32 m, écuál es la altura del 
faro? 
 
 
twitter.com/calapenshko 
A) 
B) 
2) 
D) 
E) 
90 m 
91,82 m 
91,25 m 
91,89 m 
92,82 m 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
45 cm 
20 cm 
25 cm 
60 cm 
30 cm 
Pregunta N.*? 50 (UNMSM 2017-11) 
En la figura se muestra un árbol, su sombra y 
un poste de 5 m de altura. ¿Cuál es la altura 
árbol? 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
¡/|— 30 m ——— 15 m—= 
10 m 
20 m 
15 m 
25m 
9 m 
Pregunta N.* 51 (UNMSM 2017-IID) 
La figura representa una mesa de billar en la 
que un jugador pretende impactar la bola negra 
con la bola blanca recorriendo la trayectoria 
indicada por la linea punteada. Para lograrlo, 
¿a qué distancia del punto A debe hacer que la 
bola rebote en el lado AB? 
 
 
40 cm 20 cm e PE af A 
 
 
Á B 
|—— 90 cm —— 
Na ada oo) 
 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
PREGUNTA N. 52 (UNMSM 2014-IT) 
En la figura, ABC es un triángulo 
rectángulo y CB=36 cm. Halle MN. 
A) 1543 cm B) 1043 cm 
o) Da D) 28 cm A) 
 
2 / 
E 
E) 1243 am si A / 
e A 
A300 NA O 
A N B 
Pregunta N.* 53 (UNMSM 2016-1) 
En un triángulo rectángulo cuyas longitudes 
de los lados son números enteros, la 
hipotenusa mide 17 cm. El doble de la 
medida del cateto menor, menos una 
unidad, es igual a la medida del cateto 
mayor. El perímetro es mayor que 37 cm. 
Halle la suma de las longitudes de los 
catetos. 
A) 22 cm 
B) 24 cm 
C) 20 cm 
D) 21 cm 
E) 23 cm E Ñ 
11 
 SOLUCIO 
Pregunta N.? 54 (UNMSM 2016-11) 
En la figura, M y N son puntos medios de PR 
y LS, respectivamente, y PO = RS. Halle la 
medida del ángulo «a. 
 
L 
Q N 
a 577 
Pp M R Ss 
A) 20% o Dj] 24% 
B) 23 C) 21 El 222 
Pregunta N.* 55 (UNMSM 2017-11) 
En la figura se muestra el diseño de un puente 
metálico. Si las viguetas oblicuas son todas de 
igual longitud, halle la suma de las longitudes 
de estas, desde el punto A hasta el punto K. 
 
 
A) 2/3 m D) 20/13 m 
C) 20/11 m 
Pregunta N.? 56 (UNMSM 2017-11) 
Dos cilindros tangentes están apoyados en 
el piso de manera horizontal, como 
muestra la figura. Si las longitudes de sus 
radios son 4 pulgadas y Y pulgadas, 
respectivamente, halle la distancia entre 
sus puntos de contacto M y N en el piso. 
 
GEOMETRÍA e 
 
Dj 12 pulgadas 
E) 16 pulaadas 
A) 14 pulgadas 
Bj) 13 pulgadas 
C) 10 pulgadas 
RELACIONES MÉTRICAS 
Pregunta N.* 57 (UNMSM 2010-I) 
En la figura, halle 4B, dado que (AE)(AC)=128. 
A) 8,0 B 
B) 6,4 
C) 7,2 
D) 7,5 
E) 8,4 
 
Al
a 
D 
PREGUNTA N.*? 58 (UNMSM 2010-IT) 
Enla figura, el radio de la circunferencia mide r cm, 
AB=2r cm, la cuerda MN interseca a AB en P, 
MP=a cm y PN=b em. Si la suma de las medidas 
de los arcos MA y NB es 90%, ¿cuál es el valor 
de a“ +b%? 
 
 
Pregunta N.*? 59 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, O e 
circulo cuyo diámetro es un lado 
s el centro del 
del cuadrado ABCD. Halle la 
 
 
Pregunta N.? 61 (UNMSM 2013-1) 
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 
longitudes b m y ce m. Si las longitudes de 
los diámetros de las circunferencias inscrita y 
circunscrita son d m y D m respectivamente, 
 
 
halle bc. 
longitud de Bf. 3 
d 2 2 2 B - CoN (4d+ Em D) (D+d2D) m 
2 2 B) (Da+) m2 E) (Da +22)m? 
C) (D+dD)m? 
P L 
cM Pregunta N.% 62 (UNMSM 2013-1) 
En la figura, tenemos CB=BE=x cm, 
DC=z cm, AB=y cm, además, AE=ED=a 
D cm. Halle el valor de z en función de x e y. 
A O — A) y2x2 + y? cm C 
2,,2 
A) 5(VZ-1)cm D) 5(2 - V3) cmB) /3x2+ y? cm a 
C) y/4x? + y? cm 
B) 2(V5 - Y) cm a o EA e 
C) 2(v3 - 1) cm E) V3ut+x?cm A E D 
PREGUNTA N.* 60 (UNMSM 2011-I) 
En la figura, la mediatriz del lado AC interseca a 
BCenD.Sim C=15%,m B=30"%yDM=1 cm, 
halle AB, 
PREGUNTA N.? 63 (UNMSM 2015-1) 
En la figura, ABCD es un cuadrado. Si 
BE=a, EF=b y FD=<c, halle la relación 
 
 
B entre a, b y c. 
A) bé=a+ e? a c 
D B) aé=b*+c 
C) =a"+b* 
2_o9p2_ 5 mes =20- ls E 
A) 242+43cm Dj) 241+43 cm E 
A q W 
B) 4Vl1+V3cm Ej 2/2+24/3 cm 
C) 42+43 cm 
l 3 
 
 
PREGUNTA N.? 64 (UNMSM 2016-11) Pregunta N.? 66 (UNMSM 2011-11) 
El número de pulgadas de un televisor En la fi AH=8 HC=1 
indica la longitud de la diagonal de su pantalla. ODE e em 
Halle BC. 
En un modelo de pantalla plana de 20 pulgadas, 
como el que se muestra en la figura, se sabe 
que las dimensiones de la pantalla tienen una 
relación de 3 a 4 Determine sus 
 
 
 
dimensiones. d da 
A) 9 y 12 pulgadas A H e 
B) 15 y 20 pulgadas 
C) 12 y 18 pulgadas A) (V110-8)cm Dj) (4107 -8) cm 
D) 18 y 24 pulgadas B) (4113 -8) cm E) (4119 -8) cm 
E) 12 y 16 pulgadas 
) dde C) (41115 -8) cm 
Pregunta N.* 65 (UNMSM 2017-1) R.M. EN LA 
CIRCUNFERENCIA 
El largo de una cancha de fútbol de forma 
rectangular mide 125 m. Si la longitud de su 6 
diagonal es 150 m, ¿cuál es el ancho de la Pregunta N.? 67 (UNMSM 2014-11) 
cancha de fútbol? En la figura, AB es diámetro de la 
circunferencia cuyo radio mide 2 
centímetros. Si la longitud de AD es Z 
 
 
 
 
centímetros, halle CD. 
] ) D ( [ A) (22+1) cm 
B) (22+1) cm 
H———— 125 m —————=, C) Ram 
A) 24/11 m D) 25/17m D) /2Z-1cm 
B) 25/13 m E) 25/11 m 
Ó DA E) ZV/2Z-1 cm 
twitter.com/calapenshko 
EN a Pp 
TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO Y 
¡Maa iaón 
 
R.M. EN TRIÁNGULOS 
OBLICUÁNGULOS 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
13. PERIMETROS PONT co as 
ANUN 
Pregunta N.*? 68 (UNMSM 2010-1) 
 
PREGUNTA N.* 70 (UNMSM 2010-11) 
 
En la figura, los puntos 4, B y € son En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en 
centros de las circunferencias tangentes. B, se toma un punto interior P, tal que AP=BC. 
Si el radio de la circunferencia mayor es Si M,N, Q, R son puntos medios de AB, AC, 
5 cm, halle el perímetro del triángulo PC y BP, respectivamente, y el perímetro del 
ABC. cuadrilátero MNQR es [ cm, halle el área del 
triángulo ABC. 
A) 5 cm 3 
Bj 10 cm 2 2 
A) E cm? Dj e cm? 
C) 15 cm 2 8 
¿2 om? e _, D) 20 cm B) cm E) qm 
E) 8 cm 2 
! c) ” cm? 
 
PREGUNTA N.* 71 (UNMSM 2010-11) 
Pregunta N.? 69 (UNMSM 2011-11) Los segmentos AM y AN dividen al cuadrado 
7 7 ADCB, de 9 cm de lado, en tres regiones de igual 
En la figura, Y R, = Y 1%. Halle el perímetro 
h=l J=] 
de la región sombreada, en centimetros. 
área; por lo tanto, la longitud del segmneto MN es 
 
 
D N C 
A) 3cm 
Bj) 6cm 
M 
C) 342 cm 
D) 242 cm 
A) 280ncm B) 300rcm C) 250rcm El 4cm A B 
D) 320x cm E) 270x cm 
PREGUNTA N.* 72 (UNMSM 2010-11 
BP 
En la figura, AM=MN=NCy —-—Í 
PC 3 
Si el área de la región sombreada 
es 8 cm?, calcule el área dela 
región triangular ABC. 
 
OIDO 
 
 
A) 112 cm2 D)) 128 cm2 
B)) 104 cm2 E) 96 cm2 
C) 120 cm? 
PREGUNTA N.* 73 (UNMSM 2011-1) 
El cuadrado MNPQ está dividido en 16 
cuadraditos de 1 cm de lado cada uno. Halle 
el área del triángulo ABC. 
 
Mm q 
A) V/Zcm? B) 2V/2cm? C) 3/2 cm? 
D) 45 cm? E) 2 cm? 
PREGUNTA N.* 74 (UNMSM 2011-11) 
Un triángulo tiene dos lados de igual 
longitud L=4 m. Si el área del triángulo es 
6 mé, ¿cuál es la longitud de su altura 
respecto al tercer lado? 
¡AMOO IDO 
 
A) /2+8/7 m D) /8-247 m 
B) 47+8/7 m E) 47+2/7 m 
C) 1247.17 m 
PREGUNTA N.* 75 (UNMSM 2012-1) 
En un triángulo ABC, AB=10 cm, AC=8 cm y su 
mediana AM mide 3,/2 cm. Calcule el área de la 
región triangular ABC. 
a) 3411 em? D) 64119 cm” 
2 
B) 44119 cm? E) 24119 cm* 
C) 34119 cm? 
PREGUNTA N.? 76 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, AÁBCD es un rectángulo; 
EA=5 cm, BE=3EA= y 
Halle el área de la región triangular BNC. 
 
