ALGEBRA SEM 06 - 2022 III

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Centro Preuniversitario de la UNS S-6 Ingreso Directo 
P(x) = (ax+b) Qx + R 
a 
 ALGEBRA 
CICLO 2022 – III 
 “TEOREMA DEL RESTO-DIVISIBILIDAD”
 
 
Semana Nº 6 
 
1. TEOREMA DEL RESTO 
Se utiliza para calcular el residuo en una 
división sin tener que efectuar la operación, 
se aplica cuando el divisor es un binomio de 
primer grado en la forma (ax + b) y para 
cualquier otro tipo de divisor, siempre que 
se utilicen las estrategias adecuadas que 
permitan la aplicación correcta del teorema. 
 
Enunciado del Teorema del Resto 
El residuo de dividir un polinomio Racional 
y entero entre un binomio de forma (ax + 
b), es igual al valor que toma dicho 
polinomio cuando se reemplaza “x” por (- 
b/a) es decir: 
P(x) ax+b Por definición de división: 
R Q(x) 
 
Si: ax + b = 0, despejando x =  
b
 
a 
Luego: P (-b/a) = [a (–b/a) + b] Q(x) + R 
Cuando dos polinomios son divisibles, 
entonces el resto es idénticamente nulo 
(CERO) R(x) = 0 
 
II. Si, P(x) es divisible entre (x – a), entonces: 
P(a) = 0. 
Si P(x) es divisible entre (x+ b), entonces: 
P (-b) = 0 
III. Si, el polinomio P(x) es divisible 
independiente por (x  a), (x b) y (x  c), 
entonces P(x) es divisible por el producto: 
(x  a) (x  b) (x  c) 
Es decir: 
Si: P(x)  (x  a)  r = 0 
P(x)  (x  b)  r = 0 
P(x)  (x  c)  r = 0 
Entonces: 
 
 r  0 
 
P (–b/a) = 0 + R  R  Pb 

Entonces; para calcular el resto se iguala el 
divisor a cero, se calcula el valor de la 
variable (siempre que el divisor sea de 
primer grado) y el valor obtenido se 
reemplaza en el dividendo. El resultado 
obtenido es el resto. 
 
DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA 
Para estudiar la divisibilidad algebraica, 
necesitaremos conocer los siguientes teoremas 
o principios fundamentales: 
 
I. Si un polinomio D(x) es divisible entre otro 
polinomio d(x), entonces existe otro 
polinomio Q(x) tal que: 
 
 
IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre varias 
expresiones por separado nos da un 
mismo resto entonces al dividir dicho 
polinomio entre el producto de ellas nos 
arrojará como resto dicho resto común. 
Así: 
Sea P(x) un polinomio cualquiera y: 
P(x)  (x + a)  r = R 
P(x)  (x + b)  r = R 
P(x)  (x + c)  r = R 
Entonces: 
 
 
D(x) d(x) .Q(x) 
P(x)  (x  a)(x b)(x  c)  r  0 
NOTA: 
También se cumple el proceso inverso, es 
decir si un polinomio P(x) es divisible por 
el producto (x  a) (xb) (x c) entonces, 
P(x) es divisible por cada uno de sus 
factores. 
P(x) (x  a)(x  b)(x  c) 
DOCENTE: EQUIPO DOCENTE 
Equipo docente 2022 - III Álgebra. 
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Centro Preuniversitario de la UNS S-6 Ingreso Directo 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
01. Hallar el resto de dividir: 
32x45  256x42  2x 1 entre (x + 2) 
a) -1 b) 51 c) -5 
d) 3 e) 28 
 
02. Hallar el valor de “K” para que el 
polinomio: 
Px  x3  2x2  x  k , sea divisible entre 
 x  2
a) -13 b) 13 c) 15 
d) -14 e) -15 
 
