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65UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 20
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS I: DOMINIO Y RANGO
TRIGONOMETRÍA
I. NOCIONES PRELIMINARES
A. Función inyectiva o univalente
Una función F es inyectiva o univalente si para todo
 1 2x , x del dominio de F, se cumple:
1 2 1 2F(x ) F(x ) x x  
Ejemplo:
Sea F(x) = x3, demuestre que F es univalente o
inyectiva.
Resolución: Tomamos  1 3 fx , x D y evaluamos F
para estos valores: 3 31 1 2 2F(x ) x F(x ) x   por defi-
nición: 1 2F(x ) F(x )
3 3 3 3
1 2 1 2x x x x 0   
2 2
1 2 1 1 2 2(x x ) (x x x x ) 0   
Como: 2 21 1 2 2x x x x 0  
1 2 1 2x x 0 x x    
 F es inyectiva
B. Interpretación geométrica
Una curva del plano nos representará la gráfica de una
función inyectiva o univalente si toda recta horizontal
intersecta a dicha curva a lo más en un punto.
 
Observación:
Si una función no es inyectiva o univalente en todo
su dominio, se puede redefinir la función restrin-
giendo el dominio a intervalos en los cuales la fun-
ción sea inyectiva.
Ejemplo: Sea 2F : y x Df  
Graficamos la función:
y = x2
x < 0 x > 0
0
x
y
//
//
//
//
//
//
//
//
Se observa que la gráfica de la función no es inyectiva
en todo su dominio, pero si redefinimos la función
se tendrá:
Para x O  F es inyectiva
Para x O  F es inyectiva
 
II. FUNCIÓN INVERSA
A. Definición
Si F es una función inyectiva o univalente entonces
F tiene inversa, denotada por F–1 ó F* y definida
del modo siguiente:
Si:  2 FF (x; y) y F(x), x D    
 11 2 1 FF (x; y) y F (x) ; x D       
DESARROLLO DEL TEMA
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I: DOMINIO Y RANGO
TEMA 20
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Observación:
Para determinar la ecuación de la función inversa
de F, se intercambia en la ecuación de dicha función
el y por x y el x por y, de donde se despeja la
variable Y que nos representará la ecuación de F-1.
Ejemplo:
Determine la ecuación de F-1, si se tiene que:
3x 5F : y , x 1;3
2
     
Resolución:
Intercambiamos en la ecuación de F el Y por X y el
X por Y:
3y 53x 5 2x 5F : y x y
2 2 3
x 1;3 y 1;3 x 4;7
     
               
1 2x 5F : y , x 4;7
3
       
B. Gráfica de la función inversa
La gráfica de la función inversa de F, se obtiene
reflejando la gráfica de F con respecto a la función
identidad (y = x).
Se observa F : y F(x) (x ; y) F  
(x)
1 1 1F : y F (y ; x) F    
De esta observación se deduce que:
1 1F FF F
D R R D   
III. NOTACIONES PARA EL ARCO
A. Todo arco o ángulo puede ser expresado en función
del valor de alguna de sus razones trigonométricas;
esto implica que si tenemos: rt() = n, entonces
"()" es el arco o ángulo cuya razón trigonométrica
es "n"; denotándose esto como  = arcrt(n); es decir:
Si:
rt( ) n   arcrt(n) 
 se lee como arco cuya razón es n.
 1rt (n) 
 se lee como razón menos uno de n.
Ejemplos:
• Si:  3 3sen arcsen ...4 4     (arco seno de
3/4).
• Si: 4 4cos arccos ...
9 9
       