 
A) 210cm% p C 
B) 240 cm? 
C) 180 cm? 
D) 120cmW% ELN 
E) 150 cm? 
A D 
PREGUNTA N.* 77 (UNMSM 2012-11) 
La altura de un triángulo mide 6 m menos 
que la medida de su base. Si el área del 
triángulo es 42 m?, halle la longitud de 
dicha base, en metros. 
A) 3+V93 D) 3+ 93 
B) 3+493 ANN 
A dea [OS E 7 
16 | 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
PREGUNTA N. 78 (UNMSM 2013-11) B 
En la figura, AP es bisectriz « del ángulo B AC s cm. 
y M es punto medio de AC. Si BP=2 cm y C) 16m 
mlB AC) =2mÍCP M), halle el área de la D) 18m 
o E) 20m 
región triangular APM. 
A M e 
e PREGUNTA N.* 81 (UNMSM 2017-11) 
B 
| 
Una ventana metálica presenta un 
/ IN | diseño formado por una circunferencia de 
L | 32 cm de diámetro con una plancha 
metálica — representada por la región 
 
sombreada en la figura mostrada y 
limitada por dos rombos congruentes de 
2 2 
A) 342 sn D) 642 cm lado igual al radio de la circunferencia. 
B) 2,/2 cm? El 3 an? Halle el área de la plancha. 
C) 2 cm? 
PREGUNTA N.* 79 (UNMSM 2016-11) 
En una circunferencia de radio igual a 4 cm 
se inscribe un cuadrado y sobre los lados 
de este y hacia el exterior se construyen 
triángulos equiláteros. Halle el área de la 
A) 128/3 cm? D) 64/3 cm? 
B) 25643 cm? E) 132/3 cm? 
C) 37443 cm? 
estrella formada. 
A) 32(2+y3) cm? 
B) 32(1+/3)cm* 
C) 3243 cm? ¡RTS 
D) 30(1+y3) cm? 
E) 16(1+y3)cm* 
MO OS 
 
PREGUNTA N.” 82 (UNMSM 2009-11) 
PREGUNTA N. 80 (UNMSM 2016-11) En la figura, ABCD es un cuadrado inscrito en una 
En el gráfico, ABC es un triángulo circunferencia cuyo diámetro mide Lem. Si Py Q 
isósceles cuya área es de 12 m 2 y su altura son puntos medios de BC y CD, FINRLIA 
BM mide 4 m. Halle el perímetro de dicho halle el área de la región poligonal A 
triángulo. 
17 
 
 
RE po, = 
A) Zem E) em GA 
ER, ME y 
dd 7 ES Aa 
PREGUNTA N.* 83 (UNMSM 2009-11) 
En la figura, RSTU es un rectángulo, RU=34 m, 
TU=4/97 m, CU=16 m y AB=14 m. Halle el 
área de la región rectangular ABCD. 
S F 
 
 
R U 
A) 252 m/ 
B) 34/97 m? 
C) 280 m' 
D) 336 m' 
E) 274/97 m?* 
GEOMETRÍA A 
PREGUNTA N.* 84 (UNMSM 2010-11) 
En la figura, MNPQ es un cuadrado cuyo 
lado mide 10 m. Halle el área del 
cuadrado ABCD, 
 
 
N P 
B 6 
MA _ Q 
A) 32m2 D) 36m2 
B) 25m2 E) 60m2 
C) 54m2 
PREGUNTA N.* 85 (UNMSM 2011-1) 
Una cruz está formada de 6 regiones cuadradas 
congruentes como muestra la figura. Si 
AB=2./65 cm, halle el área de la cruz. 
 
 
 
 A P 
A) 100 cm? B) 108cm? C)-120cm? 
D) 124 cm? E) 144 cm? 
a 
18 |
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
PREGUNTA N.* 86 (UNMSM 2014-1) 
En la figura ABCD es un 
paralelogramo. Si los valores numéricos 
de las áreas (en cm?) de los triángulos 
ABQ, DOR y CDR son las raíces del 
polinomio pb)= - 28+261x - 810, 
halle el área del paralelogramo ABCD. 
 
 
D) 6m 
A) 3/3 m C) 5/3 m 
B) 3/5 m E) 545 m 
PREGUNTA N.* 89 (UNMSM 2017-I) 
De un campo rectangular BCEF se han 
suprimido dos regiones triangulares, AED y 
AFB (tal como indica la figura), resultando un 
cuadrilátero ABCD que se va a utilizar como 
 
 
 
 
 
B Cc campo de cultivo. ¿Cuál es el área de dicho 
/ campo de cultivo? 
R E 4WUm A EF 
"3 30m e 
¿la p 
A Q D ¿58m 
A) 52 cm? D) 56 cm? c 125 m B 
A Bate YA em E) 72 cm? 
A) 3752,5 m? D) 5712,0m? 
PREGUNTA N.” 87 (UNMSM 2015-1) B) 47625 m* E) 4912,5 m2 
C) 4300,0 m2 
En la figura, ABDC es un paralelogramo. 
Si AM=MC y el área del paralelogramo es 
zm, halle el área del triángulo CDE. 
SÁ il, 
 
ay Em? pin? ln 
6 3 3 
Z 9 zZ+2 29 p) £ pg El ) ¿Mm ) 4 m 
PREGUNTA N.* 88 (UNMSM 2014-1 
Una tubería debe atravesar diagonalmente 
un terreno rectangular de 50 mí? de área, cuyo 
largo es el doble de su ancho. Determine la 
longitud de la tubería. 
PREGUNTA N.* 90 (UNMSM 2017-1) 
En la figura, el paralelogramo ABCD representa 
un terreno destinado para área verde. El área 
de las regiones triangularesAMD y ABN son 
48 m? y 12 m? respectivamente. Si para abonar 
1 m? del terreno se requiere 1,5 kg de abono, 
¿cuántos kilogramos de abono se necesitará 
para abonar el terreno correspondiente al 
cuadrilátero NMCD? 
 
 
B M e 
N 
A => ln ” 
dl a A 
A) 66k =D) /64k A D) 64kg 
B) 44kg E) 86 kg 
,
GEOMETRÍA ¡AMOO 000 
 
PREGUNTA N.* 91 (UNMSM 2017-11) 
 
 
 
 
 
A) 3042 cm? 
Se desea ampliar las dimensiones de un B) 5042 cm? 
terreno rectangular de manera que su área C) 4042 cm? 
se duplique. Si sus medidas iniciales eran de D) 2042 cm? 
38 m de ancho y 12 m de lardo y se aumenta 47 em? 
la misma longitud L metros a cada uno de los E) 6042 cm 
lados, ¿cuál es el valor de L? 
A 4 D) 6 PREGUNTA N.” 94 (UNMSM 2013-1) 
B) 5 o A E) 24 En la figura, se tiene CE=EB; AD=BD; 
CB=a em y BA=b cm. Halle el área del 
TAO Na OS cuadrilátero ADEC. 
PREGUNTA N.” 92 (UNMSM 20.. -II) C 
En la figura, O es centro del círculo y O4A=4 cm. 5 
Halle el área de la región OABD. 
a 1 
E B D 
A) Barr am? D) Larra? 
 
, s B) ¿(a+bY em? E) q (aro) cm? 
 
 
a ms C) J2(a+bY cm? 
8/3 _3 BE, A 
A) mn Bj cm” C) 6/3cm” PREGUNTAN.” 95 (UNMSM 2014-1) 
1643 mn? 2043 , En la figura, ABCD es un trapecio, BC / 
D) — em E) =¿— tm” "AD, CQ=0QE y BQ=0QD. Las áreas del 
triángulo BPC y del cuadrilátero APQE son 
PREGUNTA N.* 93 (UNMSM 2011-1) an y9 q respectivamente. Halle el 
Halle el área de la región limitada por el trapecio área de la región sombreada. 
ABCD, si AB=16 cm, CD=4 cm y 24C=AE. 
B 
 
 
GEOMETRÍA AMOO IO) 
 
C) 10 cm? 
E) 9 cm? 
A) 12cm? B) 8cm? 
D) 11 cm? 
PREGUNTA N.* 96 (UNMSM 2016-11) 
Un rectángulo de papel de vértices ABCD de 24 
cm de largo por 8 cm de ancho se dobla 
de tal manera que, al unir el vértice C con el 
vértice Á, forma la figura que se muestra. A 
partir de esos datos, determine el área de la 
región sombreada. 
 
E 
A PB 
DÍ G 
A) 100 cm? D) 108 cm? 
C) 48 cm? 
B) 96 cm? E) 64 cm? 
VAT lo las 
 
COUINs 
PREGUNTA N.* 97 (UNMSM 2010-11) 
Determine el área sombreada en la figura, 
donde A, B, C, Dson círculos que son tangentes 
entre sí y, a su vez, tangentes al círculo mayor, 
de centro O y radio 30 cm. 
 
D) 250 rem? 
E) 160 rem? 
A) 562,5 mem? 
B) 575 rem? 
C) 743,75 nem* 
PREGUNTA N. 98 (UNMSM 2011-11) 
En un triángulo rectángulo ABC, recto en 
B, se inscribe un cuadrado PQRS, con P y 
5 sobre la hipotenusa AC. Si AP=x cm, 
SC=y cm, halle el área del circulo inscrito 
en el cuadrado. 
T 
A) xy em D) xy cm* 
2, C) 2xymcm” 3 
B) xyn cm E) x9% cm? 
"4 
PREGUNTA N.* 99 (UNMSM 2011-II) 
En la figura, el área del semicírculo es 501 
cm? y la suma de las longitudes de los 
catetos del triángulo ABC es 28 cm. Halle 
el área del círculo inscrito en el triángulo 
ABC. 
 
A) 8n cm” 
B) 121 cm? 
C) 4n cm? 
D) 161 cm? 
E) 10x cm? 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
PREGUNTA N.* 100 (UNMSM 2015-1) YA 
En la figura, AB es diámetro de la 
semicircunferen-cia; AO=0B; A, B y D son 
puntos de tangencia. Si AE=2 m y CB=8 
m, halle el área de la región sombreada. 
 
 
PREGUNTA N.” 103 (UNMSM 2016-11) 
A) 3nm? B) 5nm? C) 6nm? 
2 2 Janeth tiene un terreno como se 
D) 4xm E) 2 m muestra en la figura, el cual está 
conformado por una semicircunferencia y 
cuatro rectángulos congruentes situados 
alrededor del cuadrado AÁBCD. Si la región 
a E ABCD tiene un área de 144 m% y cada 
Si el área de la región sombreada es 1 rectángulo y el cuadrado ABCD tienen igual 
u*, halle el valor de h. perímetro, halle el área del semicírculo. 
PREGUNTA N.* 101 (UNMSM 2015-11) 
En la figura, se tiene tres semicírculos. 
 
 
 
 
 
 
2 2 a 
A) = u B Jn u E —=u A ) S ) ) e 
D) 2 u E) 2 Vx u 
D C 
PREGUNTA N.* 102 (UNMSM 2016-11) 
Halle el área de la región sombreada si (4 es la A) 621 m* D) 84 nm” E Ae 
circunferencia de centro en el punto C (0, 1) y es B) 681 m? E) 72 na ) 
L
E
 
] l Y) 
és , ]
 
tangente al eje x. C) 641 m? 
 
 
GEOMETRÍA MONO INE 0) 
 
PREGUNTA N.* 104 (UNMSM 2017-II) 
El gráfico representa el plano de un parque 
rectangular en el que la parte sombreada 
corresponde al césped y la parte no sombreada, 
que constituye la cuarta parte y mitad de un 
círculo de radio R = 6 m, está libre de césped. 
Calcule el área del terreno cubierto por césped. 
 
 
 4R 
A) 9(32 - 21) m? 
B) 36(8 — 1) m? 
C) 9(32 - 3x) m? 
D) 9(28 - 3x) m? 
E) 36(4 - 2x) m* 
ERAS 
PREGUNTA N.* 105 (UNMSM 2009-11) 
Un anciano dejó a sus 8 hijos una herencia de 
6 parcelas contiguas de forma cuadrada de 
iguales dimensiones, como muestra la figura. Si el 
terreno que recibe cada hijo debe tener la misma 
forma y las mismas dimensiones, écuál es el 
perímetro de cada terreno? 
| 
48 m 
| 
 
 
 
 
HR 32 m —— 
A) 72m 
D) 80 m 
B) 64 m C) 56 m 
E) 88 m 
PREGUNTA N.* 106 (UNMSM 2009-11 
Un segmento de recta cuya longitud es ( se divide en 
dos partes. Sobre estas se construyen dos triángulos 
equiláteros. Si el área de uno de ellos es la cuarta 
parte del área del otra, halle la longitud del lado 
del triángulo de menor área. 
3 E o; 
p) QY2 E) (ya 
3 3 
PREGUNTA N.* 107 (UNMSM 2010-I) 
En la figura, ABCD es un rectángulo y 
OC=PD=,CD. Si M y N son puntos medios de 
BC y AD, respectivamente, halle la razón entre el 
área de la región sombreada y el área de la región 
no sombreada. 
 
 
B M tc 
A) 3/5 
B) 8/3 | 
C) Y3 
D) 3/8 p 
A N D 
PREGUNTA N.* 108 (UNMSM 2012-11) 
En la figura, AE=4EB y el área de la región trian- 
gular ABC es 330 cm”. Halle el área de la región 
sombreada. 
 
 
GEOMETRÍA AMOO IO iO) 
 
A) 10 cm? D) 13 cm” IM tOs 
B) 9 cm? E) 15 cm” os 
C) 11 cm? 
 
