Tema_22_Funciones_trigonométricas_inversas_III_Propiedades_

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73UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 22
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS III: PROPIEDADES
TRIGONOMETRÍA
I. VALORES PRINCIPALES PARA LOS ARCOS
Se denomina así a aquel valor del arco que satisface
una determinada igualdad y que se encuentra conte-
nido en el intervalo en el cuál se define la función
trigonométrica inversa correspondiente; siento estos
intervalos los siguientes:
A. Para el arco seno
Si: arc sen(N) N sen ( )    
arc sen (N)
2 2
   
1 N 1  
Propiedades:
• Sen[arc sen (N)] N
 N 1;1  
• arc sen[sen( )]  
;
2 2
      
• arc sen( N) arc sen (N)  
 x 1;1  
B. Para el arco coseno
Si: arc cos (N) N cos ( )    
0 arc cos (N)  
1 N 1 
Propiedades
• cos[arc cos (N)] N
 N 1;1  
• arc cos [cos ( )]  
 0;  
• arc cos ( N) arc cos (N)   
 N 1;1  
C. Para el arco tangente
Si: arc tan (N) N tan( )    
arc tan(N)
2 2
   
N 
DESARROLLO DEL TEMA
74UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS III: PROPIEDADES
TEMA 22
Exigimos más!
Propiedades
• tan[arc tan(N)] N
N 
• arc tan[ tan( )]  
;
2 2
  
• arc tan( N) arc tan(N)  
N 
D. Para el arco cotangente
Si: arc cot (N) N cot ( )    
0 arc cot (N)  
N 
Propiedades
• cot[arc cot(N)] N
N 
• arc cot [ cot ( )]  
0; 
• arc cot ( N) arc cot (N)   
N 
E. Para el arco secante
Si: arc sec (N) N sec ( )    
( /2)
0 arc sec (N)

  
N 1 N 1   
Propiedades
• sec [arc sec (N)] N
N 1;1   
• arc sec [sec ( )]  
   0; 2  
• arc sec ( N) arc sec (N)   
N 1;1   
F. Para el arco cosecante
Si: arc csc (N) N csc ( )    
0
arc csc (N)
2 2

   
N 1 N 1   
Propiedades
• csc [arc csc (N)] N
N 1;1   
• arc csc [csc ( )]  
 ; 0
2 2
       
75UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 22
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS III: PROPIEDADES
Exigimos más!
• arc csc ( N) arc csc (N)  
N 1;1   
II. PROPIEDADES FUNDAMENTALES PARA
LOS ARCOS
A. Arcos complementarios
arc sen (x) arc cos(x)
2
 
x 1 x 1    
arc tan (x) arc cot (x)
2
 
x  
arc sec (x) arc csc (x)
2
 
x x 1 x 1     
B. Arcos con valores recíprocos
 1arc csc (x) arc sen x
x 1 x 1    
 1arc sec (x) arc cos x
x 1 x 1    
 1arc cot (x) arc tan x
 
 1arc cot (x) arc tan x  
 
C. Diferencia de arcos tangente
x yarc tan(x) arc tan(y) arc tan
1 xy
     
Donde:  x; y xy 1  
D. Suma de arcos tangente
x yarc tan(x) arc tan(y) k arc tan
1 xy
       
Donde:
   x; y xy 1 K 1; 0;1    
• Si:
xy 1 K 0  
• Si:
xy 1 x e y 0 K 1    
• Si:
xy 1 x e y 0 K 1     
E. Identidades diversas
• 22 arc sen (x) arc cos (1 2x ) 
x 0 x 1   
• 22 arc cos (x) arc cos (2x 1) 
0 x 1  
•
2
2x2 arc tan(x) arc tan
1 x
   
 
 x x 1;1   
• 2
2x2 arc tan (x) arc sen
1 x
   
 
x  
•
2
2
1 x2 arc tan(x) arc cos
1 x
   
 
x  
• 33 arc sen(x) arc sen (3x 4x ) 
x 1 x 1    
• 3 3arc cos (x) arc cos (4x 3x) 
x 1 x 1    
•
3
2
3x x3 arc tan (x) arc tan
1 3x
   
 
3 3x x ;
3 3
 
    
 

76UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS III: PROPIEDADES
TEMA 22
Exigimos más!
Problema 1
Dada la función f, definida por:
1f(x) arcsen(x) arc cos(x) arc tan
x 1
      
Determine el rango de f.
UNI 2010 - II
A) ;2 2
    
B) ;2 2
 
C)  1 3arc tan ;2 2 4    
D)  1arc tan ;2 2     
E)
3;
2 4
  
  
Resolución:
Ubicación de incógnita:
1f(x) = arcSenx + arcCosx + arcTan
| x | 1
 
  
nos piden el rango de la función "f".
Análisis de los datos o gráficos:
Recordamos que:
arcSenx + arcCosx =  , x –1,1
2
  
Luego la función será idéntica a:
   1f x arcTan x –1;1
2 | x | 1
       
Operación del problema:
Formamos: f(x) a partir de:
1 x 1 0 | x | 1     
1 11 |x| 1 2 1
2 | x | 1
      

 1 1arcTan arcTan2 | x | 1 4     
 
 
1 1 3arcTan arcTan
2 2 2 | x | 1 4
f x
         
Conclusión y respuesta
   1 3Ran f arcTan ;2 2 4     
Respuesta: C)
   π 1 3πRan f = + arcTan ;2 2 4   
Problema 2
Calcule el valor de:
33E arc sen cos
5
       
UNI 2010 - I
A) 13

B) 11

C) 9

D) 7

E) 5

Resolución:
Ubicación de incógnita
E = ?
Análisis de los datos o gráficos
33E 2ArcSen Cos
5
        
Reducimos al primer cuadrante: 33
5

Operación del problema
x 0 y 0 y x y x
x y
      

2 10
2E 2ArcSen Cos 2 ArcSen
5
  
 
       
 
 
Sen
10
2.
10 5
 
  
  
Respuesta: E) 5

Problema 3
Dada la función f, definida por:
2
xf(x) arc sec(x) arc csc(x) arc sen
x 1
     
 
Determine el dominio de la función:
UNI 2008 - I
A) 
B)  ; 1 1;   
C) ; 1 2;   
D) 2;
E)  ; 1 2;   
Resolución:
Nos piden el dominio de f.
Como:
2
x
xf(x) arc sec x arc csc x arcsen
x 1
 
 
    
 

arcsecx – arccscx  0
arcsecx  arccscx
Del gráfico, se tiene:
Domf , 1 2,     
Otro método:
Como: arcsecx  arccscx
arc csc x arc csc x
2
  
arc csc x
4

Del gráfico:
Domf , 1 2,     
Respuesta: C)
; 1 2;   
problemas resueltos