- UNIDAD 7

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Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 7: Dinámica de la Rotación de un Cuerpo Rígido 
 
 Definición de Cuerpo Rígido: 
 
 Un cuerpo rígido es un caso especial e importante de los sistemas constituidos por muchas partículas, esto 
es, un cuerpo en el cual las distancias entre todos sus componentes permanecen constantes bajo la aplicación 
de una fuerza o momento. Un cuerpo rígido, por consiguiente, conserva su forma durante el movimiento. 
 
 Podemos distinguir dos tipos de movimiento de un cuerpo rígido. El 
movimiento es de traslación cuando todas las partículas describen trayectorias 
paralelas de modo que las líneas que unen dos puntos cualesquiera del cuerpo 
permanecen siempre paralelas a su posición inicial. El movimiento es de rotación 
alrededor de un eje cuando todas las partículas describen trayectorias circulares 
alrededor de una línea denominada eje de rotación. El eje puede estar fijo o puede 
estar cambiando su dirección relativa con respecto al cuerpo durante el 
movimiento. 
 
 El movimiento más general de un cuerpo rígido puede siempre considerarse como una combinación de una 
rotación y de una traslación. Por ejemplo en la figura (1), el movimiento del cuerpo que pasa de la posición 1 
a la posición 2 puede considerarse como uno de traslación representado por el desplazamiento CC’, que une 
las dos posiciones del centro de masa, y uno de rotación alrededor de un eje a través del centro de masa C’. 
 
 De acuerdo con la ecuación 
M dv
F
dt

 , el movimiento del centro de masa es idéntico al movimiento de 
una partícula cuya masa es igual a la masa del cuerpo y sobre la cual actúa una fuerza igual a la suma de 
todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo. En el caso del movimiento de rotación del cuerpo rígido 
estudiaremos el que se produce alrededor de un eje que pasa ya sea a través de un punto fijo en un sistema 
inercial o a traces del centro de masa del cuerpo. En el primer caso, se utiliza para discutir el movimiento la 
ecuación dL dt  (donde L y  se calculan ambos con respecto al punto fijo), mientras que el segundo 
caso, debe utilizarse la ecuación cm cmdL dt  . 
 
 Momento Angular de un Cuerpo Rígido: 
 
 Consideremos un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje z (figura 2) 
con velocidad angular  . Cada una de sus partículas describe una órbita 
circular con centro en el eje z. Por ejemplo, la partícula de masa im 
describe un círculo de radio iR con una velocidad i iv r , siendo ir el 
vector posición con respecto al origen O. La magnitud, en consecuencia, 
de la velocidad será: i i i iv rsen R    
 
 El momento angular de dicha partícula con respecto al origen O es 
i i i iL m r v  , perpendicular al plano determinado por los vectores ir y iv , y situado en el plano 
determinado por ir y el eje z. Por lo cual tendremos que la magnitud de y su componente paralela al eje z es: 
 
 
 
 
 
 
 La componente del momento angular total del cuerpo rotante a lo largo del eje de rotación z es: 
 
 
 
 
2
 90°= (1)
 
 (2)
i i i i i
iz i i i i i i i
iz i i i i i
L r P sen r P
L L sen P r sen R P
L R m v m R
 

   
  
 
   2 2 21 1 2 2 ... (3)z i iL m R m R m R I      
 
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 Donde I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z. El momento angular total del cuerpo es 
igual a iL y en general no es paralelo al eje de rotación, ya que los momentos angulares individuales iL 
no son paralelos al eje. Pero puede demostrarse que para cada cuerpo, sin importar su forma, existen por lo 
menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las cuales el momento angular es paralelo al eje de 
rotación. Estos ejes se denominan ejes principales de inercia, y los momentos correspondientes de inercia se 
llaman momentos principales de inercia (designados por 1I , 2I y 3I ). 
 