PREGUNTA N.* 111 (UNMSM 2011-1) 
En la figura, se muestra un cubo donde AN es 
PREGUNTA N.* 109 (UNMSM 2016-11) 
En la figura, ABCD es un cuadrado inscrito en la 
circunferencia de centro O. Halle la razón entre el 
área sombreada y el área del circulo. 
su diagonal. Si EF = ¿(ME + EN) y el área de 
la región triangular AED es 2/2 cm?, halle AB. 
 
 
 
 
B Cc 
A D 
B 
A 'D 
A P 
3 3 F 
A 3 s D) 5 
3 A 10 M DT E 5 
A) 2/2 cm D) 34 
CI ee Nes B) /3cm E) 243 cm 
REGULARES C) 442 cm 
 
PREGUNTA N.* 110 (UNMSM 2013-1) PREGUNTA N.” 112 (UNMSM 2011-11) 
En la figura, se tiene un cubo cuya arista 
Tangencialmente, alrededor de una S > 
circunferencia de radio R, están ubicadas mide a cm, donde BC es una diagonal y AC 
circunferencias de radio R tangentes dos a diagonal de una cara. Calcule el perímetro del 
dos. Halle el área de la región limitada por triángulo ABC. 
 
 
el polígono convexo, cuyos vértices son los C 
centros de cada circunferencia exterior. A) al1+ 2/2) cm 
B 1 2 3 0 
a 2/3 R22 D) 343 p2 2 ) alt+42+43)cm | 
a a C) al1+ 43 +45) cm | 
2 28 Ara 
B) 3/3 Ra? E) 6/3 R%u D) al/Z+2/3) em A 
. E) all+42+ 4/5) cm A B 
C) y6 R? y? 
2 
LL h 
2
 
 
py 2 
PREGUNTA N.* 113 (UNMSM 2011-11) Ay 2 9 ) m7 
En la figura, las 2 rectas intersecan los tres planos € 3 
paralelos en los puntos A, E, B,C,FyD.SIAB=8 y, 5 E) > 
cm, CD=12 cm y FD-EB=1 cm, halle CF. 
Aj) 7 cm 
9 sm [157 
C) 10cm 7] 
om 28157 
E) 9cm Ay 
PREGUNTA N.* 114 (UNMSM 2012-I) 
Un cubo de madera de 2 m de arista es 
cortado en cubitos de 2,5 cm de arista. Los 
cubitos obtenidos son colocados en línea 
recta, juntos, uno a continuación de otro 
sobre un plano horizontal, formando una fila. 
Halle la longitud de la fila. 
A) 256 km B) 51,2 km 
C) 12,8 km D) 128 km 
E) 5,12 km 
PREGUNTA N.* 115 (UNMSM 2012-1) 
La distancia de uno de los vértices de un cubo 
846 
a una de sus diagonales es 2 cm. Calcule el 
volumen del cubo. 
A) 51242 cm? D) 25646 cm* 
B) 512 cm” E) 25643 cm* 
C) 51243 cm? 
PREGUNTA N.* 116 (UNMSM 2014-I) 
Halle la relación que hay entre las 
medidas de la diagonal y la arista de un 
octaedro regular. » 
PREGUNTA N.* 117 (UNMSM 2014-11) 
Calcule la longitud de la arista de un 
tetraedro regularsi la distancia entre los 
baricentros de dos de sus caras es 4 m. 
A) 12m B) 4m C)óm 
D) 8m E) 9m 
PREGUNTA N.?* 118 (UNMSM 2014-11) 
Calcule la altura de un tetraedro regular de 
volumen 27 3,£mP. 
A) 9cm B) 3cm C) 6Gcm 
D) 4cm E) 8cm 
PREGUNTA N.? 119 (UNMSM 2015-D) 
En el espacio, se tiene un plano IP y dos 
puntos M, N ubicados a uno y otro lado de 
IP— respectivamente. La proyección 
ortogonal de MN sobre IP es MN * y mide 
12 cm. Si MM '=2 cm y NN *=4 cm, halle 
MN. 
A) 745 cm 
B) 8/5 cm 
PREGUNTA N.? 120 (UNMSM 2015-I) 
Dos cajas de cartón de forma cúbica tienen 
las medidas de sus aristas enla: relación de 3 
alv > diferencia de sus áreas laterales es 
500 cm?, Halle el volumen de la caja más 
pequeña. 
D) 645 cm 
643 
03 E) 543 cm
GEOMETRÍA ¡AMO OA II 
 
A) 443 
A) 1000 cm? B) 3375 cm? ) 443 en 
C) 2000 cm? B) 5/2 cm 
D) 1075 cm? E) 900 cm C) 3/3 cm 
D) 3cm 
PREGUNTA N.? 121 (UNMSM 2015-11) E) 10cm 
La figura representa un cubo donde A, B PREGUNTA N.* 124 (UNMSM 2017-1 
y C son puntos medios de las aristas. . 
La figura representa un reservorio que tiene 
Clasifique el triángulo ABC. la forma de un prisma rectangular y contiene 
Cc agua hasta los 4/5 de su capacidad. Calcule el 
Bj" volumen del agua. 
 
po 
 
 
A E 
A) Isósceles D) Acutángulo 
B) Equilátero E) Escaleno 
C) Rectángulo A) 2100 m? 
PREGUNTA N.* 122 (UNMSM 2016-11) B) 2200 m* 
C) 2000 m* 
¿Cuál es el precio de un cajón de madera 3 
con tapa superior en forma de un D) 1900 m 
paralelepípedo, cuyas dimensiones son E) 2400 m* 
60 cemx40 cmx50 cm, si el metro : 
cuadrado de madera cuesta 18 euros? MAUI 
A) 26,64 euros D) 26,33 euros 
B) 25,53 euros E) 27,42 euros PRISMA 
€) 27,73 euros PREGUNTA N.* 125 (UNMSM 2012-11) 
PREGUNTA N.* 123 (UNMSM 2016-11) Con una lámina rectangular, se construye 
En la figura se tiene un envase cúbico de arista Una caja sin reg cortando regiones 
¿=3y/2 cm. Halle la distancia del vértice E a la cuadradas de 4 cm/ de área en cada esquina. 
 
 
 
diagonal AC de la tapa ABCD. Si el perímetro de la lámina es 36 cm y el 
B Cc largo es el doble del ancho, halle el volumen 
de la caja. 
3 a A) 32 5 D) 48 cm? = 
B) 96 cm ADO, 
C) 24 cm? 
 
GEOMETRÍA ¡AMO NOA IO 
 
PREGUNTA N.? 126 (UNMSM 2013-1) 
 
La base de un prisma recto es un 2 
rectángulo. El lado menor de dicha base S 
mide 4 cm y el otro lado mide 25% más. 
Si la diagonal del prisma mide 13 cm, 2 
halle su volumen. A) (330+554/3) cm 
B) (200+454/3) cm? 
A) 1442 cm? D) 1482 cm? ) 1442 a Fl C) (400+95/3) cm? 
B) 16942 cm E) 18NE on" p) (800+75/3) cm? 
C) 16042 cm* E) (310+75/3) cm? 
PREGUNTA N.? 127 (UNMSM 2013-11) 
La proyección de la diagonal de un 
paralelepíipedo rectangular recto sobre el 
plano de la base mide 20 cm; si el 
ángulo que forman la diagonal con su 
proyección mide 60%, ¿cuánto mide la 
PIRÁMIDE 
PREGUNTA N.? 130 (UNMSM 2014-I) 
Se tiene una pirámide cuadrangular O — 
altura del paralelepípedo? ABCD donde ABCD es un cuadrado y OA 
A) 2043 cm D) 15/3cm la altura de la pirámide. Si M es punto 
B) 20cm E) 25cm medio de OC, el volumen de la pirámide 
C) 1043 cm es de 32 cm* y el ángulo que forma BM y 
el plano de la base es 30”, halle el área de 
PREGUNTA N.* 128 (UNMSM 2015-1) la cara lateral OCD. 
El volumen de un paralelepípedo 
 
2 2 
rectangular es 1890 cm. Halle su área A) 3/15 cm D) 8415 cm 
total si las medidas de las aristas que B) V15 cm* E) 4415 cm? 
concurren en un vértice están en la razón Cc) 2 415 cm? 
DEA 
9 2 a PREGUNTA N.? 131 (UNMSM 2017-1 
A) 1062 cm” B) 1060 cm* C) 1058 cm 
D) 1064 cm? E) 1072 cm? Un obelisco está formado 
por un prisma recto de base 
cuadrada coronado por una 
PREGUNTA N.* 129 (UNMSM 2015-1) pirámide. El lado de la base 
mide 80 cm , mientras que la 
altura del prisma es de 10 m y 
la altura total del obelisco es 
de 13 m. Halle su volumen. 
En la figura, la cajita de regalos tiene la forma 
de un prisma hexagonal regular. La longitud 
de la arista lateral es 10 cm y la arista básica 
mide 5 cm. Calcule el área total de la superficie 
de la cajita. 
 
 
A) 7,28 m9 
B) 5,14 m9 
C) 6,19 m9 
D) 8,44 m* 
E) 7,04 mé 
A oo 
PREGUNTA N.* 132 (UNMSM 2011-I) 
Una empresa, que transporta combustible en la 
cisterna cilíndrica de la figura, cobra por deciímetro 
cúbico el precio de b nuevos soles por cada 
kilómetro recorrido. Si recorrió w kilómetros con 
la cisterna llena, ¿cuánto cobra la empresa en 
nuevos soles? 
 
 
 
 
56 0007 bw A) 14 000 bw D) A 
3 
Bj) —A 
3 
e 1401 bw 
3 
PREGUNTA N.* 133 (UNMSM 2014-II) 
La altura del cilindro €, es 2h cm y el radio 
de la base r cm. La altura del cilindro Cy es 
h cm y el radio de la base 2r cm. Halle la 
razón entre el volumen de C; y el volumen 
de Co. 
1 1 1 
El 3 cc) 1 DI5 E) 2 
PREGUNTA N.? 134 (UNMSM 2015-11) 
Calcule el área total de una cisterna 
cilíndrica de 250 mé de volumen, sabiendo 
que su profundidad es igual a su diámetro. 
A) 125%V/x m? 
B) 20041 m? 
C) 150% m* 
D) 250V/x m? 
2 
PREGUNTA N.? 135 (UNMSM 2016-I1) 
El chocolate sobrante de una 
chocolatada infantil es la mitad de la 
capacidad de una olla cilíndrica de 50 cm 
de diámetro por 48 cm de altura. Una 
inte-grante del comité organizador coloca 
el chocolate sobrante en otra olla 
cilíndrica de 40 cm de diámetro. ¿Cuál es 
la diferencia de los niveles de altura que 
alcanzó el chocolate sobrante en ambas 
ollas? 
A) 375cm B) 642cm C) 13,5 cm 
D) 12,5 cm E) 542 cm 
PREGUNTA N.? 136 (UNMSM 2017-I) 
Una máquina aplanadora consta de un tractor 
y de un rodillo que tiene la forma de un cilin- 
dro recto de gran peso, tal como se muestra 
en la figura. Si dicho rodillo tiene 1,20 m de 
diámetro y 2,30 m de largo, halle el área de la 
superficie que el rodillo aplana en cada vuelta. 
 
