Tema_13_Transformación_de_un_producto_a_suma_o_diferencia_

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43UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 13
TRANSFORMACIÓN DE PRODUCTO A
SUMA O DIFERENCIA
TRIGONOMETRÍA
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y
consiste en expresar mediante una suma o diferencia un
determinado producto. Para efectuar el desdoblamiento
se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos.
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma
y la diferencia de los ángulos iniciales.
Considerando:
A B
2SenACosB Sen(A B) Sen(A B)
2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B)
2CosACosB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
   
   
   
    
   
Observación
"Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno
se tiene que si el primer ángulo es el mayor entonces se
obtiene una suma de senos y si el primer ángulo es menor
se obtiene una diferencia de senos".
Ejemplos:
2Sen3xCosx = Sen(3x + x) + Sen(3x– x)
= Sen4x + Sen2x
2SenxCos2x = Sen(2x + x) – Sen(2x – x)
= Sen3x – Senx
2Cos3xCos2x = Cos(3x + 2x) + Cos(3x – 2x)
= Cos5x + Cosx
2Sen5xSenx = Cos(5x – x) – Cos(5x + x)
= Cos4x – Cos6x
2Sen40°Cos20°= Sen(40° + 20°) + Sen(40° – 20°)
= Sen60° + Sen20°
2Sen10°Cos40° = Sen(40° + 10°) – Sen(40° – 10°)
= Sen50° – Sen30°
2Cos50°Cos20° = Cos(50° + 20°) + Cos(50° – 20°)
= Cos70° + Cos30°
2Sen70°Sen10° = Cos(70° – 10°) – Cos(70° + 10°)
= Cos60° – Cos80°
Problema 1
Si en un triángulo acutángulo ABC, se cumple:
Sen2A + Sen2B + Sen2C = 2SenASenB
Calcular la medida del ángulo C.
UNI
Nivel fácil
A) 30° B) 50°
C) 60° D) 40°
E) 80°
Resolución:
Como A + B + C = 180°
Aplicando la propiedad antes mencionada:
4SenASenBSenC = 2SenASenB
Reduciendo:
2SenC = 1 1SenC 2
 
por dato:
C = 30°
Respuesta: A) 30°
Problema 2
Siendo:
Cos2a.Tan(b + c) – Cos2b.Tan(a + c) = Sen2a – Sen2b
Donde: a b k  
DESARROLLO DEL TEMA
problemas resueltos
44UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
TRANSFORMACIÓN DE UN PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
TEMA 13
Exigimos más!
Calcular:
E = Cos2a + Cos2b + Cos2c
UNI
Nivel intermedio
A) 10 B) 20
C) 2 D) 0
E) 15
Resolución:
De la condición del problema, escribiendo así:
Cos2a.Tan(b + c) – Sen2a = Cos2b.Tan(a + c) – Sen2b
Seguídamente efectuamos, obteniendo:
Cos2aSen(b c)-Sen2aCos(b+c) Cos2bSen(a c)-Sen2bCos(a+c)
Cos(b c) Cos(a c)
 
 
 
Los numeradores son iguales a:
Sen(b c 2a) Sen(a c 2b)
Cos(b c) Cos(a c)
   
 
Luego:
2Sen(b c 2a) Cos(a c) 2Sen(a c 2b)Cos(b c)
Sen(b 2c a) Sen(b 3a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b)
      
        
 
Ahora:
Sen(b 2c a) Sen(a 2c b) Sen(a 3b) Sen(b 3a)         
Seguidamente:
2Cos2c.Sen(b - a) = 2Cos(a + b)Sen2(a - b)
2Cos2c.Sen (b a) 2Cos(a b) 2    Sen (b a)Cos(b a) 
 
Cos2c 2Cos(a b)Cos(b a)
Cos2a Cos2b
   


Finalmente:
Cos2c = -Cos2a – Cos2b
 Cos2a + Cos2b + Cos2c = 0
 E = 0
Respuesta: D) 0
Problema 3
Si: A B C    , a que es igual:
A B C 3A 3B 3CV 3Cos Cos Cos Cos Cos Cos
2 2 2 2 2 2
 
UNI
Nivel difícil
A) SenA + SenB + SenC
B) Sen3A + Sen3B + Sen3C
C) Sen2A + SenB + Sen2C
D) Sen3A + SenB + SenC
E) N.A.
Resolución:
Trabajando por partes, tendremos:
A B C 3 A B C3Cos Cos Cos x2Cos Cos Cos
2 2 2 2 2 2 2


 
Efectuando tendremos:
3 C C A B A B2Sen Cos 2Cos Sen4 2 2 2 2
SenC SenA SenB
          
   

 
Luego:
A B C 33Cos Cos Cos (SenA SenB SenC)
2 2 2 4
   ... (I)
Ahora:
3A 3B 3C 1 3A 3B 3CCos Cos Cos x 2Cos Cos Cos
2 2 2 2 2 2 2


 
Efectuando, tendremos:
 1 3C 3C 3 32Sen Cos 2Cos (A B)Sen (A B)4 2 2 2 2
Sen3C Sen3A Sen3B
    

 
Luego:
3A 3C 1Cos Cos3BCos (Sen3A Sen3B Sen3C)
2 2 4
    ... (II)
(I) y (II) en "V", obtendremos:
3 1V (SenA SenB SenC) (Sen3A Sen3B Sen3C)
4 4
     
Seguidamente, tendremos:
3SenA SenA 3SenB Sen3B 3SenC Sen3CV
4
    
  
Recordando, por teoría del triple, sabemos que:
(*) 33Sen Sen 4Sen    
Reemplazando dicha propiedad en el problema:
3 3 34Sen A 4Sen B 4Sen CV
4
 
V = Sen3A + Sen3B + Sen3C
Respuesta: B) Sen3A + Sen3B + Sen3C