Tema 33 - Números complejos

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108UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 34
NÚMEROS COMPLEJOS
TRIGONOMETRÍA
I. OBJETIVO
Reconocer un número en sus formas rectangular, polar
y exponencial, además de utilizar estas tres formas en
la simplificación de expresiones, empleando operaciones
de multiplicación, división, potenciación y radicación.
II. FORMAS DE EXPRESAR LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
A. Forma rectangular
z x iy 
Específicamente, cada número complejo x + iy, determina
un único par ordenado (x;y) en un plano coordenado.
Al plano coordenado en el que a cada punto se le
asigna un número complejo, se llama plano complejo.
y z(x;y)
x Eje real
Eje 
imaginario
Nota: De la figura mostrada:
i) La abscisa "x" representa la parte real del
complejo "z": y se denota por x Re(z) .
ii) La ordenada "y" representa la parte imaginaria
del complejo "z", y se denota por y Im(z) .
B. Forma trigonométrica o polar
y = Im(z)
z
O
r
x = rCos
x = Re(z)
y = rSen

Del gráfico se observa que:
r = |z| = 2 2x y ..... r  módulo de z
 = arcTan
y
x
 
  
.....   argumento de z
como z = x + iy
Entonces el número complejo "z" en su forma
trigonométrica o polar se expresa por:
z r(Cos iSen )   
También: z r.Cos( ) 
C. Forma exponencial
Por la fórmula de Euler: ie Cos iSen    
luego el número complejo "z" en su forma
exponencial se expresa por: iz re 
III. NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS
Im
r
r
(x;y)
(x;–y)
Re
rSen
rSen–( )
rCos( )

i
–i
z x iy r(Cos iSen ) re
z x – iy r(Cos – iSen ) re


      
    
IV. OPERACIONES CON LA FORMA
TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
A. Multiplicación y división
Teorema: Sean los números complejos:
z1 = r1(Cos + iSen ) = r1Cos( ) y
z2 = r2(Cos  + iSen ) = r2Cos( )
la multiplicación y división de los números complejos
se definen como sigue:
 
1 2 1 2 1 2
1 1 1
2 2 2
z .z r .r |Cos( ) iSen( )| r .r Cos( )
z r r
|Cos( – ) iSen( – )| Cos( – )
z r r
           
        
DESARROLLO DEL TEMA
109UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 34
NÚMEROS COMPLEJOS
B. Potenciación y radicación
Sea el número complejo:
z = r(Cos  + iSen )
i) La n-ésima potencia de "z" denotada por zn será:
n nz r |Cos(n ) isen(n )|    (Fórmula de Moivre)
Nota: La fórmula de Moivre es aplicable para
cualquier valor de n-racional.
ii) La extracción de la raíz n-ésima del complejo "z"
se efectúa por la fórmula de Moivre para
exponente fraccionario, como sigue:
 
n n nn 2k 2k 2kz r Cos iSen r.Cos
n n n
                           
donde k  [0, 1, 2, ..., n – 1]: es decir la raíz n-
ésima da siempre "n" valo res d ist intos.
Geométricamente la raíz n-ésima de "z"
representa los n-vértices de un polígono regukar
de n lados.
V. IDENTIDADES ESPECIALES
De la fórmula de Euler:
i
i
Cos iSen e
Cos – iSen e


   
  
Sumando y restando se obtiene:
i i i –i2Cos e e 2iSen e – e       
Problema 1
Degradar:
a) 4Sen3 
b) 4Cos3 
Resolución:
a) 2iSen  = ei  – e–i  ; elevando al
cubo
 –8iSen3  = e3i – 3ei + 3e–i – e–3i
 = (e3i  – e–3i ) – 3(ei  – e–i )
 = 2iSen3  – 6iSen 
–8iSen3  = –2i(3Sen  – Sen3 )
Respuesta: 4Sen3  = 3Sen  – Sen3 
b) 2Cos  = ei  + e–i  ; elevando al
cubo
 8Cos3  = e3i – 3ei + 3e–i + e–3i
 = (e3i  + e–3i ) + 3(ei  – e–i )
 = 2Cos3  + 6Cos 
Respuesta: 4Cos3  = 3Cos  + Cos3 
Problema 2
Dado el número complejo:
z = 
1 – Cos iSen . 2
1 Cos iSen
       
   
hallar |z|.
A) Tan( /2) B) –Tan( /2)
C) Tan( /5) D) Tan( /4)
E) –Tan( /4)
Resolución:
2
2
2Sen i2Sen .Cos
2 2 21 – Cos iSenz
1 Cos iSen
2Cos i2Sen .Cos
2 2 2
            
         
                
     
–i /2
i /2
Sen Sen iCos
2 2 2 iez Tg
2 eCos Cos iSen
2 2 2


                            
                         
 –iiTan e2
   
 
| z | Tan . 2
2
        
|z| –Tan
2
      ;
: IIC
2 2 2
        
Respuesta: B) –Tan( /2)
Problema 3
Si Z = Cos  + iSen  . –5 /2 <  < –2 .
Calcule: 
2
2
1 – (z)
1 z
.
A) Tan  B) –Tan 
C) Cot  D) –Cot 
E) –Tan( /2)
Resolución:
Z = Cos  + iSen  = ei . –
5
2

 <  < –2 
2 – i i – i –2 i–2 i
2 2 i i – i i
e (e –e ) e (2iSen )1–z 1–e
2Cos1 z 1 e e (e e )
   
   
  
  
2
2
1 – z Tan
1 z
 

; como:
5– –2 IVC
2
      
y
x
–2
5
2
–
Tan –Tan   
2
1 – z –Tan
1 z
 

Respuesta: B) –Tan 
problemas resueltos