2
 
2,76 m2 
2,54 m2 
3,74 m? 
2,45 m? 
3,26 m2 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
23. CONO 
PREGUNTA N.* 137 (UNMSM 2010-II) 
Dos conos circulares rectos son generados por la 
rotación de dos triángulos rectángulos semejantes; 
la razón de sus alturas es como 3 es a 4, Si el área 
total del cono de menor radio es K cm2, halle la 
suma de las áreas totales de estos conos. 
49 2 16 2 
A) 36 e em D) y Kan 
7 2 12 2 B) —K ces ) 9 cm E) ¿ Kem 
25 2 
—K C) y Kem 
PREGUNTA N.? 138 (UNMSM 2011-1) 
El volumen de un cono circular recto de 6 cm 
de altura es 181 cm?. Si el cono es cortado por 
un plano paralelo a su base a una distancia de 
2 cm de la misma, ¿cuál es el volumen del cono 
resultante? 
14 16 e 3 A) qa B) 7 nem? O) 3 Tem 
15 17 
D) 7 cm? E) 3 Y cm 
PREGUNTA N.” 139 (UNMSM 2011-11) 
Se tiene un cono de revolución con área 
lateral y área de su base igual a 1361: cm? y 
641 cm? respectivamente. Halle el volumen 
del cono. 
A) 1601 cm? D) 3641 cm? 
B) 200r cm? E) 3201 cm? 
C) 190r cm? 
PREGUNTA N.? 140 (UNMSM 2011-11) 
Se divide la altura de un cono circular recto 
en 3 partes iguales por 2 planos paralelos a 
la base. Si el volumen del cono es 54 m?, 
determine el volumen del tronco de cono 
con bases en los planos paralelos. 
D) 10m* 
E) 14 m8 
A) 16m? 
PREGUNTA N.? 141 (UNMSM 2012-1) 
Si el área total de un cono de revolución es 
2601 m? y la medida de su generatriz es - de 
la medida del radio de su base, halle el volumen 
del cono. 
A) rm D) rm? 
B) E rm E] — J26nm 
C) On m? 
PREGUNTA N.? 142 (UNMSM 2012-1) 
Si el área total de un cono circular recto es 
igual al área de un círculo cuyo radio tiene la 
misma longitud que la generatriz del cono, 
halle la razón entre las longitudes de la 
generatriz y el radio de la base del cono, en 
el orden indicado. 
 
 
45 +1 a a 
vY5 
B) 7 
Y5+2 
C) 3 - Ni | E 
D) v5+1 OPS 
5 +1 E Es 
5-1 
29 |
 
PREGUNTA N.? 143 (UNMSM 2012-11) 
Un tanque en forma de cono invertido 
tiene 12 m de altura, y 4 m de radio en 
la base. Si contiene agua hasta una altura 
de 6 m, halle el volumen del agua que hay 
en el tanque. 
rl 12 
/ L] 
A) 6nm?B) Y5 8 
C) Y6nm? D) er mi 
E) 87m 
PREGUNTA N.? 144 (UNMSM 2013-I 
 
En la figura, el cono de revolución 
tiene una base de centro O y 
OC=2m. Halle el área lateral del 
cono. 
A) 8nm* 
B) 4rm? 
C) 4143 m* 
D) 61/42 m? 
E) 121 m* 
 
PREGUNTA N.* 145 (UNMSM 2013-11) 
Los diámetros de las bases de un tronco de 
cono miden 8 cm y 20 cm, respectivamente, 
y su generatriz tiene un ángulo de 
inclinación de 45". Calcule el área lateral del 
tronco de cono. 
A) 72/21 cm? D) 84/2n cm” 
PREGUNTA N.? 146 (UNMSM 2015-11) 
En un cono circular recto de altura L m, se 
inscribe una esfera de radio R m. Halle el 
volumen del cono. 
TR ?1? oi 3 
6(L-2R) ” A) 
2nR?1* AP 3 
ZL-2R) ” B) 
4rR?1? 
a | 
3(L-2R) 
nR?L* 
3L-2R) " 
3nR?1* 
== 1 [| 
4(L-2R) 
3 
C) 
D) 
E) 
dd 
PREGUNTA N.? 147 (UNMSM 2016-1) 
En la figura se muestra un cilindro en el que 
se han colocado tres esferas iguales, siendo 
el volumen de cada una de ellas igual a 
36n cm?. Halle el volumen del cilindro 
 
NS 
A) 1621.cm? B) Slncm? (C) 1261 em? 
B) 96/2ncm? E) 92/21 
cm? 
C) 78/21 cm? 
5 
 
 
PREGUNTA N.? 148 (UNMSM 2016-1) 
Una esfera es cortada por un plano, de 
modo que el área de la sección en el plano 
sea igual a la diferencia de las áreas de los 
casquetes determinados por dicho plano. Si 
la distancia del centro de la esfera al plano es 
(Y5 - 2) m, halle el radio de la esfera. 
A) 1m B) 1,5 m C) 3 
D) 2m E) 3 
v
|
a
 
m
i
r
 
AOS ias 
 
PREGUNTA N.* 149 (UNMSM 2010-I) 
En la figura, se tiene una esfera inscrita en 
el cono de revolución cuyo volumen es 811 
cm? y BO=0C. Halle el radio r de la esfera. 
A) 43 cm 
B) 3 cm 
C) 6 cm 
D) 343 cm 
E) 4 cm 
PREGUNTA N.* 150 (UNMSM 2010-11) 
Un cono circular recto tiene volumen V cm?, Si 
la razón entre su altura y el diámetro de su base 
es o el volumen de la esfera de mayor radio 
inscrita en el cono es 
diri 3 ps 13 4 A) Vem? C) ¿vom? 
31 
 
2 3 1 D Vem 1 3 ) 3 E) ¿Yan 
PREGUNTA N.? 151 (UNMSM 2010-11) 
Un cilindro circular recto y un tronco de 
cono de revolución tienen igual volumen. 
La altura del cilindro es un tercio de la 
altura del tronco. Si los radios de las 
bases del tronco miden 2 m y 4 m, halle 
la medida del radio del cilindro. 
A) 27m B)7/2m C) 37m 
D) 47 m E) 414 m 
PREGUNTA N.” 152 (UNMSM 2016-1) 
La figura muestra un recipiente 
cilíndrico circular recto y un cono 
inscrito; ¿cuántos litros de agua contiene 
la región limitada por el cilindro, exterior 
al cono? Considere 1=3,1416 
2 dm 
 
l 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
+ 
l 
 | 
A) 1,0472 
B) 2,0944 
C) 4,1888 
D) 3,1416 
E) 5,2360
 SOLUCION: 
PREGUNTA N.? 153 (UNMSM 2016-11 
En un recipiente cónico, lleno de agua, el 
radio de la base mide 2 cm y la altura 
mide 3 cm. Si se vierte el contenido en 
otro recipiente cilíndrico y vacio, cuya 
base y altura son las mismas que la del 
cono, determine la altura alcanzada por el 
líquido en el recipiente cilíndrico. 
A) 2cm 
B) 1 cm 
PREGUNTA N.” 154 (UNMSM 2017-II) 
En la figura, AB = ED = 2cm; el arco AE 
corresponde a un cuadrante de un circulo de 
4 cm de radio. Halle el área total del sólido 
formado al rotar 360” la región ABCDEA 
alrededor de la recta que contiene a AB. 
 
E D 
A 
B C 
A) 108 x cm? 
B) 180 x cm? 
C) 124 x cm? 
D) 200 x cm? 
E) 160 xn cm? 
 
GEOMETRÍA A 
LEIA AOS 
GEOMÉTRICOS 
 
PREGUNTA N.? 155 (UNMSM 2009-11) 
La figura muestra un sólido formado por 
paralelepipedos rectos rectangulares 
idénticos. Si en el vértice M se encuentra una 
hormiga y en el vértice N su comida, ¿cuál 
es la longitud del camino más corto que debe 
tres 
recorrer la hormiga para llegar a N? 
6 am 
 5 cm 
“M l 
 
 
A) 10 cm 
B) (3/2+./34)cm 
cr12 cm 
D) 3(42+/34)cm 
E) (3+4/61)cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
p Q R S 
a m-a ¡ m-a 
ri 1 
b 
=> 2m-a=b 
x2,2m-ata m=-a -0 
m 2m-a-m 
+ 2x+1=0 
«+1ó=0 :.x=-1 
Rpta.: -1 
Corte 1 Corte 2 
E : ÁX E 16x 
Luego: 
Ax = 60 
3x = 60 
== 20 
Piden : 21x 
21x (20) = 420 cm Rpta.: 420 cm 
 
Operación del problema 
Del gráfico: 
AB = AM + MB 
a=x+b+x 
=x=a-—b 
2 
Conclusiones y respuesta 
x= 32m = l6m 
2 
33 
SoLucionario 
Sea el gráfico, nos piden QS. 
 
T 
2k < 
+ 
> D 
= 
2k ) 
O 
Q 2 
3k S 
Ñ 
Pp TU 
O 
3k 3 
0 
O z 
O 
Dato: 
OT=85 m 
10K=85 
2k=17 
QS=17 m Rpta.: 17 m 
Sea x el ángulo. 
Su complemento: 90% -x 
Su suplemento: 180% -x 
2(90% -x)=3(180% —x)-1200 
Resolviendo: 180% -2x=540% -3x-120* 
x=540% -3008 
x=240" 
an 
En radianes: 240% = í 
Respuesta 
dx 
3 
 
 
6. 
Análisis de los datos o gráficos 
Piden: m POQ = 20 
del gráfico 
20 + 20 +20 + = 1807 
>0+0+0=90* 
m«MOS = 110” =0 + 0+0+0 
Operación del problema 
110" =a+0+0+0 
110” = 90” + wm 
 
 
>= (mm = 20* Respuesta: 2 = 407 
7. 
Recuerde que cuando L; // Lp se cumple 
E 
m L; 
 
Ss x=m>+n 
 
«Dis 
Análisis y procedimiento 
Nos piden el valor de 6, se conoce que a+ (5=3089, 
en el gráfico se tiene 
A 
 
Por propiedad 
180-a1+0=f-909 
B=a+PB-2708 
J 
308" 
9=380 RESPUESTA 
El valor de 0 es 38". 
_ N A e 
 
Pide: x 
Dato: a1+P=5x 
Se deduce: 43 //L4 => a=P 
5x 
Luego: U =P == 2 
En P: 
a+ 2x =1800 
y 2x =180 
=> 
 
11. 
 
 
En el gráfico OM y ON son bisectrices de 
los ángulos AOB y AOC, respectivamente. 
Dato: m 4< AOB+m < AOC=80" 
=3 20+2 0144080" 
“. a=10” 
Calcule: m < AOC=2 1440" 
m-= AOC=2(10%+40 ? 
mI AOC=60* 
Hallar el valor del ángulo xdela gráfica adjunta. 
Resolución: 
1043 10 
2a 
Aplicando la ley de senos: 
10 10% EI 
sena senZa senal 
> Esenoncosa_ Al 
sen 0 
 
Rpta. | 90 
 
TRIÁNGULOS 
 
 
 
Piden: PQ =x 
AQMR es isósceles. 
AÁPOQM es isósceles. 
2=7-x > x=5 
 
 
Rpta.: | 5 
 
 
S M 
kh 2. 3 7x —HH— x —= 
R 
 F 7 
| 
1 
 
 
12. 
Recordemos: 
Teorema del ángulo exterior 
p 
 
Análisis y procedediimmiento 
Se pide m4MEC 
Por ángulo exterior 
En el AACB, maBAC=48* 
En el ADCB, maADB=489 
 
 
 
En el EMC 
2x+24*=900 
x=33" 
RESPUESTA 
33" 
13. 
 
 
Pide x 
En la figura: 1 + 50%= 50% +50" 
Respuesta : 50 
14. Calcule x. 
Dato: a. + fi + y = 400? 
Propiedad 
 
En el gráfico tenemos 
 
 
En la región sombreada se obtiene por 
propiedad lo siguiente: 
2x + 180”- a + 180*-y. = NE Ta 
2x=a+p+y- 360040" €<* Dl 
—— U MN la 
400" x=200 ' 
 
 
GEOMETRÍA . 
La matemática es el alfabeto con que Dios escribió el 
mundo. Galileo Galilei 
1.2 Enel AAHO: a1+56%=90% >0=34* 
2.2 Como AC=EC, entonces 
m3 A=m<) B=2 a 
3.2 En el ACHB: 2 (01.+ x=900 
2(349)+ x=90> 
 
 
25D yes da 
En el gráfico: 2fB=20" Respuesta :220 
P=10* 
ADCE: y=25%+ f 
y=25%+100 
y=35" Respuesta 350 8 
 
 
Teorema del incentro: 
 
 2k_5+8 — Rpta.| 6,5 
k x 
 
 
 
1." En AADE: 20% [B=70* 
Eno 19. M B=50 —M 
 
 
 
2.” En AABC: 170%4+ a =180* 
a =10* 
3. Piden: 0+ B=50%+10" 36 cm 
“004 B=60* 
Cc 
 
 
 
3. En el trapecio ADEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
K-—— 
6= 
2 
En el rectángulo «03 
21 = 36 cm 22. 
x=18cm 
20. 
1 | 
lc 
pa 
Xx 1209 
y 1 P os MU 6 — E 9 
A INTA B 
Incógnita: miADB=x 1.* Si RS//QP, entonces [_] QRSP es un 
Obs.: En el cuadrilátero del problema no trapecio 
especifica cuales son los lados paralelos (las 
sa PP. == o a 2? Se traza ST paralelo a RQ. 
el problema, sea AB//DC por dato, 17 : 
el triángulo DCB es notable de 30%, 30 y > QRST: paralelogramo 
120%. maDCB=x ST=RQ=9 y RS5=QT=6 
* AADB: 3.* ASTP: isósceles 
x + 30445" = 1809 ST=TP=9 
x =105% gP=I5 
Rpta.: 15 cm 
21. E 
23. 
 
