Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2022- III ALGEBRA: “POLINOMIOS ESPECIALES” POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado, coeficientes y variables) y por la forma como se presentan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen notables. En este nivel, por sus aplicaciones usuales, nos interesa el estudio de los siguientes polinomios: 1. Polinomio ordenado Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual los valores de los exponentes de dicha variable, sólo aumentan o disminuyen según que la ordenación sea creciente o decreciente. La variable que presenta esta característica se denomina variable ordenatriz. Ejemplo: En el polinomio P( x ; y ) 6 x 7 y 2 5 x 5 y 4 8 x 3 y 6 4 y 9 La variable “x” es ordenatriz decreciente de P. La variable “y” es ordenatriz creciente de P 2. Polinomio completo Con respecto a una variable, es aquel polinomio en la cual, los valores de los exponentes de dicha variable aparecen de manera consecutiva desde el mayor hasta el cero inclusive, sin interesar la ordenación presentada. Ejemplo: El polinomio mostrado F x ; y xy 4 5x 3 y 2 x 2 y x 4 y 5 2 y 6 Es completo respecto de “x”, pero incompleto respecto a “y”. Corolario 1 En todo polinomio completo de una variable, el número de términos es igual al grado de la expresión aumentado en la unidad. Es decir: Número de términos grado 1 Corolario 2 En todo polinomio completo y ordenado de una variable, la diferencia de grados (en valor absoluto) de dos términos consecutivos, es igual a la unidad. grado t k - grado tk 1 1 Ejemplo: En el polinomio P x = a 0 x 4 a 1 x 3 a 2 x 2 a 3 x a4 T 1 T2 T3 T 4 T5 grado t 2 - grado t3 3 2 1 3. Polinomio homogéneo Un polinomio de dos o más términos y más de una variable es homogéneo, si dichos términos presentan el mismo grado absoluto, denominado grado de homogeneidad. Ejemplo: En el polinomio P(x,y) = x 9 + 2 x 4 y 5 + y 9 9º 9º 9º G.A. = 9º GA(T1) = GA(T2) = GA(T3) = 09 Es decir: Grado de homogeneidad (P) = 09 Corolario 3 Todo polinomio homogéneo P (x; y) de grado “n” verifica la siguiente relación: 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo Semana Nº 03 Álgebra. P(mx,my) m n P(x, y) ; m R Donde “n” es el grado de homogeneidad y la constante “m” es un escalar real. 4. Polinomios idénticos Dos o más polinomios del mismo grado y en las mismas variables son idénticos, si los valores numéricos resultantes de dichas expresiones son iguales, para cualquier sistema de valores asignados a sus variables. Es decir: P (x,y) Q (x,y) P (a ,b ) Q (a ,b ) ;{a ,b } R Dos polinomios de las mismas características, tales como: P x ; y a0 x m a1 x n y p a2 x q y r Q x ; y b0 x m b1 x n y p b2 x q y r Son idénticos, si los coeficientes de sus respectivos términos semejantes, son iguales. Es decir: a0 b0 ; a1 b1 ; a 2 b2 5. Polinomio idénticamente nulo Es aquel polinomio de grado no definido, cuyo valor numérico resultante siempre es igual a cero, para cualquier sistema de valores que asumen sus variables. Es decir: P(x,y) 0 P(a,b) 0; {a,b} R Un polinomio de la forma: P( x ) a0 x n a1 x n 1 a2 x n2 L an 1x an Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero. Es decir: a0 a1 a2 ... a n1 an 0 POLINOMIO ENTERO EN X. Un polinomio en x es cualquier suma finita de monomios en x. Es necesario ser reiterativo que un polinomio en “x” es una expresión algebraica Racional Entera. Forma general de un polinomio de enésimo grado: P( x ) a0 x n a1 x n 1 a2 x n2 L a n 1x an En donde n es un entero no negativo y los coeficientes ai son números reales, n es el grado de Px a0 0 Es el coeficiente principal. an Es el término independiente a0 1 P(x) es Mónico. PROBLEMAS PROPUESTOS 1).