03. Hallar el residuo de dividir: 
4x4  3x3  2x  2 entre x2  4
a) –2(5x – 33) b) 2(5x – 33) c) –10x 
d) 0 e) 5x – 66 
 
(x  2)400  7 
04 Hallar el resto en: 
x  3 
a) 7 b) 8 c) 16 
d) 17 e) 18 
 
05. Hallar el resto en: 
(z2  x  5)2n (z2  x  4)n  7 
2 
08. Calcular el resto en: 
(x 1)n (x3  8)3 (x  4)3 
 
 
x2  2x  2 
a) 400 b) 900 c) -8000 
d) 1000 e) -600 
 
09. Hallar el resto en: 
(x  3)82  5(x  3)4  x2  5x  1 
 
 
x(x  6)  8 
a) -1 b) x + 1 c) –x - 1 
d) 0 e) x - 1 
 
10. Hallar el resto en: 
(x  1)(x  2)(x  3)(x  4)(x  5)(x  6) 
(x  1)(x  6)  5 
a) 3 b) 2 c) x + 1 
d) 5 e) x 
 
11. Calcular el valor de “a” en la división si el 
residuo es 7. 
 
(x2  2x  16)1999  (x2  2x  14)2000  a 
x2  2x  15 
a) 9 b) 6 c) 5 
d) 7 e) 8 
xn(x  2)n  (x 1)6 
 
a) 1 
z  x  4 
b) 2 
 
c) 3 
12. Hallar el resto de: 
x2  2x 1 
d) 7 e) 18 
 
06. Dividir y dar Q (4) en: 
a) 3 b) 6 c) 9 
d) -3 e) -9 
 
5 4 3 2 3x
31 
 x25  x  1 
(x  3)  3(x  3)  2(x  3)  5(x  3)  2x  9 
x 
13. Calcular el resto de: 
x2  x  1 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
07. Calcular el residuo: 
 
(x  1).(x  2).(x  3).(x  4)  16 
 
 x2  5x  7 
a) 13 
d) 20 
b) 15 
e) 23 
c) 19 
a) 0 b) 1 c) -1 
d) -2 e) 8 
 
14. Reconocer el resto obtenido al efectuar: 
 
(x  3)20 (x  2) 
 
 
(x  4) (x  2) 
a) x - 1 b) x - 2 c) 2x - 1 
d) x + 4 e) 3x - 1 
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 
 
15. Hallar el resto: 
2x4  8x2  7x  11 
 
 
x  3 
 
22. Hallar el resto en: 
128x7  40x3  2x  3 
 
 
2x  1 
a) 3 b) 16 c) 14 
d) 16 e) 18 
 
16. Determinar a + b + c; si el polinomio: 
x4  3x3  ax2  bx  c 
Es divisible por: (x + 1) (x + 2) (x - 1) 
a) 4 b) -3 c) -4 
d) 6 e) 5 
 
17. Si el polinomio x4  Px2  Mx  a2 es 
divisible por x2 1 . Hallar el resto de 
dividir entre: x2  a2 
a) 1 b) 2 c) 0 
d) 3 e) 4 
 
18. Al dividir un polinomio de 4to grado en 
variable “x”, se obtiene como residuo 2x al 
dividirlo por (x - 1)2 y al dividirlo por (x - 
2)3 el residuo es 3x. Hallar el residuo de 
dividir P(x)  (x - 1)(x - 2) 
a) (x - 5) b) 3x - 1 c) 4x - 2 
d) 3x + 1 e) 5x+ 1 
 
19. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) 
se obtuvo por residuo -5 y un cociente 
cuya suma de coeficientes es igual a 3. 
Encontrar el residuo de dividir P(x)  (x - 
1) 
 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
a) 1 b) 2 c) –2 
d) –1 e) 4 
 
23. Hallar el resto al dividir: 
x  36 x3  3x  4 
2
 
 
x  32 x  2
a) 4(x + 3) b) 4(x + 3)2 
c) 4 
d) 4x e) 5x 
 
24. Halle el resto de la siguiente división: 
(x  2)3(x  3)3  (x  2)2(x 1)2  (x  3) 
x2  x  5 
a) 30x + 77 b) 31x + 77 c) x +11 
d) – 31x + 77 e) – 31x – 77 
 
x10 1 
25. Halle el resto: 
x(x 1)(x  2) 
a) 611 x2 - 610x + 1 d) 511 x2 – 510x – 1 
b) 610 x2 - 611x – 1 e) 611 x2 – 1 
c) 610 x2 + 611x + 1 
26. Siendo n  N. Halle el resto en: 
(x 1)2  (x2 1)3  (x3 1)4  ..... (x2n1 1)2n 
(x 1)(x  1) 
a) 1 - x b) 1 + x c) 
2 
(4n 1)(1  x) 
3 
20. Calcule “k” sabiendo que la división: 
x  y  z3  kxyz kx  yy  zz  x
d) 
3 
(4n  1)(x  1) 
2 
 