 
 
 
 
1. Nos pide AC; sea AC = x Teorema: > Ss A y 
2. Teorema de los puntos medios en el 1549760 lle A 
A A A AM 
AABC: DE=> z == 
»
 
 
a 2a a 
(2x+20= (a+ 2 + 
x2- dax - 3a2=0 
¿a+ y16a? - 4(3a”) 
2 
¿A+ 2047 
2 
x=2a+axV7 
>x =2a+ax/7 
=>razón= ex E 
2a+2x a+x 
2a+vV7a 2+4/7(3-417) 
 razón= == = — 
3a+a47 3++47 (3-47) 
si razón 
Bpta: LEY 
25. 
Si el lado del cuadrado mide 5/2 cm, su 
diagonal mide (542 )/2 cm, es decir, 10 cm. 
Luego: 
 
F 
B aa g£ 
á 
E 
b 
b 
G 
AD D 
Nos piden el perímetro de EFGH =2 p 
= 2p = 4a+2 b 
= 2(a+2 b) 
= 2(10 cm) 
2p = 20cm 
26. 
 
 
 
 
 
AB =CD = 16 
EC =CD = 16 
BC=AD=16+ a 
Teorema en el trapecio ABED 
16+ a-a 
27. 
Nos piden “x” 
3m 
2m 
 
3m 3m 
+ Mediana del trapecio 
 _x+2 ym 
3= 2 n.— de 
x=4,0 m 
 
 
28. 
Los puntos A, B y C son tres vértices 
consecutivos de un polígono regular de 15 
lados. Hallar los 2/3 de la medida del ángulo 
ABC. 
Resolución: 
 
Sea ABC el poligono regular de 15 lados. 
Pide 2 (mzABC) = 24 
3 3 
Calculando la medida del ángulo interno 
del polígono. 
_ 18015 -2) 
AE 
PB = 156" 
 2 
Luego: — (156%) = 104? o eg ql ) Rpta. | 104 
 
29. 
Se pide: 
180*(n -2 
m«i = 180 1=2) ) 
ñ 
Dato: 
N¡ =20 
n-3 
n(n-3) =20=>2n=8 
2 
Luego: 
180%(8 - 2 
m«i= 180%(8 —2) =135 
30. 
Sea n el número de lados. 
¿D-4V=18 
n(n-3) _ 7=18 
n-3n-2n=36 
n-5n-36=0 
n -9 > n=9 
q 4 
31. 
Respuesta 
Eneágono 
 
Pide el radio r de la circunferencia Ca según 
el dato: AO=18 cm y OF=9 cm. El Es, AFO 
es notable de 30” y 60*. 
Luego: O+r+r+r=18 
3r=9 
 
r=3cm 
 
 
CD=15 >m2%CBD=m 4CDA=48 
2) (MABCD: m24BAC=m ZGAD= 0 
A ww 
E - 
3) AAQD: isóscel es QC=15-
 ía 
4) Teorema de la secan
te: 
(25)(25 - AB)=30x15 
] 2 40 , AB=7 |
 
Pide la medida del ángulo inscrito ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
Según los datos: : 
B aw ACmide 2: (ángulo inscrito). 
Por teorema: 
2x + 40%= 1808 
2x=140P 
R 
E e O R x="709 
Aa 
D Rpta.: | 709 
R=+F Pp 
A 36. o 
a Recuerde lo siguiente. 
“OA C M R 1 B 
Si: ¿2D=a>mBC=20 AmCD= 40 
Luego: maDCM =2u 
> Za =x+0> 
= AOCD es equilatero : 
A O 4a =60> ua =15* 
 
Rpta: | 15" 
 
 
 an * 
.
*
 
E
 
 
408, 209 
A HH 
B 
Pide: x 
Dato: BD=BC 
El A DEC es isósceles: m4BDC = 209 
Aplicando ángulo inscrito en la 
circunferencia: 
35 
 
En el cuadrante AOB se tiene que 
A Qe 3 =45 
Nos piden MN=x. 
De los datos, resulta el siguiente gráfico. 
 
 
Del AMBO (equilátero); MB=R, 
En el hh MNB notable de 458 
MB=xWV2 =R 
_RZ 
== 
 
 
 
GEOMETRÍA AD 
qe Del dato, OC=r; entonces el radio mide r. 
En el ABOD, por teorema del ángulo 
exterior, se cumple que 
0=P$+mxOBD 
Pero 6=3B, entonces 
 
. 3P=P+mx0OBD 
m*OBD=2f 
Se pide: mADB En el ABOC, OB=0C=r; entonces 
medida del ángulo BCO=2H, 
LL —— 
De la figura: mADB+60* =180* Finalmente, en el ACOD, por el teorema 
 
 
- mADB=| 120? del ángulo exterior, se cumple que 
2Pp=P+mxCOD 
38. 
m«*COD=hp 
Recuerde que, en toda circunferencia, la o 
distancia del centro a cualquier punto de esta Se Observa que el ACOD es isósceles. 
 
igual al radio. esigual al radio sy 
P Q 39. 
Tenga en cuenta la siguiente 
Se cumple que propiedad. 
¡[OP=0Q=R) 
B C 
Nos piden CD=x, 
Datos: OC=r; 6=3P M 
N 
A D 
1 ua Y Ah IM | Y 
Si ABCD es un trapecio y MN/! BC. entonces. 
UM 9l al 
(BCIND+(AD)CN 
MN = —_—_==== A 
ND+CUN 
 
42 
 
 
Piden BC 
De los datos, tenemos lo siguiente. 
HO 
 
na 
Aplicamos la propiedad mencionada en el trapecio 
ABCD. 
4.8= (2a)3a + (6a)a 
 
 
 
 
3a+a 
1902 RS: base reia y 
aa RS/¡MP 
> a=1,6 ANAPERSTA Análisis y procedimiento 
 BO=20=3 2 3,2 cm Dic 
40. AB=6 m; Q es punto medio (BQ=QC=a); 
m«<xBAF=30; maMPF=0. 
AS PidenMQ. 
o NI Como MP//AC y AQ//FP (dato), entonces 
SL de Y maMAF=a y meaMAB=20. 
o e ON Dado que AMB es triángulo rectángulo, aprove- 
chamos la referencia, trazando la mediana MR; 
C A además, RQ es base media (RQ//AC). < 
Piden: CM- AN= a-b 
Utilizando las líneas tangentes. 
BN=BM 
9-b=40 -a 
Luego: a -b=31 
 
Respuesta 
31 cm 41. isósceles y ,MQ= dd Referencias y/o Contexto ” A 
Respuesta MQ=3 A - Considere lo siguiente: 
A
 
42, 
2a 
 
 
 p' A 
1.* Teorema de la bisectriz: AC=2CE 
2.” Teorema de las proyecciones 
(20 - ¿=10* - 2 
a*=32 
3.2 En el <ÁCBE 
Pl = a? 22 
x” =32-4 
x=247 
Rpta.: 247 em 
43, 
Nos piden la diferencia positiva 
DC-AD=?( DC> AD) 
 
 
36cm=2(18) 54cm=3(18) 
 
E 
 
A 214) D 3(14) 
' 70 
70=5(14) 
Teorema de bisectriz: 2 = 3 
AD DC 
> DC=3(14) y AD=2(14) 
35 DC-AD=14 cm 
 
+1 
SEMEJANZA 
Dos postes verticales de ay b metros de 
largo, situados sobre una superficie 
horizontal, están separados por una 
distancia de K metros. Las líneas que unen 
la cima de uno con la base del otro se cortan 
en el punto E ¿A qué altura respecto a dicha 
superficie está P? 
Resolución: 
A 
 
rr TS plana 
Sea $S la superficie plana; AB y CD son 
los postes de medidas a y b metros. 
Pide la distancia de P a la superficie plana 
S, sea x la distancia. 
IXSCHP - ExCBA: XK-£ 
: a K 
x 
ESBHP == ESBCOD: == — 
b K 
Sumando ambas igualdades: 
x_ K-f £ 
= —— + — 
K K 
Lt 4 
=+>J=1 
x[: >) 
x 
=+ 
a 
 
 
 a+b 
 
OIT EL CACHIMBO 
 
15 CUADRILÁTERO Y CONGRUENCIA 
C 9 B 
 
Xx 
l Piden: BM=x 
9 M Los triángulos rectángulos CBM 
y ABN son congruentes (A.L.A.). 
 Rpta.: | 3 “DA 6 E 334 
 
 
 
 
16. Operación del problema 
Semejanza AC = 4K 
BC = 3K 
p=37 
B A” 
1 
E 
B 3K 
— AAEB — ADEC = ED = 2(AE) SK-1 
— AAEB: AB = 2/3 Ñ 
— AECD: CD = 443 A 6 D 4K-6 C 
- =AB?+ CD? =60 | k | 
Respuesta: 60 
En el AN 
47. 
4K —6 
Ubicación de incógnita Calcular CE ECB se tiene que: Tanf = 
5 = 1 
Análisis de los datos o gráficos 
 
A 
pero comoB =37% == a 
Ec=3:BE=IM AD=óm OA 
45 |
OIDO ¡AMOO IDO 
 
 
 K=3 
luego: EC = 3K- 1 
EC = 3(3) - 1 =8 
 
 
 
 
Respuesta: 8m 
48. 
R 
P 
Xx 
G 
PI [10m 
a y al O 
A dm B Pp 12m Q 
Por semejanza de triángulos 
4m _ 10m 
12m Xx 
12m-10m 
x= ——— 
4m 
x=30 m 
Respuesta: 30m 
49, 
Semejanza 
Semejanza de triángulos 
Piden h 
 3,32m 
 
 h 135, 7rr" 2,3 ma 
*——— 138 m ————— 
R|1.82m 
(1,821(135,7)+h(2,3) 
138 
3,32(138)=1,82(135,7)+2,3h 
91,82m=h 
Observación 
16 
Ss an+bm 
m+n 
3,32 = 
Rpta.: 91,82 m 
50. 
Semejanza de triángulos 
Semejanza de triángulos 
 
 
Piden “h”. 
A 
h E 
5m 
B E D 
30 m 15m 
ESABD = Ex ECD 
h-45 
5 15 
h=15 m Bpta.: 15 m 
51. 
Piden AM=x. 
 