 Calculo del Momento de Inercia: 
 
 Sabemos que un cuerpo rígido está compuesto de un numero grande 
de partículas, de modo la definición de momento de inercia 
representada por una sumatoria debe reemplazarse por una integral 
(
2 2
i iI m R R dm   ) o, si  es la densidad del cuerpo, donde 
 dm dV y 2 I R dV  . Si el cuerpo es homogéneo, su 
densidad es constante y por lo tanto: 
 
 
 
 Si observamos la figura (3), tenemos que 
2 2 2R x y  , y por consiguiente tendremos que el momento de 
inercia respecto del eje z es: 
 
 
 
 Los momentos de inercia con respecto a los ejes paralelos están 
relacionados por una formula muy simple. Sea z in eje arbitrario y cz un 
eje paralelo que pasa a través del centro de masa del cuerpo (figura 4). Si a 
es la separación entre los dos ejes, la siguiente relación, denominada 
Teorema de Steiner, tiene lugar: 
 
 
 Donde I e cmI son los momentos de inercia del cuerpo con respecto a z
y cz respectivamente, y M es la masa del cuerpo. Para comprobar esta relación, observemos la figura (4). 
Tomaremos un punto P arbitrario del cuerpo M. Entonces, veremos que P’A es perpendicular al eje cy y 
'P A x , CA y y OC a , tenemos que: 
 
 
 
 
 Ahora el momento de inercia con respecto a z es: 
 
 
 
 El primer término es justamente el momento de inercia cmI con respecto al eje cz , y en el último término 
M m , es la masa total del cuerpo. Por consiguiente: 
 
 
 Para evaluar el termino central de esta ecuación veremos que la posición del centro de masa esta dado por 
cmy my m  . Pero en nuestro caso 0cmy  ya que el centro de masa coincide con el origen C del 
sistema c c cx y z , y por lo tanto tendremos que 0my  ; quedando de esta manera demostrado el teorema 
de Steiner. 
 
2 (4)I R dV 
 2 2 (5)zI x y dV 
2 (6)cmI I Ma 
 
2 2 2
22 2 2 2 2 2 22 2
c
c
R x y
R x y a x y ya a R ya a
 
         
   2 2 2 2 22 2c cI mR m R ya a mR a my a m          
22 (7)cmI I a my Ma  
 
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 Radio de Giro: El radio de giro de un cuerpo es una cantidad K definida de modo que se cumpla la 
siguiente relación: 
 
 
 En el cual I es el momento de inercia y M la masa total del cuerpo. El radio de giro representa la distancia 
del eje a la cual se puede concentrar la masa del cuerpo sin variar su momento de inercia. Es una cantidad 
útil ya que puede determinarse, para cuerpos homogéneos, enteramente por su geometría. 
 
 Ecuaciones del Movimiento Rotacional de un Cuerpo Rígido: 
 
 Teniendo en cuenta la ecuación que relaciona el momento angula de un sistema de partículas y el torque 
total de las fuerzas aplicada a las partículas, tanto el torque como el momento angular se calculan con 
respecto a un punto en reposo en un sistema inercial. Esto es (8)extdL dt  , donde iL L es el 
momento angular total y ext i  es el torque debido a las fuerzas externas. La ecuación (8) constituye la 
ecuación básica para discutir el movimiento de rotación de un cuerpo rígido. La aplicaremos primero al caso 
de un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal que tiene un punto fijo en un sistema inercial. 
Sabiendo que L I , el toque externo ext debe ser el torque con respecto a un punto fijo sobre el eje 
principal. Luego la ecuación (8) se transforma en: 
 
 
 Si el eje permanece fijo con respecto al cuerpo rígido, el momento de inercia permanece constante. 
Entonces: 
 
 
 
 
 Esta última ecuación es equivalente a la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación 
extMa F . Si tenemos que 0ext  , manteniéndose constantes tanto I como  . Esto es: “un cuerpo 
rígido que rota alrededor de un eje principal se mueve con velocidad angular constante cuando no se 
aplican torques externos.” La ecuación (10) representa la ley de inercia o ecuación fundamental de la 
dinámica rotacional. 
 
 En el caso de un cuerpo rígido que no esté rotando alrededorde un eje principal, tenemos que 
z zdL dt  o si la orientación del eje es fija con respecto al cuerpo de modo que I sea constante: 
 
 
 
 Cuando el eje de rotación no tiene un punto fijo en un sistema inercial, no podemos usar la ecuación (8) y 
debemos calcular el momento angular y el torque con respecto al centro de masa del cuerpo. Así debemos 
usar la siguiente ecuación: 
 
 
 Si la rotación es alrededor de un eje principal, esta ecuación se vuelve  cm cmI d dt  . Si 0cm  , que 
es el caso cuando la única fuerza externa aplicada al cuerpo es su peso, entonces  es constante. 
 