e) 0 
x2  y2  z2  xy  yz  zx 
Es exacta. 
a) – 1 b) – 2 c) – 3 
d) 2 e) 1 
 
21. Hallar el resto en: 
x
3 
 y 
3 
 z
3 
 3x  yy  zz  x



27. Calcular el resto en la división: 
(x  2)2n  3x  192 
(x  3)(x  1) 
a) -3x + 1 b) 30x + 4 c) -3x+91 
d) 3x - 191 e) x + 191 
 13 6 
x  y  z  5 28. Halle usted el resto. 
2x
  3x  2 
a) –8 b) –3 c) –16 
d) –125 e) –116 
 
x2  x  1 
a) 2x + 3 b) 2x c) 3 + 2x 
d) 3x e) 3 
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29. Calcular el resto al dividir: 
x 3n  x 2n  xn  xn  x2n  x3n 
 
 
xn  xn  2 
a) 8 b) 7 c) 5 
d) 4 e) 6 
 
30. Calcular el valor de “n” en la siguiente 
división exacta: 
(x  y)3  (x  z)3  (y  z)3  (4 n  17)xyz 
x  y  z 
a) 1 b) 4 c) 2 
d) 5 e) 3 
31. Calcular el resto en la división: 
[(x  1)(x  3)(x  4)(x  8) 150]2 
 
 x2  5x  3 
a) 4 b) 6 c) 3 
d) 8 e) 9 
 
32. Hallar “a” si el resto de la división es 7 
4x20  2x  a 
x 1 
a) 3 b) 4 c) 5 
d) 7 e) 8 
 
33. Hallar el resto de dividir: 
a) 52 b) 54 c) 56 
d) 55 e) -55 
 
37. Calcular un polinomio de 3er grado que sea 
divisible separadamente entre (x+3) y (x- 
2), sabiendo además que la suma de sus 
coeficientes es -12 y que el término 
independiente es 12. 
 
a) x3 - 3x2 + 32x - 2 
b) 5x3 +3x2 - 32x + 12 
c) 5x3 - 3x2 + 32x + 12 
d) x3 - 3x + 12 
e) 4x3 + 3x2 - 5x+6 
 
38. Hallar un polinomio de cuarto grado que se 
anula para valores de x = 1, 2, 3, 4, y que al 
ser dividido entre (x + 5) da por residuo 
6048. Hallar: P(O) 
a) 24 b) 28 c) 32 
d) 36 e) 48 
 
39. Un polinomio P(x) de tercer grado, al 
dividirlo entre; (x -1), (x + 2), (x - 3) da 
siempre el mismo resto 3. 
Si se divide P(x) entre (x + 1) se obtiene un 
resto 19. Calcular P (2).a) -2 b) -5 c) 4 
d) 0 e) 1 
(x  2)n (x  3)n  (x  1)2  (x  4) 
x2  x  7 
40. Al dividir un polinomio P( x) entre x 1se 2 
a) x + 1 b) 2x - 1 c) 3 obtiene 2x  4 de residuo y al dividirlo 
d) 4 e) 5 
entre x2  x  2 se obtiene 8x+14 de 
34. Hallar m.n, sabiendo que: residuo. Determinar el residuo que se 
(m  3)x49  (m 12)x32  nx27  nx6  3 
Es divisible entre: (x2  1) 
a) 6 b) –3 c) 12 
d) 18 e) –18 
x  720  x  616  4 
 
 
obtendría al dividir 
x3  2x2  x  2 . 
a) 10x2  2x  6 
b) 10x
2 
 2x  6 
P
( x) entre 
35. Hallar el resto en: 
x  6 c) 10x
2 
 2x  6 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 10 
 
36. Un polinomio entero en “x” de tercer 
grado se anula para x = 7 y para x = -3 y al 
dividirlo entre x -10 da como residuo 39. 
Si el primer coeficiente del polinomio es 3. 
Hallar el resto de dividirlo entre: x - 8. 
d) 10x2  6x  2 
e) 10x
2 
 6x  2