 
 
 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
A QAM-ÁpPBM 
x_ _20 
90-x 40 
x=9 añ Rpta.: 30 cm 
52. 
Análisis de los datos o gráficos 
Piden: MN = x 
mxACN = 30” 
maxNCB = 90” 
> CB (30* y 607) 
Operación del problema 
C 
al 
6 
A 30- 60* 
y 1243 B 
> NB = 1243 
Por teorema de la bisectriz 
x = 12/3 
E Respuesta: 12/3 
 A Cc 
17 
Teorema de Pitágoras: 
17*= n0+(2 n= 1? 
8=n 
Nos piden: AB+BC 
AB+BC=3 n-1 
Piden a 
 
 
T. mediatriz 
PQ=0R y LR=RS 
1. APLS 
a+2a+574+57”=180* 
a=22* 
Rpta.: 22” 
55. 
Piden la suma de las longitudes de las vigas 
oblicuas. 
piden 10L 
B8p8F8H8 y 
ANINXININDN ss 
12=4246?2 
L=2/13 
10L=20/13 m Rpta.: 20/13 m 
56. Nos piden MN 
 
MN= 2yRr el Nula) 
MN= 244.9 (OO 
MN = 12 pulgadas 
AB+BC=23 cm A7 |
 
 SOLUCION: 
¿Cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente 
de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad? 
Albert Einstein 
 
 
 
57. 58. 
En todo triángulo rectángulo se cumple: 
B 
A H C 
AB?=AHxAC 
Relaciones métricas en el 
triángulo rectángulo 
 
Análisis y procedimiento 
Dato: (AE)J(AC)=128 (1) Pide: a? +b* 
: ¡a * Aplicando ángulo inscrito en la 
Piden AB [ad ena. : : 
Trazamos BH en el triángulo ABE (isósceles). 
maMA+m<NB _ 909 
2 E 
* En el Ea, OQN, teorema de Pitágoras: 
ld) A a 2 
a? +b? = gr? 
= 450 B muNPBE = 
 
 
y 
 
 
59, 
 
Del gráfico AE=Za, en (1), 2ax(AC)=128 
=> ax(AC)=64 
Luego en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos 
la referencia 
AB?*=AHxAC 
y y 
Y = ax(AC)=64 > x=8 
“. AB=8>
 * He
 
- L Ca 
 
GEOMETRÍA e
 
Del gráfico: Entonces: 
 
 
 
BO= 2445 or teorema de BR Mode 
o Pitágoras ] =2wb -2 
BP=2(4b 1) Rpta.:| 2(45-1) 
60, 
Obs.: 
'N 
R R 
RY2-48B 
Piden: AB= x 
C— Sea: ACDM= AMCE 
=> ADEC: 
2= x 12-43 
x= 22+43 
 
 
62. 
 Piden: —b.c 
 
A a 
Teorema de las proyecciones 
* —T Poncelet: c+ b =D +2r 
c+b=D+d . S 
Al cuadrado 2 a Ne x) E 
2 + 5% 4 2c0b =D% + d2 + 2Dd 2=3 +48 
2cb = d? + 2Dd sm a ía Wi Tr 
2 MM Pr a A e 
cb = Dd + 5 SUMISO a 
2 
Rpta.: (Da+<$ )m? 
49 |
 
63. 
 
 
 
 
1.2 En el AEBC: EC = ya? +m? 
2.9 En el AFPC: FC = vc? + m? 
* Enel AEFC 
(a? +m 2 - b? + LEE +m? AA 
a 
dis 4 e 
Respuesta 
ds Pe 
 
20 3k 
 d 
 
4k 
Por triángulo rectángulo notable 
5k = 20 
k=4 
Las dimensiones son 12 y 16 pulgadas. 
Respuesta: 12 y 16 pulgadas 
65. Teorema de Pitágoras 
4160 PRE 
+ 125 m ————= 
LM 
 
 
 
 
Piden h. 
*Por teorema de Pitágoras 
(150)2 = (125)2+h* 
+ h=25/11 m 
66. 
Rpta.: 25/11 m 
Recordemos 
Cuando se tiene un triángulo donde un ángulo 
es el doble del otro, se traza convenientemente 
una ceviana interior para obtener 2 triángulos 
isósceles. 
 
mxABC=a > AC=BC y BC=BD 
Análisis y procedimiento 
En el gráfico se hacen los trazos convenientes. 
Se traza BM, tal que mx ABM=u. 
=> AM=BM a mxBMN=2a 
Se traza BN, tal que mx MBN=2u0. 
> MN=NB A mxBNH=4u 
 
B 
Zo 
7=x x 
ol á 20 dan da 
Á 7x MxN1Hlc 
 
ANEBC es isósceles AAA 
> BN=BC=x E Nula 
Luego, en el 4MHB y ABHC apÑa MOS Ale 
ma de Pitágoras. 
50
(7-32 (x+ 1)=2-1? 
> x+16x-49=0 
Completando cuadrados 
X+16x+64-113=0 
(x+8)2=113 
x+8=4113 > x=34y113-8 
68. 
Referencias 
 
El perímetro de una región es la medida de la 
longitud de la línea (o líneas) que conforman el 
borde o contorno de una región. El perímetro 
de una región se denota como 2p, donde p es el 
semiperímetro. 
 
 
 
 
Respuesta (1138) 
67. A 7 , ñ A. 
Análisis de los datos o gráficos Piden: x 1 Í y o 
Es Eb - Hb Hb 
de 
2 2p=4b 2p=2(a+b) 2p=a+b+e 
u=22-z Análisis y procedimiento 
Se pide el perímetro del triángulo ABC. Operación del problema Pp 
Por relaciones métricas 
Cc 
 
En el gráfico, M, N y P son puntos de tangencia. 
2 Además 
, : AM=AP=r; 
x=z2.(2%-2) BN=BP=r, 
2 
Pa (2z - 1) Del dato tenemos 
x= 2/22 1 CM=CA+r,=5 
Respuesta: z/2z — 1 CN=CB+r,=5 
Luego Respu cn a 
2Pape = CA+4AB+CB El perímetro del 
=CA+r, +F2 +CB triángulo ABC es 10. 
2Pañe == 5 + B= 10 cm. 
51 
 
 
69. Aisa (2) 
Reemplazando (2) en (1): 
Área (Ex aBc)= 4= 2£)2 
 
2 
+ f 2 
= G4= — Cm 
En el gráfico observamos que el Area (Es. ABC) 8 
perímetro de la región sombreada 
equivale a la suma de longitudes de Pe 
 
 
todas las circunferencias. B . E 
—= Perímetro= ¿nR; +21Ro Aute 2nR> 
3 cm 
Del dato tenemos 
7 7 3 cm 
Y R, = Yi => R; + Ro +..+HR = 
f=1 f=l 
E D 
=14+224+3%+..+72=140 A 
Pide: MN=x 
Luego Perímetro=2x(140)=280x 
Área (ABCD)=81 cm 
RESPUESTA 2801 cm 
Las regiones ABN, ANCM y ADM tienen áreas 
iguales a 27 cm. 
70 » 
Luego: NC=3 cm ; CM=3 cm 
 
Ex NMC: | x=34/2cm 
 
 
 
Rpta.: 3/2 cm 
 
 
A a 42 N a Y2 E 
Área de la región ABC= Callta) 
Área(Ix ABC)= 2a” ... (1) 
Dato: El perímetro de la región MNQR es £. 
da= £ 
F 
 
 
 
Área total = 2605 x 3 
Pero 605=8 . S= E 60 
8 
260x 3 = =104 cm* 
 
Rpta. | 104 mé 
 
73. 
Análisis y procedimiento 
Piden el área de la región triangular ABC. 
Dato: El cuadrado MNPQ está dividido en 16 
cuadraditos de 1 cm de lado cada uno. 
 
E 2x1 Pe 
Nos piden el área de la región triangular ABC. 
Saarpc=28S=2(1 cm?) 
Sargc=2 cm? 
74, 
Piden la altura respecto al tercer lado=x 
De los datos tenemos el siguiente gráfico 
AN 
SN 
JC 
Y | 
Aj A 
se deduce —— y16-x? 16-.é 
Por el teorema de Pitágoras 
Área AABC=2M600x 6 6 
Elevamos al cuadrado 
(16-2)4=36 
x* -16x? +36 
(2 -8)?-28=0 
> x2=8:1vV28 
” x=48+247 o x=48-247 
Se obtienen dos soluciones y la segunda aparece 
como alternativa. 
RESPUESTA: 8-27 m 
75, B 
> U= 
 
 
A En
| 
a
 
Pide: Área de la región ABC =S 
Aplicando el teorema de la tea en el 
AABC: PEN 
¿28 No 
8? + 10? = 2342) > it 16. 
Luego aplicando el trol de Herón 
53 Para el cálculo del área en el A ABC 
 
GEOMETRÍA AMOO IO iO) 
 
S=417-1.9.7 ..S=3w119 
76. 
30 | C B 
Ñ 
| Ñ a 
A 
5 
la 
A D 
Piden: Área de la región BNC=5 
24.4 
$52 >$=4 
 
 
 
 
Utilizando semejanza AEBC — ABNC: 
NC=2BN=2 a 
Utilizando Pitágoras en el ABNC: 
a7+(2 ayi=30 ? 
a”=180 
Luego: S=180 
Respuesta 
180 cm? 
77. 
Piden : b 
 
b(b-6) _ — = 42 
b?- 6b -84 =0 
Respuesta: b=3 +93 
78. 
 
 
Piden área de la región APM= $= M0 b 
z 
Se traza la altura PT, tal que 
BP =PT =PR=2 
Luego por los puntos medios 
BR=RC=4 
Por teorema en el 423.APC. 
6'=2b-b>b=3 Y2 
$=3 Y2 
Respuesta: 3wÍ2 cm? 
79, 
Piden: Areg 
somb 
Area =AmtÍAa 
somb 
2 
= (0/22 +4 4422 3 
Areg =32+32/3 
somb 
Areg =32(1+y/3) cm? 
somb 
 
 
GEOMETRÍA «3 
2 
Asombreada= 293 Y3 
 
 Acbadi = 256 Y3cm* 
Rpta.: 25643 cm” 
 
 
 
 
 
82. 
Recordar: 
1 
3A 
6 1 
20 
L 
2 
80. 
E ; 2 
Área(ABCD)= a 
5 
L] € 
co a 
Como BM es altura se forma un triángulo 60 12 10 
rectángulo notable 
2p=5+5+6 po 
2p=16 Rpta: | 55 
Respuesta: 16 mm 
83. 
81. Piden el área de la región sombreada. * Para calcular el área de una región rectangu- 
Sea el gráfico lar se requiere conocer las dimensiones del 
rectángulo. 
 
 
 
* También debemos recordar que si dos triángu- 
los rectángulos tienen dos > 
gos de igual medida, donde al mi 
estos elementos es un lado, os tri cr il rán 
congruentes. 
 
 
 
GEOMETRÍA ¡AMO OA II 
 
 
 
 
M 
B 
go 
Á E a 
N Q 
Si maBAC=m=xNMQ=0 
y AB=MN=a 
=> EÁÑABC =EÉMNQ 
Análisis y procedimiento 
En el gráfico, RU=34; TU=44/97; CU=16 y 
AB=14 
S 34 T 
aL 
al B 
14 e 
A > 4497 4/97 
| $e 
14 16 
90-a a 
D aL 
al 
R 34 U 
Asignamos BC=b 
En el Ex RCU: 
(RU=(CUy?+(RC)? 
> 34*=16%+RC* 
RC=30 
RD=a=16 
Luego, de la referencia indicada, los triángulos RDS En el triángulo MDC aplicamos alt 0 
de Pitágoras. y TBU son congruentes. 
TB=RD=a=16 
Ahora, aplicando el teorema de Pitágoras en TBU: 
2 
(4/97) =(16)"+(BU)* 
> BU=36 
b=20 
El área de la región ABCD es 14x20=280 m* 
Observación 
También, de la referencia: 
Si CU=16, BT=a=16 y maCRU=m«BUT=x 
el EÁRCU =Ex.UBT 
con lo cual RU=TU 
¿¿ RSTU: cuadrado 
Pero RU=34 » TU=4/97 
— El problema resulta ser absurdo. 
Respuesta 
El área de la región ABCD es 280 m/, 
 
 
x+5 
Dala 
; MM a 
0 UMATA 
Ml e y 
56
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
 
 
(2)? + (c+ 5)? =10? 56. 
x=3 Resolución 
+ Area del cuadrado ABCD es Área 
(2x3 =36m?. Plx) = 3 - 28x2 + 261x - 810 
Rpta.: | 36 m? 
1 28 261 -810 
85. 9 9 -171 810 
Análisis y procedimiento 1 -19 20 [o 
De la figura: 3 9 -90 
1 10 0 
 
 
 
 
E Je | 
Ll 4 
Pc E o 
M 
LL ——, 
Por el teorema de Pitágoras, en el triángulo AMB: 
(2L)2+(3L)?=(2/65)" 
131?=4x65 
L?=20 
Nos piden el área de la cruz: 
L 
Área=6xL_]L 
 
P(x) = (x - 9)%(x — 10) 
x1 = 9; xo = 9; x3 = 10 
 
 
BABCD = ZAABD =2(9+10+9) 
 
AABCD =:56 cm? 
 
