Tema_15_Resolución_de_triángulos_oblicuángulos_I_Teoremas_

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49UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 15
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS I: TEOREMAS
TRIGONOMETRÍA
I. CONCEPTOS PREVIOS
• Todo triángulo que no es rectángulo, es denomi-
nado triángulo oblicuángulo.
• Resolver un triángulo oblicuángulo consiste en
determinar los elementos principales de esta figura
(lados y ángulos), partiendo de algunos de ellos
que deben ser conocidos (uno de ellos debe ser
un lado).
• Dependiendo de los datos que se tenga en el
triángulo, se pueden aplicar diferentes teoremas
para poder resolver esta figura; siendo los teoremas
fundamentales los siguientes:
- Teorema del Seno
- Teorema del Coseno
- Teorema de las Tangentes
- Teorema de las Proyecciones
II. TEOREMAS FUNDAMENTALES
A. Teorema del Seno
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que las
medidas de sus lados son directamente proporcio-
nales a los senos de sus respectivos ángulos opues-
tos, siendo la constante de proporcionalidad el diá-
metro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
A
B
C
a
b
c
O
R
a b c 2R
SenA SenB SenC
R : Circunradio
 = = =
De donde: a 2RSenA
b 2RSenB
c 2RSenC



• El teorema del seno se aplica cuando se conoce
la medida de dos ángulos y la longitud del lado
opuesto a uno de estos ángulos.
• El teorema del seno se aplica cuando se conoce
la longitud de dos lados y la medida del ángulo
opuesto a uno de estos lados.
B. Teorema del coseno
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que el
cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma
de los cuadrados de las medidas de los otros dos
lados menos el doble producto de estos multiplicado
por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
A
B
C
a
b
c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c – 2bc CosA
b a c – 2ac CosB
c a b – 2ab CosC
  
  
  



De donde se tendrá:
2 2 2b c – aCosA
2bc

DESARROLLO DEL TEMA
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TEMA 15
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2 2 2a c – bCosB
2ac

2 2 2a b – cCosC
2ab

• El teorema del coseno se aplica cuando se
conoce la medida de dos lados y la medida del
ángulo comprendido entre ellos.
• El teorema del coseno se aplica cuando se
conoce la medida de los tres lados del triángulo.
C. Teorema de las tangentes
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
diferencia de las medidas de dos de sus lados es a
la suma de estas medidas, como la tangente de la
semidiferencia es a la tangente de la semisuma de
los respectivos ángulos opuestos a los lados consi-
derados.
A
B
C
a
b
c
A – BTan
2a – b 
a b A BTan
2
 
 
  
  
 
 
B – CTan
2b – c 
b c B CTan
2
 
 
  
  
 
 
A – CTan
2a – c 
a c A CTan
2
 
 
  
  
 
 
D. Teorema de las proyecciones
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que la
medida de un lado es igual a la suma de las medidas
de los otros dos lados multiplicados cada uno de
ellos por el coseno del ángulo opuesto al otro.
A
B
C
a
b
c
a b CosC c CosB
b a CosC c CosA
c a CosB b CosA
 
 
 



 
 
 
III. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
SENO
A B
C
D
ab
O
AB
R
R
• Trazamos el diámetro CD, entonces: CD = 2R.
• Al unir el punto D con los vértices A y B se obtienen
los triángulos rectángulos CAD y CBD donde se
observa:
m CDB m A m CDA m B= =   
• CBD:
a aSenA 2R
2R SenA
 
• CAD:
b bSenB 2R
2R SenB
 
• En forma análoga se deduce que c 2R
SenC
 ; final-
mente se puede establecer que:
a b c 2R
SenA SenB SenC
  
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IV. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL
COSENO
• Trazamos la altura CH, determinándose los triángulos
rectángulos CHA y CHB.
• CHA: (Resolución de triángulos)
AH = bCosA  CH = bSenA
• CHB: (Teorema de Pitágoras)
2 2 2a (bSenA) (c bCosA)  
2 22 2 2 2a b Sen A c b Cos A 2bcCosA   
2 2 2 2 2
1
a b (Sen A Cos A) c 2bc.CosA   
2 2 2a b c 2bcCosA  
V. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE
LAS TANGENTES
• Sabemos por el teorema del seno que:
a = 2RSenA  b = 2RSenB
• Dividiendo se tendrá:
a 2RSenA a SenA
b 2RSenB b SenB
 
• Aplicando proporciones:
a b SenA SenB
a b SenA SenB
 
 
A B A B2Sen Cos
2 2a b
a b A B A B2Sen Cos
2 2
    
       
     
   
   

a b A B A BTan Cot
a b 2 2
              
 }
A BTan
2a b
a b A BTan
2
 
 
  
  
 
 

VI. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE
LAS PROYECCIONES
• Para calcular el lado a, trazamos la altura AH.
• Se determinan los triángulos rectángulos AHC y
AHB, en los cuales los lados b y c son sus hipo-
tenusas.
• Aplicando resolución de triángulos rectángulos en
los triángulos determinados se tendrá:
CH = bCosC  HB = cCosB
• En el triángulo ABC, se observa que:
BC = CH + HB
a bCosC cCosB 
VII.ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
El área de la región triangular es igual al semiproducto
de las medidas de dos de sus lados multiplicado por el
seno del ángulo comprendido entre dichos lados.
bc ac ab S SenA SenB SenC 
2 2 2
   
Demostración:
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Problema 1
Resolver:
2Cos2x 3 0– =
Indicar las 3 primeras soluciones.
A)  11 13; ;12 12 12   B)  3; ;6 2 7  
C)  ; ;5 6 12   D)  130; ;12 12
E)  4 ; ;11 2 3  
Resolución:
2Cos2x 3 0– =
3Cos2x
2
 =
IC
IVC


y
x
0
2 -x +y = 12 2
De la C.T.
2x x
6 12
= =
 

11
2x 2
6 6
= – =
 

11
x
12
=


13
2x 2
6 6
= – =
 

13
x
12
=


11 13C.S. ; ;
12 12 12
=      
 
Respuesta: A) ;
  11 13;
12 12 12
Problema 2
Resolver:
Tan3x 3 0+ = , indicar la suma de las
2 primeras soluciones positivas.
A) 100º B) 120º
C) 140º D) 160º
E) 80º
Resolución:
IIC
Tan3x 3 
IVC



= –
Para resolver se ubica en la C.T. el arco
para el cual la tangente es igual a 3 y
se toma como referencia este valor
para encontrar los arcos donde la
tangente es ( 3)– .
Tan3x 3= Tan60° 3 =
De la C.T.
3x = 180° – 60°  x = 40°
3x = 360° – 60  x = 100°
Incógnita
40° + 100° = 140°
Respuesta: C) 140º
Problema 3
De la figura, calcular "x"
A) 19 B) 21 C) 15
D) 17 E) 13
Resolución:
Por ley de cosenos:
2 2 2x 3 5 2(3)(5)Cos60= + –
2 1x 34 2(15)
2
   
 
= –
2x 19 =
x 19=
Respuesta: A) 19
• Trazamos la altura BH, determinándose los trián-
gulos rectángulos BHA y BHC.
• BHA: (Resolución de Triángulos)
BH c.SenA
• ABC: (Por Geometría)
(AC)(BH) (b)(c.SenA)S
2 2
 
bcS SenA
2
 
problemas resueltos