 
 (arco coseno
de 4/9).
• Si: 2 2tan arctan ...
3 3
       
 
 (arco tangente
de 2/3).
B. Expresiones equivalentes
Todo arco o ángulo expresado mediante esta nota-
ción implica que se conoce el valor de una de sus
razones trigonométricas.
Si: arcrt(n) rt( ) n    
Ejemplos:
• Si:  2 2arc sen sen( )3 3    
• Si:  3 3arc cos cos( )4 4    
• Si:  4 4arc tan tan( )5 5    
IV. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IN-
VERSAS
• Las funciones inyectivas son importantes porque solo
ellas tienen inversa y como es sabido las funciones
periódicas no son inyectivas por consiguiente no tie-
nen inversa en todo su dominio.
• Las funciones trigonométricas forman parte de este
grupo de funciones periódicas por consiguiente no
tienen inversa en todo su dominio, sin embargo si
restringimos estos dominios a intervarios en los cua-
les las funciones sean inyectivas, se podra determinar
sus respectivas inversas las cuales recibiran el nombre
de funciones trigonométricas inversas 1(FT ó FT*) .
• Los intervalos en los cuáles se restringirán dominios
de cada función trigonométrica serán los siguientes:
FT : y = Senx; DFT = ;2 2
    
FT : y = Cosx; DFT = 0;  
FT : y = Senx; DFT = ;2 2
    
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FT : y = Tanx; DFT = ;2 2
 
FT : y = Cotx; DFT = 0 ;
FT : y = Secx; DFT =  0; 2   
FT : y = Cscx; DFT =  ; 02 2
     
A. Definición
Una función trigonométrica inversa es un conjunto
de pares ordenados de números reales (x ; y), en los
cuales la primera componente X es el valor de alguna
razón trigonométrica y la segunda componente Y es
el arco cuya razón trigonométrica es X; es decir:
y = arc rt(x).
 11 2 FTFT (x ;y) | y arc rt (x); x D
arco

     
Donde: y arc rt (x) x rt (y)  
1FT
valores
D x rt (y)
De" x "
     
  

11 FTFT
valores
R y arc rt (x); x D
De" y "

      
  
Nota:
Si : (a ; b)  1FT , se cumple:
a rt (b) b arc rt (a)  
Ejemplo:
Calcule "n" si: n 3 ;
2 6
  
  
pertenece a la función
seno inverso.
Resolución:
Como: 1n 3 ; Sen
2 6
     
 
n 3arc Sen
6 2
      
n 3 n 3 1Sen
2 6 2 2
     
n 4 
Problema 1
Calcular el valor de la siguiente expre-
sión:
   5sen 2arc ctg 4 arc tg 12   
UNI 1991
Nivel fácil
A) 
9
100 B) 
19
200
C) 
21
221 D) 0
E) 
1
10
Resolución:
   1Arc ctg 4 Arc tg 4
 
 2
12.1 42 Arc tg Arc tg
4 11
4
 
 
  
  
 
 
8Arc tg
15
   
 
Entonces:
8 5sen Arc tg Arc tg
15 12
   
8 5
15 12sen Arc tg
8 51 .
15 12
    
  
  
  
21sen Arc tg
220

      
 
21sen
221
 
Respuesta: C) 21/221
Problema 2
El valor o valores que verifican:
    3cos arc senx sen arc cos x
2
 
Son:
UNI 1981
Nivel intermedio
A) 5 7y
4 4
B) 7Solo
4
C) 7 7o
4 4

D) 7–
4
E) 5 5o
4 4

Resolución:
Sea:
arc senx sen x    
problemas resueltos
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Luego:
arc cos x 90   
Poniendo la ecuación en función de "":
  3cos sen 90
2
     
 
3cos cos
2
   
 
3cos
4
  ....(*)
De la figura:
 2cos 1 x   ....(*)
Igualando:
 (*) = (**)
 23 1 x
4
   7x
4
 
Respuesta: C) 7 7o
4 4

Problema 3
Al resolver la ecuación:
   2tg arc 1 x sen arc tg2 0  
entonces:
UNI 1986
Nivel difícil
A) 5x
3
 
B) x no existe
C) x
3
 
D) x = 1
E) 33x
65

Resolución:
   2tg arc sen 1 x sen arc tg2 0
 
  
 
21 x 2tg arc tg sen arc sen 0
x 5
          
21 x 2 0
x 5
  
 
21 x 2
x 5
 
 5x
3
 
Respuesta: A) 5x
3
 