- Si : Q(y) = ym-10 + ym-n+5 + yp-n+6 Es completo y ordenado en forma descendente. Halla: “m+n-p” a) 0 b) 5 c) 27 d) 18 e) 9 2. Si la siguiente expresión es : P(x) = x 2001 – 81x 1997 + 27 Calcular : P(-3) a) 81 b) 0 c) 18 d) -27 e) 27 3).- Dado el polinomio completo y ordenado. 4m3n 2 m x 258m x..... 1p 2 p 2xxP Cuyo número de términos es (n + 1) Determina : m pn E . Siendo PR. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo a) ¼ b) - 4/3 c) 2/7 d) 3/8 e) - 1 4).- Si el polinomio: P(x,y)= 2xa+b +3xby2a-3+4xay3b-10 + y3b-7 Es homogéneo. Calcula la suma de sus dígitos de “ab” a) 15 b) 12 c) 6 d) 3/8 e) – 1 5).- Si el polinomio: P(x,y,z) = Ax2a+2b-c+By2b+2c-a+Cz2c+2ª-b es homogéneo. Halla: n nn )ac( )cb()ba( F a) 11 b) 10 c) 7 d) 12 e) 2 6).- En el polinomio homogéneo: P(x,y,z)=5x m+n -7x n y 2m-3 +8x m y 2n z n-10 +11z 3n-7 Calcula: (m-n) m a) 16 b) –16 c) 9 d) –8 e) -4 7).- Si el polinomio: P(x)= a(x+2)2 + b(x+3)2 - (2x+3)2 +c Es idénticamente nulo. Halla el valor de: L = c ba a) 5 b) 12 c) 2 d) 3 e) – 1 8).- Calcula “a + b + c” si: P(x) Q(x) Siendo: 2x3x4xP 2 Q x a b x b c x c a 1 2 42 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 9).-Si el polinomio en “x” e “y” P(x, y) = 5x a + 3x b y c + 2x c y b + y a es homogéneo ordenado y completo respecto de “x” e “y”. Calcule: 2a + b + 3c a) 17 b) 13 c)15 d) 16 e) 18 10).-Si :P(x)= ax + b y ; P(P(P(x)))=8x + 154; Determinar: P(P(3)). a) 74 b) 15 c) 65 d) 67 e) 78 11).-Dado el polinomio Mónico. P(x) = 5x 4 7ax 5 + (n2)x 7 4x 1 Calcule el valor de: nn a) 1 b) 4 c) 27 d) 25 e) 16 12).Si se cumple que x 15 x 15 2 x5 ax3 10x b Calcule el valor de a 18 b3 a) 8 b) 32 c) 1024 d) 729 e) 64 13. Sea el polinomio , P idénticamente nulo: P(x) = (a+b-3)x 3 + (a + c-8)x + (b+c-7)x 2 Hallar a.b.c a) 10 b) 20 c) – 10 d) 12 e) 6 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo Álgebra. 14. Halle la suma de los coeficientes del polinomio P siendo este un polinomio Mónico. P(x) = (2a +2)x 2 – (a – 5)x + (a + 3)x 3 + (2a -3)x 4 - a + 4. a)15 b)18 c) 17 d) 20 e) 14 16. Siendo el polinomio P constante ; hallar : M = a.b.c P(x) = (a – b - 2)x + (b – c - 4)x 3 + ( a - 8 + c)x 2 + ab + c – 4 a) 10 b) 20 c) – 10 d) 12 e) 35 17.-Si: P (x – 3) + Q (x – 2) 3x – 12 Calcular : E = QQP a) 0 b) 3 c) 7 d)15 e) 6 18.- Si el polinomio: P (x)=(a–2)x 2 + (b+3)x + 9x 2 – 5x Es nulo, hallar (a + b) 3 a) -1 b) 2 c) – 5 d) 12 e) 35 19.- Dado el polinomio homogéneo P(x,y) = xa+b-1 y b – xy6 - 3y2a + 3b - 6 Determine: E = (ab + ba – ab)2 20.- Tres términos consecutivos de un Polinomio ordenado y completo en Forma descendente están representados por: P(x)= .... + x a+b+1 – x 2a - 1 + 3bx 3b-1 -.... Calcular el valor de “a” a)1 b)8 c) 7 d) 2 e) 4 21). Determine el término cuadrático del polinomio: Fx a b 2x ab b ax a2 2b 7x ab si este está ordenado y completo. a) 5x 2 b) x 2 c) 6x 2 d) 2x 2 e) –x 2 22).Calcular el número de términosdel Siguiente polinomio completo y ordenado. P(x) =(n-5)x n-12 + (n-6)x n-11 + (n-7)x n-10 … a) 10 b)11 c) 6 d)7 e)15 23).- Sea P(x,y) un polinomio homogéneo de Grado 2 tal que: P(12;18)+P(14;21) =170 ; Halle el Valor de P(10;15). a) 60 b)45 c) 56 d) 50 e)30 24).Si el polinomio: P x ab ac 5 x 2 ab bc 7 x bc ac 9 Es idénticamente nulo; entonces el valor de M abca cb ca b a)320 b)318 c)317 d)315 e)316 a) 110 b) 20 c) 115 d) 12 e) 121 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
Compartir