- UNIDAD 10

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 10: Elasticidad 
 
 Propiedades Elásticas de los Sólidos: 
 
 Hasta el momento hemos supuesto que los objetos (excepto el resorte) permanecen rígidos cuando fuerzas 
externas actúan sobre ellos. En realidad, todos los objetos son deformables en cierta medida. Es decir, es 
posible cambiar la forma o el tamaño (o ambos) de un objeto al aplicar fuerzas externas. Sin embargo, 
conforme se presentan estos cambios, las fuerzas internas en el objeto resisten la deformación. 
 
 La deformación de los sólidos se explica en términos de los conceptos de esfuerzo y deformación. 
Esfuerzo es una cantidad que es proporcional a la fuerza que causa una deformación; más específicamente, el 
esfuerzo es la fuerza externa que actúa en un objeto por unidad de área de sección transversal. El resultado de 
un esfuerzo es la deformación, que es una medida del grado de deformación. Se encuentra que, para 
esfuerzos suficientemente pequeños, el esfuerzo es proporcional a la deformación: la constante de 
proporcionalidad depende del material que se deforma y de la naturaleza de la deformación. A esta constante 
la denominamos módulo elástico. Por lo tanto, el modulo elástico se define como: 
 
 
 
 En general el módulo elástico lo que se hace a un objeto sólido (se aplica una fuerza) como responde dicho 
objeto (se deforma en cierta medida). Es similar a la constante de resorte k en la ley de Hooke que relaciona 
una fuerza aplicada con un resorte y la deformación resultante del resorte (extensión o compresión). 
 
 Se consideran tres tipos de deformación y se define un módulo elástico para cada uno. 
 
1.- El modulo de Young: mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud. 
2.- El modulo de Corte: mide la resistencia al movimiento de los planos dentro de un sólido paralelos 
unos con otros. 
3.- El modulo Volumétrico: mide la resistencia de los sólidos o los líquidos a cambios en su volumen. 
 
 La figura (1) muestra la relación entre el esfuerzo y la deformación 
para cilindros de prueba de acero. Para una parte sustancial de la 
gama de esfuerzos aplicados, la curva esfuerzo-deformación es lineal 
y tiene aplicación la ecuación (1), con un modulo constante. Al 
continuar creciendo el esfuerzo, la relación esfuerzo-deformación 
puede no ser lineal, pero el material permanece elástico: es decir, si 
se retira el esfuerzo, la muestra retorna a sus dimensiones originales. 
 
 Si el esfuerzo aumenta más allá del límite de cedencia o límite 
elástico del material, la muestra sufre un cambio permanente y no 
recupera sus dimensiones originales cuando se haya retirado el 
esfuerzo; esta clase de comportamiento se llama plasticidad. Mas allá de la elasticidad o cedencia sucede, 
inevitablemente, la rotura, la cual se da tras un esfuerzo llamado resistencia a la rotura o resistencia final. 
 
 Ley de Hooke: 
 
 Uno de los efectos de las fuerzas es su capacidad para deformar objetos, tales como una barra de acero. 
Suponemos una barra de acero de longitud inicial L y sección inicial 
S (figura 2), al cual se le aplica un esfuerzo transversal  , teniendo 
que: 
 
 
 
 Donde F representa el módulo de la fuerza aplicada a la barra. La barra sufre una deformación longitudinal 
y transversal, donde la barra pasa a tener una longitud 'L (mayor a su longitud inicial) y una sección 'S 
(menor a su sección inicial). Nos concentraremos únicamente en la deformación longitudinal, por lo cual 
tenemos que la barra a sufrido un alargamiento de 'L L L   . Si sometemos la barra a diferentes esfuerzos 
podremos realizar una gráfica esfuerzo-deformación, en la cual tendremos en cuenta solo la deformación 
 (1)
esfuerzo
Módulo elástico
deformación

F
S
 
 
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 relativa de la barra representada por la letra griega  , la cual es el cociente entre el alargamiento sufrido y su 
longitud inicial. 
 
 
 
 Si solo consideramos la parte lineal de la curva esfuerzo-deformación de la figura (1), veremos que 
podemos establecer una relación lineal entre el esfuerzo realizado sobre la barra y la deformación que sufre 
la misma a través de la siguiente ecuación: 
 
 
 La cual representa la denominada ley de Hooke, donde E es una constante la proporcionalidad conocida 
como módulo de elasticidad. 
 