Rpta: 56 cm? 
87. 
Análisis de los datos o gráficos 
Piden: A,cng = S 
Dato: 
Ar nco =Z 
Operación del problema 
=6x (1?) 
Área =6(20)=120 cm? 
RESPUESTA 
120 cm? 
 B 
 
 
GEOMETRÍA AMOO AiO 
 
=> Por razón de áreas 
Aso = 25 
Luego por paralelogramo: Ay5agc = 35 
> Argneep = 6S 
Conclusiones y respuesta 
Annecp = 6S = Z 
_ 
6 Z 
Respuesta: 6 
88. 
Nos piden AC =x 
B 2L Cc 
 
A 2L 
1. Dato: 
Aaeco = 50 
(2L)(L) = 50 
L=5 
E: Epxaco: 
xé = 12 + (213 
x= Ly5 
Xk= 545 m 
Rpta.: 5/5 m 
89. 
Piden Área Manco 
 
| 
E 4m Á 85 m E 
 
 
C 125 m B 
Área di anco = ÁTea el noryÁTOA Ar Á Ca danÁrea de rmco = (125)(65)- 3040 _ 8565 
Área di ano = 4762,5 m? 
Rpta.: 4762,5 m* 
90. 
Áreas 
Relación de áreas de regiones poligonales 
Nos piden abonar NMCD =x 
 
 
 
Para abonar el terreno NMCD 
 
 
1 m? 1.5 kg de abono 
44 mé Xx 
x= (44)(1,5) 
x = 66 kg de abono 3 AAN 
 
GEOMETRÍA AMOO DO 
 
91. 
Nos piden “x”. 
Análisis y procedimiento 
A: área de la región rectangular 
a a B| a 
O: 0 y 
12 12+x 
 
 
 
 
 2A=(12+x)(8+x) 
2.128=(12+x)(8+4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=4 
x=4m Rpta.: 4 m 
EJA 
Referencias Podemos afirmar que B, D y E son colineales. 
Considere Luego, ABE: Ex notatie 302 y 60 
E 
e > AB=4 cm 
N Además, EDO: Es sotatje 307 y 602 
A B 
e => DO= 443 
AB=diámetro 3 
40-90 Trazamos DA: bisectriz 
=> A, P y C son colineales <OAB(pues AO=AB) 
| | ha > Area AAOD=Area AABD= A 
Área de la rn (20) 18 
sombreada 
| a Respuesta 
El área de la región sombreada es 1643 
Si a=b 3 
— e=p DD IN la a 
> S¡=S > MDD) 
M6 a 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
 
93. 
En el gráfico 
ab AB 
$ 
D E 
Si AB//CD = 
Teorema de las cuerdas 
, n (a +b) 
 
 
ES S= 7 Paro + b) 
Análisis y procedimiento e by 
Se pide el área de la región trapecial ABCD, 1 
entonces AB//CD. Respuesta 
De la referencia, ADMB: rectángulo > MC=12. 1 E 
Del dato 2AC=AE, concluimos que EC=CA. GA +by cm 
Por teorema de las cuerdas: a“=4(12) 
a=443 95. 
Análisis de los datos o gráficos CQ 
= QE y BQ=QD 
Sy: área sombreada 
 
 
Luego, en Es ADC por el teorema de Pitágoras: 
 
 
 
AD? +4? = (4/3)? 
AD=442 
Nos piden: 
E Arenal = az = 4042 cm? 
RESPUESTA 
402 cm? s
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
Del gráfico tenemos que: 
Sapp = Spep = 2A + 2 
Sx = Sap + Spco 
Sy = BA +A rs (1) 
Además: 
(Sagp)” = Spcp X Saro 
(2A + 2) =2 x (A + 11), 
operando: 
4A? + 8A + 4 = 2A + 22 
4A? + 6A - 18 = 0, dividiendo por 
2 tenemos: 24? + 3A-9=0 
2A 3 
AS 
A=>(W) an A=-3(X) (Absurdo) 
Reemplazamos A => en (l) 
$, = a(5)+ 
S, = 10 cm? 
96. — Piden: área de AEPO 
 
24-a a 
- Parr = ExaDo (ALA) 
— AE=8, EP=a, AQ=24-a 
- LaePO trapecio rectángulo 
- lfa+24-a)8 LS 2 A 7 96 cm 61 
97. Piden elárea de la región sombreada. En el 
gráfico tenemos lo siguiente: 
 
 
 
En el triángulo rectángulo COB, tenemos 
OC=30-R. Aplicando el teorema de pitágoras, 
resulta (30-R)?+15%=(R+15). 
Resolviendo obtenemos: K=10 
Finalmente: 
Área de la región sombreada= 
circulo mayor círculos en blanco 
= nx(30)? -2x[nx(15? +0x(10)2) = 2505 
RESPUESTA 
El área de la región sombreada es 250 mom?. 
98. 
A A EN 
Y PY 
A 
al 7 d 
A E A 
1. Se pide: Área, = nr 
2. Datos: AP=x,SC=y 
3. Por triángulos semejantes: 00 
1 | nO )] 
 
 
 
2 y 
x 2r 
dr? =xy 
 
 
33, 
Observación 
Teorema de Poncelet 
 
 
 
5e cumple que 
Análisis y procedimiento 
Nos piden 4A ¿1 =nr 
(Acto) 
Datos: /A 
semi 
circulo 
] =50rn cm? y AB+BC=28 cm 
 
 
GEOMETRÍA A 
Como queremos r, entonces, utilizamos el 
teorema de Poncelet. 
AB + BC =2R + 2r 
A AÁ Á 
28 cm=2R+2r (1) 
Del dato tenemos 
2 
nr) = 501 cm? 
> R=10 (1) 
De (II) en (1) tenemos que 
r=4 
De lo que nos piden se tiene que 
=161 cm? Plá) 
100. Análisis de los datos o gráficos 
Piden: Área del sector circular = Ax 
Por circunferencia: 
m«*AEO = mxDEO = u 
m«DCO = mxBCO = 6 
Por paralelas: 2a + 28 = 180 
= a +0= 907 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
ESEAO - ÉsOBC 
E 
8 R 
R*= 16 
Conclusiones y respuesta 
fr TR? 
4 
_ r(16) 
a 4 
Ax = 4r 
101. 
| R , R Er ; Jem] 
H— R+ rr ——— Ba r ——A 
A mM (R+rY 1R? mm? 
(sombreada) 2 E ET 5 a 
l= TRr 
Teorema (R. métricas) 
h?=2R2 r 
¿(y T 
2 
h==>=— 
Jn 
102. 
Piden: Á 
YA 
 
 
 
12+x 
 
XxX 
12 + x nx06 
Piden el área del semicírculo 
* Área mapco = 144 m? 
y = 144 5 y=12 
* Perímetro dela _ Perímetro de la 
región rectangular — región cuadrada 
Ax + 24 = 4(12) 
x=06 
* Área de la región = y (6 + 6)? = 72n m? 
semicircular 
104. 
Piden el área del terreno cubierto por césped. 
* Dato: R=6 
B 
 
 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
Área del terreno cubierto por césped 
_ m6)? _ 16)? =24.12- Ez > 
=288-27x 
=9(32- 31) m? Rpta.: 9(32 — 3) m? 
105, 
Referencias 
Para el reparto equitativo de regiones debemos 
tener en cuenta lo siguiente: 
Área de la región total 
Área de cada parte= 
Número de personas 
Posibles distribuciones según el área de cada región 
y de las condiciones del problema. 
Análisis y procedimiento 
El terreno está conformado por 6 parcelas cuadra- 
das del siguiente gráfico. 
16 cm 
 
de
 
d
a
 
Bcm Bcm 
Á su vez, esta parcela la podemos subdividir en 4 
parcelas cuadradas (de lado 8 cm). 
De esta forma el terreno queda dividido en 6(4) =24 
cuadrados simples; entre 8 hijos, a cada hijo le 
corresponde 3 cuadrados simples. 
 
8 
05
 
 
00
 
 ===. 
po
 
di
o 
a 
 
00
 
 — 
0
0
5
.
 
0
0
 
 E A 
0
 
1 i i j T 1 1 i 
 
Debemos completar el terreno con 8 fichas iguales, 
que cubren cada una 3 cuadrados simples. De las 
opciones posibles tenemos: 
 
 
 
Solo es posible en la segunda, tal como se indica 
en el gráfico siendo el perímetro de cada terreno 
8(8) =64 cm. 
Respuesta 
El perímetro del terreno que recibe cada hijo es 
64 cm. 
106. 
Referencias 
Considere 
N 
R 
M P Q Ss 
Se cumple 
área AAMNP _a? 
área AQRS b? 
Análisis y procedimiento 
 
 
GEOMETRÍA EL CACHIMBO 
 
 
 
Por dato: Ñ » 
área AABC_1_a? . somB _10S_5 
área ACDE 4 b2 Swosoms. 65 3 
o 
qe a_l : además, a+b=lÍ Rpta. 3 
b 2 
108. 
luego a=l Y p=2 
si 3 
Respuesta 
La longitud del lado del triángulo de menor área 
es? 
3 
107. 
B 
 
 
 
 
z ' el Forma: | Pero: 
Srora, = 4k-4a=16ka 
al -6ka Respuesta: 11 cm? 
2 
z tl 7] un a 2, 
H tl a ñ 3 
SNO SOMB. = 2 
109. 
uy... Alsombreada 
Piden: a 
Ssomá. =16ka — 6ka =10ka 
 
65 
 
GEOMETRÍA AMO NOOO 
 
110. 
 
Análisis y procedimiento 
Se pide el área de la región limitada por el 
polígono convexo. 
De los datos 
 
 
AE=g y ED=ay 2 
Luego, el área de la región del triángulo AED 
pa =2V2 > a=2 
Finalmente, en el bx AED, x= a4/3 = 2/3. 
 Es, AED = 
 
Se observa que el polígono convexo formado es 
un hexágono regular, que a su vez está formado 
por seis triángulos equiláteros iguales de lado 2R. 2.3 cm 
Nos piden el área del hexágono. 112. 
RESPUESTA 
Entonces Cc 
¿ ZR ZR ' 
Area del hexágono=6 
l 
: 
I 
1 
| 
1 
«A 
 
 
 .. Área del hexágono= 643 R? 
 
a B 
Respuesta: 6,/3 R? y? 
1.? Piden 22 AABC=AB+AC+BC 
111. 
2. Por teoría: AC = aV2 y BC =awV3 
Análisis y procedimiento 
Piden AB=longitud de la arista del cubo=x 3 2pAABC =a+aW2+aW3 
Dato: el área de la región triangular AED es 2pAABC = a(1 + /2 + 4/3) 
2/2 cm? 
En el gráfico, trazamos DN que es diagonal de una Rpta.: a(l+ 2 + 4/3) cm 
cara del cubo (DN = x,/2, además, DN 1 AD) 
y analizamos el triángulo rectángulo ADN. =i 
Q 
 
113, 
 
 
 
 
 
 
 
1. Nos piden CF = xo 
2. Por teorema AC//EF/BD 
3. Por teorema de Thales 
 
 
 
GEOMETRÍA y 
"Dios es un matemático”. 
Paul Dirac 
1”. Se calculan las medidas de las diago- 
nales de una cara y la del cubo. 
2”. Por relaciones métricas. 
(llaV2)=(043)[£% a=8cm 
P.V=g 
V = (8 cm)? V = 512 cm? 
116. 
Del gráfico: 
 
x-3 XK 
li=x 12-x 
12x - 36-x2 + 3x= 11x -x? 
4x= 36 
x= 
114. 
N.? de cubitos=80x80 x80 d= 
d_ 
Longitud=80x80x80x2,5c0mx_1M_,_1km pa 
100cm 1000m 
Rpta: Y2 
“. Longitud=12,8 km 
Rpta.:128km M7 
115. 
Resolución 
 1 El AG,BG, - AMBN 
 
4 _2n 
MN - 3n 
2” Enel AACD por base media. 
AD=2(MN) 
AD=12m 
Respuesta: 12m 
=> MN =6 
118, 
 
Nos piden: h 
Dato: V= 2743 
a - 27 
12 
dá = 3/6 
Sabemos: h= Es 
y 36-46 
h=6 ? 
Respuesta: 6 cm 
119, 
2 
A O 12 
M' : 
L 
4 E! 
 
 
 Eu 'N 
 
1.2 Se prolonga MM” y se trazaNE 1 MM' 
2.2 Enel L]EM'N'N 
M'E=N *N=4 y M 'N'=EN=12 
3,2 Enel AMEN: x=6 +12 ? 
x=6v5 cm 
Respuesta: 645 cm 
120. 
 