 Energía Cinética Rotacional: 
 
 Anteriormente definimos la energía cinética de un sistema de partículas como 
1 2
2
iC iE m v . También 
sabemos que, en el caso de un cuerpo rígido rotando con respecto a un eje con velocidad angular  , la 
velocidad de cada partícula es i iv R , donde iR es la distancia de la partícula al eje de rotación. Luego: 
 
 
 
 
2I MK K I M
( ) (9)extd I dt 
 (10)
ext
ext
d
I
dt
I


 


 (11)z
d
I
dt


 (12)cm cmdL dt 
1 1 12 2 2 2 2
2 2 2
1 2
2
 (13)
iC i i i i i
C
E m v m R m R
E I
  

  

  
 
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 La ecuación (13) es correcta para cualquier eje aun si no fuera principal, ya que la magnitud de la 
velocidad es siempre i iv R . Cuando la rotación es con respecto a un eje principal, podemos expresar la 
ecuación anterior de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 Movimiento Giroscópico: 
 
 Como ya sabemos, si extdL dt  implica que en la 
ausencia de un torque externo ext , el momento angular L 
del cuerpo es constante. Si el cuerpo esta rotando con 
respecto a un eje principal L I , y el cuerpo seguirá 
rotando con respecto a dicho eje con velocidad angular 
constante. 
 
 Esto se ilustra por el giroscopio (figura 5), el cual es un 
instrumento que permite montar una rueda giratoria de 
modo que el eje puede cambiar libremente de dirección. La 
rueda G está montada sobre la varilla horizontal AB y es balanceada por un peso W de modo que el torque 
total alrededor de O es cero. La varilla AB puede moverse libremente respecto de los ejes 0x e 0z , y la rueda 
esta rotando rápidamente alrededor del eje 0y . Por consiguiente, el momento angular del sistema es paralelo 
al eje 0y cuando este eje esta fijo en el espacio. Si el torque aplicado al giroscopio no es cero, el momento 
angular experimenta un cambio en el tiempo dt dado por: 
 
 
 En otras palabras, el cambio en el momento angular tiene siempre la dirección del torque. Si el torque es 
perpendicular al momento angular L , el cambio dL es también perpendicular a L y el momento angular 
cambia de dirección pero no de magnitud. El movimiento del eje de rotación alrededor de un eje fijo debido 
a un torque externo se llama precesión. 
 
 Esta situación se encuentra en el movimiento de un trompo común (especie 
de giroscopio) tal como el de la figura (6), disponiendo el eje 0x en el plano 
xy mientras que 0y queda en el plano 0zz . Debido a la simetría cilíndrica del 
trompo, los ejes principales 0 0 0x y z no están girando con velocidad angular 
 . El origen de los sistemas es O, el cual es fijo en un sistema inercial de 
referencia. Por ello, tanto L como  deben calcularse con respecto a O. El 
torque externo se debe al peso Mg que actúa en el centro de masa C y es igual 
al producto vectorial    OC Mg . El torque es  , por consiguiente, perpendicular al plano 0z oz , y por lo 
tanto perpendicular también a L . En magnitud Mgb sen  donde  es el ángulo entre el eje de 
simetría 0z y el eje vertical z , y b OC da la posición del centro de masa. 
 
 En un pequeño intervalo dt el vector L cambia de la posición OA a la 
posición OB, siendo su cambio AB dL , paralelo a  (figura 7). La 
velocidad angular de precesión  se define como la velocidad a la cual 
el eje del cuerpo 0oz rota alrededor del eje oz fijo en el laboratorio: 
 
 
 
2 2 2
 (14)
2 2
C
I L
E
I I

 
 (15)dL dt
 (16)
d
dt

 
 
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 El mismo está representado por el un vector paralelo a oz . La magnitud de dL es: 
 
 
 Y sabiendo que dL dt , tendremos que: 
 
 
 Despejando y empleando ecuaciones anteriores podemos 
determinar: 
 
 
 
 Notando la orientación relativa de los vectores  , L y  en la 
figura (8), vemos que la ecuación (15) puede escribirse en la forma 
vectorial: 
 
 
 Los resultados de las ecuaciones (18) y (19) son aproximados. Una discusión más detallada indica que en 
general el ángulo  no permanece constante, sino que oscila entre dos valores fijos, de modo que el extremo 
de L , al mismo tiempo que precesa alrededor z, oscila entre los dos círculos C y C’, describiendo la 
trayectoria indicada (figura 8). Este movimiento oscilatorio del eje z’ se denomina nutación. La nutación, al 
igual que la precesión, contribuye al momento angular total, pero en general, su contribución es aún menor 
que la de la precesión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )( ) (17)dL AD d Lsen dt   
 (18)Lsen   
 (19)
 
Mgb
ILsen


  
 (20)L  