 Módulo de Young: Elasticidad Longitudinal 
 
 Considere una probeta (barra de prueba) con área de sección transversal A y longitud inicial iL que se 
sujeta en sus extremos por las mordazas de un instrumento de prueba como 
el de la figura (3). Este instrumento permite aplicarle una fuerza mecánica 
de tracción (o compresión), es decir, perpendicular a la sección transversal 
de la misma. Las fuerzas internas en la probeta resisten la distorsión 
(alargamiento), pero la probeta llega a una situación de equilibrio en la que 
su longitud inicial 
fL es mayor que iL , y en que la fuerza externa se 
equilibra exactamente mediante fuerzas internas. En tal situación, se dice 
que la probeta está sobrecargada. El esfuerzo de tracción se define como la 
relación de la magnitud de la fuerza mecánica F al área de sección 
transversal A. La deformación por tracción (o deformación relativa), en este caso, se define como la 
relación del cambio en longitud L a la longitud original iL . El módulo de Young se define mediante: 
 
 
 
 Este módulo típicamente se usa para caracterizar una barra o alambre sobrecargado bajo tensión o 
compresión. El comportamiento de la probeta sometida a distintos esfuerzos tiene las mismas características 
que las expuestas por la figura (1). 
 
 Módulo de Corte: Elasticidad de Forma 
 
 Otro tipo de deformación se presenta cuando un objeto se somete a una fuerza paralela a una de sus caras 
mientras la cara opuesta se mantiene fija mediante otra fuerza. En este caso, es esfuerzo se llama esfuerzo de 
corte. Si al inicio el objeto es un bloque rectangular, un esfuerzo de corte resulta en una forma cuya sección 
transversal es un paralelogramo (figura 4). 
 
 El esfuerzo de corte se define como F A , la relación de la fuerza 
tangencial al área A de la cara a cortar. La deformación de corte se define 
como la relación x h , donde x es la distancia horizontal que se mueve 
la cara cortada y h es la altura del objeto. El módulo de corte se define como: 
 
 
 
 
 Módulo de Compresión: Elasticidad de Volumen 
 
 El módulo de volumen caracteriza la respuesta de un cuerpo a cambios en 
una fuerza de magnitud uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda la 
superficie del cuerpo (figura 5). Un cuerpo sometido a este tipo de deformación 
experimenta un cambio en volumen pero no cambio en forma. El esfuerzo de 
volumen se define como la razón entre la magnitud de la fuerza total F ejercida 
'L L L
L L

 
 
 (2)E  
 
 (3)
 i
esfuerzo de tracción F A
Y
deformación por tracción L L


  

 
 (4)
 
esfuerzo de corte F A
S
deformación de corte x h
 

 
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 sobre la superficie y el área A de la superficie. La cantidad P F A se denomina presión. Si cambia la 
presión sobre un cuerpo en una cantidad P F A   , entonces el cuerpo va a experimentar un cambio de 
volumen V . La deformación de volumen es igual al cambio en volumen V dividido entre el volumen 
inicial iV . Por lo tanto, el módulo de volumen se define como: 
 
 
 
 Se inserta un signo negativo en esta ecuación de definición para que B sea un número positivo. Esta 
maniobra es necesaria porque un aumento en presión ( P positiva) produce una disminución en volumen 
( V negativo) y viceversa. 
 
 Estos tres módulos elásticos de los materiales tienen unidades de fuerza por unidad de superficie, ya que 
los denominadores de las ecuaciones (3), (4) y (5), tienen unidades adimensionales. 
 
 Contracción Transversal: 
 
 Recordando el experimento realizadocon una probeta, habíamos dicho que no solo se deformaba 
longitudinalmente, sino también sufría una deformación transversal. Por lo cual podemos comprobar que 
mientras la probeta se alarga, su sección disminuye. Este fenómeno se conoce con el nombre de contracción 
transversal. Llamaremos 0d al diámetro de la sección transversal inicial de la probeta, una vez que la 
probeta es sometida a tracción esta sufre un alargamiento l , provocando que el diámetro de la sección 
transversal disminuya a d. Experimentalmente se demuestra que la contracción transversal unitaria es 
proporcional al alargamiento unitario (en régimen perfectamente elástico), es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 A la constante de proporcionalidad  se le llama coeficiente de Poisson y es un número abstracto igual al 
cociente entre la contracción unitaria y el alargamiento unitario correspondiente. 
 
