Tema_11_Relaciones_métricas_en_los_triángulos_rectángulos_

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41UNI SEMESTRAL 2013 - III GEOMETRÍA TEMA 12
RELACIONES MÉTRICAS EN LOS
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
GEOMETRÍA
I. PROYECCIONES
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta es
el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta.
Asi la proyección ortogonal del punto "P" sobre la recta
L es el punto P'. La perpendicular PP ' se llama pro-
yectante. Si el punto pertenece a la recta su pro-
yección sobre ella es el mismo punto. Asi la proyección
de "Q" sobre 

L es Q'.
La proyección de un segmento sobre una recta es el
conjunto de todos lo puntos de la recta que son pro-
yecciones de los puntos del segmento sobre la recta.
II. SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO REC-
TÁNGULO
Teorema
En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a
la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos se-
mejantes entre sí y también semejantes al triángulo dado.
 AHB  BHC  ABC
III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁN-
GULO RECTÁNGULO
A. Teorema del cálculo del cateto
El cuadrado de la longitud de cada cateto es media
proporcional entre su proyección sobre la hipote-
nusa y la longitud dicha la hipotenusa.
De la figura: ABC ~ BDC
a m
b a

Efectuando: a2 = b.m
Análogamente: c2 = b.n
B. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados
de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado
de la longitud de la hipotenusa.
Del teorema anterior:
• a2 = (b.m)
• c2 = (b.n)
DESARROLLO DEL TEMA
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RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TEMA 12
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Sumar: a2 + c2 =  
b
b m n
Luego: a2 + c2 = b.b
a2 + c2 = b2
C. Teorema del cálculo de la altura
La longitud de la altura relativa a la hipotenusa en medio
proporcional entre las longitudes de los segmentos
que determina dicha altura sobre la hipotenusa.
°
°
°
°
h
A D Cm n
B
De la figura: ADB ~ BDC
h m
n h

Luego: (h)2 = (m.n)
D. Teorema del producto de catetos
El producto de las longitudes de los catetos es igual
al producto de las longitudes de la altura relativa a
la hipotenusa y la hipotenusa.
A D Cb
c
a
B
h
°
°
°
De la figura: ADB ~ ABC
h c
a b

Luego: (a.c) = (b.h)
E. Teorema de un triángulo rectángulo
La inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa
a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
las inversas de las longitudes de los catetos.
A D C
b
c
a
B
n m
h
Se cumple que:
b2 = a2 + c2 ............ (1)
b.h = a.c ................ (2)
(1) y (2)2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
b a c
b h a c a c
  2 2 2
1 1 1
h c a
 
IV. PROPIEDADES
1.
2x a.m 
2.
2x m.n 
3.
Si: P, Q y T son puntos de tangencia.
x 2 R.r 
4.
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RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Si: P y Q son puntos de tangencia.
PQ MN 
5.
2 2 2 2a b m n   
6. Para todo cuadrilátero de diagonales perpendiculares.
2 2 2 2(AB) (CD) (BC) (AD)   
Problema 1
En la figura hallar BM; si: AM = MC y
AB2 – BC2 = 8 y m BCA 2m AMN  .
Nivel fácil
A) 2 B) 3 C) 2 2
D) 3 2 E) 2,5
Resolución:
Piden: BM = x
Se observa:
CBM : isósceles
CB = CM = b
Luego:
ABC : Teorema mediana
2
2 2 2 (2b)a b 2x
2
  
2 2 2a b 2x 
8 = 2x2
2 x 
Respuesta: A) 2
Problema 2
En el gráfico mostrado, ABCD es un
cuadrado, ADC es un sector circular con
centro en D, m ABM y m ADM     .
Calcule tan en términos de  .
UNI 2010-II
A)
1 sen
1 cos
 
  B)
1 cos
1 sen
 
 
C)
2 cos
2 sen
 
  D)
1 sen
1 cos
 
 
E)
1 cos
1 sen
 
 
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden la Tan ABM en función  .
Análisis de los datos o gráficos
Trazamos MN AB y MP AD deter--
minándose dos s MNB y MPD.
Operación del problema
En los s MPD y MNB colocamos las
longitudes de sus catetos como se
muestra en el gráfico, en el triángulo
rectángulo BNM calculamos:
MNTan
NB
R – RCosTan
R – RSen
1 – CosTan
1 – Sen
 

 


  

Respuesta: E) 
1 – Cos
1 – Sen


Problema 3
En el triángulo rectángulo ABC (recto
en B) con BC = h y m CAB   , se
tiene inscrita una semicircunferencia
según se muestra en la figura. Exprese
él radio de la circunferencia en función
de h y  .
UNI 2009-II
problemas resueltos
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UNI 2009-II
A)
h cos
1 sen

 
B)
h
sen
C)
h
cos 
D)
h cos
sen cos

  
E)
h sen
sen cos

  
Resolución:
Ubicación de incógnita
r en f( y h)
Operación del problema
• Trazamos el radio al punto de tan-
gencia (D), observando que:
BC = CD = h
• DEC: DE = hcos
• DFD: FD = rSen
• Como: FB = DE.
 rSen + r = hCos
hCosr
1 Sen
 
 
Respuesta: A) 
hCos
1 Sen

 