3a 
. a
r
i
c
a
 
 
3a 24 
1.2 Por dato 
Au -As, EJ=300 
Pra EDAETA 2P 4, DHETIA500 
(2 036)-(Sa)Qa)=500 
36 a*-16a?*=500 
20 a?=500 
a=5 
2, VEJFe ay 
VETFU0) , 
vETJp1000 cm ? 
Respuesta 
1000 cm? 
121. 
 
2a 
 
 
 
Si la arista del cuadro mide 2 a; 
ES, APB= Ex BOC... caso ALA 
3 AB=5BC= av2 
EX. POC: (PO)?=(2 aj?+ a?; PC= ay5 
ESAPC: (10*= a+ (a 5) 
AC =av6 
-. AÁABC es isósceles 
 
 
Respuesta: —isósceles 
122. 
0,5 m 
0,4 m 
0,6 m 
Área total 
6 4 5 45 ia A AE 
1010 1010 1010 
y =2 24,,20)_2 
100 100 100 
148, 
= —— Mm 
Y 100 
Dato: 1 m%=18 euros 
=> precio del cajón 
P= 18 13 = 26, 64 euros 
100 
123, 
Nos piden; EH 
 
A AEC es equilátero 
EH=3/3 
EH=343 cm Rpta.: 343 cm 
124. 
Piden: Vagua 
l m 
25 m 
a 
Vagua= E (25)(50)(2) 
Vagua=2000 mé Rpta.: 2000 m* 
125, Por dato, si el perímetro de la lámina 
69 
rectangular es 36 cm y el largo es el doble 
del ancho, tenemos 
 
 
¿L 
Í L AA L=60m | 
| 7 f fi Pd 
2L 
e Ao PA AX 
Luego cortamos los cuadrados en cada 
esquina y formamos la caja.
 
 
 
 
 
 
 
 
2cm ] aa 
2cm | 
2am | 
2cm 8cm 2cm 
SS 
2cm) Mo a 
> as 8cm 
2 cm 
Volumen =8 x2x2=32cm ? 
Respuesta: 32 cm? 
126. 
 
 
Se observa que: 
+ fa =132>h=8 Ya 
Luego: V,¿=5 x4x8 42 
V,=160 ./2u* 
Respuesta 
160 4/2 u? 
127, 
 
 
 
= 
a
r
o
p
a
s
o
n
s
a
c
a
n
 
ha
ci
 
o 
 
 
 
/ 
Piden longitud de la altura: BF= x 
Sea ABCD - EFGH el paralelepipedo, BH 
su diagonal cuya proyección es FH. 
Por dato: 
m < BHF = 60” 
Luego el A BHF (notable 30? - 60?) 
2x=20 v3 
128. 
2k 
 
 
7k 
Dato: V=1890 cm' 
(5)Q)(7k)=1890 
704'=1890 
K=27 
k=3 
Piden: S ,, =2(10 (+35 (+14 K*) 
Reemplazando 
S 1062 cm ? 
Respuesta A E 
1062 cm? AN E 7) 
NS 
70
 
129, 
Nos piden AÁst.: área de la superficie total 
 
As.t. = Asl + 2Abase 
As.t.= (2pbase)(a) + 2Abase 
As.t.=(6.5)(10) +2.6Í 
As.t=(300+75y3 Jem? 
Rpta.: Ast =(300+75y3 )em? 
130. 
 
 
 ) 
 
131. 
É 
E 
: 3m 
' 
Ea a : 
pt Lo --- q 
Pi e ñ 
Y ñ 
1 ñ 
I 1 
' 10m 
I ñ 
r ñ 
t ñ 
I h 
Be 
 
 
Piden volumen del obelisco: Vjutaj 
Vrotal=V Prisma +V Pirámide 
(ESaomHtIE 
Vrotal= 7,04 mi 
| Volumen 
h del cilindro 
132, 
=1 (1)? xh 
 
Piden: Saocb 
A Vo-arco=32 cm? 
lav6)?x Za 
3 
o no 2 a : Go Ej O 
El ' 
“Saoco=441 5 cm? 
 
=32 cm? =3 a=2 cm 
 
Además, debemos recordar que 
1 m* <> 1000 dm? 
Análisis y procedimiento 
Primero calculamos el volumen de la cisterna. 
 
 
134. Volumen de (102% 14 3 14 mi 
 
la cisterna 3r =S 
= mx [1000 dm] 
A dm 
 
Se pide el cobro por transportar combustible en ¡ 
 
 
 
 
 
 
la cisterna llena recorriendo w km. Nos piden: 
Por cada kilómetro recorrido Acro) = 211r(r + h) 
Volumen Costo Aro) = 2atr(r + 2r) 
3 —Ee 
1 dm S/.b Aa cu 
14 0001 , 3 S/. 14 000x 5 Y 
dm” = ——————xb A = sm( 2) 
3 3 (Total) Yn 
cisterna 
llena Acro) =1503/1 m* 
Luego, para la cisterna llena 
Distancia 
1 km 
—+ w km > S/ 
RESPUESTA 
14 0001 b w 
3 (25 cm)? 24 cm= (20 cm)?x 
37,5 cm= x 
133, 2.2 —Diferencia=37,5 cm-24cm 
E - Diferencia=13,5 cm 
: Respuesta: 13,5 cm 
2h 136. 
pnl se a 
 
Ve, _ ar”-2h _ar?2h_1 
Ve, nm2r)h nar?.h 2 
 Respuesta: 1 2 72 
 
GEOMETRÍA A 
"Es más importante que una ecuación sea bella que el hecho 
de que concuerde con los experimentos”. Paul Dirac 
 
 
 
Piden: Área de la superficie lateral 138. 
Área de la superficie lateral=21:(0,6)(2,30) ener en cuenta que para conos semejantes 
Área de la superficie lateral =2,76x mé 
Rpta.: 2,767 m? 
137, 
oo 
360" 
3, af 
Xx 
' 
Luego: 
Análisis y procedimiento 
Del dato, VB=6 cm y W.... =18n cm? 
 
S; : área total (cono menor) 
Sa : área total (cono mayor) 
 
Dato: S¡ =k cm? 
 
 
 
Piden: S] +S2 Piden Veono =V; 
Teorema: S. Ne >Sg = Eon Del gráfico 
VA=6-2 
16 
S1+5S92 =k cm” + k cm” 2 VACA 
sra = pal Luego, utilizando la teoría respecto a conos se- 
9 mejantes THALIA 
naa) 
2 he cr? (3 mi (0 
Rpta.: 9 a 
 
 
140. 
Y. (VAP 
Veono (VBP Recordemos 
mao Comparamos los volúmenes de figuras 
Vi _ ay semejantes. 
187 (6) 
16r 
.. Y. = 3 cm? 
139. 
L] E 7] 
CONO DE 
REVOLUCIÓN Y V, 
Y a 1 
Vo (24 8 
Sus volúmenes estarán en proporción de sus 
medidas al cubo. 
En el problema nos piden el volumen del 
 
 
 
 
 
O Se pide tronco de cono central. 
Vo = uh Por ser conos semejantes, sus volúmenes serán 
cono 3 
(2D) Datos 
rg =136 
ra =136 .»« (1) 
"Pe 0 27K Ar? =64% 
r=8 (11) 
(11) en (1) g=17 
hi 15 
En la figura: 
 
 
 
h= 15 Dato 
27K=54 m* 
r=8 K=2 mé 
Von. = (8? (15) - 320n emi Por lo tanto, el a del tron 
3 es 8BK-K=7K=14 m 
74
O INT 
 
EL CACHIMBO 
141. 143. 
Piden : Y 
 
o 
o Je 
ANACO . 
 
 
Lo D. r=2 r= 10m A >= 
90, y = H10%(2439) 3 2.6 
3 + Vagua E e 
Rpta.: EL m? Vagua = Bn mé 
Respuesta : 81 
142. 
144. 
 
 
 
E 
Dato: . 
Area total = Area del círculo 123 0=180% =>ua=60* 
Es un cono equilátero. 
Jr (g+r)= Xx 22 A ¡= nrg>A¡= m02)(4) 
g+r_g :. A¡=8 nm? 
q r 
1+1=2 haciendo L =x SS 
ag Tr r AA 
Tenemos: x2-x-1=0 eS | 1 09) NÓ 
Resolviendo: x = del 
75
GEOMETRÍA ¡AMOO ELO 
 
145. 
3 
 
 
— 6 cm —— 8 cm —— 6 cm — 
20 cm ———————— 
1.% Se calcula la generatriz: g= 6/2 
2.7 Ag = mr, + rg 
Ag, = Tt(4cm+ 10 cm)6 /2 cm 
As, =84 21 cm? 
 
146. 
 
 
1) Por semejanza de Ay 
 
 
Xx L RL 
RL? -2RL 1*-2RL 
2) 
i 
ma ”L 
V = 
a y 
va FRAL__ MRE 
6 (1-2RL)3 K(L-2R)3 
3: de MS” 3(L —2R) 
147. 
ó6r 
 
 
Dato: Volumen (esfera)=26 x 
4 
—ar? =36x 
3 
-r=3 
Calcule: Volumen (cilindro)= mr ?.6r 
VA r6r 
V.= n6(3)* 
“. V.=162 1 cm? 
148. 
 
 
A A A sección -* CASQ27 %*CASQ1 
ar=2 AR(R+ d)-271R(R -d) 
(R-d)(R+ d)=2R(Q d) 
R?-d=4R d 
R?-4Rd-d?=0 
_ Adi 16d? + 4d? 
2 
R=2d+ Vd 
SR PNTO 
RE IAS 
R=1m 
R 
76
GEOMETRÍA 
149. 
Pide el radio r de esfera. 
Dato: BO=0C 
En la figura, OC es bisectriz. 
En el [BO,C: 0+20=90% > 0 =30" 
El .00,C: es notable de 30" y 600. 
OC=0B=2r y O¡C=rW3 
Dato:"Veono = 81x cm? 
2 
3148) -3r = 81 r=3 cm 
150. 
Recordemos lo siguiente: 
Ll 
volumen _ ,,2;, volumen de _ 4 AR? 
del cono — la esfera — 3 
Piden el volumen de la esfera inscrita en el cono: 
 
sn E 
h| 'R 
kE 
9” a 05. Aa 
aL a. 
A 47 
EL CACHIMBO 
Por dato 
pd > h=r43 
Luego, .AOC es notable de 30? y 60*. 
2a=60% => a=30" 
Entonces, .EOB es notable de 309 y 60%. 
 
IA 
r 43 
Podemos plantear lo siguiente: 
4-98 
volumen de la esfera _ q Ñ ar? 
volumen del cono ¿10% rr (3) 
E ] 4,14 
V3lr) v/3 343 9 
volumen de la esfera - 2 
V 9 
dato 
4 
volumen de la esfera mov y 
151. 
Del gráfico: 
 
 
V; = Va 
Tronco cil 
o (22+4+2x4)=2 4h 
1 NN a 
r=2/7m As,
 
 GEOMETRÍA A 
152. 154, 
 Piden: área total 
+ Areatotal=A omiesfer. + Acorona circular 
E Alateral cilindro +Acírculo 
 
 
2 dm 2 dm e — Áreatotal=21(4)2+m(6% — 42) + 
=21.(6)16) +1:(6)* 
emana Ej Edm-... 
Sea V el volumen del agua. 
VW=V -V 
cilindro * cono 
 v=20 (12-070) 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
V=2x-— 
3 
ár > 5 
=37 l. Area total = 1601 cm | 
y 40.1410) 158. 
V=4.1888 Referencias 
153 * Desarrollo de figuras en el espacio a un solo 
Recipiente Recipiente plano. 
cónico cilíndrico * Recorrido mínimo (camino más corto). 
llegada 
llegada 7 
a C A 
A e 
B r 
partida A B 
V en el cono ] 
agua partida 
E--53 el camino 
NA e2 :3=4m más corto 
vV en el cilindro 
ai El camino más corto entre dos puntos es la línea 
V=12?-h=4xh P 
recta que une a ellos; en caso nos 2 mella el 
—> Ah = dí 
h=1 recorrido por diversos planos, trazoremos estalínea 
«.R=1Ccm dl 
recta en el desarrollo a un solo plano (tal