 Los módulos de Young, de Poisson y de Corte, quedan ligados por la expresión: 
 
 
 
 
 
 Energía Potencial Elástica: Elegimos que la posición de referencia 0x del bloque en el sistema bloque-
resorte de la figura (1) fuese aquel en el que la posición del resorte es 0 0x  y declaramos que la energía 
potencial del sistema es cero cuando el bloque esta en esta posición ( )
0
0xpE   . La energía potencial del 
sistema bloque-resorte puede hallarse sustituyendo estos valores en la ecuación (2) y evaluando la integral 
para la fuerza del resorte, ( )F x kx  
 
 
 
 
 
 Se obtiene el mismo resultado cuando x es positiva o negativa; ya sea que el resorte este estirado o 
comprimido en una cantidad x dada, la energía almacenada es la misma. Al diferenciar la ecuación (6), 
vemos que la ecuación (5) se satisface: 
 
 
 
 
 (5)
 i i
esfuerzo de volumen F A P
B
deformación de volumen V V V V
 
    
 
0 0
0 0
0 0
 (6)
d d l l
d l
d l
d l


 
 
 
 
( )
0
1 2
( ) 02
0 ( )
 (8)
x
xp
xp
E kx dx
E kx
   


1 2
2
( )
pdE d
kx kx F
dx dx
     
 (7)
2(1 )
Y
S



 
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 Supongamos que estiramos el sistema bloque-resorte hasta que el bloque este a una distancia mx de su 
posición de referencia; la energía potencial es 
1 2
2 m
kx . Si soltamos el resorte desde el reposo en esta 
configuración, la energía mecánica E es igual 
1 2
2 m
kx , puesto que no existe una energía cinética en el instante 
de soltarlo. En este caso, la ecuación (4) puede escribirse: 
 
 
 Esta expresión nos permite hallar la velocidad para cualquier valor particular del desplazamiento: 
 
 
 
 Como esperábamos, cuan mx x  , esta última ecuación predice que la velocidad es cero. Cuando el 
bloque pasa a través del punto de referencia ( 0 0x x  ), la velocidad 0v es: 
 
 
 
 
 La energía mecánica puede ser expresada en términos ya sea de la velocidad 0v en la posición de 
referencia (
1 2
02
E mv ) o del desplazamiento máximo en la posición de referencia (
1 2
2 m
E kx ). 
 
 Elasticidad de Torsión: 
 
 Torsión es la deformación producida a un cuerpo causada por un par de fuerzas sin que varíe el volumen. 
 
 Si a una barra cilíndrica (figura 6) de longitud L y de radio R, fija por un extremo, le aplicamos un par de 
fuerzas de momento N, la deformación viene medida por lo que llamamos ángulo de torsión ( ) y su valor 
es: 
 
 
 
 En la que S es el modulo de corte de la barra. En efecto: en la barra 
cilíndrica, al ser aplicado al extremo libre el par de fuerzas de momento N, se 
retuerce de tal forma que el extremo de A de la generatriz BA se sitúa en A’. 
El ángulo AOA’ nos mide la torsión. Considerando un elemento de volumen 
de la barra comprendido entre dos cilindros concéntricos de radio r y r+dr, al 
desarrollarlo nos da una figura prismática. La deformación producida es 
equivalente a una cizalladura de ángulo  , cuyo valor es: 
 
 
 
 Siendo 2 dA r dr , y con suficiente aproximación ( tg r L    ), el momento de dF respecto del 
eje del cilindro será: 
 
 
 
 Luego, el valor del momento total es: 
 
 
 
 Como queríamos demostrar. Llamamos D al diámetro del cilindro, esta expresión la podemos escribir: 
 
 
 
 En la que K la llamamos módulo de rigidez, siendo: 
 
 
1 1 12 2 2
2 2 2 m
mv kx E kx  
2 2( )m
k
v x x
m
 
0 m
k
v x
m
 
4
1 2
 (9)
L
N
S R



1
 
dF
dF S dA
S dA
   
32 2 
r G
dN r dF r G dA r G r dr dN r dr
L L
  
     
3 4
4
0
2 1 2
 (10)
2
R
G G L
N r dr R N
L L G R
   


   
4 4
32 1 1 1 1
N N N N K
G D D K
 
 
    
 
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  : Coeficiente de Coulomb, proporcional al módulo de corte e independiente de los parámetros 
geométricos del sólido. De la ecuación (10) se obtiene: 
 
 
 
 
 Expresión que nos da las leyes de la torsión que fueron encontradas por Coulomb experimentalmente y que 
dicen: 
 
1. El par de torsión es proporcional al ángulo girado. 
2. La relación entre el par de torsión y el ángulo girado es directamente proporcional a la cuarta 
potencia del diámetro e inversamente proporcional a la longitud. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4D
K
L

32
G
 
4
 (11)
N D
K
L


 